Дослідження однокрокових методів розв’язання звичайних диференційних рівнянь

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

Інститут АЕКСУ

Кафедра АІВТ

Контрольна робота

з дисципліни:

“Моделювання на ЕОМ”

Дослідження однокрокових методів розв'язання звичайних диференційних рівнянь

Виконав: ст. гр. 1АМ-04_____ Балко О.О.

Перевірив: доцент каф.АІВТ_____ Кабачій В.В.

2007

Вступ

1 Короткі теоретичні відомості

2 Алгоритми методів

2.1 Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння

3 Вхідні та вихідні дані1

4. Аналіз результатів моделювання

4.1 Розв'язок диференціального рівняння в Mathcad

5. Інструкція користувачу

Висновки

Література

Додаток А. Лістинг програми

Вступ

На даний момент велика роль в розвитку сучасного світу відводиться підвищенню технічного рівня обчислювальної техніки, пристроїв і засобів автоматизації. Це передбачає розвиток виробництва і широке використання промислових роботів, систем автоматичного управління з використанням мікропроцесорів і мікро-ЕОМ, створення гнучких автоматизованих виробництв. Розв'язок цих задач потребує широкого упровадження в інженерну практику методів обчислювальної математики.

Обчислювальна математика заснована на чисельних методах, придатних до застосування при розрахунках на ЕОМ. Сучасні ЕОМ дозволили дослідникам значно підвищити ефективність математичного моделювання складних задач науки і техніки. Нині методи дослідження проникають практично в усі сфери людської діяльності, а математичні моделі стають засобами пізнання.

Значення математичних моделей неперервно зростає у зв'язку з тенденціями до оптимізації технічних пристроїв і технологічних схем планування експерименту. Реалізація моделей на ЕОМ здійснюється за допомогою різноманітних методів обчислювальної математики, яка неперервно удосконалюється.

В даній роботі розглянуті однокрокові методи розв'язання звичайних диференційних рівнянь(на прикладі диференційного рівняння першого порядку), а саме прямий та зворотній методи Ейлера, та метод Рунге-Кутта.

Розробленна програма дозволяє розв'язати вказане диференційне рівняння методами Ейлера (прямим та зворотним) та Рунге-Кутта, порівняти їх результати та визначити похибки

1. Короткі теоретичні відомості

Найбільш простим однокроковим методом, який потребує мінімальних затрат обчислювальних ресурсів, але дає змогу обчислювати результат із порівняно низькою точністю, є метод Ейлера.

В цьому методі для оцінки наступної точки на кривій використовується лише один лінійний член в формулі Тейлора,

(1)

де визначається з початкового рівняння.

Цей процес можна розповсюдити на наступні кроки:

(2)

Метод Ейлера є методом першого порядку

(3)

де , , , - визначається як

(4)

для всіх і .

Метод Ейлера, крім значної похибки зрізання часто буває нестійким (малі локальні похибки призводять до значного збільшення глобальної).

Цей метод можна вдосконалити різними способами.

Найбільш відомі два з них: виправлений метод Ейлера і модифікований метод Ейлера (в літературі зустрічаються інші назви цих методів, наприклад, модифікований метод Ейлера й удосконалений метод ламаних).

Ітераційні формули для цих методів мають вигляд, відповідно:

(5)

І

(6)

Де

(7)

Це методи другого порядку, їх похибка має третій ступінь, що досягається покращенням апроксимації похідної. Ідея полягає у спробі зберегти або оцінити член другого порядку у формулі Тейлора. Однак збільшення точності вимагає додаткових витрат машинного часу на обчислення . Ще більш висока точність може бути досягнута при обчисленні вищих похідних і збереженні більшої кількості членів ряду Тейлора. Такими методами є методи Рунге-Кутта.

Принцип на якому побудований модифікований метод Ейлера, можна пояснити, користуючись рядом Тейлора і зберігаючи в ньому член з . Апроксимація другої похідної здійснюється кінцевою різницею

 (8)

Аналогічно обчисленню другої похідної в кінцево-різницевому вигляді можна обчислити більш високі похідні: значення n-ї за значеннями попередньої (n-1)-ї.

Метод Рунге-Кутта дає набір формул для обчислення координат внутрішніх точок, які потрібні для реалізації цієї ідеї. Оскільки існує ряд способів знаходження цих точок, то метод Рунге-Кутта об'єднує цілий клас методів для розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку.

Найбільш розповсюджений класичний метод четвертого порядку точності:

(9)

Де

(10)

(11)

Метод Ейлера і його модифікації ще називають методами Рунге-Кутта першого і другого порядку. Метод Рунге-Кутта має значно більш високу точність, що дозволяє збільшити крок розв'язання. Його максималу величину визначає допустима похибка. Такий вибір часто здійснюється автоматично і включається як складова частина, вбудована в алгоритм, побудований за методом Рунге-Кутта.

Раніше було відзначено, що помилка зрізання при використанні методу Рунге-Кутта n-го порядку . Обчислення верхніх границь для коефіцієнта с являє собою складну задачу, пов'язану з необхідністю оцінки ряду додаткових параметрів. Існує декілька способів для оперативного обчислення с. Найбільшого поширення набув екстраполяційний метод Річардсона (ще його називають методом Рунге), коли послідовно знаходять з кроком h і з кроком , а після цього прирівнюють отримані величини та визначають с з рівняння:

(12)

що відповідає точному значенню .

Отримаємо оціночне співвідношення:

(13)

2. Алгоритми методів

В курсовій роботі розроблена програма, що розв'язує задане диференційне рівняння першого порядку трьома методами:

Ейлера : - прямим

- Зворотнім та Рунге-Кутта

Також, програма рахує похибку на кроці та загальну похибку методу.

В основі алгоритму лежить використання однокрокових методів, в основі яких лежить знаходження наступної точки на кривій лише за значенням попередньої. Основу методу складає розкладання функції в ряд Тейлора.

Програма використовує основні функції Borland C++ 3.1, а саме:

Цикли: while ()

for()

Оператори безумовного переходу: If ()

else

switch()

В основі програми лежить загальний алгоритм розв'язку диференційних рівнянь однокроковими методами.

Алгоритм:

1.за початковим значенням x,y знаходимо наступну точку кривої y=f(x) при кроці h=0.1;

2.знаходимо нові значення x,y;

3.перевряємо чи х належить проміжку, на якому шукаються розв'язки: якщо х належить цьому проміжку, то алгоритм повторюється з пункту 1, де замість початкових значень x,y; використовуються нові(обчислені в пункті 2); якщо ні, то алгоритм припиняє свою роботу ;

4.аналогічно шукаються розв'язки цього ж рівняння , але при кроці h=0.05;

5.Знаходження похибки зводиться до:

· знаходження C за формулою

с=(y1-y2))/(St(h1,p+1)-St(h2,p+1))

де y1,y2-значення в одній тій самій точці розв'язку,

але обчисленні з різним кроком;

St - функція піднесення до степеня, де р+1 степінь, а h1(h2) числа, що підносяться до степеня.

· знаходження глобальної похибки, шляхом додавання похибок знайдених на кожному кроці обчислень;

Для данного завдання, формули знаходження наступних значень за попердніми мають вигляд:

· прямий метод Ейлера:

yn:=yn+h*(yn+0.7*xn+1.2);

· зворотній метод Ейлера:

yn:=yn+h*(0.7*xn+1.2)/(1-h);

метод Рунге-Кутта

yn=yn+((k0+2*k1+2*k2+k3)/6);

2.1 Блок-схеми алгоритмів розв'язку даного диференційного рівняння

3 Вхідні та вихідні дані

Вхідними даними програми є: крок обчислення і задане диференціальне рівняння.

Вихідними даними програми є: графіки, таблиця з рішеннями диференціального рівняння і похибки обчислень.

4. Аналіз результатів моделювання

Розроблена програма дозволяє розв'язувати дане диференційне рівняння трьома методами. З результатів обчислень ми можемо перевірити функціональність програми і точність кожного з методів.

Прямий метод Ейлера:

Даний метод не є точним на що вказує глобальна похибка 0.743598.

Зворотній метод Ейлера :

Даний метод є більш точним за прямий метод Ейлера так як його глобальна похибка складає 626846.

Метод Рунге-Кутта

Даний метод є найточнішим серед прямого і зворотного методу Ейлера, його глобальна похибка дорівнює 0.004732.

Звідси можна зробити висновок; найбільш простим однокроковим методом, потребуючим мінімальних затрат розрахункових ресурсів, і який є дуже точним по відношенню до метода Ейлера є метод Рунге-Кутта. Метод Ейлера, крім значної похибки усічки, часто буває нестійким (малі локальні помилки приводять до значного збільшення глобальної).

4.1. Розв'язок диференціального рівняння в Mathcad

Звіримо результати обчислень. Візьмемо найточніший метод Рунге-Кутта та результат отриманий в Mathcad відповідно: 4.472 та 4.603 похибка 0.131

Тобто можна зробити висновок що результати обчислень програми і обчислення Mathcad майже співпадають.

5. Інструкція користувачу

Для завантаження необхідно переписати з дискети файл kursova.exe і запустити його, для роботи програми потрібен графічний драйвер egavga.bgi

Після завантаження слід натиснути клавішу Enter потрібну кількість разів щоб обрати потрібний метод

Після натиснення клавіші Esc відбудеться вихід з програми.

Висновки

В результаті виконання даної курсової роботи ми наглядно оцінили кожний з методів розв'язку диференційного рівняння і прийшли до висновку, що найточнішим методом з найменшою глобальною похибкою є метод Рунге-Кутта , а прямий метод Ейлера і зворотній метод Ейлера, є не досить точними. Але всі ці методи є простими однокроковими методами, що потребують мінімальні затрати розрахункових ресурсів. Тому можна сказати, що методи Ейлера краще використовувати для попередніх(приблизних) розрахунків, а щоб отримати точний результат можна застосувати більш точний метод Рунге-Кутта.

Література

В.Т. Маликов, Р.Н. Кветный . Вычислительные методы и применение ЭВМ . Учебное пособие -- К.: Высш. шк. Главное издательство,1989.-213 с .

В.Е. Краскевич, К.Х. Зеленский, В.И. Гречко . Численные методы в инженерных исследованиях. -- К.: Высш. шк. Главное издательство, 1986.--263 с .