Программа написана и отлажена в среде Visual C++

программа моделирование обратная связь

Аппроксимация уравнения регрессии линейным уравнением

Неизвестное уравнение регрессии технологического процесса может быть аппроксимировано линейным уравнением:

y =₀ +₁x₁ +₂x₂ +₃x₃ +₄x₄

Оценки b_i коэффициентов _i, i=0,1,.,4, рассчитываются по формулам:

, где S_ij - знак i-го фактора в j-ом опыте ПФЭ.

Результат вычислений оценок коэффициентов:

Уравнение регрессии:

Таким образом, окончательное уравнение регрессии технологического процесса имеет вид

Уравнение регрессии: Y = - 0,338314392+0,40406215x₁-0,341740029x2+0,115301x₃

Приложение

Уравнение регрессии, найденное с помощью ПФЭ, нуждается в статистическом анализе. Проводятся два вида такого анализа: проверка адекватности модели (т.е. всего уравнения в целом) и проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения. Обе эти проверки проводятся в предположении справедливости модели технологического процесса (1). т.е. считается, что значения отклика процесса Yil, (j= 1,.,n; l= 1,.,N) представляют собой независимые нормальные случайные величины с одинаковой дисперсией.

Проверка адекватности модели служит для определения соответствия выбранного вида уравнения регрессии {линейное, неполное квадратное и т.п.) неизвестному точному уравнению регрессии. Эта проверка основывается на сравнении разброса экспериментально полученных значений отклика, относительно найденного уравнения регрессии, с разбросом отклика в каждой точке факторного пространства.

Разброс значений отклика относительно уравнения регрессии характеризуется так называемой дисперсией адекватности, равной

, (14)

где n - число опытов в плане; N - число повторений отдельных опытов; - среднее значение отклика в j-й точке плана; - значение отклика в той же точке плана, предсказываемое найденным уравнением регрессии; f1=n- (m+1) - число степеней свободы дисперсии адекватности; m+1 - число коэффициентов в уравнении регрессии.

Разброс отклика в каждой точке факторного пространства при справедливости модели (1) одинаков и характеризуется уже упоминавшейся дисперсией воспроизводимости, величина которой может быть вычислена по формуле.

(15)

где yjl - значение отклика в j-й точке плана при l-м повторении опыта;

f2 = n (N-1) - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости.

Если гипотеза адекватности справедлива, и, следовательно, дисперсии адекватности и воспроизводимости равны, то отношение F=Dад/D{y}, как показано в математической статистике, имеет F - распределение Фишера с f1 и f2 степенями свободы. Если же гипотеза адекватности неверна, то Dад/D{y} будет иметь распределение, отличное от F-распределения Фишера, сдвинутое в сторону больших значений статистики F.

Рис.3.

На основании этого для проверки гипотезы адекватности рассчитанное значение F сравнивается с пороговым значением Fo, которое при справедливости гипотезы адекватности может быть превышено с заданной малой вероятностью б (см. рис.3) Если F ? Fo гипотеза адекватности отвергается. Если F < Fo - принимается.

Описанное правило проверки гипотезы адекватности называется тестом или критерием Фишера, а малая вероятность его уровнем значимости. На практике обычно пользуются значением , равным 0,05 или 0,01. Таблица пороговых значений F0 для критерия Фишера при этих уровнях значимости приведена в Прил.1.

Если результаты проверки адекватности уравнения регрессии показали, что оно адекватно, то необходимо проверить значимость его коэффициентов. Такая проверка позволяет отбросить незначимые коэффициенты, появление которых вызвано случайными причинами, и тем самым упростить уравнение регрессии. Проверка основывается на том, что при ПФЭ все коэффициенты статистически независимы и имеют одинаковую дисперсию D, для которой известна оценка (13). Для проверки значимости любого коэффициента bi вычисляется

t - статистика Стьюдента.

Эта статистика при условии, что истинное значение коэффициента регрессии i=0 имеет t - распределение Стьюдента с f степенями свободы, где f=n (N-1) - число степеней свободы дисперсии воспроизводимости. Распределение Стьюдента симметрично и имеет математическое ожидание, равное нулю (рис.4). Если же i 0, то распределение статистики t смещается вправо или влево в зависимости от знака i. На основании этого для проверки значимости коэффициента i задаются уровнем значимости таким, что при условии i=0

P{ti t0}= 2, и считают коэффициент значимым, если ti t0 или ti - t0, или что то же самое, если ti t0 (см. рис.4).

В случае, если имеет место противоположное неравенство ti < t0, коэффициент bi считается незначимым и может быть отброшен. Для практических расчетов в Прил.2 приведены значения порога t0 для различных значений уровня значимости .

F - распределение Фишера - Снедекора:

Значения квантилей F_0.95 (₁,₂); ₁ и ₂ - числа степеней свободы числителя и знаменателя.

t - распределение Стьюдента:

Значения квантилей t_p () (числа в первой строке таблицы нужно умножить на 10)

Список, используемой литературы