Синтез фильтрующих цепей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Курсовая работа

по дисциплине

Основы теории цепей

г. Новосибирск 2011 г.



1. Основные сведения из теории фильтрующих цепей

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область. Для ФНЧ полоса пропускания лежит диапазоне частот , а непропускания - в диапазоне для ПФ полоса пропускания располагается между полосами непропускания

Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так ослабление в ПП не должно превышать максимально допустимого ослабления , а в ПН не должно быть ниже значения A_min .Требования к другим характеристикам фильтров здесь не рассматриваются.

Синтез (расчет) фильтров состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. На первом этапе по заданным A_min и А_mаx в ПП и ПН формируется передаточная функция фильтра, т. е. математическое описание цепи, которая удовлетворяет указанным выше требованиям. На втором этапе создают схему цепи и определяют значения ее элементов по полученной передаточной функции. Оба этапа хорошо разработаны применительно к синтезу ФНЧ. Что касается синтеза других типов фильтров: полосовых, заграждающих (режекторных), фильтров верхних частот, - то возможны различные варианты расчета. Один из них основан на том, что требования к заданному фильтру пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу на основании принципа преобразования частоты. Рассчитывается НЧ-прототип по методике синтеза ФНЧ. Затем полученная схема НЧ-прототипа преобразуется в схему заданного фильтра, но только в случае пассивных фильтров [1ч3]. В случае активных фильтров этап реализации осуществляется другим методом.

2. Синтез пассивных полосовых фильтров

Этап аппроксимации. Задано: частоты f_п1 и f_п2 границы ПП и частота f_з2 - граница ПН справа; ослабление A_min и А_mах =ДА Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН.

, (2.1)

находим значение f_з1 - граничной частоты ПН слева. Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

(2.2)

при тех же значениях A_min и А_mах (рис. 2.1, а). Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ . Для унификации расчетов вместо угловой частоты щ вводят понятие нормированной частоты , где щ_н - нормирующая частота. Обычно в качествещ_н выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

(2.3)

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

; (2.4)

; (2.5)

где - функция фильтрации; - коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

У фильтров Баттерворта

от,

где m - порядок фильтра. Характеристика , т. е. квадрата коэффициента передачи для таких фильтров разного порядка m приведена на рис. 2.3, а (кривая 1 _ характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m= 6, кривая 3 m=2), Щ=1 все кривые проходят через точку, зависящую от ??. Из анализа рисунка видно, что ?? действительно определяет неравномерность коэффициента передачи ФНЧ в ПП. Если в (2.4) положить, а то после преобразований получим передаточную функцию фильтра в виде

(2.6)

где У фильтров Чебышева функция фильтрации для области нормированных частот . Характеристика квадрата коэффициента передачи при разных m (кривая 1 - характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m= 4, кривая 3 для m= 2). Анализ кривых показывает, что полином Чебышева в интервале принимает экстремальные значения(min или mах) m+ 1 раз. Или по иному: порядок фильтра нижних частот Чебышева по кривой , или по любой другой частотной характеристике фильтра, определяется удвоенным количеством периодов колебаний в ПП, рассчитанном на уровне полосы пропускания.

Граница полосы пропускания по частоте - это Щ=1; уровень полосы пропускания - это 1/(1+. Передаточная функция фильтра Чебышева описывается тем же выражением, но коэффициент

Анализ кривых показывает, что: - чем выше порядок фильтра, тем выше его избирательность за счет уменьшения переходной области; ?- при одинаковом порядке т избирательность фильтров Чебышева выше избирательности фильтров Баттерворта; - у фильтров Чебышева ФЧХ в полосе пропускания имеет нелинейный характер за счет волнового характера изменения в ПП. Итак, этап аппроксимации при синтезе ПФ заканчивается получением функции Н(р) для НЧ-прототипа. Этап реализации. Если фильтр со стороны зажимов 1-1' рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой R_и; то, можно оперировать понятием входного сопротивления Z_BХ.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1-1':

, (2.7)

где - коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями R_r и Z_Bx.1 (P), Если известно Z_вx.1(P), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона [1, 2]. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Z_Bx.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление R_r, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином

Тогда (2.7) записывают как

, (2.8)

Например, для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

(2.9)

а полином h(p) будет:

. (2.10)

Подставляя h(р)из (2.10) и v(р) из (2.6) в (2.8), записывают Z_BX.1 (p)в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC-фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление R_и. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией pacчeтa является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения. ?

Синтез активных полосовых фильтров

АRС-фильтры представляют собой комбинацию пассивной RС-цепи и активного элемент. В качестве последнего чаще всего используются операционные усилители часто с двумя входами - инвертирующим и неинвертируюшим. В схемах АRС-филыров обязательно имеется обратная связь. Известно (1;2),что передаточная функция любой активной цепи с обратной связью записывается как

,

где Н_ус(р) и Н_ас(р) передаточные функции цепи прямого усиления и цепи обратной связи соответственно. Знаменатель Н(р) - это полином, например второй степени. Корни его, т, е. полюсы Н(р) могут быть в том числе и комплексно-сопряженными. Последнее означает, что АRС-цепь эквивалентна пассивной LС-цепи, а т. к. LС-цепь обладает избирательными свойствами, то и АRС-цепь тоже может обладать избирательными свойствами, т, е. является фильтром. Синтез АRС-фильтров, как и пассивных LС-фильтров, состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. Этап аппроксимации в обоих случаях одинаков. Этап реализации для АRС-фильтров - отличается от LС-реализаuии.

Этап реализации. Вначале осуществляют переход от передаточной функции НЧ-прототипа, которая имеет вид (2.6), к передаточной функции полосового фильтра. Один из возможных вариантов такого перехода основан на использовании формулы пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

(2.11)

где ; - полюсы передаточной функции НЧ-прототипа; - находится по (2.1). Согласно (2.11) одной паре комплексно-сопряженных полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов денормированной передаточной функции полосового фильтра, Одному вещественному полюсу нормированной Н(р) НЧ-прототипа (2.6) соответствует одна пара комппексно-сопряженных полюсов вида денормированной Н(р) полосового фильтра. В результате общий порядок ПФ удваивается по сравнению с порядком НЧ-прототипа. Передаточную функцию ПФ удобно представлять произведением сомножителей второго порядка Н₁ (р), Н₂(р), Нз(р) и т. д. Каждый из этих сомножителей реализуется в виде активного RС-звена второго порядка, а полученные звенья соединяются каскадно, образуя полную схему ПФ. Звенья ARСфильтров в общем случае являются типовыми (одинаковыми) для фильтров, имеющих одинаковое расположение полосы пропускания на шкале частот.

Исходные данные

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Длительность импульсов t_и = 40 мкс;

период несущей частоты T_н = 10 мкс;

период следования импульсов T_и = 113 мкс.

Сопротивление генератора импульсов и сопротивление нагрузки R_г = R_н = 600 Ом.

Амплитуда несущей U_mн = 14 В.

Максимальное допустимое ослабление в полосе пропускания фильтра A_max = ДA = 3 дБ;

полное ослабление на границах полос непрозрачности A_пол = 32 дБ.

фильтрующий цепь частотный радиоимпульс



3. Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсов

Рассчитаем частоту несущей:

Частоты нулей огибающей спектра:

Максимальное напряжение огибающей, соответствующее несущей частоте f_н:

Частота следования импульсов:

f_и = 1/T_и = 1/113·10^-6 = 8850 Гц = 8,85 кГц.

Частоты гармоник спектра:

f₁ = f_н +f_и = 100 + 8,85 = 108,85 кГц; f₂ = f_н +2·f_и = 100 + 2·8,85 = 117,7

кГц;

f₃ = f_н +3·f_и = 100 + 3·8,85 = 126,55 кГц; f₄ = f_н +4·f_и = 100 + 4·8,85 =

135,4 кГц;

f₅ = 100 + 5·8,85 = 144,25 кГц;

f_-1 = f_н -f_и = 100 - 8,85 = 91,15 кГц; f_-2 = f_н -2·f_и = 100 - 2·8,85 = 82,3 кГц;

f_-3 = f_н -3·f_и = 100 - 3·8,85 = 73,45 кГц; f_-4 = f_н -4·f_и = 100 - 4·8,85 = 64,6

кГц;

f_-5 = f_н -5·f_и = 100 - 5·8,85 = 55,75 кГц.

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот рис. 2

Рис. 2. Амплитудный спектр радиоимпульса.

4. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая то, что на границах основного лепестка огибающей 75 и 125 кГц спектральных составляющих нет нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот

f_П1 = f_-2 = 82,3 кГц; f_П2 = f₂ = 117,7 кГц.

Граничную частоту полосы непропускания выбираем равной частоте первой гармоники, находящейся после частоты 125 кГц:

f_з2 = f₃ = 126,55 кГц.

Центральная частота полосы пропускания:

Нижняя граничная частота полосы непропускания:

Максимально допустимое ослабление фильтра:

Рассчитываем амплитуды 2-й и 3-й гармоник.

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

5. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа:

f_П.НЧ = f_П2 - f_П1 = 117,7 - 82,3 = 35,4 кГц:

f_З.НЧ = f_З2 - f_З1 = 126,55-76,54 = 50,01 кГц.

Значения нормированных частот:

Щ_П = 1; Щ_З = f_З.НЧ / f_П.НЧ = 50,01/35,4 = 1,41.

Коэффициент неравномерности ослабления фильтра в полосе пропускания:

Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения (2.5), но при , т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева , поэтому:

После подстановки в (3.5) исходных данных и вычислений получим m = 2,87. Расчетное значение т необходимо округлить в большую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.

	Порядок m=3
0,2 0,5 1,0 3,0

Передаточная функция НЧ-прототипа:

н(p) = (p - p₁) (p - p₂) (p - p₃) = (p - у₁)·(p² - 2у₂p + у₂² + Щ₂²)=

= (p+0,29862)(p²+2·0,14931p+0,14931²+0,903813²)

6. Реализация LC-прототипа

Входное сопротивление четырёхполюсника:

где для фильтров Чебышева третьего порядка:

h(p) = p³+0,75p

Проводимость нагруженного четырёхполюсника:

Разложим Y_вх.1(p) в непрерывную дробь. Делим числитель на знаменатель

_2p³+0,59724p²+1,678345p+0,2506 | 0,59724p²+0,178345p+0,2506

2p³+0,59724p²+0,839194 3,34874p

0,839151p+0,2506 (остаток)

0,59724p²+0,178345p+0,2506 | 0,839151p+0,2506

0,59724p²+0,178 356 0,711719p

0,2506

Полученной дроби будет соответствовать следующая схема:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нормированные значения элементов схемы:

R_Г.Н. = R_Н.Н. = 1;

C_1Н = 3,3486; L_2Н = 0,7117; C_3Н = 3,3487.

Значения ёмкостей, индуктивности и сопротивлений:



7. Реализация пассивного полосового фильтра

Между частотами НЧ-прототипа и частотами фильтра щ_пф существует соотношение:

щ₀ = 2рf₀ = 2·3,14·98,42·10³ = 6,184·10⁵ рад/с.

НЧ-прототипу соответствует фильтр, схема которого приведена на рисунке ниже

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

R_Г = R_Н = 600 Ом.

8. Расчёт полюсов активного RC-фильтра

Дщ = 2р(f_П2 - f_П1) = 2·3,14·(117,7-82,3)·10³ = 222424 рад/с;

Дщ/2 = 222424/2 = 111212 рад/с;

щ₀² = (6,184·10⁵)² = 3,824·10¹¹ рад²/с²;

Полюсы полосового ARC-фильтра:

p₃ = -4326-j636017; p₄ = -1006+j615915;

p₅ = -4326+j636017; p₆ = -1006-j615915;

9. Формирование передаточной функции ARC-фильтра

Передаточная функция ARC-фильтра строится в виде произведения передаточных функций трёх звеньев 2-го порядка:

Коэффициенты в знаменателе:

b_i1 = 2б_i; b_i0 = б_i²+щ_i²;

b₁₁ = 2·33210 = 66420 ; b₁₀ = (33210)²+(617168)² = 3,819·10¹¹;

b₂₁ = 2·4326 = 8652 ; b₂₀ = (4326)²+(636017)² = 4,045·10¹¹;

b₃₁ = 2·1006 = 2012 ; b₃₀ = (1006)²+(615915)² = 3,793·10¹¹.

10. Расчёт элементов схемы фильтра

Схема полосового фильтра состоит из трёх однотипных фильтров второго порядка на операционных усилителях. Схема одного звена фильтра:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Передаточная функция звена:

Рассчитываем элементы схемы для каждого звена

Звено 1

Принимаем C₃ = C₄ = 1 нФ = 1·10^-9 Ф.

Звено 2

Принимаем C₃ = C₄ = 1 нФ = 1·10^-9 Ф.

Звено 3

C₃ = C₄ = 1 нФ = 1·10^-9 Ф.

11. Расчёт частотных характеристик фильтра

Рассчитываем затухание фильтра A(f). Заменяем в передаточной функции H(p) p на jщ, получаем частотную передаточную функцию:

щ = 2рfРассчитаем значения A(f) и построим график функций.

f, кГц	fз1	fп1	F0	fп2	fз2
	76,34	82,3	98,42	117,7	126,55
H1(w)	0,57	0,76	1,43	0,76	0,57
H2(w)	0,31	0,37	0,72	2,47	1,53
H3(w)	2,08	3,36	0,97	0,5	0,42
H(w)	0,37	0,94	1,00	0,94	0,37
A1(w)	4,81	2,41	-3,09	2,41	4,81
A2(w)	10,27	8,61	2,87	-7,87	-3,69
A3(w)	-6,35	-10,52	0,22	5,96	7,62
A(w)	8,74	0,5	0	0,5	8,74

Кривая затухания фильтра в полосе частот

Принципиальная схема фильтра



Использованная литература

1. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1998.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988.

3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986.

4. Настоящий курс лекций «Основы теории цепей» 3 семестр. СибГУТИ.

5. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983 г.

Размещено на Allbest.ru