Теория автоматического управления

Содержание

1 Расчёт линейной системы автоматического управления

2 Расчёт нелинейной системы автоматического управления

3 Расчёт дискретной системы автоматического управления

4 Расчёт стохастической системы автоматического управления

Список использованных источников

1 Расчет линейной системы автоматического управления

Задание:

1) Записать передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем, а также функции по ошибке и возмущающему воздействию. Рассчитать точность системы по управляющему и возмущающему воздействию.

2) Проанализировать устойчивость замкнутой системы.

3) Осуществить коррекцию линейной системы (последовательную и параллельную). При этом необходимо обеспечить следующие показатели качества процесса регулирования в скорректированной системе:

а) перерегулирование у?20%;

б) длительность переходного процесса, не превышающую значения t_рег=0.1 с;

в) точность в два раза выше, чем у нескорректированной системы.

4) Определить критическое время запаздывания, при котором скорректированная система будет находиться на границе устойчивости.

5) Рассчитать аппаратную реализацию одного из корректирующих звеньев.

6) Описать нескорректированную систему в пространстве состояния, рассчитать динамику системы.

7) Произвести расчёт следящей системы. При этом необходимо обеспечить следующие показатели качества:

а) величина максимальной ошибки x_mаx?0.1;

б) показатель колебательности М?1.3;

в) предельное значение скорости входного сигнала;

г) предельное значение ускорения входного сигнала.

Расчет линейной САУ

Рисунок 1 - Исходная структурная схема линейной САУ

Исходные данные:

; ; ; ; с;

с; с; с.

; ; ; ;

1) Запишем передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем, а также функции по ошибке и возмущающему воздействию. Рассчитаем точность системы по управляющему и возмущающему воздействию.

Передаточная функция разомкнутой САУ по входному сигналу:

;

Передаточная функция замкнутой САУ по входному сигналу:

Передаточная функция замкнутой САУ по ошибке:

Так как передаточная функция имеет нулевой полюс, то система - астатическая с астатизмом первого порядка.

Коэффициент ошибки системы:

; (т.к. порядок астатизма = 1) - ошибка по положению.

- ошибка по скорости.

Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему сигналу.

;

Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему сигналу.

2) Проанализируем устойчивость замкнутой системы

Оценка устойчивости САУ прямым методом

Определим полюса передаточной функции замкнутой САУ

;

; ;

Все полюса находятся в левой полуплоскости, следовательно, замкнутая САУ - устойчивая.

Оценка устойчивости САУ по критерию Найквисту:

Все коэффициенты ; ; ; ; ; характеристического полинома - положительны, то есть необходимое условие выполняется.

АФХ: ;

Годограф разомкнутой системы не охватывает точку (-1, i0), следовательно, система в замкнутом состоянии является устойчивой.

Рисунок 2 - АФХ разомкнутой системы

3) Осуществим коррекцию линейной системы.

Показатели качества:

а) перерегулирование у?20%;

б) длительность переходного процесса, не превышающую значения t_рег=0.3с;

в) точность в два раза выше, чем у нескорректированной системы.

Последовательная коррекция

Определим по номограмме частоту среза для данных показателей качества:

; ;

Рисунок 3 - Номограмма для определения частоты среза желаемой ЛАХ.

Коэффициент усиления скорректированной системы:

;

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной системы:

;

ЛАХ нескорректированной САУ:

;

ЛАХ желаемой САУ:

;

ЛАХ корректирующего звена:

;

Частоты сопряжения: ; ; ;

Рисунок 4 - ЛАХ а) нескорректированной, б) скорректированной системы и в) ЛАХ корректирующего звена.

Смоделируем коррекцию САУ в MATLAB.

Рисунок 5 - Последовательная коррекция САУ смоделированная в MATLAB

Рисунок 6 - переходные функции а) нескорректированной и

б) скорректированной системы

Рисунок 7 - реакция системы на равномерно нарастающий сигнал

а) нескорректированной и б) скорректированной системы

На рисунках видно, что скорректированная система соответствует требованиям по времени регулирования и перерегулированию, а так же ошибка по скорости меньше более чем в два раза.

Параллельная коррекция

ЛАХ неохваченного звена:

;

ЛАХ скорректированной САУ:

;

ЛАХ корректирующего звена:

;

Частоты сопряжения: ; ; .

Рисунок 8 - ЛАХ а) нескорректированной, б) скорректированной системы и в) ЛАХ корректирующего звена.

Смоделируем коррекцию САУ в MATLAB.

Рисунок 9 - Параллельная коррекция САУ смоделированная в MATLAB

Рисунок 10 - переходные функции а) нескорректированной,

б) скорректированной системы и в) корректирующего звена

Рисунок 11 - реакция системы на равномерно нарастающий сигнал

а) нескорректированной и б) скорректированной системы

На рисунках видно, что скорректированная система соответствует требованиям по времени регулирования и перерегулированию, а так же ошибка по скорости меньше более чем в два раза.

4) Определим критическое время запаздывания, при котором скорректированная система будет находиться на границе устойчивости.

Для САУ после последовательной коррекции:

Значение фазочастотной характеристики на частоте среза , тогда запас по фазе: .

Критическое время запаздывания: ;

Критическая частота: ; тогда запас по амплитуде:

;

Рисунок 11 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы после последовательной коррекции

Для САУ после параллельной коррекции:

Значение фазочастотной характеристики на частоте среза , тогда запас по фазе: .

Критическое время запаздывания: ;

Критическая частота: ; тогда запас по амплитуде:

;

Рисунок 12 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы после параллельной коррекции

5) Рассчитаем аппаратную реализацию одного из корректирующих звеньев.

Рисунок 13 - Аппаратная реализация корректирующего звена.

Выберем корректирующее звено для последовательной коррекции с передаточной функцией:

; ;

Таким образом: ; ; ;

Пусть ; ;

тогда ; ;

6) Опишем нескорректированную систему в пространстве состояния и рассчитаем динамику системы.

Рисунок 14 - Структурная схема нескорректированной САУ.

Метод прямого программирования

Составим детализованную структурную схему:

Рисунок 15 - Детализованная структурная схема.

Система дифференциальных уравнений, описывающих динамику линейной САУ:

;

;

;

;

Уравнения связи выходных сигналов с переменными состояния:

;

;

Введем в рассмотрение матрицу системы (коэффициентов системы) - А, матрицу входов (управления) - В и матрицу выхода (наблюдения) - С:

Запишем матричную передаточную функцию замкнутой системы при нулевых начальных условиях:

, где - единичная матрица

;

Матрица переходов описывается выражением: ;

Выполнив обратное преобразование Лапласа от матрицы , получим фундаментальную матрицу системы.

Переменные состояния определяются выражением:

, где - вектор начальных условий.



Рисунок 16 - Графики переменных состояния.

Смоделируем детализованную систему в MATLAB:

Рисунок 17 - Нескорректированная САУ, смоделированная в Matlab'е.

Рисунок 18 - Графики переменных состояния системы смоделированной в MATLAB.

Расчет динамики системы с помощью теоремы Сильвестра

Характеристическое уравнение:

Корни этого уравнения:

По теореме Сильвестра, матрица перехода представима в виде:

где .

Переменные состояния определяются выражением:

, где - вектор начальных условий.

Рисунок 19 - Графики переменных состояния

7) Произведем расчёт следящей системы

Показатели качества:

а) величина максимальной ошибки x_mаx ? 0.1;

б) показатель колебательности М ? 1.3;

в) предельное значение скорости входного сигнала ;

г) предельное значение ускорения входного сигнала.

Рисунок 20 - Исходная структурная схема линейной САУ.

Исходные передаточные функции:

; ; ; ;

Передаточную функцию разомкнутой нескорректированной системы:

;

Построим запретную зону для ЛАХ, исходя из того, что , дБ.

Рисунок 21 - Запретная зона для ЛАХ.

Скорректируем исходную систему и убедимся, что она соответствует требованиям.

Частоты сопряжения: ; ; ;

; -

передаточная функция разомкнутой скорректированной системы.

Построим запретную зону для фазы:

; ; - на комплексной плоскости;

где ;

построение ведется на участке частот от (уровень ) до (уровень ), максимальное значение при значении - для построения запретной зоны вместе с ФЧХ.

1 - запретная зона для ФЧХ;

2 - .

Рисунок 22 - Запретная зона для ФЧХ на комплексной плоскости.



1 - запретная зона для ЛАХ;

2 - запретная зона для ФЧХ;

3 - ЛАХ;

4 - ФЧХ

Рисунок 23 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой системы после коррекции.

Очевидно, что ЛАХ и ФЧХ не заходят в запретные зоны.

Передаточную функцию корректирующего звена получим как отношение передаточных функций скорректированной САУ и неохваченных звеньев:

;

; ;



Рисунок 24 - ЛАХ корректирующего звена.

Смоделируем замкнутую скорректированную систему:

Рисунок 25 - Скорректированная САУ, смоделированная в MATLAB.



Рисунок 26 - Реакции скорректированной системы на эквивалентную синусоиду

Очевидно, что сигнал ошибки х(t) не превышает значения x_mаx=0.1.

2 Расчет нелинейной системы автоматического управления

Задание:

1) Определить наличие автоколебаний в системе, оценить их устойчивость и рассчитать параметры (если в системе нет автоколебаний - меняя параметры линейной части или нелинейного элемента, добиться их).

2) Исследовать динамические режимы системы методом фазовой плоскости для заданной статической характеристики нелинейного элемента (НЭ).

3) Построить переходный процесс.

4) Если изначально в системе были автоколебания, то, изменяя параметры линейной части или нелинейного элемента, убрать их.

Рисунок 27 - Исходная структурная схема САУ.

1) Определим наличие автоколебаний в системе, оценим их устойчивость и рассчитаем параметры.

Исходные данные: ; ; ;

Передаточная функция линейной части: ;

Рисунок 28 - Статические характеристики нелинейного элемента.

Исходные данные: ; ;

Коэффициенты гармонической линеаризации НЭ типа гистерезис:

; ;

Передаточная функция гармонически линеаризованного НЭ:

;

Определим параметры автоколебаний по критерию Найквиста.

Автоколебания в системе будут в том случает, если , то есть

; ;

Решив данную систему, получим: ; .



1 - , 2 - .

Рисунок 29 - Определение параметров автоколебаний

2) Исследуем динамические режимы системы методом фазовой плоскости для заданной статической характеристики нелинейного элемента (НЭ).

Рассмотрим систему в свободном движении, следовательно:

; ; ;

Выполнив подстановки и сгруппировав, получим:

;

Учитывая заданную нелинейность, при описании поведения системы будем рассматривать две зоны (-М, М), для которых дифференциальные уравнения будут иметь вид:

зона 1: ;

зона 2: ;

Смоделируем нелинейную систему:

Рисунок 30 - Нелинейная САУ, смоделированная в MATLAB.

Рисунок 31 - Фазовая траектория.

3) Построим переходный процесс.

Рисунок 32 - Переходный процесс.

На графике переходного процесса видно, что амплитуда автоколебаний , а частота .

4) Изменим параметры линейной части или нелинейного элемента, чтобы добиться отсутствия автоколебаний в системе.

Если увеличить параметр а с 5 до 35, мы получим следующие коэффициенты гармонической линеаризации НЭ типа гистерезис:

Коэффициенты гармонической линеаризации НЭ типа гистерезис:

; ;

Передаточная функция гармонически линеаризованного НЭ:

;

Определим параметры автоколебаний по критерию Найквиста.

Автоколебания в системе будут в том случает, если , то есть

; ;

Решая данную систему, получим либо отрицательные, либо комплексные корни, то есть автоколебания в системе отсутствуют.



1 - , 2 - .

Рисунок 33 - Определение параметров автоколебаний

Рисунок 34 - Фазовая траектория.

Рисунок 35 - Переходный процесс.

3 Расчёт дискретной системы автоматического управления

Задание:

1) Определить передаточную функцию Ф_НСК(z) и модифицированную функции Ф_НСК(z,m) замкнутой нескорректированной системы.

2) Оценить устойчивость нескорректированной системы прямым методом и используя критерии устойчивости.

3) Определить начальное и установившееся (для устойчивых систем) значения решетчатой функции .

4) Найти выражения для решётчатой функции и модифицированной решётчатой функций . Построить графики этих функций.

5) Построить логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики разомкнутой нескорректированной системы в функции абсолютной псевдочастоты л.

6) Определить передаточную функцию непрерывного корректирующего звена W_кз(p). Привести его схему, рассчитать параметры.

7) Определить передаточную функцию дискретного корректирующего звена D_кз(z).

8) Для случая реализации D_кз(z) с помощью цифрового вычислительного устройства разработать структуру программы, привести рекуррентные выражения для расчета текущих значений выходного сигнала устройства.

9) Для случая реализации D_кз(z) с помощью импульсного фильтра определить передаточную функцию корректирующего четырехполюсника.

10) Осуществить моделирование нескорректированной и скорректированной САУ.

1) Определим передаточную функцию Ф_НСК(z) и модифицированную функции Ф_НСК(z,m) замкнутой нескорректированной системы.

Рисунок 36 - Структурная схема нескорректированной дискретной САУ.

Исходные данные: ; ; с; с; с;

Передаточная функция непрерывной части:

;

Передаточная функция формирующего элемента (фиксатора):

; ;

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной системы:

;

Выполним Z преобразование для выражения

;

;

Тогда: ;

Передаточная функция замкнутой нескорректированной системы:

; ;

Рассмотрим получение модифицированной передаточной функции замкнутой системы. Модифицированная передаточная функция непрерывной части:

;

где: ;

;

.

Модифицированная передаточная функция разомкнутой системы:

; ;

Модифицированная передаточная функция замкнутой системы:

; ;

2) Оценить устойчивость нескорректированной системы прямым методом и используя критерии устойчивости.

Оценим устойчивость прямым методом:

Найдем корни характеристического уравнения: ;

, следовательно, найденные полюса лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости и система устойчива.

Оценим устойчивость c помощью критерия Шур-Кона:

Запишем коэффициенты характеристического уравнения

; ; ;

Составим два определителя:

; ;

, ;

Согласно критерию Шур-Кона, для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы все определители Д_i c нечётными i были отрицательны, а с чётными i - положительны. Для рассматриваемой системы это условие выполняется, система устойчива.

Применим критерий устойчивости, основанный на билинейном преобразовании:

Произведем подстановку в передаточную функцию замкнутой нескорректированной системы:

;

Запишем коэффициенты характеристического уравнения:

; ; ;

При использовании указанного преобразования условия устойчивости непрерывных и дискретных систем совпадают, вследствие чего совпадают и методы оценки устойчивости. Согласно критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости САУ второго порядка является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Это условие для рассматриваемой системы выполняются, система устойчива.

3) Определим начальное и установившееся значения решетчатой функции .

Найдем изображение переходной функции:

;

Начальное значение решетчатой переходной функции:

.

Установившееся значение решетчатой переходной функции:

, установившаяся ошибка равна 0,3333

4) Найдем выражения для решётчатой функции и модифицированной решётчатой функций и построим графики этих функций.

Изображение переходной функции:

;

Найдем корни уравнения :

; ; ;

Определим выражение для решетчатой функции, используя формулу:

;

где , ,

корни характеристического уравнения.

Рисунок 37 - График решетчатой функции.

Найдем изображение модифицированной решётчатой функции:

;

Определим выражение для решетчатой функции, используя формулу

,

где , , корни характеристического уравнения:

; ; ;

Получим:

;

Рисунок 38 - График модифицированной решетчатой функции.

5) Построим логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики разомкнутой нескорректированной системы в функции абсолютной псевдочастоты л.

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной системы:

;

В передаточной функции разомкнутой нескорректированной системы W_нск(z) произведём подстановку ; и получим:

;

Произведём подстановку :

;

Постоянные времени нескорректированной системы:

; ; ; .

Частоты сопряжения нескорректированной системы:

; ; ; .

; .

Рисунок 39 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой нескорректированной системы.

6) Определим передаточную функцию непрерывного корректирующего звена, приведём его схему, рассчитаем параметры.

Скорректированная система должна удовлетворять требованиям:

а) время регулирования процесса (t_p ? 2 с);

б) перерегулирование у ? 20%;

в) величина установившейся статической ошибки ? 5%.

Рисунок 40 - Структурная схема дискретной САУ с последовательным аналоговым корректирующим звеном

Частота скорректированной САУ среза:

Передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:

; где ; ;

; .

Рисунок 41 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой скорректированной системы.

Произведём подстановку :

;

Произведём подстановку и получим:.

Передаточную функцию корректирующего звена получим из выражения

.

Передаточная функция замкнутой скорректированной САУ:

, .

Выполнив обратное Z-преобразование для F(z) и преобразование Лапласа, получим: .

Таким образом, по формуле получим:

;

Для обеспечения физической реализуемости необходимо ввести в передаточную функцию дополнительный достаточно удаленный полюс, существенно не снижающий эффективности коррекции.

;

Теперь аппаратно реализуем данное корректирующее звено:

Рисунок 42 - Аппаратная реализация корректирующего звена.

;

где ; ; ; ;

Пусть: (Ом);

тогда: (Ом); (мкФ); (мкФ);

7) Определим передаточную функцию дискретного корректирующего звена D_кз(z).

Рисунок 43 - Структурная схема дискретной САУ с последовательным дискретным регулятором.

Передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:

; ; .

Рисунок 44 - ЛАХ и ФЧХ разомкнутой скорректированной системы.

Осуществим замену

: ;

Произведём подстановку и получим:.

Передаточная функция регулятора:

;

8) Для случая реализации D_кз(z) с помощью цифрового вычислительного устройства разработаем структуру программы, приведем рекуррентные выражения для расчета текущих значений выходного сигнала устройства.

Воспользуемся методом прямого программирования.

;

Произведем преобразования: , следовательно,

;

Введем переменную такую, что ;

или .

Получим .

Рисунок 45 - Структурная схема прямого программирования

передаточной функции .

Соответствующие данному алгоритму рекуррентные зависимости для вычисления текущего значения и имеют вид:

;

9) Для случая реализации D_кз(z) с помощью импульсного фильтра определим передаточную функцию корректирующего четырехполюсника.

Реализуем импульсный фильтр в цепи обратной связи.

Передаточная функция цифрового регулятора:

.

Передаточная функция импульсного фильтра определяется выражением:

Обозначим ;

Выполним обратное Z преобразование:

Выполним преобразование Лапласа:

Передаточная функция импульсного фильтра в цепи обратной связи:

; ;

10) Осуществить моделирование нескорректированной и скорректированной САУ.

Смоделируем замкнутую нескорректированную дискретная систему:

Рисунок 46 - Нескорректированная дискретная САУ.

Рисунок 47 - Переходная функция нескорректированной САУ.



Рисунок 48 - Аналоговая коррекция дискретной САУ.

Рисунок 49 - Переходная функция скорректированной САУ.

Рисунок 50 - Коррекция цифровым регулятором на базе ЦВУ.



Рисунок 51 - Переходная функция скорректированной САУ

Рисунок 52 - Коррекция с помощью импульсного фильтра в цепи обратной связи.



Рисунок 53 - Переходная функция скорректированной САУ.

4 Расчёт стохастической системы автоматического управления

Задание:

1) Получить выражения для автокорреляционной функции R(ф) и спектральной плотности S(щ) случайного сигнала.

2) Рассмотреть реакцию системы при подаче на вход случайного сигнала.

1) Получить выражения для автокорреляционной функции R(ф) и спектральной плотности S(щ) случайного сигнала.

Рисунок 54 - Случайный сигнал.

По данному сигналу получим центрированную автокорреляционную функцию .

Рисунок 55 - Центрированная автокорреляционная функция .

По этому выражению рассчитаем спектральную плотность случайного сигнала

.

2) Рассмотреть реакцию системы при подаче на вход случайного сигнала.

Рисунок 56 - Воздействие случайного сигнала на линейную САУ.

Спектральная плотность выходного сигнала равна .

Передаточная функция замкнутой САУ после включения последовательного звена:

;

Амплитудо-частотная характеристика этой системы: ;

;

Найдем спектральную плотность выходного сигнала:

;

1 - ;

2 -

Рисунок 57 - Спектральные плотности.

Рисунок 58 - Выходной сигнал.

Список использованных источников

1 Гринфельд, Г. М. Теория автоматического управления / Г. М. Гринфельд. - Комсомольск-на-Амуре: Институт новых информационных технологий государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет», 2003. - 115с.

2 Гринфельд, Г. М. Лекции по курсу “Дискретные системы автоматического управления” / Г. М. Гринфельд. - Комсомольск-на-Амуре, 2003. - 66 с.

3 Певзнер, Л. Д. Теория систем управления / Л. Д. Певзнер. - Москва : Издательство Московского государственного горного университета, 2002. - 472 с.