Математическое моделирование цифровых фильтров в современных системах передачи информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Тема "Математическое моделирование цифровых фильтров в современных системах передачи информации"

Введение

Наличие огромных потоков информации в различных областях науки и техники вызывает необходимость создания методов и систем обработки информации, обладающих качественно новыми показателями по пропускной способности и другим характеристикам [7].

Состояние и перспективы развития информационных технологий характеризуются широким практическим использованием техники цифровой обработки сигналов.

С помощью цифровых методов можно реализовать любой алгоритм обработки сигнала, который может быть описан совокупностью арифметических и логических операций [6].

Методы и техника цифровой обработки сигналов вызывают повышенный интерес ученых и специалистов, работающих в различных областях, используются они при регулировании процессов в промышленности, на транспорте, в аппаратуре и т.д. Поэтому исследования в области создания цифровых фильтров, несомненно, актуальны [21].

Цель данной работы - исследование цифровой обработки сигналов, в т.ч. алгоритмов построения цифровых фильтров. В качестве примера рассмотрено построение математической модели режекторного фильтра на основе полиномов Бернштейна.

Дипломная работа содержит две главы. В первой главе проводится обзор современных систем передачи информации, исследование основ преобразования сигналов и характеристик цифровых фильтров. Вторая глава посвящена описанию процесса построения цифрового фильтра на основе полиномов Бернштейна.

В приложении приведена программная реализация модели.

1. Математические модели линейных систем

1.1 Математическая модель

Математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Математическое моделирование предполагает установление взаимно однозначного соответствия между объектами математической структуры и объектами реальной системы, процесса на определенном уровне описания.

Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов [23].

Сейчас математическое моделирование вступает в новый принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными «ресурсами» нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом.

1.2 Современные системы передачи информации

Сигнал - физический процесс, несущий сообщение о каком-либо событии или состоянии объекта, т.е. это материальная (физическая) форма представления информации для передачи по каналу. Посредством совокупности сигналов можно с той или иной степенью полноты представить сколь угодно сложное событие или состояние объекта [11].

В реальных оптико-электронных системах в зависимости от физической природы различают электромагнитные и, в частности, оптические, электрические, а также звуковые и другие сигналы.

Система передачи данных - система, предназначенная для передачи информации как внутри различных систем инфраструктуры организации, так и между ними, а также с внешними системами.

В зависимости от вида используемого сигнала и сами системы можно разделить на оптические и электрические.

Оптический диапазон характеризуется частотами несущих величиной порядка 10¹⁴ Гц, ширина полосы частот передачи сигналов может достигать 10¹² - 10^13. Как следствие, высокая широкополосность и возможность передачи информации с чрезвычайно высокой скоростью [4].

Также оптическим системам присущи характеристики, которые делают их востребованными на рынке:

- хорошая защищенность канала от несанкционированного доступа. Это дает возможность использовать оборудование для организации канала для приложений, требующих высокий уровень безопасности (военные приложения, банковская сфера и.т.д.);

- высокие информационные емкости каналов (до десятков Гбит/с);

- высокая помехозащищенность канала. Оборудование не создает помех для соседнего канала и электромагнитного шума;

- организация канала не требует получения разрешений на частоту Быстрое и широкое распространение волоконно-оптических систем передачи (ВОСП) обусловлено следующими факторами:

- возможность создания оптического кабеля, не обладающего электропроводностью и индуктивностью, что позволяет избежать влияния внешних электромагнитных воздействий, обеспечить электрическую изоляцию устройств друг от друга, избежать наведения помех в окружающем пространстве;

- пренебрежимо малые перекрестные помехи;

- высокая скрытность связи [18].

В открытых оптических системах связи свет распространяется в свободной среде - в атмосфере либо в космическом пространстве. На дальность и надежность открытых систем связи в атмосфере заметно влияют метеорологические условия: туман, дождь, снег, дым, турбулентность атмосферы и др. Для больших расстояний, вследствие явлений рефракции и рассеяния, осложняется проблема точного наведения светового луча на фотоприемную систему, а также влияния фона (рассеянное излучение, небесные светила). Современные наземные открытые системы связи большой, свыше 10 км, протяженности действуют, в основном, в диапазоне длин волн около 10,6 мкм в режиме когерентного фотодетектирования сигнала. Более перспективно, с точки зрения дальности связи, применение таких систем в космосе. В городских условиях, при дальности связи около 1 км, удобный диапазон длин волн передачи сигналов находится в области 0.8 -0.9 мкм.

Оптико-волоконные и волоконно-коаксиальные системы изначально создавались для кабельного телевидения и передачи видеосигнала. Благодаря тому, что эти системы по определению являются широкополосными, разрабатывалась именно такая технология, которая позволила бы использовать данное преимущество для высокоскоростной передачи данных, в основном для организации доступа в Интернет частных пользователей.

Такая система позволяет передавать нисходящий поток передачи данных в полосе частот от 50 МГц до 750 МГц, которая поделена на каналы 6 МГц. Полоса частот, выделенная для восходящего потока данных, делится между всеми пользователями, к которым проложен коаксиальный кабель. Обычно это частотный диапазон от 5 МГц до 40 МГц.

Один видеоканал, имеющий номинальную полосу частот 6 МГц, может использоваться для передачи данных из сети Интернет со скоростью до 30 Мбит/с. Общая скорость восходящего потока данных до 10 Мбит/с, но практикуемый метод коллективного использования в реальности для каждого отдельного пользователя дает гораздо меньшее значение.

Основные физические принципы формирования каналов утечки информации в ВОЛП можно разделить на следующие типы [19].

- пассивные методы (основаны на регистрации излучения с боковой поверхности волокна)

- активные методы (основаны на регистрации излучения, выводимого через боковую поверхность волокна с помощью специальных средств)

- компенсационные методы (базируются на регистрации излучения, выводимого через боковую поверхность с помощью специальных средств, с последующим формированием излучения и ввода его в волокно, которое скомпенсирует потери мощности при выводе излучения).

Методы первого типа основаны на том, что даже в стационарном режиме в обычных условиях небольшая часть рассеянного излучения всё же проникает за пределы волокна (то есть излучается) и может являться каналом утечки информации. Основной идеей является увеличение интенсивности этого излучения. Для несанкционированного доступа к информации с использованием такого рода методов необходимо использовать места усиленного бокового излучения, то есть следует снимать излучение в местах изгибов, а также в местах сварных соединений и соединений волокна с усилителями. Однако, значительная мощность излучения наблюдается лишь в местах разъёмных соединений, то есть в коммутационных центрах, что сильно затрудняет несанкционированный доступ.

Методы второго типа выводят обычно бомльшую мощность, но при этом происходит изменение параметров распространяющейся в волноводе волны (значительно падает поток энергии, возникает отражённая волна, изменяется модовая структура волны и т.д.), что может привести к обнаружению несанкционированного доступа. Таковыми методами являются, например: механический изгиб волокна, подключение фотоприемника с помощью ответвителя, вдавливание зондов в оболочку, бесконтактное соединение волокна, шлифование и растворение оболочки.

Естественным желанием является объединить скрытность и эффективность. Методы третьего типа призваны воплотить эту идею. Одна их реализация достаточна сложна в связи с наличием принципиальных ограничений. Так, например, вывод излучения из боковой поверхности волокна, формирование и обратный ввод волны, которая скомпенсирует выводимую мощность, должны осуществляться с высокой эффективностью к единице, тем не менее, распределение параметров волокна носит вероятностный характер, что мешает достичь желаемой скрытности. Технические реализации устройств такого рода позволяющие на практике использовать компенсационные способы съёма информации в настоящее время не известны [23].

Развитие оптико-волоконной техники и развертывание сетей оптико-волоконных кабелей - дорогостоящий процесс. Особенно если сравнивать внедрение этой технологии с другими технологиями.

С этой точки зрения целесообразно использовать электрические, а именно кабельные системы, состоящие из витых пар проводов (Витая пара (англ. twisted pair) - вид кабеля связи, представляет собой одну или несколько пар изолированных проводников, скрученных между собой, покрытых пластиковой оболочкой). Витая пара - один из компонентов современных структурированных кабельных систем. Используется в телекоммуникациях и в компьютерных сетях в качестве сетевого носителя во многих технологиях, таких как Ethernet, Arcnet и Token ring. В настоящее время, благодаря своей дешевизне и легкости в монтаже, является самым распространенным решением для построения локальных сетей.

К электрическим также относят радиочастотные системы. Радиоволны распространяются в пустоте и в атмосфере; земная твердь и вода для них непрозрачны. Однако, благодаря эффектам дифракции и отражения, возможна связь между точками земной поверхности, не имеющими прямой видимости (в частности, находящимися на большом расстоянии) [17].

Распространение радиоволн от источника к приёмнику может происходить несколькими путями одновременно. Такое распространение называется многолучёвостью [9]. Вследствие многолучёвости и изменений параметров среды, возникают замирания - изменение уровня принимаемого сигнала во времени. При многолучёвости изменение уровня сигнала происходит вследствие интерференции, то есть в точке приёма электромагнитное поле представляет собой сумму смещённых во времени радиоволн диапазона.

Частотная сетка, используемая в радиосвязи, условно разбита на диапазоны:

Длинные волны (ДВ) - f = 150-450 кГц (л = 2000-670 м)

Средние волны (СВ) - f = 500-1600 кГц (л = 600-190 м)

Короткие волны (КВ) - f = 3-30 МГц (л = 100-10 м)

Ультракороткие волны (УКВ) - f = 30 МГц - 300 МГц (л = 10-1 м)

Высокие частоты (ВЧ - сантиметровый диапазон) - f = 300 МГц - 3 ГГц (л = 1-0,1 м)

Крайне высокие частоты (КВЧ - миллиметровый диапазон) - f = 3 ГГц - 30 ГГц (л = 0,1-0,01 м)

Гипервысокие частоты (ГВЧ - микрометровый диапазон) - f = 30 ГГц - 300 ГГц (л = 0,01-0,001 м)

1.3 Преобразование электрических сигналов. Оптимальная фильтрация сигналов

информация передача цифровой фильтр сигнал

При наличии в пространстве зарядов и токов в нем устанавливается возбужденное состояние, которое называется ЭМ полем. Это поле описывается векторами напряженности электрической и магнитной составляющей:

 и H (x, y, z, t).

Эти два вектора подчиняются известным уравнениям Максвелла. Использовать эти напряженности можно в принципе для описания оптического сигнала, но выражения получаются довольно громоздкими и избыточными, поэтому в оптике наибольшее распространение получила скалярная теория дифракции, которая оперирует с некоторой вещественной функцией: u (x, y, z, t), - и называется световое возмущение. В качестве этой величины можно выбрать любую проекцию одного из векторов: Е и Н. Часто используются Е_Х, Е_У. Предполагается, что они существуют в плоскости перпендикулярной плоскости распространения.

На практике находят решения для элементарной волны, а остальные волны представляют в виде совокупности этих элементарных волн. В качестве этой элементарной волны была выбрана плоская монохроматическая волна.

К классу цифровых элементов оптико-электронных систем относятся ЦАП и АЦП, триггеры, ключевые схемы, счётчики, процессоры, ЭВМ.

Пусть имеется непрерывный сигнал x(t), заданный на интервале . При переходе к оцифровке происходит следующая операция. Выбирается шаг дискретизации , и вместо исходного сигнала получается последовательность

Далее, выбирается формат оцифровки r. Обычно он бывает кратным 8, но это не обязательно. Предположим, что существует такое число М, что выполнены неравенства: для всех n. Интервал [-M, M] разбивается на 2^yчастей. После этого каждое значение y(n) заменяется номером интервала, в который попало соответствующее значение. В результате последовательность y(n) заменяется новой последовательностью z(n), но теперь каждый член новой последовательности принимает значения из интервала [0,2^y-1]. Вместо указанного представления можно перейти к представлению сигнала целыми числами со знаком.

На каждом из упомянутых шагов происходит огрубление сигнала. Первая задача цифровой обработки заключается в оценке искажения исходного сигнала. Дальнейшая обработка состоит в извлечении из полученного сигнала нужной информации и подавлении шумов. Это осуществляется с помощью цифровой фильтрации. Даже оцифрованный сигнал занимает много места, и следующий шаг обработки заключается в сжатии сигнала. Обычно имеется в виду сжатие с потерей информации. Здесь важно установить критерии допустимой потери информации. В зависимости от выбранного критерия выбирается способ сжатия. Хотя последовательность бесконечна, в реальных условиях мы имеем дело лишь с конечными последовательностями. В этой связи нужна оценка потерь, связанных с усечением последовательностей.

Для обработки сигналы подвергаются дискретизации и квантованию. Теория дискретных сигналов во многом похожа на теорию непрерывных сигналов. Они обладают аналогичными свойствами и, соответственно, подобны методы их описания и исследования. Например, обычному преобразованию Фурье непрерывных сигналов соответствует дискретное преобразование Фурье [6].

В соответствии с теоремой Котельникова [24], для дискретизации аналогового сигнала без потери информации частота отсчетов должна быть в два раза выше верхней граничной частоты спектра сигнала. Обобщая теорему, разложим в ряд Котельникова непрерывный сигнал f(t) конечной длительности (0<t<T_c) c числом степеней свободы, равным N

C помощью обычного преобразования Фурье найдем спектр этого сигнала:

(1.1)

К спектру S₀(щ), который определяется выражением

обратное преобразование Фурье:

Очевидно, справедливо обратное соотношение

(1.2)

Подставляя (1.2) в (1.1), получим окончательное выражение для спектра

Чтобы перейти к дискретному преобразованию Фурье, значения спектра в этом выражении нужно вычислять для дискретных значений частоты:

В результате получим окончательную формулу для дискретного преобразования Фурье

Дискретизация и квантование - процессы нелинейные и, кроме того, они ещё приводят к появлению дополнительной ошибки - ошибки квантования [19]. В ОЭС практически всегда применяется амплитудно-импульсный метод квантования непрерывных сигналов, причём форма импульсов обычно одна и та же на каждом шаге квантования.

Период следования этих импульсов называется шагом дискретизации. Эти импульсы отличаются друг от друга только амплитудой.

Для перехода от дискретных сигналов к цифровым в схему должен быть включён преобразователь «непрерывная величина - код (ПНК).»

Это преобразование характеризуется следующей зависимостью:

где x_max - шкала преобразователя, m - разрядность, 2^m-1 - для учета возможности кодировки знака. Квантование приводит к появлению ошибки, максимальная величина которой равна

Обычно разрядность преобразований достаточно высока: 8; 16; 32. Для таких величин q очень мало. В результате нелинейными характеристиками этого цифрового преобразователя можно пренебречь, и считать, что ПНК является примерно линейным безынерционным звеном, с коэффициентом передачи 1/q.

Таким образом это преобразование нужно домножить на коэффициент К_н-к?1/q.

Для анализа процесса преобразования дискретных и цифровых сигналов вводится понятие о «решетчатой функции» [16], которой называют такую функцию, значения которой отличны от нуля и равны значению образующей непрерывной функции только в моменты замыкания идеального ключа. Обозначим её

f(пТ) = f(n),

где п - номер отсчёта.

f(n)=f(t) при t=nT и для нуля, и для других значений времени.

Для анализа таких функций вводятся понятия, аналогичные понятиям, вводимым при анализе непрерывных функций, а именно: аналогом производной является конечная разность, аналогом интеграла для решетчатых функций является полная и неполная сумма, аналогом дифференциального уравнения является разностное уравнение.

Линейное разностное уравнение можно использовать для описания процесса цифровой фильтрации, если функции f(п) придать смысл входного цифрового сигнала, а функции у(п) - смысл выходного цифрового сигнала. И в том случае, если разностное уравнение линейно, то и цифровой фильтр будет линейным. Для анализа цифровых линейных систем, также как и для анализа непрерывных линейных цепей, удобен операторный метод, который для непрерывных систем основан на преобразовании Лапласа.

Введём понятие дискретного преобразования Лапласа, для решетчатой функции:

,

где

Изображение решетчатых функций по Лапласу и представление разностных уравнений с помощью дискретного преобразования Лапласа не очень удобно.

Более удобным для анализа импульсных и цифровых систем оказалось z - преобразование, где z=e^pT. Тогда z - преобразование записывается в следующем виде:

Такое z - преобразование позволяет свести выражение, описывающее разностное уравнение к рациональной форме. Изобразив на z плоскости входной сигнал, и, зная коэффициент передачи линейной дискретной системы, который называется системной функцией, мы получим і образ, по которому находим исходную функция, используя процедуру обратного преобразования.

Обратное z - преобразование позволяет определить значения дискретного сигнала по виду функции F(z) [13]. Для нахождения формулы обратного z-преобразования можно воспользоваться обратным преобразованием Лапласа, но легче получить ее из формулы прямого z - преобазования. Умножив обе части этого выражения на z^k-1, проинтегрируем по окружности с радиусом, превышающим радиус сходимости R ряда для F(z) и поменяем местами суммирование и интегрирование. Получившееся выражение представляет собой формулу обратного z - преобразования:

В связи с большим разнообразием ОЭС и условий эксплуатации, оценка их качества связана с большим перечнем показателей: показатели функционирования, надежности, технологичности, стоимости, техники безопасности, эргономики, унификации и стандартизации и т.д. [1].

Показатели функционирования - конкретные технические показатели ОЭП, среди которых выделяются следующие: надёжность обнаружения источника полезного сигнала; диапазон измерения наблюдаемых объектов; погрешность измерения параметров объектов (выражается либо в относительных единицах, либо это предельная погрешность, либо интервальная); показатель быстродействия (время обнаружения или поиска, время обзора участка пространства, время измерения или частота обновления информации); форма выдачи информации (индикаторные, следящие, регистрирующие или записывающие); показатели энергопотребления; массогабаритные показатели.

Показатели надёжности указывают либо на предельное время эксплуатации прибора, либо на время наработки на отказ, либо на время средней наработки. Самыми ненадёжными элементами ОЭП являются электронные элементы [14].

Под технологичностью понимается возможность изготовления элементов прибора на том оборудовании, которое имеется в распоряжении проектанта.

Показатели стоимости определяют рыночную цену прибора и его конкурентоспособность.

Первичными являются показатели функционирования, с помощью которых стремятся синтезировать оптимальный прибор, то есть тот идеал, к которому потом стремятся при реальном проектировании с учётом всех других показателей.

Процедура фильтрации заключается в преобразовании принимаемого сигнала с целью выделения его из помех и выделения из него полезной составляющей, и определения характеристик полезного сигнала: сам факт наличия или отсутствия сигнала; значения оценки параметров; воспроизведение полезного сигнала. Наблюдаемая при этом смесь полезного сигнала с помехой может иметь мультипликативный или аддитивный характер. Большинство теорий оптимальной фильтрации разработаны для аддитивной помехи x(q) = S(q) + n(q) [13].

Для систем обнаружения и измерения критерий оптимальности обработки связывается с функцией потерь R (S, x), которая вводится как величина расхождения полезного сигнала S и наблюдаемой реализации Х. Обычно это расхождение характеризуется некоторой нормой в n-мерном пространстве, которое получается путём дискретизации по одному аргументу. Поскольку помеха и сигнал могут иметь случайный характер, сама величина R является случайной.

В качестве критерия оптимизации в теории оптимальности используется неслучайная величина, которая является МО от этой функции потерь и называется средним риском:

где р (S, х) - совместная плотность вероятности полезного сигнала и реализации.

Процесс фильтрации представляет собой математическую операцию сравнения.

Функция подынтегральных потерь (при решении задач оптимальной

фильтрации) обычно задаётся четырьмя способами:

1. Простая функция потерь: R (б, б0) = R0 - д (б - б0), - где б0 - оценка неизвестных параметров.

2. Линейная функция потерь: R (б, б0) = |б - б0|.

3. Средняя квадратическая функция потерь: R (б, б0) = (б - б0)².

4. Прямоугольная функция потерь: R (б, б0) = 1 - rect[(б - б0)/(2б1)].

Подставляя конкретный вид функции потерь, можно показать, что для простой функции потерь оптимальная оценка определяется значением моды апостериорной плотности вероятности. Для линейной функции потерь наилучшая оценка представляет собой медиану апостериорной плотности вероятности. Для средней квадратической функции потерь наилучшая оценка соответствует МО этой апостериорной плотности вероятности (Рисунок 1).



Рисунок 1 - Плотность вероятности

ЛЦФ реализует процедуру вычисления дискретной свёртки. Отсчёты на выходе - у(m) связаны с входным сигналом следующим соотношением:

где х(n) - решетчатая функция, описывающая входной сигнал;

h(n) - решетчатая функция, описывающая импульсивную характеристику (ИХ) фильтра;

у(m) - решетчатая функция (отсчёты) выходного сигнала;

n и m - номера отсчётов (целые числа).

По виду ИХ h фильтры делятся на трансверсальные - с конечной ИХ (КИХ фильтры) и рекурсивные - с бесконечной ИХ (БИХ фильтры). Синтезируем ЛЦФ с заранее заданными свойствами, например, с требуемым видом ИХ или ЧПХ [12].

Первым простейшим методом синтеза ЦФ является метод инвариантных ИХ. В его основе лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать ИХ, представляющей собой результат дискретизации ИХ прототипа, то есть отсчёты {h(k)} решетчатой функции должны представлять собой дискретное значение с периодом Т ИХ фильтра прототипа: {h(k)} = {h(0), h(Т), h(2Т)…}, если k - конечное число, то получаем КИХ фильтр, если k - бесконечное число - БИХ фильтр. Связь между отсчётами ИХ {h(k)} и структурой ЦФ особенно проста для КИХ фильтров. Более сложно решить вопрос о структуре фильтра, если он рекурсивный. Для КИХ фильтра есть конечное число отсчётов, перемножением которых на х(n) получают значение сигнала на выходе - у(m).

В общем случае синтез структуры фильтра производится путём применения z-преобразования к последовательности {h(k)}, то есть к нахождению системной функции. Далее по таблицам z-преобразования выполняется эта процедура. Полученное выражение сравнивается с общим видом системной функции для БИХ фильтра:

И сравниваются коэффициенты перед z-аргументом соответствующей степени и определяются значения а_i и b_i. Числитель характеризует трансверсальную часть фильтра, а знаменатель - обратную связь или рекурсивную часть фильтра. При необходимости, после такой процедуры вычисляется частотный коэффициент передачи путём замены переменной z системной функции на е^jщT.

Выделяется из Н(щ) амплитудная часть (АЧХ) |Н(щ)| и сравнивается с АЧХ фильтра прототипа - это является критерием законченности процедуры синтеза.

1.4 Цифровые фильтры. Характеристики цифровых фильтров

Система цифровой обработки сигнала должна содержать устройство для преобразования аналогового сигнала в цифровой [16]. Обычно такое устройство состоит из двух частей: дискретизатора непрерывного сигнала по времени и аналого-цифрового преобразователя (АЦП), превращающего выборочные значения сигнала в числовую последовательность, элементы которой - это числа, представленные в коде вычислительной машины. Цифровой сигнал, получающийся на выходе АЦП, уже готов для цифровой обработки.

В электронном вычислительном устройстве происходит обработка цифрового сигнала по заданному алгоритму. Алгоритмы обработки сигналов могут быть очень разнообразными как по характеру, так и по степени сложности.

Цифровые устройства, производящие линейную обработку сигнала, называют цифровыми фильтрами [6].

Методы анализа цифровых фильтров во многом родственны методам анализа обычных аналоговых фильтров. Каждый цифровой фильтр эквивалентен некоторому аналоговому устройству, называемому фильтром-прототипом. Многие характеристики цифровых фильтров аналогичны соответствующим характеристикам фильтров-прототипов.

Сигнал на выходе цифрового фильтра имеет вид последовательности чисел, представленных в коде машины. Дальнейшая обработка этого сигнала может быть различной в зависимости от назначения устройства. Например, выходной сигнал непосредственно в цифровой форме без преобразования можно использовать для управления некоторыми процессами или можно вывести на дисплей для считывания информации. Для преобразования цифрового сигнала в аналоговый используют восстанавливающее устройство, состоящее из цифро-аналогового преобразователя (ЦАП) и выходного сглаживающего фильтра. ЦАП преобразует цифровой сигнал в импульсы напряжения, которые подаются на сглаживающий фильтр, и на выходе этого фильтра получается непрерывный сигнал.

Основным преимуществом цифровых фильтров перед аналоговыми является возможность реализации сложных алгоритмов обработки сигналов, которые неосуществимы с помощью аналоговой техники, например адаптивных алгоритмов, изменяющихся при изменении параметров входного сигнала.

Точность обработки сигнала цифровыми фильтрами определяется точностью выполняемых расчетов. Она может быть несоизмеримо выше точности обработки сигнала в аналоговых фильтрах.

Одним из источников погрешности аналоговых фильтров является нестабильность их параметров, вызываемая колебаниями температуры, старением, дрейфом нуля, изменением питающих напряжений и т.д. В цифровых фильтрах эти неприятные эффекты отсутствуют.

При разработке цифровых фильтров не возникает задача согласования нагрузок.

При обработке низкочастотных и инфранизкочастотных сигналов элементы пассивных аналоговых фильтров (индуктивные катушки и конденсаторы) оказываются очень громоздкими. В этом случае цифровые фильтры более компактны.

Недостатком цифровых фильтров является их большая сложность по сравнению с аналоговыми и более высокая стоимость [6]. Ведь кроме процессора устройство для цифровой обработки сигналов содержит аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи и другие устройства сопряжения. Поэтому в тех случаях, когда алгоритм обработки сигналов несложен и не требуется высокой точности, целесообразнее применять аналоговые фильтры или дискретные фильтры на приборах с зарядовой связью. Они проще и дешевле, чем цифровые фильтры.

Наиболее простые из цифровых фильтров - фильтры с постоянными параметрами.

На вход цифрового фильтра подается входной сигнал x(kT) в виде последовательности числовых значений, следующих с интервалом T. При поступлении каждого очередного значения сигнала x(kT) в цифровом фильтре производится расчет очередного значения выходного сигнала y(kT). Алгоритмы расчета могут быть самыми разнообразными; в процессе расчета, кроме последнего значения входного сигнала могут использоваться предыдущие значения входного и выходного сигналов. Если на вход цифрового фильтра подать простейший сигнал в виде единичного импульса, то на выходе получим сигнал в виде дискретной последовательности числовых значений, по аналогии с обычными аналоговыми цепями его называют импульсной характеристикой фильтра [1]. В отличие от импульсной характеристики аналоговой цепи, эта функция является безразмерной. Применив z-преобразование к импульсной характеристике цифрового фильтра, получим системную функцию фильтра:

Системная функция цифрового фильтра может быть полностью охарактеризована положением своих нулей и полюсов в плоскости комплексного переменного z. Для физически устойчивой аналоговой системы полюсы расположены в левой полуплоскости комплексного переменного (при Re p<0). Чем меньше затухание в системе, тем ближе расположены полюсы к мнимой оси. Для устойчивого цифрового фильтра полюсы должны располагаться внутри окружности единичного радиуса [15].

Сигнал, при выходе цифрового фильтра, представляет собой последовательность числовых значений, следующих с интервалом Т. Этот интервал является единым для всего устройства цифровой обработки сигналов. Выходной сигнал определяется как дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики. Алгоритм цифровой фильтрации:

Если импульсная характеристика фильтра описывается последовательностью с конечным числом членов, то фильтр может быть реализован в виде схемы (Рисунок 2).

Рисунок 2 - Схема нерекурсивного цифрового фильтра

Эта схема представляет собой графическое изображение алгоритма цифровой фильтрации и показывает последовательность арифметических операций, выполняемых при обработке сигнала.

Такие фильтры, где для расчета используются лишь значения входного сигнала, называют простыми или нерекурсивными. Алгоритм нерекурсивного фильтра легко записать, если известна импульсная характеристика фильтра. Для практической реализации алгоритма необходимо, чтобы импульсная характеристика содержала конечное число членов. Если импульсная характеристика содержит бесконечное число членов, но они быстро убывают по величине, то можно ограничиться конечным числом членов, отбросив те, значения которых малы. В случае, если элементы импульсной характеристики не убывают по величине, алгоритм нерекурсивного фильтра оказывается нереализуемым.

В качестве примера можно рассмотреть простейший цифровой фильтр, аналогичный RC-цепи. Импульсная характеристика в таком случае имеет вид

Чтобы записать импульсную характеристику соответствующего цифрового фильтра, в этом выражении необходимо заменить t на kT. Но импульсная характеристика цифрового фильтра - безразмерная величина, поэтому множитель 1/ф опускаем и импульсную характеристику цифрового фильтра записываем в виде формулы

Такая импульсная характеристика содержит бесконечно много членов, но их величина убывает по экспоненциальному закону, т.е. можно учитывать лишь N членов. Тогда выражение для сигнала на выходе фильтра

Это выражение и является алгоритмом цифрового фильтра [1].

Второй подход к анализу процессов в цифровых фильтрах аналогичен операторному методу анализа обычных аналоговых цепей, только вместо преобразования Лапласа используют z - преобразование [6].

Здесь системная функция

играет роль передаточной функции цифрового фильтра.

Третий метод анализа прохождения сигналов через цифровые фильтры аналогичен классическому методу дифференциальных уравнений.

Схема этого алгоритма изображена на рисунке 3. Фильтры такого типа называют рекурсивными, по сравнению с нерекурсивными здесь добавляется обратная связь, т.е. значения выходного сигнала используются в последующих расчетах.

Рисунок 2 - Схема рекурсивного цифрового фильтра

Рекурсивные фильтры позволяют производить обработку сигнала с более высокой точностью, а также реализовать алгоритмы, вообще нереализуемые с помощью нерекурсивных фильтров.

Для создания цифровых фильтров с импульсной характеристикой большой протяженности нецелесообразно применять нерекурсивные алгоритмы.

1.5 Информационные потоки и использование цифровых фильтров

Каждая организация, использующая в работе информационные системы, беспокоится о сохранности данных, защите конфиденциальной информации от несанкционированного доступа и утечек [18].

Основные физические принципы формирования каналов утечки информации в оптоволоконных линиях передач можно разделить на следующие типы [19]:

- пассивные методы (основаны на регистрации излучения с боковой поверхности волокна)

- активные методы (основаны на регистрации излучения, выводимого через боковую поверхность волокна с помощью специальных средств)

- компенсационные методы (базируются на регистрации излучения, выводимого через боковую поверхность с помощью специальных средств, с последующим формированием излучения и ввода его в волокно, которое скомпенсирует потери мощности при выводе излучения).

Методы первого типа основаны на том, что даже в стационарном режиме в обычных условиях небольшая часть рассеянного излучения всё же проникает за пределы волокна (то есть излучается) и может являться каналом утечки информации. Основной идеей является увеличение интенсивности этого излучения. Для несанкционированного доступа к информации с использованием такого рода методов необходимо использовать места усиленного бокового излучения, то есть следует снимать излучение в местах изгибов, а также в местах сварных соединений и соединений волокна с усилителями. Однако, значительная мощность излучения наблюдается лишь в местах разъёмных соединений, то есть в коммутационных центрах, что сильно затрудняет несанкционированный доступ [23].

Методы второго типа выводят обычно большую мощность, но при этом происходит изменение параметров распространяющейся в волноводе волны (значительно падает поток энергии, возникает отражённая волна, изменяется модовая структура волны и т.д.), что может привести к обнаружению несанкционированного доступа. Таковыми методами являются, например: механический изгиб волокна, подключение фотоприемника с помощью ответвителя, вдавливание зондов в оболочку, бесконтактное соединение волокна, шлифование и растворение оболочки.

Естественным желанием является объединить скрытность и эффективность. Методы третьего типа призваны воплотить эту идею. Одна их реализация достаточна сложна в связи с наличием принципиальных ограничений. Так, например, вывод излучения из боковой поверхности волокна, формирование и обратный ввод волны, которая скомпенсирует выводимую мощность, должны осуществляться с высокой эффективностью к единице, тем не менее, распределение параметров волокна носит вероятностный характер, что мешает достичь желаемой скрытности. Технические реализации устройств такого рода позволяющие на практике использовать компенсационные способы съёма информации в настоящее время не известны.

Электронные узлы ОЭС предназначены для увеличения слабых электрических сигналов по напряжению и току до величин, достаточных для работы выходного устройства, для выделения полезного сигнала, несущего информацию, от помех, для согласования сигнала с входными устройствами записывающих индикаторов, исполнительных устройств, включаемых после оптико-электронного тракта [7].

Предварительный усилитель (Пр. У) предназначен для увеличения слабых сигналов до величины, достаточной для того, чтобы производить дальнейшую обработку сигнала, не учитывая собственные шумы элементов электронной схемы, то есть на выходе этого устройства сигнал имеет такой размах, что шумы можно считать очень малыми величинами.

Обычно Пр. У имеет широкою полосу пропускания, то есть увеличивает всю поступающую на вход смесь сигнала и помех. Его стараются расположить на одной печатной плате с фотоприёмником или в одной микросхеме. Для уменьшения шумов этого устройства применяют охлаждение. В современных устройствах Пр. У стараются сделать либо на операционных усилителях, либо на полевых транзисторах.

Усилитель - фильтр - это активная частотно-зависимая схема, обеспечивающая заданный вид амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). В идеале АЧХ должна соответствовать оптимальному фильтру, что не всегда физически реализуемо и поэтому на практике чаще используется квазиоптимальная фильтрация, при которой фильтр выделяет лишь необходимый участок спектра. где энергия сигнала максимальна, а энергия помехи минимальна, но форма АЧХ не делается точно совпадающей с формой спектра сигнала.

Фильтры можно разделить на: фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые и режекторные фильтры.

Рассмотрим вариант системы обнаружения.

В случае системы обнаружения сигнал с усилителя-фильтра поступает на пороговое устройство (ПУ) или компаратор, где сравнивается с некотором пороговым уровнем. Факт превышения сигналом порога фиксируется индикаторным устройством (в простейшем случае - простейшее устройство, воздействующее на органы чувств человека).

В измерительном варианте сигнал с выхода усилителя-фильтра поступает в нелинейное устройство, называемое детектором, в котором формируется электрический сигнал обычно постоянного тока, амплитуда которого пропорциональна измеряемому параметру (амплитуде входного сигнала, частоте входного сигнала или его фазе - в случае периодических сигналов; временному интервалу и длительности - для импульсных сигналов). В соответствии с тем, какой из этих параметров используется для передачи информации детекторы делятся на амплитудные, частотные, фазовые и измерители временных интервалов.

Иногда полезная информация кодируется с помощью формы принимаемого сигнала. Тогда для её оценки могут использоваться некие интегральные признаки.

2. Синтез цифровых фильтров на основе полиномов Бернштейна

2.1 Синтез цифровых фильтров

При решении задачи о синтезе фильтра обычно бывает задана частотная характеристика, реже - импульсная характеристика этого фильтра. При проектировании аналоговых фильтров задача синтеза распадается на две: задачу аппроксимации частотной характеристики и задачу реализации. При создании цифровых фильтров задача аппроксимации по существу не отличается от такой же задачи для аналоговых фильтров. Если системную функцию фильтра записать в виде дробно-рационального выражения, то, можно сразу же изобразить схему фильтра. Поэтому способы определения системной функции цифрового фильтра в виде дробно-рационального выражения, т.е. в виде отношения двух полиномов по отрицательным степеням фактически являются методами синтеза цифровых фильтров [6].

Наиболее распространенные методы синтеза цифровых фильтров основаны на использовании аналогового фильтра-прототипа, т.е. физически реализуемого аналогового фильтра, удовлетворяющего поставленным техническим требованиям. При этом должна быть известна частотная или импульсная характеристика фильтра-прототипа.

Наиболее просто задача синтеза цифрового фильтра решается в том случае, если известна импульсная характеристика фильтра-прототипа. Метод синтеза цифровых фильтров, основанный на использовании импульсной характеристики фильтра-прототипа, называют методом инвариантной импульсной характеристики. Согласно этому методу, для определения импульсной характеристики проектируемого цифрового фильтра необходимо подвергнуть дискретизации импульсную характеристику g(t) аналогового фильтра-прототипа. Значения импульсной характеристики цифрового фильтра g(kT) должны быть равны значениям импульсной характеристики фильтра-прототипа в отсчетные моменты времени t = kT. Применяя к импульсной характеристике цифрового фильтра z-преобразование, можно найти системную функцию и составить алгоритм цифровой фильтрации [13].

Синтез цифровых фильтров по заданной частотной характеристике фильтра-прототипа более сложен. При этом используются различные методы, основным из которых является метод билинейного z-преобразования. Пусть частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа задана в операторной форме К(р). Тогда системную функцию цифрового фильтра можно найти посредством замены переменного e^pT=z или

. (2.3)

Передаточная функция любой физически осуществимой аналоговой цепи описывается дробно-рациональным выражением. Подставляя переменную z в выражение передаточной функции, можно найти системную функцию цифрового фильтра, но она не будет дробно-рациональной, т.е. не соответствует никакому реальному цифровому фильтру. В таком случае используется приближенный подход.

Представим функцию (2.3) в виде ряда

где ж=(z-1)/(z+1).

Ограничиваясь для простоты одним членом ряда, получим формулу дробно-линейного преобразования

.

Если исходный аналоговый фильтр-прототип устойчив, то соответствующий ему цифровой фильтр также будет устойчивым.

Получающийся таким образом цифровой фильтр не будет точным аналогом исходного фильтра-прототипа, так как дробно-линейное преобразование искажает частотный масштаб.

2.2 Синтез цифровых фильтров на основе полиномов Бернштейна

В вычислительной математике многочлены Бернштейна - это алгебраические многочлены, представляющие собой линейную комбинацию базисных многочленов Бернштейна [10].

Базисные многочлены Бернштейна степени n находятся по формуле

и обладают следующими свойствами [3]:

При всех вещественных x справедливо равенство

Данные формулы справедливы для . Расширим значение аргумента на произвольный отрезок:

Для примера рассмотрим режекторный фильтр [22]. Режекторный фильтр подавляет или устраняет сигналы, частоты которых попадают в узкий диапазон с центральной частотой fc. Все частоты выше и ниже центральной частоты фильтр пропускает с минимальным ослаблением (рисунок 4). Режекторный фильтр называют также вырезающим фильтром, поскольку этот фильтр используется для вырезания или режекции мешающего сигнала одной частоты.

Рассмотрим функцию h(t), - импульсную функцию режекторного фильтра.

где g(t) - «ступенька».

Рисунок 4 - Режекторный фильтр



H(t) - функции Хевисайда.

Функция Хевисайда - кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице - для положительных. В системе Maple она является встроенной и обозначается Heaviside(x) [20]. График ее изображен на рисунке 5.

Рисунок 5 - График функции Хевисайда

С учетом введенных функций можно записать:

Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье:

Преобразование Фурье - операция, которая ставит в соответствие функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Преобразование Фурье функции вещественной переменной является интегральным преобразованием и задается следующей формулой:

Существует и обратное преобразование:

Функция F(щ) или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте щ.

Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать так: .

Преобразование Фурье является линейным оператором:

Справедливо равенство Парсеваля для :



Это свойство позволяет по непрерывности распространить определение преобразования Фурье на все пространство L₂(R). Равенство Парсеваля будет при этом справедливо для всех

Если то

Сверткой двух функций называется функция

,

заданная формулой: . Имеет место соотношение .

Двойственное соотношение имеет вид .

Вообще говоря, не предполагается, что функция - вещественная. Если же это так, то

.

Справедливость указанных формул возможна лишь при определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл. В любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места.

В Maple преобразование Фурье реализуется с помощью специальной функции fourier (expf, t, w) пакета интегральных преобразований inttrans. Здесь expr - выражение (уравнение или множество), t - переменная, от которой зависит ехрr, и w - переменная, относительно которой записывается результирующая функция.

Полученная с помощью преобразования Фурье функция F(щ) является системной импульсной функцией фильтра, ее график изображен на рисунке 5.

Рисунок 5 - График импульсной функции

Запишем уравнение для нахождения коэффициентов C_k:

).(2.1)

Уравнение (2.1) решаем методом наименьших квадратов (МНК).

Запишем сумму квадратов отклонений для всех точек х₀, х₁,…, х_п:

 (2.2)

Параметры а₀, а₁,…, а_т эмпирической формулы будем находить из условия минимума функции S = S(a₀, a₁,…, а_m). В этом состоит метод наименьших квадратов.

В теории вероятностей доказывается, что полученные таким методом значения параметров наиболее вероятны, если отклонения е подчиняются нормальному закону распределения.

Поскольку здесь параметры a₀, а₁…, а_т выступают в роли независимых переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая нулю частные производные но этим переменным:

Полученные соотношения - система уравнений для определения a₀, а₁…, а_т..

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен

(2.3)

Формула (2.2) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид

Найдем частные производные функции S = S(a₀, a₁…, а_т):

Приравнивая эти выражения к нулю и собирая коэффициенты при неизвестных а₀, а₁…, а_т, получаем следующую систему уравнений:

Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты а₀, а₁…, а_т многочлена (2.3), которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.

В соответствии с методом наименьших квадратов, минимизируем функцию невязки:

После соответствующих расчетов получаем систему уравнений для c_k:

Погрешность модели определяется формулой

где h*x - свертка функций.

Действие режекторного фильтра выражается формулой

На выходе фильтра имеем:

Погрешность модели можно оценить как модуль разности исходного и полученного после фильтрации сигналов:

Т.к. модуль интеграла равен интегралу модуля, а запишем:

Рассмотрим на примере:

График изображен на рисунке 6.

Рисунок 6 - График функции

На следующем этапе определяем погрешность дискретизации, появляющуюся при преобразовании сигнала

Погрешности модели и дискретизации должны быть сравнимы, т. к. нет смысла добиваться существенного уменьшения одной из них при большем значении оставшейся.

Воспользуемся теоремой Аветисяна [18] (теоремой о полиномиальном сканировании).

Пусть f(t) - бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси функция и существует такое л₀=T₀/2>0, что

где .

Используя выражение p-й производной этой функции, можно найти уравнение для наибольших допустимых значений шага сканирования.

Шаг сканирования

где

N - степень полиномов Бернштейна.

Воспользуемся найденными ранее производными функции

Т.е. для получения наименьшей погрешности отношение длины интервала и степени полинома должно быть не больше 2/3.

В приложении 2 приведена программная реализация необходимых расчетов в среде Maple 10. Результаты показаны на рисунках 7, 8, 9.



1- Входной сигнал

2- Выходной сигнал

Рисунок 7 - Отклик системы при n=5

1 - Входной сигнал

2 - Выходной сигнал

Рисунок 8 - Отклик системы при n=8

Как видно из графиков, достаточная точность достигается уже при степени полиномов n=5, при n=8 графики практически сливаются.