В результате совместного решения этих ММ формируется динамическая модель всей системы. Такое прямое решение математической задачи “свертывания” ММ с получением результирующей модели является задачей анализа. При осуществлении же синтеза системы решается, фактически, обратная задача, связанная с выделением ММ управляющего устройства (т. е. закона управления) из модели проектируемой системы при известном математическом описании объекта. Очевидно, что при заданном и неизменном ОУ структуру САУ в целом будет задавать только устройство управления.

Таким образом, из всего многообразия задач, решаемых при проектировании САУ, выделена задача синтеза управляющего устройства, под которым понимается проектирование его на уровне математической модели. При этом исходной информацией для синтеза являются математическая модель объекта, цель управления и показатели его качества, обусловленные автоматизируемой технологией. Конечным результатом процесса синтеза считается математическая модель управляющего устройства, то есть закон управления, задающий окончательные динамические свойства системы. Промежуточным же результатом процесса синтеза может быть, например, желаемая математическая модель САУ, заданная либо в критериальной, либо в динамической формах.

5.2. Критериальная стратегия синтеза

Задача синтеза системы автоматического управления заключается в выборе такой ее структуры, параметров, характеристик и способов их реализации, которые при заданных ограничениях наилучшим образом удовлетворяют требованиям, предъявляемым к системе.

В процессе синтеза учитывают комплекс требований, как правило, сформулированных в техническом задании. Эти требования можно объединить в некоторые основные группы [20].

К первой группе относятся требования, связанные со статическими и динамическими свойствами автоматической системы. Исчерпывающей характеристикой этих свойств могло бы быть значение ошибки системы в каждый момент времени. Однако так как законы изменения во времени задающих и возмущающих воздействий практически не известны, определить ошибку системы невозможно, поэтому на практике для оценки статических и динамических свойств проектируемой системы используются некоторые вспомогательные оценки - критерии качества. К ним относятся точностные характеристики для некоторых типовых детерминированных или случайных входных воздействий, оценки запаса устойчивости, характеризующие близость системы к колебательной границе устойчивости, и оценки быстродействия, определяющие прямо или косвенно время протекания переходного процесса, а также оценки, характеризующие, например, чувствительность системы к изменению ее параметров (из-за неточности изготовления элементов, изменения внешних условий и т. д.), плавность работы системы при малых скоростях движения, помехоустойчивость и т. п.

В более общем случае критерием качества может служить минимум некоторого критерия оптимальности, чаще всего задаваемого в виде интегрального квадратичного функционала от нескольких функций или функционала в частотной области [15, 21].

Ко второй группе относятся требования, связанные с надежностью проектируемой системы, ее устойчивостью к влиянию воздействий окружающей среды (климатических, химических, радиационных, механических и др.) и способностью сохранять свои характеристики в течение предписанного промежутка времени. При этом следует учитывать, что надежность не является свойством, которое можно придать готовой системе. Она должна обеспечиваться комплексом мер, принимаемых на всех этапах проектирования, начиная от выбора состава элементов и места их расположения в структуре системы и кончая условиями эксплуатации.

В третью группу входят требования, связанные с допустимым весом и габаритом автоматической системы и допустимым потреблением мощности. Важен и вид энергии, а также стабильность источников питания.

К четвертой группе относятся требования, связанные с эксплуатацией и техническим обслуживанием системы автоматического управления, такие, как условия обслуживания системы в процессе ее работы (возможность контроля состояния, безопасности и др.), возможность ремонта и восстановления, необходимый уровень квалификации технического персонала, выполнение рекомендаций технической эстетики и т. д.

В пятую группу входят требования, связанные с технологичностью изготовления автоматической системы и выполнением требований ЕСКД. К ним могут быть отнесены максимальное использование стандартных, уже освоенных или унифицированных элементов, деталей и узлов, рациональное ограничение размеров, материалов, покрытий, простота сборки, регулировки и контроля, экономические показатели и др.

Конечная цель решения задачи синтеза -- отыскание оптимальной структуры системы автоматического управления и ее характеристик. Приведенный выше далеко не полный перечень технических требований, предъявляемых к автоматической системе, показывает, что сформулировать единый критерий оптимальности и решить задачу синтеза как вариационную задачу на отыскание экстремума этого критерия не представляется возможным. Для упрощения решения этой задачи можно было бы включить в критерий оптимальности лишь одну или несколько основных технических характеристик системы, однако ограниченность постановки задачи может в этом случае привести к малопригодной для практики системе из-за неизбежного гипертрофирования одних ее качеств по сравнению с другими. Поэтому практически общая задача синтеза системы автоматического управления распадается на ряд этапов, на каждом из которых решается лишь часть общей задачи: определение структуры и параметров системы, выбор конкретных элементов, энергетический и конструктивный расчеты, согласование характеристик элементов и т. д. Для нахождения наилучшего решения при таком подходе приходится просматривать несколько вариантов модели системы.

При решении задачи синтеза необходимо обеспечить требуемую точность системы и приемлемый характер переходных процессов.

При задании желаемых свойств синтезируемой системы управления явным образом с помощью эталонного переходного процесса более просто определяются требуемые инженерные свойства. К таким свойствам относятся длительность переходного процесса, отсутствие перерегулирования и колебательности. Таким образом, прямой критерий качества является более предпочтительным по сравнению с задачей выбора весовых коэффициентов широко используемых интегральных критериев качества. При синтезе необходимо выбирать эталонный переходный процесс для задания желаемых свойств синтезируемой системы управления.

5.3 Обзор существующих методов синтеза

В настоящее время в теории автоматического управления известно достаточно большое количество различных подходов к решению проблемы синтеза систем управления. Каждый из них имеет свои особенности, преимущества и недостатки. Проектировщик выбирает конкретный инструмент решения задачи синтеза в зависимости от многих причин.

Первой из них является совокупность технологических требований к системе. На втором месте стоят, обычно, технические возможности, в частности, предполагаемая элементная база. Далее идут экономические, надежностные, конструкторские и другие характеристики. Таким образом, задача выбора метода непроста и неоднозначна.

По уровню исходного ограничения структуры закона управления методы синтеза можно разделить на следующие группы.

Синтез с жестко заданной структурой, с последовательным расчетом параметров структуры удовлетворяющих заданным технологическим требованиям (параметрический синтез).

Под параметрическим синтезом системы регулирования понимается обеспечение заданных показателей системы посредством специально вводимых ориентирующих устройств, параметры которых должны быть рационально определены, а затем уточнены при наладке реальной системы. То есть необходимо подбирать такие параметры регуляторов и корректирующих связей, которые обеспечивали бы экстремум некоторой целевой функции, выбранной как критерий качества работы системы. Среди большого числа существующих критериев качества широко распространены в практике проектирования систем управления электромеханических объектов интегральные критерии от квадратичных форм.

Синтез по эталонным (желаемым) математическим моделям. К нему можно отнести методы типовых характеристик, эталонных переходных процессов, стандартных коэффициентов, желаемых ЛАЧХ, отождествления высших производных - метод Бойчука, а также метод модального управления и т. д.

Метод стандартных коэффициентов предназначен для синтеза САУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго и третьего порядков, удовлетворяющих технических требований. Желаемая математическая модель выбирается из условия заданной формы переходного процесса. Характерная особенность метода заключается в том, что искомые параметры определяются при решении системы уравнений, полученных путем приравнивания коэффициентов при соответствующих операторов желаемой и реальной передаточной функции системы регулирования. Основными недостатками метода, при решении задачи синтеза на втором этапе, являются необходимость задания структурной сема САУ и, характерная для многих случаев, неразрешимость системы уравнений, служащей для определения параметров этой системы.

Суть метода модального управления состоит в том, что при наличии полной информации о векторе состояния линейного объекта управления регулятор выполняется в виде набора пропорциональных связей по каждой из координат объекта. Коэффициенты этих связей выбираются таким образом, чтобы полюса замкнутой системы размещались в заранее выбранное положение, при котором ее характеристическое уравнение соответствует некоторой стандартной форме порядка n:

,

где - параметр, определяющий реальное время протекания процессов в системе при переводе ее из одного состояния в другое [25].

Наиболее полно разработаны методы синтеза САУ, опирающиеся на их АФХ. Они глубоко физичны, удобны для инженерных расчетов, однако не являются достаточно точными, поскольку ориентируются на косвенные показатели качества. Эти методы позволяют рассчитывать динамические свойства САУ с заданной структурой и фиксированными значениями параметров.

Этот метод состоит из двух этапов:

- определение желаемой логарифмической частотной характеристики (ЛАЧХ) системы в разомкнутом состоянии;

- определение передаточной функции регулятора.

Задача решается графоаналитическим способом. Наиболее просто определяются передаточные функции последовательных корректирующих устройств, а для параллельных корректирующих устройств используются специальные разработанные номограммы [22]. Метод желаемых ЛАЧХ обладает наибольшей простотой и наглядностью при решении задачи синтеза, а также наиболее общей постановкой этой задачи.

Хотя этот метод получил широкое распространение на практике, для синтеза линейных систем он, однако, имеет существенные недостатки:

- отсутствие однозначной связи между численными показателями амплитудно-частотной характеристики системы в разомкнутом состоянии и динамическими показателями переходной функции системы;

- затруднительность расчета сложных многоконтурных устройств управления, исходя из простоты их реализации [20].

Синтез, результатом которого является структура системы управления и её параметры (синтез оптимального управления). К нему относится метод динамического программирования Беллмана, метод синергетического синтеза, методы, основанные на использовании принципа максимума Понтрягина [22].

Некоторые методы можно реализовать аналитически. Однако большинство методов требуют численных решений. В настоящее время эти методы получили все более широкое применение в связи с внедрением ЭВМ в системы управления. С помощью ЭВМ можно производить вычисления весьма быстро и точно. ЭВМ запоминает большие массивы информации и автоматически осуществляет необходимые логико-последовательные вычисления.

Подводя итог обзору, можно сделать вывод:

- во-первых, всем перечисленным методам синтеза САУ присущи общие недостатки, ограничивающие диапазон их применения, - возможность определения желаемых математических моделей проектируемой системы в замкнутом состоянии лишь для небольшого числа типовых воздействий, несогласованность энергетического расчета отдельных элементов, входящих в систему, с динамическим расчетом системы, сложность и трудоемкость;

- во-вторых, большинство из них роднит общая методологическая посылка - задание в той или иной форме желаемых (или эталонных) ММ проектируемой системы и двухэтапность решения задачи.

Существующие методы синтеза в подавляющем большинстве случаев требуют решения нелинейных дифференциальных уравнений, что является достаточно сложным в вычислительном отношении. Предлагаемый ниже метод синтеза сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений на каждом шаге квантования по времени, что является достаточно простой задачей и позволяет формировать управляющее воздействие в реальном масштабе времени.

Желаемые свойства синтезируемой системы управления задаются явным образом с помощью эталонного переходного процесса. Это позволяет более просто задавать требуемую длительность переходного процесса, отсутствие перерегулирования и колебательности по сравнению с задачей выбора весовых коэффициентов широко используемых интегральных критериев качества. Эталонный переходный процесс для манипулятора представляет собой выбранную траекторию движения рабочего органа.

Поскольку на обобщенные координаты, скорости и ускорения, а также на управляющие воздействия наложены ограничения, необходимо для синтеза системы управления использовать метод, позволяющий их учесть.

5.4 Метод синтеза дискретно-непрерывных систем управления по эталонным моделям движений

На основе сделанного выше анализа методов синтеза следует, что наиболее удобными являются методы, основанные на задании желаемых свойств с помощью эталонных переходных процессов.

Рассмотрим метод синтеза дискеретно-непрерывной системы управления, описанный в [2,8], и позволяющий синтезировать систему управления ПР. Метод основан на критерии качества, характеризующего отклонение переходного процесса в синтезируемой системе управления от эталонного в моменты дискретизации по времени. Приведем описание метода применительно к синтезу системы управления нелинейным объектом, каковым является манипулятор.

Пусть объект управления описывается матричным дифференциальным уравнением в пространстве состояний

,(5.1)

где вектор-столбец координат состояния системы;

нелинейная вектор-функция, каждая из компонент которой является гладкой функцией и имеет по меньшей мере одну производную;

вектор-столбец коэффициентов системы размерности ;

управляющее воздействие.

Дискретный характер управления учитывается при переходе от уравнения (5.1) к разностному матричному уравнению

,(5.2)

где

Для линеаризации векторного дифференциального уравнения (5.2) оно представляется в матричном виде

.(5.3)

и формируется матрица Якоби векторной функции [15]:

, где .

Если положить , где -- произвольная переменная, то . Такая замена возможна для таких вектор- функций для которых существует матрица Якоби.

Переходя от дифференциальных уравнений управляемой системы (5.2) к уравнениям, описывающим объект управления на каждом шаге дискретизации по времени, можно получить выражение

,(5.4)

где -- шаг дискретизации ;

период дискретизации;

.

Для линеаризации уравнения (5.4) необходимо осуществить замену матрицы на постоянную . Такая замена осуществляется с некоторой погрешностью, которая достаточно мала благодаря малому шагу квантования и значит, малому изменению матрицы на этом шаге. С этой целью могут быть использованы численные методы решения дифференциальных уравнений. Например, при использовании метода Эйлера . Более точную линеаризацию можно осуществить более точными методами численного решения дифференциальных уравнений, например, Рунге-Кутты, Симпсона, Адамса и так далее.

Таким образом, уравнение (5.4) после линеаризации методом Эйлера примет вид

,(5.5)

где постоянная на - ом шаге матрица размерности .

Из формулы (5.5) следует, что управляющее воздействие, которое необходимо найти зависит от времени. В таком виде его найти сложно, поэтому представим управляющее воздействие в виде суммы взвешенных, заранее определенных линейно независимых функций.

Управляющее воздействие на каждом шаге квантования представляется в виде

,(5.6)

гдевектор-строка с линейно-независимыми функциями;

вектор значений постоянных на -ом шаге дискретизации по времени.

Обычно на каждом шаге квантования принимается ступенчатое управляющее воздействие. В этом случае , а - скалярная величина.

Для увеличения периода квантования и уменьшения величины критерия качества для синтезированной системы управления могут использоваться несколько линейно-независимых функций.

Рассмотрим использование линейной функции. Она имеет вид . Если представить её в виде (5.6), то получим для линейного управляющего воздействия -- вектор-строка размерности 2, а -- вектор-столбец такой же размерности.

Решение уравнения (5.5) в момент времени на -ом шаге квантования имеет вид [18]:

(5.7)

Состояние системы в конце -го шага дискретизации может быть записано в виде разностного уравнения

,(5.8)

Где

.

где функция транспонирования.

Рассмотрим вычисление компонент матрицы при формировании линейного управляющего воздействия на каждом шаге дискретизации по времени с помощью системы линейно-независимых функций.

Поскольку для линейного управляющего воздействия требуются 2 линейно-независимые функции, то матрица имеет два столбца.

Таким образом, поскольку , то первый столбец матрицы равен

;

второй равен

При формировании ступенчатого управляющего воздействия на каждом шаге дискретизации по времени.

Синтез ЗУ сводится к нахождению последовательности постоянных на каждом шаге квантования по времени вектор-столбцов управления . При этом минимизируется критерий качества, характеризующий отклонения переходного процесса от эталонного в моменты дискретизации

,(5.9)

Где и -- соответственно, вектор состояния в синтезированной системе управления и вектор эталонного состояния размерности в момент времени .

Эталонный переходный процесс может быть задан в виде любой непрерывной вектор-функции размерности , например,

,(5.10)

где - матрица размерности , обеспечивающая необходимые показатели качества управления.

При этом ограничение на управляющее воздействие имеет вид:

.(5.11)

Синтез линейных дискретно-непрерывных систем с учетом ограничений [2] в выше приведенной постановке может быть сведен к решению задачи о наименьших квадратах с линейными ограничениями-неравенствами, которая формулируется следующим образом [8,11]: минимизировать

(5.12)

при условии ,(5.13)

где соответственно - матрица; - вектор неизвестных; - вектор; - матрица; - вектор.

Процедура получения вектора неизвестных выглядит следующим образом.

На каждом -ом шаге дискретизации необходимо найти вектор неизвестных . Таким образом на -ом шаге вектор неизвестных равен .

Для ступенчатого управляющего воздействия представляет собой скалярную величину. Для линейного управляющего воздействия представляет собой вектор-столбец размерности 2.

Таким образом на -ом шаге решается система линейных уравнений с ограничениями методом наименьших квадратов размерности 1 для ступенчатого управления или 2 для линейного управления

Сформируем матрицу и вектор , входящие в матричное выражение (5.12), на -ом шаге.

Переходный процесс в моменты дискретизации определяется системой уравнений

(5.14)

В левую часть системы уравнений (5.14) вместо вектора подставим соответствующие значения эталонного переходного процесса . В результате получим выражения для матрицы и вектора :

, .

Формирование матрицы и вектора осуществляется следующим образом. Записываются ограничения (5.13) на управляющее воздействие в виде

(5.15)

При ступенчатом управлении достаточно наложить ограничения сверху и снизу в один момент времени на шаге квантования.

Представим неравенства (5.15) на k-ом шаге с учетом вышесказанного в виде системы неравенств:

которые с учетом выражений (5.6) можно записать в виде:

При этом матрица и вектор будут иметь вид:

, .

Характерной особенностью линейного управления на шаге квантования является наличие не более двух глобальных экстремумов на границах интервала дискретизации. Таким образом, если обеспечить выполнение условия (5.15) в моменты времени и , то они будут выполняться автоматически на всем интервале .

Представим неравенства (5.15) на k-ом шаге с учетом вышесказанного в виде системы неравенств:

которые с учетом выражений (5.6) можно записать в виде:

Представим полученную систему неравенств в матричном виде (5.13). При этом матрица и вектор будут иметь вид:

.

Синтез системы управления без учета ограничений сводится к решению на каждом -ом шаге дискретизации по времени линейного матричного уравнения

.

Решение имеет вид

При синтезе без учета ограничений управляющее воздействие находится в явном виде, как функция текущего состояния [8].

6. Синтез системы управления ПР

6.1 Линеаризация математической модели ПР

Линеаризуем уравнение (4.7), описывающее ОУ по методу, представленному в разделе 4.4. Для этого найдем матрицу Якоби вектор-функции

= ,

входящей в уравнение (4.7)

;

Где ;

;

;

;

;

.

Найдем матрицу

=

Где

Таким образом, объект управления описывается линейным уравнением на каждом шаге квантования

,

Где

6.2 Построение сплайнов через узловые точки траектории

Для нахождения координат точек траектории, в которых РО позиционируется в моменты дискретизации необходимо решить задачу интерполяции траектории по заданным узловым точкам, лежащих на траектории.

На практике аппроксимация осуществляется кубическими сплайнами.

При аппроксимации кубическими сплайнами ускорение меняется по линейному закону:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6.1 График ускорения

.

На основании теоремы подобия:

(6.1)

Интегрируя дважды полученное выражение (6.1), получаем формулу для описания сплайнов:

.(6.2)

Для нахождения постоянных коэффициентов используем условия непрерывности сплайнов и их прохождения через узловые точки

Решая полученную систему уравнений определим постоянные интегрирования. Подставляя их в выражение (6.2), получим уравнения для сплайнов в окончательном виде:

промышленный робот лазерный резка

(6.3)

где - t_j - момент прохождения узловой точки;

h_j - шаг разбиения временного интервала движения, ;