Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.Н.ТУПОЛЕВА - КАИ»

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

«Статистические методы в теории связи»



1. Теоретическая часть

Понятие о сигнале и помехах в радиосвязи основываются на трудах: Ральфа Хартли - «Теория количественной оценки информации» (1928г.), А.Н. Колмагорова - «Статистическая теория колебаний» (1941г.), академика В.А. Котельникова - «Теорема отсчётов» (1932г.), «Теория потенциальных помехоустойчивости и оптимального приёма сигнала» (1946г.), Клода Шеннона - «Математическая теория связи» (1948г.), Ж.Вантрис и Мидлтон (Левин и Стратонович) - «Теория обнаружения и модуляции сигнала».

Отыскание оптимальных способов выделения полезной информации из смеси полезных и мешающих сигналов, с произвольной пунктуацией параметров, является ключевой теорией оптимальных приёмов сигналов. При этом в момент приёма входного колебания это число сигналов и их параметры являются неизвестными, но подчиняются определённым статистическим закономерностям. Поэтому в качестве основной математической модели случайных сигналов используется модель случайного процесса с определённым образом выбранными (вычисленными) вероятностными характеристиками.

Белый шум - это дельтокорреляционный (дельтокоррелированный) случайный процесс. Алгоритм обработки по выделению из входного колебания полезного сигнала формируют апостериорные данные, на основе которых выносится решение о справедливости той или иной гипотезы. Для решения таких задач используются статистические методы, основанные на Байесовской методологии теории статистических решений. При этом обеспечивается как выделение полезной информации, так и учёт априорной информации о сигналах и помехах, параметры которых во времени меняются случайным образом.

Все решения формируются по наблюдаемой реализации U(t) а статистические гипотезы предварительно формируются относительно количества сигналов и их параметров.

Класс алгоритмов, которые эффективно реализуются в системе связи:

1. Оптимальное обнаружение сигналов.

2. Фильтрация сигналов: свёртка, корреляция, калмановская фильтрация, обработка изображений (выделение объектов, фронтальные вычисления, фоновая обработка).

3. Матричная алгебра (векторно-матричная операция, стохастическая оценка параметров, восстановление функции)

4. Функциональное преобразование: БПФ (быстрое преобразование Фурье), ОБПФ, преобразование Уолша и Гилберта, по функциональным ортогональным базисам.

Специфика систем радиосвязи и характер радиоканалов предъявляют высокие требования к помехоустойчивости, которые решаются разными способами. Это обужение диаграмм направленности антенн, адаптивная пространственная фильтрация, использование спектрально-эффективных методов модуляции (прямое расширение спектр-сигналов, OFDM), введение информационной избыточности в структуру передаваемых кодов, синтез (разработка) алгоритмов оптимальной обработки инвариантных (приспосабливаемых) к видам вероятностных распределений сигналов и помех.

2. Примеры расчета

Пример №1

Вычислим порог для критерия Котельникова:



Рисунок 1

Для аналитического обнаружения порога рассмотрим:

Пример №2

Обнаружить цель двумя РЛС (радиолокационная станция) независимо. Априорная вероятность обнаружения цели 1-й станции равна 0,7; 2-й равна 0,8. Нужно определить вероятность обнаружения хотя бы одной станции.

Решение: В таких задачах зондирующий импульс детерминированный, случайная помеха отсутствует. Нет необходимости вычислять правдоподобие. Задача сводится к вычислению элементарных событий. Соответственно, вероятность обнаружения:

P(A) = 0,7

P(B) = 0,8

P(AB)= P(A)*P(B) = 0,7*0,8 = 0,56

P(C) = P(A+B)=P(A) + P(B) - P(AB)= 0,7+0,8-0,56= 0,94

Ответ: вероятность обнаружения одной станции P(C)=0,94.

Пример №3:

Генерируется два сигнала и расстояние наблюдается на интервале от 0 до t, скважность между двумя импульсами равна , вводится ограничение: если разница то приемник перегружается и выносит ошибочное решение. это случайные моменты поступления любых импульсов поступающих независимо от источника 1 и источника 2. Поступления от источников равновероятные. Задача определить вероятность события Р(А), что приемник будет перегружен.

Решение:

ф₁, ф₂ - представляем в виде декартовых координат, а область возможных значений поступлений ф₁/ф₂ есть T²

Рисунок 2

Решение задачи сводится к отношению ошибочной и полезной областей, область перезагрузки приемника находится в заштрихованной области. При сближении ф₁ и ф₂ область перегрузки уменьшается, говоря о высокой разрешающей способности приемника. Площадь заштрихованной области равняется s, тогда искомая вероятность есть отношение:

S= T²

s= T²-(T- ф)²

ф= 0,5 c, P(A)=0,75

Оптимальное обнаружение детерминированного сигнала с учётом критических ошибок.

На вход приёмника поступает либо случайный процесс в виде шума n(t), либо сумма полезного сигнала и помехи f(t).

Рассмотрим две гипотезы:

1) сигнал + помеха;

2) только помеха.

Априорные вероятности этих гипотез принимаются равновероятными.

Помеха n(t) при стрессовых Гауссовским шумом нулевым и средним и с выборочной дисперсией. В момент времени производится измерение входного процесса и по полученному значению алгоритм принимает решение: был на входе сигнал или не было. Кроме выборочного среднего и выборочной дисперсии иногда используется корреляционный момент. Из-за случайного характера процесса приёма решение в пользу гипотез и сопровождаются ошибками двух видов: ошибка первого рода (когда отвергается правильная гипотеза) носит название ложная тревога F; ошибка второго рода (когда принимается не правильная гипотеза) носит название пропуск сигнала H.

Пример №4.

Три источника сигнала генерируют на базовую станцию свои сигналы.

Стоит задача определить вероятность потери связи . Каждый источник из-за воздействия помех может потерять связь с базовой станцией.

Решение:

Назначим априорные вероятности потерь помехоустойчивости по каждому источнику:

Возникает задача проверки гипотез, которые ведут к событию A. Гипотеза - помехоустойчивость упала у одного источника.

Гипотеза - помехоустойчивость упала у двух источников.

Гипотеза - помехоустойчивость снизилась у всех трёх источников.

Предположим, что если помехоустойчивость снизилась у одного из источников, то вероятность потери связи равна 0,25.

Если только у двоих источников, то будет равняться 0,4. Если же у всех трёх, то это число будет 0,5.

Ответ: вероятность потери связи

Пример №5

Апостериорная вероятность гипотез.

По каналу связи передаются сигналы в виде кодовых комбинаций S₁ и S₀ с априорными вероятностями их передачи P₁=0.7 и Р₂=0.3. Из-за наличия помех вероятность правильного каждого символа в группе уменьшается до 0.6. Искажения кодовой комбинации происходит независимо друг от друга. Фиксируем прием символов: U=10110

Определить какая команда была передана.

S₁=11111P₁=0.7

S₀=00000Р₂=0.3

P₀=0.6

U=10110 H₁>S₁

H₀>S₀

Решение:

P(A(H₁))=0,6*0,4*0,6*0,6*0,4=0,035

P(A(H₀))=0,4*0,6*0,4*0,4*0,6=0,023

P(H₁(A))= =

P(H₀/A)=0,22 > H₁

Пример 6

Имеется множество абонентов - 1000, которые разбросаны по терминалам 2G, 3G, 4G, 5G и разбросаны по трем категориям Home, Corp, VIP

Рисунок 3

Абоненты взаимодействуют с БС образуя группу событий:

А₁- БС обрабатывает сигнал абонента группы 2G

А₂- БС обрабатывает сигнал абонента группы 3G

А₃- БС обрабатывает сигнал абонента группы 4G

А₄- БС обрабатывает сигнал абонента группы 5G

Таблица 1

	Событие А
Событие В	T\G	2G	3G	4G	5G	Всего
	H	50	300	90	0	440
	C	50	50	0	100	200
	V	0	150	60	150	360
	100	500	150	250	1000

1. Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала каждого из 4-х стандартов?

Возможно всего 4 исхода:

Р_2G==0,1; Р_3G=0,5(Р(А)); Р_4G=0,15; Р_5G=0,25

2. Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала любого из 4-х стандартов, но определенной группы?

Возможны всего 3 исхода:

P_Home=; Р_corp= 0,5; Р_VIP = 0,36(P(B))

3. Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала VIP абонента стандарта 3G? Таких всего 150 человек.

Р(А) = Р_{VIP 3G}==0,15

Примечание: если это событие Р(А) вычислять как произведение:

Р(АВ) = Р_3G* Р_VIP=0,5*0,36=0,18 ? 0,15

следовательно, так считать нельзя.

Нужно вычислять условные вероятности Р(А/В)

Р(А/В) = P(3G/VIP)==0,417

- условная вероятность выбора сигнала стандарта 3G из группы VIP

P(AB)=P(B)P(A/B)=0,36*0,417=0,15

- условная вероятность выбора сигнала группы VIP из стандарта 3G

P(В/А)==0,3



P(AB)=P(А)P(В/А)=0,5*0,3=0,15

- вероятность обработки базовой станцией сигнала VIP абонента стандарта 3G

4. Базовая станция равновероятно обрабатывает сигнал какого-то абонента.

Какова вероятность, что этот сигнал принадлежит группе «Home»?

У нас выбор сигнала по 4-м стандартам равновероятен, т.е.

Р(А₁)= Р(А₂)= Р(А₃)= Р(А₄)=0,25 - априорные вероятности

P(В)- полная вероятность принадлежности сигнала к группе «Home».

Следовательно,

P(B/A₁)==0,5; P(B/A₂)==0,6; P(B/A₃)==0,6; P(B/A₄)==0;

Р(В)= А_i)Р(В/ А_i)=0,5*0,25+0,6*0,25+0,6*0,25+0*0,25=0,425

5. Предположим, что принятый (обработанный) сигнал принадлежит группе Home

Какова вероятность того, что он был сгенерирован 3G-абонентом?

P(A₂/В)= = = 0,352

3. Практическая основа моделирования в Matlab

Задание 1. Демодуляция АМ-сигнала

Порядок выполнения работы:

1) Зададим временной массив t: 0?t?1;

2) Зададим линейные частоты модулирующего и несущего колебаний.

3) Зададим амплитуду несущего сигнала . Для модулирующего сигнала зададим амплитуду , постоянную составляющую , и начальную фазу колебаний .

4) Зададим коэффициент модуляции m: 0<m?1 (при m>1 наступает перемодуляция (избыточная модуляция)), простые демодуляторы (типа квадратичного детектора) демодулируют такой сигнал с сильными искажениями.

5) Сгенерируем несущий сигнал и модулирующий сигнал, используя входные параметры:

;

;

6) Сгенерируем амплитудно-модулированный сигнал :

;

Т.к. то:

;

7) Сгенерируем массив случайных величин (соразмерный с массивом t), распределенных по нормальному закону в интервале (0, 1) [белый шум ]. Зададим его амплитуду . В канале связи будет создаваться аддитивная помеха, т.е. сигнал на входе приемника будет иметь вид:

;

8) Проведем фильтрацию принимаемого сигнала .

Операция линейной дискретной фильтрации в общем случае описывается следующим образом:

;

-- отчёты входного сигнала;

-- отчёты выходного сигнала;

-- постоянные коэффициенты;

Максимальное из чисел и называется порядком фильтра.

Рис. 4. Цифровой рекурсивный фильтр

Передаточная функция фильтра имеет вид:

;



В среде MatLab используется функция .

9) Зададим параметры фильтра:

;

;

Проведем операцию демодуляции принимаемого сигнала.

10) Вычислим отношение сигнал/шум по формуле:

;

Листинг программы

clear all;

% Заданные параметры

t=0:0.001:1;% Массив отсчетов времени

fc=150; % Частота несущего сигнала

fm=10; % Частота модулирующего сигнала

Uc0=2; % Амплитуда несущего колебания

Um0=5; % Амплитуда модулирующего сигнала

U0=2; % Постоянная составляющая модулирующего сигнала

Un0=0.1; % Амплитуда белого шума

fi0=pi/3; % Начальная фаза модулирующего колебания

m=1; % Коэффициент модуляции

b=ones(1,3);% Коэффиент b цифрового фильтра

a=1; % Коэффициент a цифрового фильтра

%Вычисления

Uc=Uc0*cos(2*pi*fc*t); %Несущее гармоническое колебание

Um=U0+Um0*cos(2*pi*fm*t+fi0); %Модулирующий гармонический сигнал

Uam=Uc0.*(1+m*Um/max(abs(Um))).*cos(2*pi*fc*t); %АМ-сигнал

Un=Un0*randn(size(t)); %Белый шум с МО=0 и СКО=1

Ud=Uam+Un; %Сигнал + шум

Udmd=filter(b,a,abs(Ud)); %Демодулированный сигнал

%Построения графиков

subplot(5,1,1),plot(t,Um),title ('Модулирующий сигнал')

subplot(5,1,2),plot(t,Uc,title ('Несущее колебание')

subplot(5,1,3),plot(t,Uam),title ('АМ сигнал')

subplot(5,1,4),plot(t,Ud), title ('Сигнал + шум')

subplot(5,1,5),plot(t,Udmd),title ('Отфильтрованный сигнал')

Рисунок 5

Задание 2. Фильтрация сигналов для демодуляции амплитудно-манипулированных сигналов в гауссовских каналах связи.

Проделаем задание 2 аналогично заданию 1 с той лишь разницей, что в качестве модулирующего сигнала будет выступать битовая последовательность.

Длительность импульса с;

Листинг программы

clear all;

%Заданные параметры

t=0:0.05:1; %Массив отсчетов времени

fc=25; %Частота несущего сигнала

fm=fc/5; %Частота модулирующего сигнала

Uc0=7; %Амплитуда несущего колебания

Um0=13; %Амплитуда модулирующего сигнала

U0=3; %Постоянная составляюща модулирующего сигнала

fi0=pi/2; %Начальная фаза модулирующего колебания

%Вычисления

%Битовая последовательность U_m

for i=1:1:length(t)

if t(i) > 0&& t(i)<0.05

d(i) = 0;

elseif t(i) > 0.01&& t(i)<0.1

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.2&& t(i)<0.4

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.45&& t(i)<0.6

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.6&& t(i)<0.9

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.9

d(i) = 0;

end

end

U_m=d;

Uc=Uc0*cos(2*pi*fc*t); %Несущее колебание

Uam=Uc0.*(1+m*Um/max(abs(Um))).*cos(2*pi*fc*t); %АМ-сигнал

Un=Un0*randn(size(t));%Белый шум

Ud=Uam+Un;%Белый шум + АМ-сигнал

Udmd=filter(b,a,abs(Ud));%Демодулированный сигнал

%Графики

subplot(1,1,1),plot(t,Um),title ('Сигнал')

subplot(1,1,2),plot(t,Uc),title ('Несущее колебание')

subplot(1,1,3),plot(t,Uam),title ('AM сигнал')

subplot(1,1,4),plot(t,Ud),title ('Сигнал и шум'),

subplot(1,1,5),plot(t,Udmd),title ('Отфильтрованный сигнал')

Рисунок 6



Рис. 7. Временное представление модулирующей битовой последовательности, детектируемого сигнала и демодулированного сигналов

Задание 3. Обнаружение детерминированного импульсного сигнала на фоне АБГШ.

Проделаем задание 2 аналогично заданию 1 с той лишь разницей, что в качестве модулирующего сигнала будет выступать битовая последовательность. Длительность импульса с;

Порядок выполнения работы:

1) Введём известные данные и посчитаем порог Байса для принятия решения :

;

;

;

;



;

- гипотеза о том, что в сигнале присутствует ;

- гипотеза о том, в сигнале отсутствует ;

2) Из теории проверки статистических гипотез имеем:

Условная плотность распределения процесса в дискретные моменты времени t₁,…,t_m имеет вид при наличии сигнала:

w(y₁,…,y_m, t₁,…,t_m/s(t)?0)=

при отсутствии сигнала:

w(y₁,…,y_m, t₁,…,t_m/s(t)=0)= ,

где y₁,…,y_m - значение процесса в моменты времени t₁,…,t_m. Приведенные плотности распределения позволяют построить процедуру проверки гипотез о наличии или отсутствии сигнала, когда на вход приемника поступает аддитивная смесь сигнала и шума, распределенного по нормальному закону.

Необходимо проверить соотношение:

Так как помеха, сгенерированная в задании 2, имеет математическое ожидание МО=0 и среднеквадратическое отклонение СКО=1, то:



, следовательно, на основании критерия Байеса принимается гипотеза (в сигнале присутствует ).

Листинг программы

clear all;

%Заданные параметры

t=0:0.001:1; %Массив отсчетов времени

fc=25; %Частота несущего сигнала

fm=fc/5; %Частота модулирующего сигнала

Uc0=7; %Амплитуда несущего колебания

Um0=13; %Амплитуда модулирующего сигнала

U0=3; %Постоянная составляюща модулирующего сигнала

fi0=pi/2; %Начальная фаза модулирующего колебания

%Вычисления

%Битовая последовательность U_m

for i=1:1:length(t)

if t(i) > 0&& t(i)<0.05

d(i) = 0;

elseif t(i) > 0.01&& t(i)<0.1

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.2&& t(i)<0.4

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.45&& t(i)<0.6

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.6&& t(i)<0.9

d(i) = 1;

elseif t(i) > 0.9

d(i) = 0;

end

end

U_m=d;

Uc=Uc0*cos(2*pi*fc*t); %Несущее колебание

Uam=Uc0.*(1+m*Um/max(abs(Um))).*cos(2*pi*fc*t); %АМ-сигнал

Un=Un0*randn(size(t));%Белый шум

Ud=Uam+Un;%Белый шум + АМ-сигнал

Udmd=filter(b,a,abs(Ud));%Демодулированный сигнал

U1=Un.^2;

U2=Um.^2;

U3=U1+U2;

U4=U3';

L=sum(U4);

%Графики

subplot(1,1,1),plot(t,Um),title ('Сигнал')

subplot(1,1,2),plot(t,Udmd),title ('Сигнал и шум')

subplot(1,1,3),plot(t,Udmd),title ('Отфильтрованный сигнал')

subplot(1,1,4),plot(t,L), title ('График правдоподобия')



Рисунок 8

Согласованная фильтрация сигнала.

Порядок выполнения работы:

1) Зададим в окне Workspace в среде MatLab параметры, необходимые для решения задачи:

Частота синусоидального радиосигнала;

Время начала генерации импульсного сигнала;

Длительность модулированного импульса;



Масштабированный период радиосигнала (используется при умножении сигналов);

Циклическая частота синусоидального сигнала;

Полоса пропускания полосового фильтра;

2) В среде Simulink составим блок-схему, реализующую согласованную фильтрацию сигнала:

Рис 9. Блок-схема согласованной фильтрации сигнала

Таблица 2. Элементы блок-схемы

	Генерирует колебание
	Перемножает входные сигналы;

Рисунок 10

Сигналы

Рисунок 11

Блок передаточной характеристики задает передаточную функцию в виде отношения полиномов (задаем формулу Полосового фильтра):



,

где nn и nd Ї порядок числителя и знаменателя передаточной функции;

num Ї вектор или матрица коэффициентов числителя;

den Ї вектор коэффициентов знаменателя;

и -- преобразования Лапласа для сигналов (входной сигнал) и (выходной сигнал),

;

Рисунок 12. Сдвигает сигнал во времени на

Рисунок 13. Складывает сигналы, поступающие на входы «+», и вычитает сигналы, поступающие на входы «-»



Рис. 14. Сигналы на экране осциллографа из Рис. 6.

радиосвязь сигнал фильтрация амплитудный



Список использованной литературы

1. Краткая сводка по Matlab Н.Ю. Золотых

2. Статистические модели и методы обработки сигналов в системах радиосвязи: Учебное пособие / Ш.М.Чабдаров, Р.Р.Файзуллин, А.Ф.Надеев, Р.Х.Рахимов, А.Ю.Феоктистов; Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 1997. 90с.

3. Файзуллин Р.Р. Комплексный подход к решению задач синтеза и анализа эффективности алгоритмов и мультипроцессорных устройств обработки сигналов мобильных мультисервисных систем. Нелинейный мир, No2, т.9. М.: ЗАО ?Издательство ?Радиотехника?, 2011. стр. 78 - 85.

4. Файзуллин Р.Р., Кадушкин В.В., Воробьев М.С. Полигауссовый квазиоптимальный алгоритм многопользовательского разрешения сигналов. Нелинейный мир, No10, т.12. М.: ЗАО ?Издательство ?Радиотехника?, 2014. стр. 27 - 31

5. Michel C. Jeruchim, Philip Balaban, K. Sam Shanmugan Simulation of Communication Systems: Modeling, Methodology and Techniques (Information Technology: Transmission, Processing and Storage) Hardcover - October 31, 2000

6. Richard W. Daniels, An introduction to numerical methods and optimization techniques / Elsevier North-Holland - 1978

7. Devashish Raval, Nilesh Ranpura, Ekata Mehul, Zuber Saiyed, Simulation of unified architecture of IEEE 802.11a and 802.16a PHY layers using

8. MATLAB / International Journal of Computer Science & Emerging Technologies (E-ISSN: 2044-6004) 272, Volume 2, Issue 2, April 2011

9. Samaneh Shooshtary, Environment for Vehicle-to-Vehicle and Infrastructure Communication Based on IEEE 802.11p / Development of a MATLAB Simulation Vienna, December 2008

Размещено на Allbest.ru