Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Содержательная (исходная) постановка задачи

Предварительные сведения

Рассматриваем матрицу размера NЧM вида:

Матрица в программе представляется в виде двумерного массива (array[i][k]). Например, пусть дана матрица:

В программном языке эта матрица будет представляться в виде массива, элементами которого являются:

Array [0][0] = 1; array [0][1] = 2; array [0][2] = 3 ; array [1][0] = 4 ;

array [1][1] = 5 ; array [1][2] = 6 ; array [2][0] = 7 ; array [2][1] = 8;

array [2][2] = 9.

Ортонормированная (в высшей терминологии ортогональная) матрица - это такая матрица столбцы и строки которой образуют системы ортонормированных векторов, то есть:



где , n -- порядок матрицы, а д_jk -- символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку -- 0. Так же и для столбцов.

Постановка задачи

Матрица является ортонормированной, если скалярное произведение каждой пары различных строк равно 0, а скалярное произведение каждой строки на себя равно 1. Определить, является ли заданная матрица A размера N  M ортонормированной.

Указания

Использовать две функции:

1. Функция которая проверяет условие ортонормированности матрицы и возвращает true, либо false

2. Функция, которая непосредственно производит перемножение строк.

2. Анализ и пример решения задачи

Анализ задачи

Как упоминалось ранее для определения ортонормированности функции нужно проверить скалярное произведение строки саму на себя и затем произведение этой строки с последующими.

· Чтобы в программе не выполнялись лишние действие перемножения строки с другими надо начинать не с первой строки а с последующий (соответственно, когда мы в цикле дойдем до последний строки, то она только перемножается сама на себя).

· Перемножение строк реализуется в функции с помощью сложения всех пар произведений типа array[i][k]*array[j][k] b и записи получившийся суммы в отдельную переменную.

· В проверяющей функции после каждого полученного результата перемножения строк сверяем полученный результат с условием, если неверно, то возвращаем false. А после окончания цикла проверки возвращаем true (таким образом, если матрица ортонормирована, то она пройдет все проверки и вернет true)

Пример решения задачи

Рассмотрим 2 примера решения задачи, для матрица, который является и не является ортонормированной.

1.Матрица ортонормированна

Размещено на http://www.allbest.ru/

· Сначала находим произведение первой строки саму на себя:

S= 1*1 + 0*0 + 0*0 + 0*0=1 (удовлетворяет условию )

· Затем происходит перемножение первой строки на 2,3 и 4

S_1,2 =0; S_1,3 =0; S_1,4 =0 (удовлетворяет условию)

· Далее рассматриваем вторую строку (во-первых производим умножение саму на себя, а затем рассматриваем произведения уже со строками 3 и 4)

S₂² =1; S_2,3 =0; S_2,4 =0 (удовлетворяет условию)

· По аналогии рассматриваем третью строку.

S₃² =1;S_3,4 =0 (удовлетворяет условию)

· Для последний строки производи только перемножение саму на себя

S₄² =1 (удовлетворяет условию)

· Матрица прошла все проверки, значит она ортонормирована.

2.Матрица не ортонормирована.

Размещено на http://www.allbest.ru/

· Сначала находим произведение первой строки саму на себя:

S= 1*1 + 0*0 + 0*0 + 0*0=1 (удовлетворяет условию )

· Затем происходит перемножение первой строки на 2,3 и 4

S_1,2 =1*0 + 0*2 + 0*0 + 0*1=0; (удовлетворяет условию)

S_1,3 =1*3 + 0*5 + 0*3 +0*6=3 (не удовлетворяет условию)

· Функция возвращает false значит матрица не ортонормирована.

3. Формальная постановка задачи

Исходные данные

1) Размеры матрицы целые числа n и m.

2) Двумерный массив размера nЧm содержащий элементы вещественные числа двойной точности.

Ограничения на исходные данные

Числа n и m должны быть меньше 50, т.к. array это статический массив размера 50Ч50.

Матрица состоит из вещественных чисел

Результирующие (выходные) данные

Выходными данными является отчет о том ортонормированная ли матрица.

Связь выходных данных с исходными данными

Опишем формально связь между выходным булевским значением otvet и входной матрицей a. Для этого используем следующие функции над матрицей.

1) Функция определяющая скалярное произведение строки на строку в математическом представлении выглядит следующим образом:

где m - это количество столбцов в матрице

2)Функция проверки ортонормированности матрицы:

Перебор строк от i = 1 до n

j=i;

Если S? 1 (значение S берется из первой функции)

то Функция = false;

Перебор строк от j = i+1 до n-1

Если S? 0

то Функция = false;

Конец перебора;

Конец перебора;

Функция = true;

Т.е. входная матрица проверяется в функции 2, для реализации скалярного произведения строк используется функция 1. В проверяющей функции рассматриваются все возможные варианты скалярного произведения строк и сравниваются с условием задания. Если хоть одно условие не совпадает, то функция завершается и принимает false. Если матрица успешно проходит все проверки, то по завершению начального цикла функции присваивается значение true.

4. Спецификация программы

Исходные данные (ИД)

Перечень и основные характеристики ИД:

1) n - количество строк в матрице

2) m - количество столбцов в матрице

3) Array - Массив, задающий проверяемую матрицу A, вида

Ограничения на исходные данные:

1) Для n и m задан диапазон 2 n, m 50 , это натуральные числа типа int

2) Элементы вводимого массива любые числа диапазона double

Место и форма представления исходных данных:

1) n и m вводится с клавиатуры в процессе диалога, порядок ввода и форма представления описаны в сценарии диалога;

2) данные, задающие матрицу, вводятся с клавиатуры в процессе диалога через пробел с переносом на следующую строку, тогда когда все элементы строки будут введены. Введённая матрица будет выглядить следующим образом

Размещено на http://www.allbest.ru/

Функции программы по обработке исключительных ситуаций

Исполняющая система прекращает выполнение программы, выдавая диагностическое сообщение об ошибке в следующих случаях:

1) если значение n не принадлежит диапазону 2…50;

2) если значение m не принадлежит диапазону 2…50;

Выходные данные

Состав выходных данных:

1) Сообщения, которые просят пользователя ввести размеры матрицы.

2) Если размер массива не вписывается в рамки 50 на 50, то выводиться сообщения об ошибке.

3) Сообщение, которое просит пользователя последовательно ввести элементы матрицы.

4) Отчет о проверки матрицы.

Место и форма представления выходных данных. Выходные данные выводятся на экран.

1) Вывод сообщений диалога пользователя по порядку подробнее описано в пункте описание сцен диалога.

Макет вывода выходных данных в диалоговом окне в том случае, когда матрица ортонормированна

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сценарий диалога

Общая схема диалога:

1.Сцена 1 (ввод, анализ количества строк в матрице + если размер недопустим выводиться сообщение об ошибке).

2.Сцена 2 (ввод, анализ количества столбцов в матрице + если размер недопустим выводиться сообщение об ошибке).

3.Сцена 3 (ввод элементов матрицы).

4.Сцена 4 (вывод отчета).

Описание сцен диалога. Описание сцены 1 приведено в табл. П.1.

Таблица П.1

Алгоритм ведения диалога	Сообщения пользователю и его реакция
Вывод запроса	Enter number of rows
Ввод n	??<Enter>
Если размер неверный	Matrix size is inappropriate

Описание сцены 2 аналогично сцене 1 приведено в табл. П.2.

Таблица П.2

Алгоритм ведения диалога	Сообщения пользователю и его реакция
Вывод запроса	Enter Number of Columns
Ввод m	??<Enter>
Если размер неверный	Matrix size is inappropriate

Описание сцены 3 приведено в табл. П.3.

Таблица П.3

Алгоритм ведения диалога	Сообщения пользователю и его реакция
Вывод запроса	Lead elements of the matrix
Ввод массива array	??...<Space>…??...<Space> ??...<Space>…??...<Space> . .. ??...<Space>…??...<Space>

5. Разработка структур данных и алгоритмов

Алгоритм тела программы



Алгоритм функции summa:

6. Код программы на языке С++

#include <iostream>

using namespace std;

/*

* Функция выполняет скалярное перемножение твух строк матрицы

* m - колличество столбцов в матрице

* i - номер первой перемножаемой строки

* j - номер второй перемножаемлй строки

* k - интератор столбца

* array - проверяемый массив

* s - сумма произведений пар элементов

* Функция возвращает значение переменной s

*/

double summa(double array[50][50], int m, int i, int j);

/*

* Функция выполнят проверку ортонормированности матрицы

* n - колличество строк в матрице

* i - интератор основной строки

* j - интератор второй строки

* array - проверяемый массив

* s - значение, которое возвращает функция summa,

* обозначающее результат перемножения двух строк

* Функция возвращает true, если матрица ортонормированна

* и false в противоположном случае

*/

bool proverka (double array[50][50], int n, int m);

int main()

{

double array[50][50]={0};

int n=0,m=0;//максимальное количество строк и столбцов

bool otvet=0;//булевская переменная, отображающая результат проверки массива

cout << "Enter number of rows" << endl;

cin >> n;// Вводим колличество строк

/*если количество строк больше, чем максимальное количество элементов,

выводим сообщение о превышении максимального значения и завершаем работу программы */

if (n>50||n<2){

cout << "Matrix size is inappropriate" << endl;

return 0;}

cout << "Enter Number of Columns" << endl;

cin >> m;// Вводим колличество столбцов

/*если количество столбцов больше, чем максимальное количество элементов,

выводим сообщение о превышении максимального значения и завершаем работу программы */

if (m>50||m<2){

cout << "Matrix size is inappropriate" << endl;

return 0;}

cout << "Lead elements of the matrix" << endl;

//Осуществляем ввод элементов массива

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int k=0;k<m;k++)

cin >> array[i][k];

cout << endl;

}

otvet=proverka (array, n, m);//Вызывает функцию проверки и возвращаемое значение присваеваем булевской переменной otvet

//Выводим сообщение о результате проверки

if (otvet==true)

cout << "Matrix is orthonormal";//Выводим сообщение об ортонормированности матрицы

else cout << "Matrix is not orthonormal";//Выводим сообщение о том, что матрица не ортонормарованна

getch();

return 0;

}

bool proverka (double array[50][50], int n, int m)

{

int i=0, j=0;

double s=0;

// начало проверяющего цикла где сначала проверяем строки с 0 до n-1

for (i=0; i<n; i++){

// передаем дополнительной строке значение основной, для проверки скалярного произведения строки саму на себя

j=i;

s=summa(array, m, i, j);

// проверка условия

if (s!=1)

// если сумма не равна 1 то возвращаем false

return false;

// перебираем дополнительные строки начиная с i + 1

for (j=i+1; j<n; j++){

s=summa(array, m, i, j);

// проверка условия

if (s!=0)

// если сумма не равна 0 то возвращаем false

return false;}}

// после окончания проверки возврашем true

return true;

}

double summa(double array[50][50], int m, int i, int j)

{

double s=0;

for (int k=0; k<m; k++)

// суммируем произведение пар элементов

s+=array[i][k]*array[j][k];

// в конечном итоге возвращаем результат скалярного произведения двух строк

return s;

}

7. Испытание программы

n = 54	Matrix size is inappropriate
n = 12 m = -3	Matrix size is inappropriate
n = 4 m = 5 array = 1 0 3 7 8 9 0 0 5 1 3 8 0 6 1 0 0 0 0 1	Matrix is not orthonormal
n = 4 m = 5 array = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0	Matrix is orthonormal
n = 2 m = 2 array = 1 0 0 1	Matrix is orthonormal

ортонормированная матрица программа

8. Анализ результатов

Программа прошла тестирование со всеми возможными входными данными, а так же проверкой всех диалогов между пользователем-программой. В процессе тестирования некорректной работы программы не выявлено. Следовательно программа может быть признана завершенной и годной к эксплуатации.

Размещено на Allbest.ru