. (93)

Если гипотеза неверна, то XІ > ? при n > ?. Значит, гипотеза Н₀ должна быть отвергнута, если полученное в опыте значение XІ слишком велико. Термин "слишком велико" означает, что наблюденное значение XІ имеет малую вероятность, то есть превосходит критическое значение, которое можно взять из таблиц распределения хи-квадрат. Так как вероятность Р ( ? XІ) - малая величина, то маловероятно случайно получить такое же, как в опыте, или еще большее расхождение между вектором частот и вектором вероятностей.

Асимптотический характер теоремы Пирсона, лежащий в основе этого правила, требует осторожности при его практическом использовании. На него можно полагаться только при больших n. Достаточно велико должно быть и n, и все произведения np_i. Проблема применимости аппроксимации (непрерывное распределение) к статистике XІ, распределение которой дискретно, оказалась сложной. Согласно имеющемуся опыту, аппроксимация применима, если все ожидаемые частоты np_i > 10. Если число различных исходов k велико, граница для np_i может быть снижена (до 5 или даже до 3, если k порядка нескольких десятков). Чтобы соблюсти эти требования, на практике порой приходится объединять несколько исходов и переходить к схеме Бернулли с меньшим k.

Вопрос о сравнении наблюденных в опыте частот с теми, которые предписывает теория (ради проверки этой теории) возникает во многих задачах. Рассмотрим способ сопоставления наблюдаемых частот с частотами, рассчитанными по модели. Обозначим наблюдаемые частоты через Н; ожидаемые (теоретические) частоты - Т. Если модель правильно описывает действительность, числа Н и Т должны быть близки друг к другу, сумма квадратов отклонений (Н - Т) І не должна быть большой. Разумно в общую сумму отдельные слагаемые вносить с различными весами, поскольку чем больше Т, тем больше Н может от него отклоняться за счет действия случая без отступления от модели. В качестве меры близости наблюдаемых и ожидаемых частот используется величина:

, (94)

где сумма берется по всем ячейкам таблицы сопряженности, служащая мерой согласия опытных данных с теоретической моделью. Если в конкретном опыте величина XІ оказывается чрезмерно большой, считают, что ожидаемые частоты слишком сильно отличаются от наблюдаемых и отвергают нулевую гипотезу.

В качестве случайных величин в работе выступают распределения Релея и Релея-Райса, что обусловлено видом распределения случайных величин при последетекторной обработке. Огибающая смеси сигнала и шума имеет распределение Релея-Райса, а огибающая только лишь шума - Релея. Однако это не ограничивает использование смоделированного датчика, поскольку алгоритм проверки критерием Хи-квадрат универсален для различных распределений.

Рисунок 39 - Эмпирическая и теоретическая плотности распределения Релея-Райса

Рисунок 40 - Эмпирическая и теоретическая плотности распределения Релея

Рисунок 41 - Эмпирическое и теоретическое распределения Релея

Результатом тестирования является однозначное решение в пользу гипотезы о принадлежности рассматриваемой выборки теоретическому распределению, либо противоположной гипотезы.

9. Заключение

В ходе работы были исследованы четыре асимптотически оптимальных алгоритма, настроенные для обнаружения на фоне нормальной и лапласовской помех, два из которых являются ранговыми. В качестве обнаруживаемого сигнала выступает узкополосный, модулированный по амплитуде и фазе сигнал со случайной начальной фазой, что подразумевает некогерентный прием. Исследуется как до, так и последетекторный обнаружитель, основанный на данных алгоритмах.

Полученные экспериментально характеристики верного обнаружения сигнала от отношения сигнал/шум подтверждают с той или иной точностью тенденцию выигрыша оптимального для данной помехи алгоритма над неоптимальными, что подтверждено расчетами коэффициента асимптотической оптимальной эффективности. Также подтверждена идентичность характеристик АО ранговых и АО неранговых алгоритмов, настроенных на одну и ту же помеху. Показано, что характеристики алгоритмов при последетекторном приеме значительно снижаются (порядка 7 дБ), что связано с тем, что они перестают быть асимптотически эффективными.

Наибольшей устойчивостью по итогам моделирования обладает алгоритм Ван-дер-Вардена, настроенный на гауссову помеху: проигрыш составил - 1.49 дБ. Наихудшую устойчивость демонстрирует линейный алгоритм в условиях сравнения со знаковым алгоритмом - 2.03 дБ. При рассмотрении работы алгоритмов на фоне помех с показателями б=3,4 можно заключить, что ранговые алгоритмы более устойчивы к изменению помеховой обстановки. В рамках последетекторного обнаружения лучший результат демонстрирует линейный алгоритм, проиграв лишь 6,21 дБ додетекторному обнаружителю.

Полученные экспериментально данные близки к ожидаемым на основании теории значениям. Расхождение теоретических и экспериментальных данных оценено с помощью доверительных интервалов.

10. Список литературы

1. Цикин И.А. Оптимальная обработка сигналов в радиотехнических системах. Л.: ЛПИ им.М.И. Калинина, 1986.77 с.

2. Сидоров Ю.Е. Статистический синтез автоматизированных решающих систем при априорной неопределённости. М.: Военное издательство, 1993.232 с.

3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники: В 3-х кн. М: Сов. радио, 1976. Книга третья.288 с.

4. Курс "Введение в статистическую радиотехнику" для студентов РФФ (6-й семестр). 2002-2003 учебный год (http://www.cde. spbstu.ru/cd_ed/consulting/its/Lectures/5. rar).

5. http://www.mathworks.com/help/search/doc/en/R2011a официальный сайт Mathworks (31.01.12)

6. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб: Питер, 2003

7. Шеломовский В. В Электронный учебник по дисциплине "Математическая статистика", Мурманский федеральный государственный педагогический университет

8. Райфельд М.А. Использование устойчивых показателей зависимости наблюдений при адаптации ранговых критериев // Известия ВУЗов России, Радиоэлектроника, 2009, вып.1, с.63-67.

9. Бирюков М.Н. Выражения математического ожидания, дисперсии и условных вероятностей знаковых и ранговых обнаружителей Неймана-Пирсона в шуме и потоке помех // Радиотехника, 2006, №6, с.101-106.

10. Жиганов С.Н., Костров В.В. Алгоритмы обнаружения сигналов с постоянным уровнем ложных тревог // Радиотехника, 2006, №6, с.111-114.

11. Бирюков М.Н. Синтез непараметрических обнаружителей Неймана-Пирсона в условиях совместного воздействия шума и размытого (интенсивного) потока помех // Радиотехника, 2007, №6, с.68-71.

12. Баринов С.П. Характеристики обнаружителя радиосигнала при наличии имитирующих помех и гауссовского шума // Радиотехника, 2007, №7, с.49-51.

13. Пильч В.А., Сидоров Ю.Е. Непараметрические решающие процедуры в системах обработки информации. Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. Радиофизический факультет. СПб, изд. СПбГПУ, 2008, с.22-24.

14. Лаврентьев Н.В., Сидоров Ю.Е. Исследование помехоустойчивости обнаружителей радиосигналов. Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. Радиофизический факультет. СПб, изд. СПбГПУ, 2008, с.24-25.

15. Шумилов А.В., Сидоров Ю.Е. Ранговый обнаружитель импульсных сигналов в неизвестных шумах. Материалы Всероссийской межвузовской научно-технической конференции студентов и аспирантов. Радиофизический факультет. СПб, изд. СПбГПУ, 2008, с.30-31.

16. Остроумов И.В., Кукуш А.Г., Харченко В.П. Оценка вероятности правильного распознавания по правилу Байеса при неточно известной плотности распределения // Известия высших учебных заведений: Радиоэлектроника 2007, Киев, т.50, № 11, с.60-68.

17. Сидоров Ю.Е., Гарбар К.А. Статистическое имитационное моделирование обнаружителя некогерентной пачки импульсов // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2009, № 3, С.61 - 68.

18. Сидоров Ю.Е., Пильч В.А. Ранговый обнаружитель импульсного сигнала на фоне шумов с неизвестным распределением // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2009, №4. С.71 - 76.

19. Сидоров Ю.Е., Лаврентьев Н.В. Оптимальный обнаружитель радиосигналов: решающее правило, статистическое имитационное моделирование // Труды СПбГТУ, 2008, №507. С.118 - 124.

20. Сидоров Ю.Е., Бельченко Ю.Г. Оптимальный обнаружитель узкополосного сигнала с неизвестной несущей частотой // Научно-технические ведомости СПбГПУ, 2009, № 3. С.74 - 80.

Приложения

Приложение А

Моделирование знакового алгоритма (остальные по аналогии)

function P=SignStat (a, n, lambda, C, m)

% функция реализует алгоритм обнаружения сигнала S на фоне помехи N с

% используется знаковый алгоритм

f1=100; %частота несущей

f2=10; %частота АМ

f3=6; %частота ФМ

fs=2000; %частота дискретизации

dt=1/fs; %период дискретизации

k= [1: n];

Fi=2*pi*rand; %равномерно распределенная на (0, 2Пи) случайная фаза

at=1-0.6*sin (2*pi*f2*dt*k); %амплитудная модуляция a (t)

ft=sin (2*pi*f3*dt*k); %фазовая модуляция

S1=at. *cos (2*pi*f1*dt*k+2*pi*ft); %синусоидальная составляющая узколосного сигнала

S2=at. *sin (2*pi*f1*dt*k+2*pi*ft); %косинусоидальная составляющая узколосного сигнала

F1=cos (Fi); %составляющая со случайной фазой

F2=sin (Fi); %составляющая со случайной фазой

s1=F1. *S1;

s2=F2. *S2;

S= (s1+s2); %узкополосный сигнал

E=S. *S; % почленное перемножение

Energy=sum (E); %энергия сигнала

N=zeros (m,n); %резервирование

X=zeros (m,n);

for i=1: m

y=rand (1,n); %случайная величина, распред. равномерно на (0,1)

for j=1: n

if y (1,j) <0.5

N (i,j) =log (2*y (1,j));

else N (i,j) =-log (2* (1-y (1,j)));

end;

end; %шумовые отсчёты (по Лапласу)

end;

%for i=1: m

% N (i,:) =randn (1,n); %шумовые отсчёты (по Гауссу)

%nd; %СКО=1

%for i=1: m

% N (i,:) =InverseF (4,0.01,n); %шумовые отсчёты для альфа=3,4

%end;

for i=1: m

X (i,:) =N (i,:) +lambda*S; %отсчёты входного сигнала

end;

F=sign (X); %преобразование для случая лапласовской помехи

Y1=F*S1'; %вычисление первой компоненты статистики (s1' - транспонированная)

Y2=F*S2'; %вычисление второй компоненты статистики

Y= (Y1. ^2+Y2. ^2); %статистика (столбец m)

MeanY= (1/m) *sum (Y); %мат. ожижание статистики

SigmaY=sqrt ( (1/m) *sum ( (Y-MeanY). ^2)); %СКО статистики

if lambda==0

C=norminv (1-a) *SigmaY; %вычисление порога

end%в остальных случаях в качестве порога будет взято соответствующее

%значение из списка входных переменных

P (1) =MeanY;

P (2) =SigmaY;

P (3) =sum (Y>C) /m; %вероятность превышения порога

P (4) =C;

P (5) =sqrt ( (1/m) *sum ( ( (Y>C) - P (3)). ^2)); %СКО вероятности обнаружения

P (6) =Energy;

end

Моделирование последетекторного алгоритма (остальные по аналогии)

function P=LinStatAfterD (a, n, lambda, C, m)

f1=100; %частота несущей

f2=10; %частота АМ

f3=6; %частота ФМ

fs=2000; %частота дискретизации

dt=1/fs; %период дискретизации

k= [1: n];

Fi=2*pi*rand; %равномерно распределенная на (0, 2Пи) случайная фаза

at=1-0.6*sin (2*pi*f2*dt*k); %амплитудная модуляция a (t)

ft=sin (2*pi*f3*dt*k); %фазовая модуляция

S1=cos (2*pi*f1*dt*k); %ВЧ синусоидальная составляющая узкополосного сигнала

S2=sin (2*pi*f1*dt*k); %ВЧ косинусоидальная составляющая узкополосного сигнала

F1=at. *cos (2*pi*ft+Fi); %НЧ квадратурная составляющая со случайной фазой

F2=at. *sin (2*pi*ft+Fi); %НЧ квадратурная составляющая со случайной фазой

s1=F1. *S1;

s2=F2. *S2;

S= (s1+s2); %узкополосный сигнал с ФМ+АМ

%envelop_theor=sqrt (F1. *F1+F2. *F2);

E=S. *S; % почленное перемножение

Energy=sum (E); %энергия сигнала

N=zeros (m,n); %резервирование

X=zeros (m,n);

p1=zeros (m,n);

p2=zeros (m,n);

%for i=1: m

%y=rand (1,n); %случайная величина, распред. равномерно на (0,1)

%for j=1: n

% if y (1,j) <0.5

% N (i,j) =log (2*y (1,j));

% else N (i,j) =-log (2* (1-y (1,j)));

% end;

%end; %шумовые отсчёты (по Лапласу)

%end;

for i=1: m

N (i,:) =randn (1,n); %шумовые отсчёты (по Гауссу)

end;

%for i=1: m

% N (i,:) =InverseF (4,0.01,n); %шумовые отсчёты для альфа=3,4

%end;

for i=1: m

X (i,:) =N (i,:) +lambda*S; %отсчёты входного сигнала

end;

h= [0.00214878098764361,-0.000508941564030241,-0.000835556005369367,-0.00137992698650711,-0.00212617978232506,-0.00305493668134725,-0.00413953304729004,-0.00534156091311405,-0.00660960942525603,-0.00787935696228989,-0.00907346613500459,-0.0101041722344159,-0.0108774805994459,-0.0112942994686013,-0.0112583337591169,-0.0106795092121329,-0.00947709806013780,-0.00759132447219574,-0.00498102178544803,-0.00163202482478250,0.00244043069481508,0.00719097339583034,0.0125428104901388,0.0183890001131049,0.0245956847756615,0.0310046913294858,0.0374393103809241,0.0437190055043905,0.0496441632736301,0.0550338926479575,0.0597136573238143,0.0635284223119868,0.0663503916867478,0.0680831680136240,0.0686673650716663,0.0680831680136240,0.0663503916867478,0.0635284223119868,0.0597136573238143,0.0550338926479575,0.0496441632736301,0.0437190055043905,0.0374393103809241,0.0310046913294858,0.0245956847756615,0.0183890001131049,0.0125428104901388,0.00719097339583034,0.00244043069481508,-0.00163202482478250,-0.00498102178544803,-0.00759132447219574,-0.00947709806013780,-0.0106795092121329,-0.0112583337591169,-0.0112942994686013,-0.0108774805994459,-0.0101041722344159,-0.00907346613500459,-0.00787935696228989,-0.00660960942525603,-0.00534156091311405,-0.00413953304729004,-0.00305493668134725,-0.00212617978232506,-0.00137992698650711,-0.000835556005369367,-0.000508941564030241,0.00214878098764361;];

%Коэффициенты фильтра

for i=1: m

p1 (i,:) =X (i,:). *S1;

I (i,:) =conv (p1 (i,:),h);

p2 (i,:) =X (i,:). *S2;

Q (i,:) =conv (p2 (i,:),h);

end

X=sqrt (I. *I+Q. *Q);

envelop=zeros (1,n);

for j=1: m

for i=34: length (X) - 35

envelop (j, i-33) =X (j, i);

end;

end; %Процедура фильтрации и выделение огибающей

Meanenvelop=zeros (m,1);

envelop2=zeros (m,n);

for j=1: m

Meanenvelop (j) = (1/n) *sum (envelop (j,:));

envelop2 (j,:) =envelop (j,:) - Meanenvelop (j);

end; %огибающая без постоянной составляющей

F=envelop2; %преобразование для случая гауссовой помехи

at2= ( (at). * (at));

Y=F*at2'; %статистика (столбец m)

MeanY= (1/m) *sum (Y); %мат. ожижание статистики

SigmaY=sqrt ( (1/m) *sum ( (Y-MeanY). ^2)); %СКО статистики

if lambda==0

C=norminv (1-a) *SigmaY; %вычисление порога

end%в остальных случаях в качестве порога будет взято соответствующее

%значение из списка входных переменных

P (1) =MeanY;

P (2) =SigmaY;

P (3) =sum (Y>C) /m; %вероятность превышения порога

%P (3) =1-normcdf (C, MeanY, SigmaY); %эквивалентная формула

P (4) =C;

P (5) =sqrt ( (1/m) *sum ( ( (Y>C) - P (3)). ^2)); %СКО вероятности обнаружения

P (6) =Energy;

end

Формирование интегральной функции распределения помехи

function D=Distribution (alpha, epsilon)

% alpha - параметр распределения помехи

% Функция выдаёт на выходе интегральную функцию распределения F (x),

% ограниченную отрезком рассмотрения [-T, T] и заданную таблично:

T=fzero (@ (t) 1-epsilon-gammainc (t^alpha, 1/alpha), [1, 500]); %здесь

%вычисляется граница интервала [-T; T], на котором следует рассматривать

%функции F (x) и W (x), исходя из значения параметра epsilon.

global dt %глобальная переменная

dt=0.01; %dt - шаг дискретизации функции F (x)

t=-T: dt: T; %значения аргумента

s=size (t); %размерность вектора

F=zeros (1, s (2)); %резервирование

for i=1: s (2) %формирование F (x)

if t (1, i) <=0

F (1, i) = (1/2) * (1-gammainc ( (abs (t (1, i))) ^alpha, 1/alpha));

else F (1, i) = (1/2) * (1+gammainc ( (abs (t (1, i))) ^alpha, 1/alpha));

end;

end;

D=zeros (2, s (2) +2); %таблица значений функции F (x)

D (1, 1) =-T-dt;

D (2, 1) =0;

D (1, 2: s (2) +1) =t;

D (2, 2: s (2) +1) =F;

D (1, s (2) +2) =t (s (2)) +dt;

D (2, s (2) +2) =1;

end

Формирование шумовой выборки

function P=InverseF (alpha, epsilon, n)

% Функция выдаёт на выходе случайную вектор-строку длиной n,

% элементы которой являются реализациями случайной величины,

% распределённой по закону F (x)

D=Distribution (alpha, epsilon); %ф-ция F (x)

yrand=rand (1,n); %случ. величина с равномер. распред-ем на [0; 1]

ydistrF=zeros (1,n); %случ. величина с распред-ем F

for j=1: n %формируем случ. величину ydistrF

i=2;

while yrand (1, j) >D (2, i)

i=i+1;

end

ydistrF (1,j) = (D (1, i) +D (1, i-1)) /2;

end

ydistr_Di_1=ydistrF*sqrt (gamma (1/alpha) /gamma (3/alpha));

%случайная величина ydistr_Di_1 имеет дисперсию равную 1

P=ydistr_Di_1;

end

Моделирование характеристики алгоритма

function P=Lin_DetectAfterD (m,n)

a=1e-3; %вероятность ложной тревоги,

lambda= [0.1: 0.05: 1]; %амплитуда сигнала

P=zeros (2, length (lambda)); %резервирование

C=0; %C - порог принятия решения

S0=LinStatAfterD (a, n, 0, C, m); %вычисление порога для случая отсутствия сигнала

% (в данном случае порог С может быть любым, т.к. он вычисляется внутри процедуры SignStat)

for i=1: length (lambda)

S=LinStatAfterD (a, n, lambda (i), S0 (4), m);

P (1, i) =S (3); %записыавем вероятность правильного обнаружения

P (3, i) =S (1); %мат. ожижание статистики Y

P (4, i) =S (2); %CKO Y

P (5, i) =S (5); %СКО вероятности обнаружения

end

P (2,:) =20*log10 (lambda*sqrt (S (6) /2)); %значения аргумента для построения графика (1-beta) от h

%h - отношение сигнал-шум

figure (2);

plot (P (2,:), P (1,:)) %графическое изображение полученной зависимости

grid on;

title ('Вероятность обнаружения Линейный')

end

Вычисление теоретического значение КАОЭ

function Ro=KAOE (alpha,beta) %вычисление коэффициента относительной

%ассимптотической эффективности алгоритма,

%настроенного на помежу с Бэта в качестве показателя экспоненты плотности

%распределения при воздействии с помехой с Альфа относительно алгоритма,

%оптимального для этой помехи.

up= (gamma ( (beta+alpha-1) /alpha)) * (gamma ( (beta+alpha-1) /alpha)); %числитель

down= (gamma ( (2*beta-1) /alpha) *gamma ( (2*alpha-1) /alpha)); %знаменатель

Ro=10*log10 (up/down);

Вычисление рангового вектора

function R=rang (n)

s=size (n); %размеры вектора

M=zeros (s (2)); %резервирование

for i=1: s (2)

for j=1: s (2)

M (i,j) =0.5*sign (n (j) - n (i)) +0.5; %матрица знаков разностей

end;

end;

R=sum (M) +0.5; %вектор рангов

Моделирование датчика случайных величин и проверка работоспособности по критерию Хи-квадрат

function P=RayRicetest (m,N,D)

clf;

m=10000; %число членов выборки

B=1; %масштабирующий множитель для релея

D=10; %параметр смещения (центр плотности)

N=100; %число интервалов (степени свободы)

R = ncx2rnd (B, D, [1 m]); %выборка сл. величин, распределенных по релею-райсу

figure (1)

top=max (R); %вычисление границ интервалов

bot=min (R);

biedges=linspace (bot,top,N+1);

[n, whichBin] =histc (R,biedges); %количество попаданий в каждый интервал

figure (1)

bar (biedges,n,'r'); %экспериментальная плотность распределения

title ('экспериментальная плотность распределения')

hold on

for i=3: length (n) - 30 %коррекция крайних интервалов (редких частот)

nn (i-2) =n (i);

bbiedges (i-2) =biedges (i);

end;

bar (bbiedges,nn,'g'); %экспериментальная плотность распределения

grid on %с учетом коррекции

ce = cumsum (nn) /m; %вычисление функции распределения выборки

figure (2)

bar (bbiedges,ce,'g')

title ('экспериментальная функция распределения')

hold on

X=min (R): (max (R) - min (R)) / (N): max (R);

for i=3: length (X) - 30 %коррекция крайних редких частот

XX (i-2) =X (i);

end;

figure (1)

f= ncx2pdf (XX, B, D); %теоретическая плотность релея-райса

%plot (f)

ff=f*m* ( (max (R) - min (R)) /N);

plot (XX,ff)

hold off

ct = cumsum (ff) /m; %вычисление теоретич. функции распределения

figure (2)

plot (bbiedges,ct)

hold off

L = chi2inv (0.95,N-1); %уровень значимости 0,05

%Вероятность получить значение сл. вел.,

%распределенной хи^2 с V=N более L

%составляет 5%.

xi= ( (nn-ff). ^2). /ff; %вычисление критерия

XI=sum (xi);

P (1) =L;

P (2) =XI;

if P (2) >P (1)

P (3) =false; %единица - распределение принадлежит Р-Р

else P (3) =true; %ноль - распределение не принадлежит Р-Р

end

Размещено на Allbest.ru