Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Зависимость коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To.

Введение

Целью выполнения курсовой работы является развитие и закрепление навыков работы с табличным процессом Microsoft Excel, изучаемый в курсе информатики и применение их для самостоятельного решения с помощью компьютера задач из предметной области, связанной с исследованиями, а также закрепление навыков программирования на языке QBasic.

Задание к курсовой работе

Построить эмпирические формулы по исходным данным своего варианта тремя способами: используя стандартные средства Excel, проведя расчеты в табличном процессоре Excel, а также проведя вычисления по программе, написанной на языке программирования, изучавшимся в курсе «Информатика».

Во всех вариантах требуется:

Построить в EXCEL график таблично заданной функции y=f(x).

Вычислить в EXCEL (либо составить программу на языке программирования) коэффициент корреляции для случая линейной зависимости между параметрами "y" и "x".

В зависимости от вида графика и величины коэффициента корреляции выбрать несколько классов эмпирических функций из следующих возможных вариантов: линейная функция y=a₁+a₂x ; степенная функция ; экспоненциальная функция ; квадратичная (полиномиальная) функция y=a₁+a₂x+a₃x²; логарифмическая функция y=a₁ + a₂ ln x.

Для выбранного класса функций построить в EXCEL отдельные графики линий тренда, с выводом уравнений и коэффициентов детерминированности.

Составить алгоритм вычислений эмпирических функций по методу наименьших квадратов в виде блок-схемы.

Написать программу для вычисления коэффициентов эмпирических формул по методу наименьших квадратов на языке программирования высокого уровня, выбрав и описав предварительно метод решения систем линейных уравнений. Вычислить для каждой эмпирической формулы коэффициент детерминированности (достоверности).

Отладить программу и провести вычисления с выводом результатов в файл. Распечатать результаты вычислений в виде таблиц, снабдив их необходимыми пояснениями.

Вычислить в EXCEL коэффициенты выбранных эмпирических функций, решив системы линейных уравнений матричным методом. Построить отдельные графики теоретических функции, наложить на эти графики линию фактических данных. Вычислить коэффициент детерминированности.

Распечатать результаты вычислений в EXCEL в виде таблиц, снабдив их необходимыми пояснениями.

Сравнить все три результата вычислений (в EXCEL, на языке программирования и полученные при построении линии тренда), сделать выводы. Определить, какая из полученных эмпирических формул наилучшим образом аппроксимирует функцию y=f(x).

11. Экспериментальные значения зависимости коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Tpi/Toi	kpi	Tpi/Toi	kpi	Tpi/Toi	kpi	Tpi/Toi	kpi	Tpi/Toi	kpi
0,10	2,07	0,25	0,52	0,45	0,21	0,65	0,11	0,85	0,06
0,13	1,65	0,29	0,41	0,49	0,17	0,69	0,10	0,89	0,05
0,16	1,27	0,33	0,34	0,53	0,15	0,73	0,09	0,93	0,05
0,19	0,95	0,37	0,29	0,57	0,13	0,77	0,08	0,97	0,04
0,22	0,73	0,41	0,24	0,61	0,12	0,81	0,07	1,00	0,04

Содержание курсовой работы

Построение графика зависимости таблично заданных значений коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Рис.1 График зависимости таблично заданных значений коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To

Часто при анализе фактических результатов измерений или экспериментов возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между этими фактическими величинами.

Для нахождения аналитической взаимосвязи между двумя величинами X и Y производят ряд наблюдений; в результате получается таблица измеренных значений.

Поскольку табличные результаты получаются как итог каких-либо экспериментов, эти значения называются эмпирическими или опытными значениями. Таким образом, исходными данными являются два одномерных массива одинаковой длины, содержащие эмпирические данные.

Если между величинами X и Y существует некоторая функциональная зависимость, но ее аналитический вид неизвестен, то возникает практическая задача - найти эмпирическую формулу: Y^Т =F (x, a₁, a₂,.., a_m) , где a₁, a₂,.., a_m - коэффициенты.

Элементы теории корреляции

График теоретической функциональной зависимости Y^T(x), полученный по найденной эмпирической формуле, называется кривой регрессии. Для проверки согласия (справедливости) построенной кривой регрессии с результатами эксперимента, как правило, используют следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми величинами. Он показывает, насколько хорошо, в среднем, может быть представлена (вычислена) одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

где - средне арифметические значения по Х и У соответственно.

Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе r к 1, тем теснее линейная связь между x и y, и тем более справедлива аппроксимация таблично заданной функции линейной зависимостью.

Особо подчеркнем, что если коэффициент корреляции существенно меньше 1, это не означает отсутствие зависимости между параметрами x и y. Это означает только, что не применима линейная аппроксимация, но можно искать аппроксимирующую зависимость среди степенных, экспоненциальных, квадратичных и других классов функций.

Вычислим в Excel коэффициент корреляции для случая линейной зависимости между параметрами "y" и "x".

Расчеты в данной таблице производятся по простейшим формулам: в ячейках N29 и O29 находим средние значения заданных параметров по формулам =СРЗНАЧ(N3:N27) и =СРЗНАЧ(O3:O27), затем в ячейках P3 и Q3 находим разнсть между заданными и средними значениями параметров по формулам =N3-$N$29 и =O3-$O$29, которые размножаются на весь столбец, после этого в ячейке R3 находим произведение полученных величин, а в ячейках S3 и T3 - их квадраты ( =P3*Q3, =P3^2, =Q3^2), указанные формулы также размножаем на весь столбец, в дальнейшем найдем суммы данных и полученных величин в ячейках N28, O28, R28, S28, T28 (=СУММ(N3:N27), =СУММ(O3:O27), =СУММ(R3:R27), =СУММ(S3:S27), =СУММ(T3:T27)). В итоге в ячейке N30 рассчитаем коэффициент корреляции r по формуле =R28/(КОРЕНЬ(S28)*КОРЕНЬ(T28)).

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине равен 0,771. Это говорит о том, что взаимосвязь между данными параметрами не очень хорошо аппроксимируется линейной зависимостью и означает, что необходимо искать аппроксимирующую зависимость среди степенных, экспоненциальных, квадратичных и других классов функций.

Аппроксимация функции kpi=f(Tpi/Toi) многочленом второй степени

Построим в Excel отдельный график таблично заданных значений с нанесенной на него линией тренда квадратичного типа, выводом уравнения и коэффициента детерминированности

Рис.2 График квадратичной аппроксимации функции kpi=f(Tpi/Toi)

Из построенной линии тренда и коэффициента детерминированности видно, что квадратичная зависимость очень точно отображает экспериментальные данные.

Cоставим уравнение аппроксимированной линии второй степени k= (Tpi/Toi)²+ a₂ (Tpi/Toi) + a_3. Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты a₁, a₂ и a₃. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:

Найдем значение сумм заданных параметров, чтобы составить эту систему.

где n=25

Поясним расчеты, произведенные в данной таблице: в ячейках C2, D2, E2, F2, G2 возведем параметр x в степень: от второй до шестой (=B2^2, =B2^3, =B2^4, =B2^5, =B2^6), в ячейках I2, J2, K2 найдем значения произведений xy, x²y и x³y соответственно (=H2*B2, =H2*(B2^2), =H2*(B2^3)).Все указанные формулы размножаем по всему столбцу. В дальнейшем найдем суммы данных и полученных величин в интервале B27:K2 по формулам =СУММ(B2:B26), =СУММ(C2:C26), =СУММ(D2:D26), =СУММ(E2:E26), =СУММ(F2:F26), =СУММ(G2:G26), =СУММ(H2:H26), =СУММ(I2:I26),

=СУММ(J2:J26), =СУММ(K2:K26).

коэффициент регулятор двигатель excel

Таблица 2

Матрицу А составляем из правых частей уравнений системы, а матрицу B из левых

Коэффициенты a₁, a₂ и a₃ вычисляем по формуле [a]=[А^-1]*B. Три составляющие вектора [a] будут искомыми коэффициентами a₁, a₂ и a₃.

Таблица 3

Поясним, что обратную матрицу находим по формуле =МОБР(AL17:AN19), а вектор Х по формуле =МУМНОЖ(AL23:AN25;AP17:AP19)

В матрице А вычислились коэффициенты a1=4,134, a2=-5,96, и a3=2,084. Подставим эти коэффициенты в многочлен второй степени и получим формулу аппроксимированной функции k= 4,134(Tpi/Toi) ²-5,96(Tpi/Toi)+ 2,084

Аппроксимация функции kpi=f(Tpi/Toi) многочленом третьей степени

Построим в Excel отдельный график таблично заданных значений с нанесенной на него линией тренда полиномиального типа, выводом уравнения и коэффициента детерминированности

Рис.3 График полиномиальной аппроксимации функции kpi=f(Tpi/Toi)

Из графика видно, что полиномиальная функция практически полностью отображает экспериментальные данные.

Cоставим уравнение аппроксимированной линии: степени k= a₁(Tpi/Toi) ³+ a₂(Tpi/Toi)² + a₃(Tpi/Toi) + a_4. Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты a₁, a₂ ,a₃ и a₄. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:

где n=25

Согласно таблице 2 матрицу А составляем из правых частей уравнений системы, а вектор B из левых.

Коэффициенты a₁, a₂ ,a₃ и a₄ вычисляем по формуле [a]=[А^-1]*B. Три составляющие вектора [a] будут искомыми коэффициентами a₁, a₂ ,a₃ и a₄

Таблица 4

Поясним, что обратную матрицу находим по формуле =МОБР(V17:Y20), а матрица B по формуле =МУМНОЖ(V23:Y26;AA17:AA20)

Подставим эти коэффициенты в многочлен третьей степени и получим формулу аппроксимированной функции k= -10,9225(Tpi/Toi)³ +22,142 (Tpi/Toi)² - 14,4(Tpi/Toi) + 3,0886

Аппроксимация cтепенной функции kpi=f(Tpi/Toi)

Построим в Excel отдельный график таблично заданных значений с нанесенной на него линией тренда степенного типа, выводом уравнения и коэффициента детерминированности

Рис.4 График полиномиальной аппроксимации функции kpi=f(Tpi/Toi)

Из графика видно, что степенная функция практически полностью отображает экспериментальные данные.

Cоставим уравнение аппроксимированной линии степени k = a₁(Tpi/Toi) ^a2_. Чтобы составить уравнение аппроксимированной линии необходимо найти коэффициенты a₁и a_2. Для этого нужно составить и решить систему линейных уравнений:

Для нахождения коэффициентов a₁ и a₂ степенную зависимость надо линеаризовать. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства k = a₁(Tpi/Toi) ^a2, в результате чего получится соотношение:

ln (ki) = ln a₁ + a₂ ln (Tpi/Toi)

Обозначим ln (ki), ln A₁, ln (Tpi/Toi) соответственно через z, b, t получим: z = b+ a₂t

Согласно таблице 5 матрицу А составляем из правых частей уравнений системы, а вектор B из левых.

Таблица 5

Коэффициенты a₁, a₂ ,a₃ и a₄ вычисляем по формуле [a]=[А^-1]*B. Три составляющие вектора [a] будут искомыми коэффициентами a₁ и a₂ .

Таблица 6

Поясним, что обратную матрицу находим по формуле =МОБР(AE17:AF18), а матрица oтветов по формуле =МУМНОЖ(AE23:AF24;AH17:AH18)

Подставим эти коэффициенты в многочлен третьей степени и получим формулу аппроксимированной функции k = 0,047 (Tpi/Toi) ^(-1,761)

Вычисление коэффициента детерминированности

Чтобы выяснить насколько точно построенная кривая отражает эмпирические данные, вводится еще одна характеристика - коэффициент детерминированности. Поясним подробно, что означает этот коэффициент и как он определяется.

Напомним, что вычисленные по эмпирической формуле при каждом значении Х_i значения Y_i^T , обычно, называют теоретическими, в отличие от исходных, эмпирических данных Y_i

Вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных, обозначив эту сумму S_ост.

Полученная величина характеризует отклонение теоретических результатов от экспериментальных данных. Чем больше S_ост , тем хуже выбранная теоретическая функция описывает экспериментальные данные и, наоборот, чем меньше S_{ост ,} тем лучше выбранная функция описывает экспериментальные данные.

Введем понятие регрессионной суммы квадратов:

Эта величина S_регр характеризует разброс теоретических данных относительно среднего значения.

В теории корреляции доказано следующее равенство:

Обозначим:, тогда, очевидно, справедливо следующее равенство: S_полн = S_регр + S_{ост .}

Коэффициент детерминированности R² определяется по формуле:

Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с полной суммой квадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности R² , который показывает, насколько хорошо полученная теоретическая функция описывает взаимосвязь между эмпирическими данными. Если коэффициент детерминированности равен 1, то имеет место полная корреляция фактических данных с выбранной теоретической моделью. В противоположном случае, если коэффициент корреляции близок к нулю, то уравнение регрессии выбрано неудачно и не может использоваться для вычисления значений функции.

По данному методу строим таблицу Excel, где производим соответствующие расчеты.

Сначала рассчитаем коэффициент детерминированности для случая квадратичной зависимости между параметрами "y" и "x". Поясним расчеты, произведенные в данной таблице 6: в ячейке AN32 найдем теоретические значения Y_i^T по формуле =$AQ$25*((AM32)^2)+$AQ$24*(AM32)+$AQ$23, затем в ячейке AP32 находим квадрат

разности между теоретическими и экспериментальными значениями параметров по формуле =(AN32-AO32)^2, потом в ячейке AQ32 находим квадрат разности между теоретическими и средними значениями параметров по формуле =(AN32-$O$29)^2

Таблица 7

После этого вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных в ячейке AO57 по формуле =СУММ(AP32:AP56).Затем рассчитаем регрессионную сумму квадратов в ячейке AO58 по формуле =СУММ(AQ32:AQ56). В ячейке AO59 вычислим значение S_полн по формуле =AO57+AO58. В ячейке AO60 вычислим значение коэффициента детерминированности R² по формуле =1-AO57/AO59.

Затем рассчитаем коэффициент детерминированности для случая полиномиальной зависимости между параметрами "y" и "x". Поясним расчеты, произведенные в таблице 7: в ячейке X32 найдем теоретические значения Y_i^T по формуле =$AB$26*((W32)^3)+$AB$25*((W32)^2)+$AB$24*(W32)+$AB$23.

Таблица 8

Затем в ячейке Z32 находим квадрат разности между теоретическими и экспериментальными значениями параметров по формуле =(X32-Y32)^2, потом в ячейке AA32 находим квадрат разности между теоретическими и средними значениями параметров по формуле =(X32-$O$29)^2.

После этого вычислим сумму квадратов отклонений теоретических значений функции от эмпирических данных в ячейке Y57 по формуле =СУММ(Z32:Z56).Затем рассчитаем регрессионную сумму квадратов в ячейке Y58 по формуле =СУММ(AA32:AA56). В ячейке Y59 вычислим значение S_полн по формуле =Y57+Y58. В ячейке Y60 вычислим значение коэффициента детерминированности R² по формуле =1-Y57/Y59.

Теперь рассчитаем коэффициент детерминированности для случая степенной зависимости между параметрами "y" и "x".

Поясним расчеты, произведенные в данной таблице: в ячейке X32 найдем теоретические значения Y_i^T по формуле =$AI$24*AF32+$AI$23, затем в ячейке AI32 находим квадрат разности между теоретическими и экспериментальными значениями параметров по формуле=(AG32-AH32)^2, потом в ячейке AJ32 находим квадрат разности между теоретическими и средними значениями параметров по формуле=(AG32-$O$29)^2

Таблица 9

Из полученных значений коэффициента детерминированности видно, что полиномиальная функция лучше всего отображает экспериментальные значения.

Алгоритм решения систем линейных уравнений

Для расчета коэффициентов аппроксимирующих функций в программе QBasic будем использовать метод Крамера. Для квадратичной зависимости составляем по методу наименьших квадратов систему уравнений:

Для нее находим главный определитель:

(1)

находим вспомогательные определители:

 (2)

(3)

(4)

Коэффициенты вычисляем по формулам Крамера:

Подставляем коэффициенты в уравнение и получаем уравнение аппроксимирующей кривой.

Для полиноминальной зависимости составляем по методу наименьших квадратов систему уравнений:



Для нее находим главный определитель:

(5)

находим вспомогательные определители:

(6)

(7)

(8)

(9)

Коэффициенты вычисляем по формулам Крамера:

Далее для степенной зависимости составляем по методу наименьших квадратов систему уравнений:

для нее находим главный определитель:

затем находим вспомогательные определители:

коэффициенты b и а₂ находим по формулам Крамера:

Блок - схема программы, выполненной на языке QBasic



Программа, написанная на языке программирования Qbasic

CLS

DIM R, n(25), M(25)

FOR i = 1 TO 25

READ n(i)

NEXT i

FOR i = 1 TO 25

READ M(i)

NEXT i

ns = 0

Ms = 0

DATA 0.10,0.13,0.16,0.19,0.22,0.25,0.29,0.33,0.37,0.41,0.45,

DATA 0.49,0.53,0.57,0.61,0.65,0.69,0.73,0.77,0.81,0.85,0.89,0.93,0.97,1.00

DATA 2.07,1.65,1.27,0.95,0.73,0.52,0.41,0.34,0.29,0.24,0.21,

DATA 0.17,0.15,0.13,0.12,0.11,0.10,0.09,0.08,0.07,0.06,0.05,0.05,0.04,0.04

FOR i = 1 TO 25

ns = ns + n(i)

Ms = Ms + M(i)

NEXT i

ncp = ns / 25

Mcp = Ms / 25

PRINT USING "ncp= #.####, Mcp= #.####"; ncp; Mcp

REM Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

CLS

REM Введение значений

n = 25

DIM x(25)

DATA 0.10,0.13,0.16,0.19,0.22,0.25,0.29,0.33,0.37,0.41,0.45,0.49,0.53,

DATA 0.57,0.61,0.65,0.69,0.73,0.77,0.81,0.85,0.89,0.93,0.97,1.00

FOR i = 1 TO n

READ x(i)

NEXT i

DIM y(25)

DATA 2.07,1.65,1.27,0.95,0.73,0.52,0.41,0.34,0.29,0.24,0.21,0.17,0.15,

DATA 0.13,0.12,0.11,0.10,0.09,0.08,0.07,0.06,0.05,0.05,0.04,0.04

FOR i = 1 TO n

READ y(i)

NEXT I

DIM t(25), z(25)

FOR i = 1 TO n

t(i) = LOG(x(i))

z(i) = LOG(y(i))

NEXT i

REM "Вычисление сумм"

Sx = 0

Sx2 = 0

Sx3 = 0

Sx4 = 0

Sx5 = 0

Sx6 = 0

Sy = 0

Sxy = 0

Sx2y = 0

Sx3y = 0

St = 0

St2 = 0

Sz = 0

S(t * z) = 0

FOR i = 1 TO n

Sx = Sx + x(i)

Sx2 = Sx2 + (x(i)) ^ 2

Sx3 = Sx3 + (x(i)) ^ 3

Sx4 = Sx4 + (x(i)) ^ 4

Sx5 = Sx5 + (x(i)) ^ 5

Sx6 = Sx6 + (x(i)) ^ 6

Sy = Sy + y(i)

Sxy = Sxy + y(i) * x(i)

Sx2y = Sx2y + y(i) * (x(i)) ^ 2

Sx3y = Sx3y + y(i) * (x(i)) ^ 3

St = St + t(i)

St2 = St2 + t(i) ^ 2

Sz = Sz + z(i)

Stz = Stz + (t(i) * z(i))

NEXT i

REM "Вычисление коэффициента корреляции "

S1 = 0

S2 = 0

S3 = 0

xcp = Sx / n

ycp = Sy / n

FOR i = 1 TO n

S1 = S1 + (x(i) - xcp) * (y(i) - ycp)

S2 = S2 + (x(i) - xcp) ^ 2

S3 = S3 + (y(i) - ycp) ^ 2

NEXT i

R = S1 / (SQR(S2) * SQR(S3))

PRINT " Коэффициент корреляции "

PRINT "r = "; R

REM "Вычисление коэффициентов"

PRINT " Коэффициенты кубической функции "

A111 = Sx2 * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx4 + Sx3 * Sx4 * Sx5

A112 = Sx4 * Sx4 * Sx4 + Sx2 * Sx5 * Sx5 + Sx3 * Sx3 * Sx6

A11 = A111 - A112

A121 = Sx * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx5 * Sx4

A122 = Sx4 * Sx4 * Sx3 + Sx * Sx5 * Sx5 + Sx2 * Sx3 * Sx6

A12 = A121 - A122

A131 = Sx * Sx3 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx2 + Sx2 * Sx4 * Sx4

A132 = Sx4 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx6 + Sx4 * Sx5 * Sx

A13 = A131 - A132

A141 = Sx * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx4 * Sx3 + Sx2 * Sx4 * Sx3

A142 = Sx3 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx5 + Sx4 * Sx4 * Sx

A14 = A141 - A142

DETpol = n * A11 - Sx * A12 + Sx2 * A13 - Sx3 * A14

A11A41 = Sx2 * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx4 + Sx3 * Sx4 * Sx5

A11A42 = Sx4 * Sx4 * Sx4 + Sx2 * Sx5 * Sx5 + Sx3 * Sx3 * Sx6

A11A4 = A11A41 - A11A42

A12A41 = Sx * Sx4 * Sx6 + Sx3 * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx5 * Sx4

A12A42 = Sx4 * Sx4 * Sx3 + Sx * Sx5 * Sx5 + Sx2 * Sx3 * Sx6

A12A4 = A12A41 - A12A42

A13A41 = Sx * Sx3 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sx2 + Sx2 * Sx4 * Sx4

A13A42 = Sx4 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx6 + Sx4 * Sx5 * Sx

A13A4 = A13A41 - A13A42

A14A41 = Sx * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx4 * Sx3 + Sx2 * Sx4 * Sx3

A14A42 = Sx3 * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sx2 * Sx5 + Sx4 * Sx4 * Sx

A14A4 = A14A41 - A14A42

DETA4 = Sy * A11A4 - Sxy * A12A4 + Sx2y * A13A4 - Sx3y * A14A4

A11a31 = Sxy * Sx4 * Sx6 + Sx2y * Sx5 * Sx4 + Sx3 * Sx3y * Sx5

A11a32 = Sx3y * Sx4 * Sx4 + Sxy * Sx5 * Sx5 + Sx3 * Sx2y * Sx6

A11a3 = A11a31 - A11a32

A12a31 = Sy * Sx4 * Sx6 + Sx2y * Sx3 * Sx5 + Sx2 * Sx5 * Sx3y

A12a32 = Sx3y * Sx4 * Sx3 + Sy * Sx5 * Sx5 + Sx2 * Sx2y * Sx6

A12a3 = A12a31 - A12a32

A13a31 = Sy * Sx3 * Sx6 + Sx3 * Sx5 * Sxy + Sx2 * Sx4 * Sx3y

A13a32 = Sx3y * Sx3 * Sx3 + Sx2 * Sxy * Sx6 + Sx4 * Sx5 * Sy

A13a3 = A13a31 - A13a32

A14a31 = Sy * Sx3 * Sx5 + Sxy * Sx4 * Sx3 + Sx2 * Sx4 * Sx2y

A14a32 = Sx2y * Sx3 * Sx3 + Sxy * Sx2 * Sx5 + Sx4 * Sx4 * Sy

A14a3 = A14a31 - A14a32

DETA3 = n * A11a3 - Sx * A12a3 + Sx2 * A13a3 - Sx3 * A14a3

A11a21 = Sx2 * Sx2y * Sx6 + Sx3 * Sx3y * Sx4 + Sxy * Sx4 * Sx5

A11a22 = Sx4 * Sx2y * Sx4 + Sx2 * Sx3y * Sx5 + Sxy * Sx3 * Sx6

A11a2 = A11a21 - A11a22

A12a21 = Sx * Sx2y * Sx6 + Sx3 * Sx3 * Sx3y + Sy * Sx5 * Sx4

A12a22 = Sx4 * Sx2y * Sx3 + Sx * Sx3y * Sx5 + Sy * Sx3 * Sx6

A12a2 = A12a21 - A12a22

A13a21 = Sx * Sxy * Sx6 + Sx3 * Sx3y * Sx2 + Sy * Sx4 * Sx4

A13a22 = Sx4 * Sxy * Sx3 + Sy * Sx2 * Sx6 + Sx4 * Sx3y * Sx

A13a2 = A13a21 - A13a22

A14a21 = Sx * Sxy * Sx5 + Sx2 * Sx2y * Sx3 + Sy * Sx4 * Sx3

A14a22 = Sx3 * Sxy * Sx3 + Sx2 * Sy * Sx5 + Sx4 * Sx2y * Sx

A14a2 = A14a21 - A14a22

DETA2 = n * A11a2 - Sx * A12a2 + Sx2 * A13a2 - Sx3 * A14a2

A11a11 = Sx2 * Sx4 * Sx3y + Sx3 * Sx5 * Sxy + Sx3 * Sx4 * Sx2y

A11a12 = Sx4 * Sx4 * Sxy + Sx2 * Sx5 * Sx2y + Sx3 * Sx3 * Sx3y

A11a1 = A11a11 - A11a12

A12a11 = Sx * Sx4 * Sx3y + Sx3 * Sy * Sx5 + Sx2 * Sx2y * Sx4

A12a12 = Sx4 * Sx4 * Sy + Sx * Sx5 * Sx2y + Sx2 * Sx3 * Sx3y

A12a1 = A12a11 - A12a12

A13a11 = Sx * Sx3 * Sx3y + Sy * Sx5 * Sx2 + Sx2 * Sxy * Sx4

A13a12 = Sx4 * Sx3 * Sy + Sx2 * Sx2 * Sx3y + Sxy * Sx5 * Sx

A13a1 = A13a11 - A13a12

A14a11 = Sx * Sx3 * Sx2y + Sx2 * Sx4 * Sy + Sx2 * Sxy * Sx3

A14a12 = Sx3 * Sx3 * Sy + Sx2 * Sx2 * Sx2y + Sxy * Sx4 * Sx

A14a1 = A14a11 - A14a12

DETA1 = n * A11a1 - Sx * A12a1 + Sx2 * A13a1 - Sx3 * A14a1

A4pol = DETA4 / DETpol

A3pol = DETA3 / DETpol

A2pol = DETA2 / DETpol

A1pol = DETA1 / DETpol

PRINT "A4 = "; A4pol

PRINT "a3= "; A3pol

PRINT "a2= "; A2pol

PRINT "a1= "; A1pol

PRINT " Коэффициенты квадратичной функции "

D1 = n * (Sx2 * Sx4 - Sx3 * Sx3)

D2 = Sx * (Sx * Sx4 - Sx3 * Sx2)

D3 = Sx2 * (Sx * Sx3 - Sx2 * Sx2)

DETkvad = D1 - D2 + D3

A31k = Sy * (Sx2 * Sx4 - Sx3 * Sx3)

A32k = Sxy * (Sx * Sx4 - Sx3 * Sx2)

A33k = Sx2y * (Sx * Sx3 - Sx2 * Sx2)

A3kvad = (A31k - A32k + A33k) / DETkvad

A21k = n * (Sxy * Sx4 - Sx2y * Sx3)

A22k = Sx * (Sy * Sx4 - Sx2y * Sx2)

A23k = Sx2 * (Sy * Sx3 - Sxy * Sx2)

A2kvad = (A21k - A22k + A23k) / DETkvad

A11k = n * (Sx2 * Sx2y - Sx3 * Sxy)

A12k = Sx * (Sx * Sx2y - Sx3 * Sy)

A13k = Sx2 * (Sx * Sxy - Sx2 * Sy)

A1kvad = (A11k - A12k + A13k) / DETkvad

PRINT "A3 = "; A3kvad

PRINT "A2= "; A2kvad

PRINT "A1= "; A1kvad

PRINT " Коэффициенты cтепенной функции "

DETst = n * St2 - St * St

b = (Sz * St2 - St * Stz) / DETst

A2st = (n * Stz - Sz * St) / DETst

PRINT "b= "; b

PRINT "A2st= "; A2st

A1st = EXP(b)

PRINT "A1st= "; A1st

REM " Вычисление коэффициентов детерминированности "

PRINT " Коэффициент детерминированности кубической функции "

Soctp = 0

Sрp = 0

FOR i = 1 TO n

yt = A1pol * x(i) ^ 3 + A2pol * x(i) ^ 2 + A3pol * x(i) + A3pol

Soctp = Soctp + (yt - y(i)) ^ 2

Spp = Spp + (yt - ycp) ^ 2

NEXT i

Sp = Soctp + Spp

R2p = 1 - Soctp / Sp

PRINT "R2p= "; R2p

PRINT " Коэффициент детерминированности квадратичной функции "

Soctk = 0

Sрk = 0

FOR i = 1 TO n

yt = A1kvad * x(i) ^ 2 + A2kvad * x(i) + A4kvad

Soctk = Soctk + (yt - y(i)) ^ 2

Spk = Spk + (yt - ycp) ^ 2

NEXT i

Sk = Soctk + Spk

R2k = 1 - Soctk / Sk

PRINT "R2k= "; R2k

PRINT " Коэффициент детерминированности cтепенной функции "

Soctst = 0

Sрst = 0

FOR i = 1 TO n

yt = A1st * (x(i)) ^ (A2st)

Soctst = Soctst + (yt - y(i)) ^ 2

Spst = Spst + (yt - ycp) ^ 2

NEXT i

Sst = Soctst + Spst

R2st = 1 - Soctst / Sst

PRINT "R2st= "; R2st

END

Вывод результатов программы, написанной на языке программирования Qbasic

Коэффициент корреляции

r = -.7707419

Коэффициенты кубической функции

A4 = 3.122272

a3= -14.57152

a2= 22.43726

a1= -11.06395

Коэффициенты квадратичной функции

A3 = 2.084466

A2= -5.964647

A1= 4.133727

Коэффициенты cтепенной функции

b= -3.055763

A2st= -1.76095

A1st= 4.708676E-02

Коэффициент детерминированности кубической функции

R2p= .9677999

Коэффициент детерминированности квадратичной функции

R2k= .8650472

Коэффициент детерминированности cтепенной функции

R2st= .9559788

Вывод

В курсовой работе рассмотрено три варианта теоретической зависимости коэффициента усиления регулятора k от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To тремя способами (в EXCEL, на языке программирования высокого уровня и при построении линии тренда). Вычисления трех независимых расчётов сходятся, следовательно, - расчёты верны.

В связи с тем, что r далек от единицы (r=-0,771), можно сделать вывод, что уравнение линейной функции недостаточно хорошо отображает зависимость экспериментальных данных коэффициента усиления регулятора kp от соотношения постоянных времени регулятора Tp и двигателя To. Сравнивая значения коэффициентов детерминированности, видно, что уравнение степенной зависимости практически полностью отображает экспериментальные данные (рис.4). Но все же коэффициент детерминированности полиноминальной зависимости третьего порядка (рис.3) наиболее близок к единице (0,967), значит данный тип уравнения наилучшим образом показывает взаимосвязь между коэффициентом усиления регулятора k от соотношением постоянных времени регулятора Tp и двигателя To.

Библиографический список

Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н.В. Макаровой. М., Финансы и статистика 1997.

Информатика. Практикум по технологии работы на компьютере / Под ред. проф. Н.В. Макаровой. М., Финансы и статистика. 1997.

В.Б. Комягин. Программирование в Excel-5 и Excel-7 на языке Visual Basic. М., Радио и связь. 1996.

Н. Николь, Р. Альбрехт. Excel 5.0 Электронные таблицы. М., Изд. "ЭКОМ", 1996. Винтер П. Microsoft Word 97: справочник - СПб: Питер, 1998. - 320 с.

Гончаров А. Excel 97 в примерах - СПб: Питер, 1997. - 336 с.

С.Л. Иванов. Повышение ресурса трансмиссий горных машин на основе оценки энергонагруженности их элементов. С-Пб, РИЦ СПГГИ, 1999