Задача построения триангуляции.

Делоне является одной из базовых в вычислительной геометрии. К ней сводятся многие другие задачи, она широко используется в машинной графике и геоинформационных системах для моделирования поверхностей и решения пространственных задач. Впервые задача построения триангуляции Делоне была поставлена в 1934 г. в работе советского математика Бориса Николаевича Делоне.

Триангуляцией Делоне для множества точек S на плоскости называют триангуляцию DT (S), такую что никакая точка A из S не содержится внутри окружности, описанной вокруг любого треугольника из DT (S), такого, что ни одной из вершин его не является точка A.

1.1 Анализ литературы по теме

Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и ее применение. /Скворцов А.В. - Томск: Изд-во Том. Ун-та, 2002. - 128с. Данное учебное пособие является основным для данного курсового проекта. В нем подробно описываются теоретические сведения, связанные с триангуляцией Делоне, даются различные определения и теоремы.

Также имеются разделы, в которых подробно описываются алгоритмы для построения триангуляций, дается их сравнительная характеристика и сложность алгоритмов.

Что позаимствовано: основной материал, теоретические сведения, определения, рисунки.

Попов С.А. Вычислительные методы и программирование. /Попов С.А. - Москва: Изд-во МГУ, 2008, - 24с. Это методическое пособие является вспомогательным источником литературы. Описываются некоторые алгоритмы с математической точки зрения, вычисляются формулы для построения, а также есть описание триангуляция в евклидовом пространстве

Что позаимствовано: математическое описание триангуляции Делоне, построение на евклидовом пространстве

Медведев Н.Н. Метод Вороного - Делоне в исследовании структуры некристаллических систем / РАН, Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000, - 214с. Книга, посвященная описанию методов Вороного и Делоне в некристаллических системах.

Что позаимствовано: свойства триангуляций Делоне, определение триангуляции Делоне.

1.2 Основные определения и свойства

Триангуляцией называется планарный граф, все внутренние области которого являются треугольниками.

Свойства:

В целом, все алгоритмы имеют в своей основе очень простую идею последовательного добавления точек в частично построенную триангуляцию Делоне. Формально это выглядит так.

Дано множество из N точек.

1. На первых трех исходных точках строим один треугольник.

2. В цикле по n для всех остальных точек выполняем шаги 3-5.

3. Очередная n-я точка добавляется в уже построенную структуру триангуляции следующим образом. Вначале производится локализация точки, т.е. находится треугольник (построенный ранее), в который попадает очередная точка. Либо, если точка не попадает внутрь триангуляции, находится треугольник на границе триангуляции, ближайший к очередной точке.

4. Если точка попала на ранее вставленный узел триангуляции, то такая точка обычно отбрасывается, иначе точка вставляется в триангуляцию в виде нового узла. При этом если точка попала на некоторое ребро, то оно разбивается на два новых, а оба смежных с ребром треугольника также делятся на два меньших. Если точка попала строго внутрь какого - нибудь треугольника, он разбивается на три новых. Если точка попала вне триангуляции, то строится один или более треугольников.

5. Проводятся локальные проверки вновь полученных треугольников на соответствие условию Делоне и выполняются необходимые перестроения.

Конец алгоритма.

Ниже приводится подробное описание нескольких алгоритмов.

2.1 Жадный алгоритм

Одним из первых был предложен следующий алгоритм построения триангуляции.

Жадный метод - это такой метод, при котором никогда не отменяется то, что уже было сделано ранее. В алгоритме последовательно выполняются следующие шаги.

1. Во множество исходных точек помещаются концы всех структурных отрезков.

2. Генерируются отрезки, соединяющие все пары точек, отрезки сортируются по длине.

3. В триангуляцию вставляются все отрезки структурных линий.

4. В триангуляцию последовательно отбираются отрезки из множества отсортированных по длине отрезков (от более коротких к более длинным). Если отрезок пересекается с каким-нибудь из уже вставленных, то он отбрасывается, иначе вставляется в триангуляцию.

Шаг 4 повторяется, пока не кончатся отрезки.

Заметим, что если все возможные отрезки имеют разную длину, то результат работы этого алгоритма однозначен, иначе он зависит от порядка вставки отрезков одинаковой длины.

Триангуляция называется жадной, если она построена жадным алгоритмом.

2.2 Алгоритм "Удаляй и строй"

"Удаляй и строй" не выполняется никаких перестроений. Вместо этого при каждой вставке нового узла (а) сразу же удаляются все треугольники, у которых внутрь описанных окружностей попадает новый узел (б). При этом все удаленные треугольники неявно образуют некоторый многоугольник. После этого на месте удаленных треугольников строится заполняющая триангуляция путем соединения нового узла с этим многоугольником (рис. в).

Рис. 4. Алгоритм "Удаляй и строй"

Данный алгоритм строит сразу все необходимые треугольники в отличие от обычного итеративного алгоритма, где при вставке одного узла возможны многократные перестроения одного и того же треугольника. Однако здесь на первый план выходит процедура выделения контура удаленного многоугольника, от эффективности работы которого зависит общая скорость алгоритма. В целом в зависимости от используемой структуры данных этот алгоритм может тратить времени меньше, чем алгоритм с перестроениями, и наоборот.

2.3 Алгоритм "Строй, разбивая"

Алгоритм вставки структурных отрезков "Строй, разбивая" является наиболее простым в реализации и устойчивым в работе.

В нем необходимо, последовательно переходя по треугольникам вдоль вставляемого отрезка, находить точки его пересечения с рёбрами триангуляции. В этих точках пересечения нужно поставить но-вые узлы триангуляции, разбив существующие рёбра и треугольники на части. После этого все вновь построенные треугольники долж-ны быть проверены на выполнение условия Делоне и при необходимости перестроены, не затрагивая фиксированных рёбер.

Рис. 5. Алгоритм "Строй, разбивая"

В некоторых случаях недостатком данного алгоритма вставки может быть создание большого числа дополнительных узлов и рёбер триангуляции. В то же время в других случаях этот недостаток становится преимуществом, не позволяя образовываться длинным узким треугольникам, что особенно ценится при моделировании рельефа.

Другое преимущество этого алгоритма вставки по сравнению с последующими проявляется при попытке вставки структурного отрезка в триангуляцию, в которой среди пересекаемых им рёбер есть фиксированные. Такие рёбра, как и все остальные, просто разбиваются на две части.

2.4 Алгоритм с индексированием центров треугольников k-D - деревом

В алгоритме триангуляции с индексированием центров треугольников k-D-деревом в k-D-дерево (при k = 2) помещаются только центры треугольников. При удалении старых треугольников необходимо удалять их центры из k-D-дерева, а при построении новых - заносить.

Для выполнения поиска треугольника, в который попадает текущая вставляемая в триангуляцию точка, необходимо выполнить нестандартный точечный запрос к k-D-дереву. Поиск в дереве необходимо начинать с корня и спускаться вниз до листьев. В случае если потомки текущего узла k-D-дерева (охватывающий потомки прямоугольник) не покрывают текущую точку, то необходимо выбрать для дальнейшего спуска по дереву потомка, ближайшего к точке поиска.

В результате будет найден некоторый треугольник, центр которого будет близок к заданной точке. Если в найденный треугольник не попадает заданная точка, то далее необходимо использовать обычный алгоритм поиска треугольника из простого итеративного алгоритма построения триангуляции Делоне.

3. Оценка эффективности алгоритмов