Реализация, анализ и синтез базовых алгоритмов цифровой обработки сигнала с использованием систем автоматизированного проектирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

«МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (МГУПИ)

ИНСТИТУТ КОМПЛЕКСНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ И СПЕЦИАЛЬНОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Кафедра КБ-6 “Приборы и информационно-измерительные системы”

Дисциплина 16311“Цифровая обработка сигнала”

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

Реализация, анализ и синтез базовых алгоритмов ЦОС с использованием систем автоматизированного проектирования

МОСКВА 2016 г.



Содержание

Введение

Задание на расчётно-графическую работу

1. Реализация дискретного преобразования Фурье, использование «оконных функций» Хэннинга и Хэмминга для уменьшения эффекта «утечки спектра»

1.1 Реализация в среде Mathcad дискретного преобразования Фурье выборок двух сигналов

1.2 Использование «оконных функций» Хэннинга и Хэмминга для уменьшения эффекта «утечки спектра»

2. Синтез трех фильтров автоматизированным способом (используя приложение fdatool системы Mathlab)

2.1 Синтез ФВЧ Баттерворта четвертого порядка с БИХ

2.2 Синтез ФВЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

2.3 Синтез ФНЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

3. Построение модели фильтра в приложении simulink системы Mathlab, и демонстрация фильтрации заданного сигнала

3.1 Построение модели фильтра в MathLab

Заключение

Список использованных источников



Введение

Дискретное преобразование Фурье -- это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Одной из разновидностей преобразования Фурье является оконное преобразование Фурье. Существует множество математических формул, визуально улучшающих частотный спектр на разрыве границ окна. Например, окно Ханна (Хэннига) и окно Хэмминга. Ограничение интервала анализа равносильно произведению исходного сигнала на оконную функцию. Таким образом, результатом оконного преобразования Фурье является не спектр исходного сигнала, а спектр произведения сигнала и оконной функции. Спектр, полученный при помощи оконного преобразования Фурье, является оценкой спектра исходного сигнала и принципиально допускает искажения.

Цифровой фильтр -- в электронике любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала. По виду амплитудно-частотной характеристики фильтры делятся на фильтр верхних частот, фильтр нижних частот, полосовой фильтр и режекторный фильтр. Фильтр выбирается в зависимости от поставленной задачи.

Моделирование и синтез фильтров будут произведены в среде MathLab, системе, имеющей наборы функций, позволяющих решать широкий спектр задач обработки сигналов, изображений, проектирования цифровых фильтров и систем связи.



Задание на расчетно-графическую работу

Первое задание. Реализовать в среде Mathcad (или аналогичном пакете) дискретное преобразование Фурье выборок двух сигналов. Каждый из сигналов представляет собой сумму косинусоидальных составляющих. Первая гармоника первого сигнала имеет следующие параметры: амплитуда равна 1, частота равна 1400 Гц, фаза равна 45 градусов. Вторая гармоника имеет амплитуду 2, частоту 10000 Гц и фазу 90 градусов. Третья гармоника: амплитуда равна 1, частота равна 14000 Гц, фаза равна 90 градусов. Второй сигнал состоит так же из трех гармоник. Первая гармоника второго сигнала имеет следующие параметры: амплитуда равна 0,5, частота равна 1395 Гц, фаза равна 45 градусов. Вторая гармоника имеет амплитуду 2, частоту 10000 Гц и фазу 90 градусов. Третья гармоника: амплитуда равна 0,5, частота равна 14015 Гц, фаза равна 90 градусов. Выборки произвести с частотой дискретизации равной 22000 Гц. Количество отсчетов выборки равно 2200. Интерпретировать результаты преобразования. Пояснить различие в результатах ДПФ двух сигналов. Использовать «оконные функции» Хэннинга и Хэмминга для уменьшения эффекта «утечки спектра».

Второе задание. Провести синтез трех фильтров автоматизированным способом (используя приложение fdatool системы MathLab или аналогичного пакета). Заданные фильтры: ФВЧ Баттерворта четвертого порядка с БИХ, ФВЧ Чебышева шестого порядка с БИХ, ФНЧ Чебышева шестого порядка с БИХ. Частота дискретизации этих фильтров равна 100000 Гц. Частота среза равна 17000 Гц. Для каждого фильтра построить АЧХ, ФЧХ, импульсную и переходную характеристику, диаграмму полюсов и нулей. Записать аналитическое выражение для передаточной функции, уравнение фильтра (алгоритм вычисления выходного отсчета), структуру фильтра (для фильтров с БИХ в канонической форме 1).

Третье задание. В приложении Simulink системы MathLab или в аналогичном пакете построить модель и продемонстрировать фильтрацию заданного сигнала. Первая гармоника сигнала имеет следующие параметры: амплитуда равна 10, частота равна 700 Гц, фаза равна 0 градусов. Вторая гармоника имеет амплитуду 1, частоту 4000 Гц и фазу 0 градусов. Третья гармоника: амплитуда равна 2, частота равна 5000, фаза равна 0 градусов. Тип фильтра: ФВЧ Баттерворта десятого порядка. Заданная частота дискретизации равна 1000000 Гц. Частота среза равна 4500 Гц. Модель фильтра синтезировать автоматизированным способом (используя приложение fdatool системы MathLab или аналогичного пакета).

дискретный фурье mathlab автоматизированный



1. Реализация дискретного преобразования фурье, использование «оконных функций» хэннинга и хэмминга для уменьшения эффекта «утечки спектра»

1.1 Реализация в среде Mathcad дискретного преобразования Фурье выборок двух сигналов

Требуется реализовать дискретное преобразование Фурье выборок двух сигналов. Первый сигнал представляет собой «идеальный» сигнал.

Дискретное преобразование Фурье производится по формуле(1).

где X(m) - отсчеты в частотной области;

x(n) - последовательность входных отсчетов во временной области;

n - индекс во временной области;

m - индекс в частотной области;

N - количество отсчетов во временной и частотной области.

Подставляя заданные значения, получим уравнение выборки первого сигнала.

Полученный график выборки первого сигнала представлен на рисунке 1.1.



Рисунок 1.1 - Выборка первого сигнала

Так как амплитуда полученных отсчетов в N/2 раз больше реальной амплитуды гармонических составляющих, делим полученный результат на N/2.

Подставляя уравнение первого сигнала в формулу (1), получаем ДПФ выборки первого сигнала. Результат представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Результат ДПФ выборки первого сигнала

На графике видны реальные три гармонических составляющих.

Аналогично получаем уравнение выборки второго сигнала:

Полученный график выборки второго сигнала представлен на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3-Выборка второго сигнала



Подставляя уравнение второго сигнала в формулу (1), получаем ДПФ выборки второго сигнала. Результат представлен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Результат ДПФ выборки второго сигнала

На графике видно «растекание спектра» по гармоническим составляющим.

1.2 Использование «оконных функций» Хэннинга и Хэмминга для уменьшения эффекта «утечки спектра»

Явление «утечки спектра» может не позволить проводить корректный анализ близкорасположенных частотных составляющих. Уменьшить влияние данного явления можно путем «оконной функции».

«Окно» Хэннинга рассчитывается по формуле:

где W(n) - оконная функция Хэннинга;

n - индекс во временной области;

N - количество отсчетов.

«Оконная функция» Хэннинга при N равном 2200 представлена на рисунке 1.5.



Рисунок 1.5 - «Оконная функция» Хэннинга с количеством отсчетов 2200

Используем «оконную функцию» Хэннинга для уменьшения явления «утечки спектра» при дискретном преобразовании выборки второго сигнала (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6-Дискретное преобразование выборки второго сигнала с использованием «оконной функции» Хэннинга

«Окно» Хэмминга рассчитывается по формуле:

где W1(n) - оконная функция Хэмминга;

n - индекс во временной области;

N - количество отсчетов.

«Оконная функция» Хэмминга при N равном 2200 представлена на рисунке 1.7.



Рисунок 1.7 - «Оконная функция» Хэмминга с количеством отсчетов 2200

Используем «оконную функцию» Хэмминга для уменьшения явления «утечки спектра» при дискретном преобразовании выборки второго сигнала (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 - Дискретное преобразование выборки второго сигнала с использованием «оконной функции» Хэмминга



2. Синтез трех фильтров автоматизированным способом (используя приложение fdatool системы mathlab)

2.1 Синтез ФВЧ Баттерворта четвертого порядка с БИХ

В данном задании нужно провести синтез фильтра верхних частот Баттерворта четвертого порядка с бесконечно-импульсной характеристикой. Построить АЧХ, ФЧХ, импульсную и переходную характеристику, диаграмму полюсов и нулей. Записать аналитическое выражение для передаточной функции, уравнение фильтра (алгоритм вычисления выходного отсчета), структуру фильтра (для фильтров с БИХ в канонической форме 1).

Чтобы провести синтез фильтра, в системе MathLab запустить приложение fdatool. В этом приложении в окне Response Type выбрать фильтр верхних частот (Highpass). Затем в окне Design Method выбрать фильтр Баттерворта с БИХ (IIR, Butterworth). В окне Filter Order задаем 4 порядок фильтра (Specify order 4). Частоту дискретизации Fs, равную 100000 Гц, и частоту среза Fc, равную 17000 Гц, задать в окне Frequency Specifications. Заданные настройки представлены на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Заданные настройки для ФВЧ Баттерворта четвертого порядка с БИХ

Чтобы смоделировать фильтр, нажать кнопку Design Filter. Полученная структура фильтра представлена на рисунке 2.2



Рисунок 2.2 - Структура ФВЧ Баттерворта четвертого порядка с БИХ

Чтобы получить нужные характеристики и диаграммы, открыть окно VIEW/Filter Visualization Tool. Далее по очереди выбрать нужные нам характеристики и диаграммы и сохранить их.

Для того чтобы получить АЧХ и ФЧХ, в окне Analysis выбрать Magnitude and Phase Responses (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 - АЧХ и ФЧХ ФВЧ Баттерворта четвертого порядка с БИХ

Для получения импульсной характеристики, выбрать Analysis/Impulse Response (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 - Импульсная характеристика

Чтобы получить переходную характеристику, выбрать Analysis/Step Response (рисунок 2.5).



Рисунок 2.5 - Переходная характеристика

Диаграмму полюсов и нулей получить, выбрав Analysis/Pole/Zero Plot (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 - Диаграмма полюсов и нулей

Коэффициенты фильтра получить в окне Analysis/Filter Coefficients (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 - Коэффициенты фильтра

Информация о фильтре - Analysis/Filter Information (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 - Информация о фильтре

Аналитическое выражение для передаточной функции записывается в виде:

Уравнение фильтра (алгоритм вычисления выходного отсчета) записывается в виде:

2.2 Синтез ФВЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

В данном задании нужно провести синтез фильтра верхних частот Чебышева шестого порядка с бесконечно-импульсной характеристикой. По аналогии с действиями в пункте 2.1, в приложении fdatool выбрать ФВЧ Чебышева с БИХ, задать шестой порядок, при частоте дискретизации fд, равной 100000 Гц, и частоте среза fср, равной 17000 Гц, получить структуру фильтра (рисунок 2.9).

Рисунок 2.9 - Структура ФВЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

В этом же приложении fdatool по аналогии с пунктом 2.1 получить нужные характеристики данного фильтра и сохранить их (рисунки 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15).

Рисунок 2.10 - АЧХ и ФЧХ ФВЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

Рисунок 2.11 - Импульсная характеристика

Рисунок 2.12 - Переходная характеристика

Рисунок 2.13 - Диаграмма полюсов и нулей



Рисунок 2.14 - Коэффициенты фильтра

Рисунок 2.15 - Информация о фильтре

Аналитическое выражение для передаточной функции записывается в виде:

Уравнение фильтра (алгоритм вычисления выходного отсчета) записывается в виде:

2.3 Синтез ФНЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

В данном задании нужно провести синтез фильтра нижних частот Чебышева шестого порядка с бесконечно-импульсной характеристикой. По аналогии с действиями в пункте 2.1, в приложении fdatool выбрать ФНЧ Чебышева с БИХ, задать шестой порядок, при частоте дискретизации fд, равной 100000 Гц, и частоте среза fср, равной 17000 Гц, получить структуру фильтра (рисунок 2.16)

Рисунок 2.16 - Структура ФНЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

В этом же приложении fdatool по аналогии с пунктом 2.1 получить нужные характеристики данного фильтра и сохранить их (рисунки 2.17, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22).

Рисунок 2.17 - АЧХ и ФЧХ ФНЧ Чебышева шестого порядка с БИХ

Рисунок 2.18 - Импульсная характеристика



Рисунок 2.19 - Переходная характеристика

Рисунок 2.20 - Диаграмма полюсов и нулей

Рисунок 2.21 - Коэффициенты фильтра

Рисунок 2.22 - Информация о фильтре

Аналитическое выражение для передаточной функции записывается в виде:

Уравнение фильтра (алгоритм вычисления выходного отсчета) записывается в виде:



3. Построение модели фильтра в приложении simulink системы mathlab, и демонстрация фильтрации заданного сигнала

3.1 Построение модели фильтра в MathLab

В данном задании нужно провести синтез фильтра верхних частот Баттерворта десятого порядка с бесконечно-импульсной характеристикой. По аналогии с действиями в пункте 2.1, в приложении fdatool выбрать ФВЧ Баттерворта с БИХ, задать десятый порядок, при частоте дискретизации fд, равной 1000000 Гц, частоте среза fср, равной 4500 Гц, получить фильтр. Параметры представлены на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - Заданные параметры для ФВЧ Баттерворта с БИХ десятого порядка

Собрать модель фильтра в приложении Simulink (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2 - Модель ФВЧ Баттерворта десятого порядка с БИХ

Задать настройки для Sine Wave 2 (рисунок 3.3), Sine Wave 1 (рисунок 3.4) и Sine Wave (рисунок 3.5).

Рисунок 3.3 - Настройка параметров Sine Wave2

Рисунок 3.4 - Настройка параметров Sine Wave1

Рисунок 3.5 - Настройка параметров Sine Wave

Результат фильтрации представлен на рисунке 3.6. Верхняя часть представляет собой три сигнала; средняя часть - смесь трех сигналов; нижняя часть - отфильтрованный сигнал (сигнала с частотой 5000 Гц нет).

Рисунок 3.6 - Результат фильтрации заданных сигналов



Заключение

В процессе выполнения курсовой работы успешно были выполнены все поставленные задачи.

При дискретном преобразовании Фурье возможно появление эффекта «растекание спектра». Такой эффект может появиться, если частота гармоники не кратна периоду дискретизации по частоте. С помощью оконных функций Хэннинга и Хэмминга можно уменьшить влияние эффекта «растекания спектра» на дискретное преобразование Фурье. При дискретной выборке функции образуются перескоки на границах склеивания копий в момент зацикливания. В получаемом спектре появляются искажения из-за большого количества перескоков. Оконные функции Хэннинга и Хэмминга сглаживают выборку на краях, и при зацикливании не образуется перескоков.

Приложение fdatool системы Mathlab открывает широкий спектр возможностей при проектировании и моделировании фильтров. Используя возможности программы можно спроектировать фильтр любой сложности и оценить его работу.

Фильтр Баттерворта десятого порядка с частотой среза 4500 Гц, смоделированный в системе Mathlab, успешно фильтрует заданный по варианту сигнал, состоящий из трех гармоник с частотами соответственно равными 700, 4000 и 5000 Гц.

Список использованных источников

1. Чебан З.М. Лекционный материал по предмету Цифровая обработка сигнала, 2016. - 45с.

2. Сергиенко А. Б. -- Цифровая обработка сигналов Питер, 2002.

3. А. Оппенгейм, Р. Шафер Цифровая обработка сигналов Техносфера, 2006.

Размещено на Allbest.ru