Определение

Одно из уточнений понятий алгоритма было дано Э. Постом и А. Тьюрингом независимо друг от друга в 1936-1937гг. Основная мысль их заключалась в том, что алгоритмические процессы - это процессы, которые может свершить подходящим образом устроенная ”машина”. Ими были описаны гипотетические (условные) устройства, которые получили название «Машина Поста» и «Машина Тьюринга»(МТ). Так как в них много общего, то рассмотрим только машину Тьюринга.

Машина Тьюринга состоит из следующих частей:

1. Информационной ленты, представляющей бесконечную память машины. Это бесконечная лента, разделенная на ячейки. В каждой ячейке можно поместить лишь один символ из возможного их множества S={S₁,S₂,….,S_m},которое составляет внешний алфавит МТ. В этом алфавите один из символов (пусть это будет S₁) соответствует пустому символу.

2. Считывающей головки - чувствительного специального элемента, способного обозревать содержимое ячеек. Лента может перемещаться вдоль головки так, что в каждый момент времени головка обозревает одну ячейку.

3. Управляющего устройства (УУ), которое в каждый момент времени находится в некотором состоянии. Число состояний конечно. Обозначим множество состояний как {q₁,q₂,…,q_n}. Среди состояний одно соответствует заключительному, при котором МТ останавливается. УУ связано со считывающей головкой.

Кроме того, УУ вырабатывает три команды на перемещение ленты: П, Л, Н, где

П - переместиться на соседнюю справа ячейку;

Л - переместиться соседнюю слева ячейку;

Н - продолжать обозревать ту же ячейку.

Совокупность символов {q₁,q₂,…,q_n} и {П,Л,Н} образуют внутренний алфавит МТ.

Работа машины происходит в дискретном времени. В начальный момент времени в ограниченный участок ленты записано слово в алфавите S, представляющее исходное условие задачи. В остальных ячейках предполагается записанным пустой символ. Управляющее устройство находится в начальном состоянии q₁. На каждом шаге работы МТ обозревает на ленте символ S_k и в зависимости от него и от состояния q_i, переходит в состояние q_j, заменяет S_k на символ S_l и передвигает ленту (либо нет) на одну ячейку.

Каждая элементарная операция имеет вид

q_iS_k q_jS_l П(Л,Н).

Множество элементарных операций упорядочено и образует абстрактную программу, которая представляет алгоритм.

Считывающая головка и управляющее устройство образуют логический блок, который представляет собой (2,3)-полюсник.

Структура МТ имеет следующий вид:

Q - ячейка хранит символ состояния, а Р - ячейка - символ сдвига. В них происходит задержка данных символов до начала следующего такта.

В качестве начальной информации на ленту можно записать любую конечную последовательность символов (входное слово) U внешнего алфавита. В начале работы алгоритма устройство управления находится в начальном состоянии, головка обозревает первый слева непустой символ входного слова U. Если после конечного числа тактов МТ останавливается, переходя в заключительное состояние, а на ленте оказывается информация B, то говорят, что машина применима к последовательности U и перерабатывает ее в последовательность B.

Если остановка и сигнал об остановке никогда не поступают, то говорят, что МТ не применима к последовательности U.

Рассмотрим функционирование МТ на примере сложения двух чисел, которые будем изображать в виде набора единиц.

Внешний алфавит будет состоять из символов: {1, +, }, где - пустой символ.

Внутренний алфавит будет состоять из четырех символов {q₁, q₂, q₃, !}, где символ q₁ означает начальное состояние, а ! - заключительное состояние.

Пусть на ленте записана начальная информация:

МТ должна ее переработать в результирующую информацию:

Абстрактная программа, реализующий операцию сложения, будет иметь вид:

Начальное состояние УУ=q1, состояние ленты имеет вид:

После первого шага состояние YY=q3, состояние ленты как на рис.

После пятого шага YY перейдёт в состояние q2. Состояние ленты показано на рис.

После десятого шага YY в состоянии q1 (рис. )

Последовательность команд, реализующих операцию сложения, удобно задать таблицей, которую называют функциональной схемой алгоритма.

Основная гипотеза теории алгоритмов (тезис Чёрча)

Всякий алгоритм может быть задан посредством тьюринговой функциональной схемы и реализован в соответствующей машине Тьюринга.

Обоснование гипотезы.

Речь не идет о доказательстве гипотезы, так как она содержит не формализованные математические понятия.

Уверенность в справедливости гипотезы основана, главным образом, на опыте. Все известные к настоящему времени алгоритмы могут быть заданы посредством тьюринговых функциональных схем. Кроме того, внутри самой теории алгоритмов основная гипотеза не применяется, то есть при доказательстве теорем этой теории ссылок на основную гипотезу не делается.

Машина Тьюринга крайне примитивна. Но примитивность ее не в том, что она использует ленту и механическое движение головки, а то, что ее набор операций с памятью очень прост (запись и чтение символов) и что доступ к памяти в ней происходит не по адресу, а путем последовательного перемещения вдоль ленты. Поэтому выполнение на ней даже таких простых функций как сложение и умножение требует много шагов. Машина Тьюринга была придумана не для того, чтобы производить на ней реальные вычисления, а чтобы показать, что сколь угодно сложный алгоритм можно построить из очень простых операций, причем сами операции и переход от одной операции к другой выполняются автоматически.

Универсальная машина Тьюринга

Оценка алгоритма бывает нужной в том случае, когда при решении некоторой задачи есть несколько разных алгоритмов, и стоит задача выбора одного из них для реализации. Даже если задача решается единственным алгоритмом, бывает нужно оценить сложность его реализации и его работы (объём памяти, время решения).

Под пространственной эффективностью понимают объём памяти, требуемой для выполнения программы.

Временная эффективность программы определяется временем, необходимым для ее выполнения. При этом необходимо учитывать следующие моменты.

Во-первых, время работы программы может ограничиваться ее назначением. Если эта программа реального времени, например, бронирования авиабилетов, то время обработки задания не должно превышать нескольких минут. Если эта программа автоматического управления каким-либо устройством (например, управлением самолёта), то она должна «успевать» отрабатывать поступающую информацию и своевременно выдавать управляющие воздействия.

Во-вторых, бывает важно знать, как изменяется время работы программы при увеличении размерности задачи. Это позволит оценить объем исходных данных, которые могут быть обработаны на компьютере за приемлемое время.

Реальное время работы программы на компьютере зависит не только от выбранного алгоритма. В значительной степени оно определяется типом ЭВМ, структурой представления данных, программной реализацией.

Самым простым способом оценить алгоритм - сопоставить ему число элементарных операций в описании. При реализации это может быть число команд в программе или объём памяти, которую занимает программа. В этом случае оценка алгоритма A есть некоторое число k: (A) = k.

Более интересной может быть оценка пары: алгоритма A и конкретной задачи , которая им решается. Например, оценкой может быть объем памяти под программу, исходные и промежуточные данные, необходимые для решения данной задачи , или время для решения данной задачи с помощью алгоритма A. В любом случае это будет число (A()) = k().

Свойство массовости алгоритма предполагает, что алгоритм будет использоваться для решения класса A подобных задач, с разными исходными данными. Поэтому более сложной оценкой будет оценка как функция свойства задачи. Cопоставим каждой задаче из класса задач, решаемым алгоритмом, некоторый вектор числовых параметров задачи N = (n1, n2, …, nt). В этом случае оценка (A(A)) = k(N), и это уже будет функция от параметров задачи.

Пример. Необходимо ценить алгоритм Прима - алгоритм выделения минимального остова. В первом случае мы рассматриваем число операторов в описании программы, реализующий алгоритм - число сравнений, условных переходов и т.д. Во втором случае анализируется работа алгоритма (программы) выделения остова некоторого заданного графа и определяется необходимый объём памяти. В последнем случае графу припишем параметры - число вершин в графе и число его рёбер, и сопоставим решению задачи функцию от этих параметров.

Во многих задачах возможно свести вектор задачи к одному параметру. Так, для графа возможно характеризовать его числом вершин, учитывая, что число ребер в нём коррелированно с числом вершин. Для задач, связанных с булевыми функциями, параметром может быть число аргументов функции.

Будем рассматривать только такие задачи. В этом случае оценкой алгоритма будет функция от одного параметра. Временная сложность алгоритма отражает требующиеся для его работы затраты времени Эта функция вставит каждой входной длине n в соответствие максимальное ( по всем индивидуальным задачам длины n) время, затрачиваемое алгоритмом на решение индивидуальных задач этой длины.

Пример. Пусть функция оценки имеет вид как на рис.1. Необходимо решать задачи с параметром n, лежащим в пределах от 5 до 15. В этом случае необходимо выбрать для реализации алгоритм A1. Если параметр меняется от 20 до 30, лучше использовать алгоритм A2. Если параметр меняется в пределах от 10 до 35, то возможно или выбрать любой из данных алгоритмов, или построить новый алгоритм, который, например, проверяет каждый раз значение параметра и выбирает соответствующий алгоритм.

Предположим, что можно рассмотреть все возможные алгоритмы A_i решения задачи и для каждого параметра n оценить задачу двумя оценками ₁() = min ((A_i ())) и ₂() = max ((A_i ())), где min и max берётся по всем алгоритмам . В этом случае получим две границы решения данной задачи - нижнюю и верхнюю (рис.2). Этот рисунок определяет тот разброс сложности решений задачи и помогает ответить на вопрос: нужно ли тратить силы на поиск хорошего алгоритма или достаточно взять первый попавшийся.

Очень часто возможно оценить исходя из анализа самой задачи вид функции оценки с точностью до некоторого сомножителя - константы. В этом случае эта оценка будет не только оценка алгоритма, но и оценка задачи.

Функция f (n)есть O(g(n)), если существует константа с, такая, что f (n)< O(g(n)) для всех значений n>0.

По виду этой функции алгоритмы разделяются на следующие группы:

с линейной оценкой сложности, если функция =C·n;

с квадратичной сложностью, если = C · n²;

с полиномиальной сложностью, если = C0 + C1·n +…+ Ck · n^k;

с факториальной сложностью, если =C·n!;

с экспоненциальной сложностью, если = C · a ⁿ;

с гиперэкспоненциальной сложностью, если = C · a ^t, где t = a ⁿ.

Здесь C, a и k = некоторые константы, при этом число C может быть очень большим.

Практические и NP-полные алгоритмы

По виду функций алгоритмы (и соответствующие задачи) делятся на два класса. К первому относятся алгоритмы групп 1-3, когда для полиномиальных алгоритмов k? 7. Эти алгоритмы называются практическими. Все другие алгоритмы составляют второй класс и называются NP - полными.

В табл. 1 приведена зависимость времени работы алгоритмов различной сложности для задач различной размерности, при условии, что время выполнения одной операции во всех алгоритмах одинаковы. Из таблицы видно, что для полинома, степени 5 задачу размерности 6о решить можно за приемлемое время, в то же время для экспоненциальных алгоритмов уже для размерности, больше 30 задача не решается.

Рост скорости вычислений не уменьшит значение эффективных алгоритмов, что иллюстрирует табл. 2..

Если доказано, что задача является NP - полной, то это означает, что её решение для параметров, имеющих практическое значение, связано с огромными затратами времени или памяти, которые не позволят получить решение. В этом случае необходимо переформулировать задачу. Например, задача поиска минимальной формулы для булевой функции является задачей NP - полной, поэтому при проектировании схем, где эта задача встречается, решают задачу, которую формулируют как поиск функций, близкой к минимальной, для чего пользуются эвристическими алгоритмами, основанными на предположениях здравого смысла. Так, если решается задача размещения объектов в некотором блоке, то разумно начинать размещение с самого большого объекта. В этих алгоритмах не всегда гарантируется получение минимального решения, но если для большинства задач оценка отличается не больше, чем на 10-15% от минимального, то это часто устраивает пользователей.

Пpимеp. Оценим сложность алгоритма Прима поиска минимального остова в графе. Пусть граф описан матрицей смежности.

Алгоритм. Выберем любую вершину и включим её в остов. Рассмотрим связанные с ней ребра. Найдём вершину, связанную с включённой в остов ребром минимального веса и включим её в остов. Для вершин, включённых в остов, рассмотрим связанные с ними рёбра к вершинам, не включённым в остов. Выберем вершину, связанную ребром минимального веса и включим её в остов. Эту процедуру продолжим до тех пор, пока все вершины не будут включены в остов.

Для матричного представления алгоритм примет, следующий вид. Выберем любую вершину и в соответствующей ей строке матрицы найдём ячейку с минимальным весом. Эта процедура потребует n сравнений, где n- порядок матрицы (число вершин в графе). Имя столбца этой ячейки определяет вершину, которую нужно включить в остов. Объединим эти вершины в одну, соответствующую вершинам, включённым в остов. Для этого рассмотрим строки и столбцы этих вершин. Если в i-й ячейке одной из строк не нулевое число, оно запишется в результирующую строку, если ненулевое значение в обеих строках, в результирующую запишем минимальное. Таким образом, для «обработки» одной вершины потребуется число операций, кратных 2 n. Число вершин в рассматриваемом графе сократится на единицу. Повторим то же самое для результирующей строки, пока число вершин не станет равной единицы. Значит, общее число операций оценивается числом, пропорциональным n², т.е. оценка имеет квадратичную сложность = C · n².

Алгоритмически неразрешимые проблемы