Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Теоретические аспекты использования дискретных методов в исследованиях социологических процессах
• 1.1 Сущность, специфика социологического исследования
• 1.2 Математическое моделирование социологических исследований
• 1.3 Система компьютерной математики Mathematica 10 в исследованиях социологических процессов
• Глава 2. Математические модели в социологических исследованиях
• 2.1 Модели демографических процессов
• 2.2 Модель военных конфликтов
• 2.3 Некоторые понятия теории игр и теории принятия решения
• Заключение
• Список литературы

Введение

Социологическое исследование - это система логически последовательных методологических, методических и организационно-технических процедур, связанных между собой единой целью: получить достоверные знания (данные) об изучаемом явлении или процессе, о тенденциях или противоречиях в их развитии.

Главной целью социологических исследований является выработка новых теоретических знаний и/или получение новых эмпирических фактов и их использование в практике управления различными сферами общественной жизнедеятельности. Достижение цели исследования обеспечивается четко разработанной и реализованной структурой процесса исследования, методологической и технико-методической обеспеченностью.

Важным критерием выделения типа исследования является дискретность процесса исследования, поскольку, например, мониторинговое исследование, целью которого является отслеживание и анализ происходящих в обществе, в объектах исследования изменений, проводятся через определенные промежутки времени.

Дискретные методы математики наиболее уместны для решения проблем экологии, биологии, социальных наук, поскольку они имеют дело с конечными множествами: альтернативные схемы скоростных транспортных систем, результаты опроса различных социальных групп, демографическая статистика, число домов, число рабочих и т.д. Дискретное множество может состоять и не из целых чисел, однако обычно мы не допускаем бесконечно малые различия между его элементами. Например, количество денег, затраченных на данный проект, можно измерять в миллионах долларов, сотнях долларов, даже в сотых доллара (т.е. в центах), но у вас нет более мелкой единицы измерения, чем эта (хотя иногда приемлемо допущение, что такая единица имеется). Иногда рассматриваемые проблемы связаны с ситуациями, изменения в которых происходят или регистрируются только в дискретные моменты времени, например, каждый час или каждый год. Статистические данные о безработице, используемые для многих целей, сообщаются раз в месяц. Проблемам социологических исследований в наибольшей степени соответствует математика конечных, или дискретных, множеств, или же множеств, изменяющихся только в дискретные моменты времени.

Заметим, что многие разделы и методы математики, в силу внутренних причин, проявляют свою значимость в прикладных областях. Например - булева алгебра, которая была использована в вычислительной технике более чем через пятьдесят лет после своего создания. В ней предполагается, что сложные сообщения можно закодировать при помощи двух контактных реле. Простейший поток заявок, например, является математическим представлением некоторого "идеального" потока, обладающего рядом замечательных свойств, благодаря которым для многих математических моделей удаётся получить достаточно простые зависимости, связывающие характеристики функционирования систем массового обслуживания с исходными параметрами, которые относятся к классу дискретных систем.

Одна и та же математическая модель может отображать функционирование совершенно разных по своей природе реальных систем, описываемых с помощью различных структурно-функциональных и нагрузочных параметров, состав и перечень которых определяются соответствующей прикладной областью.

Цель данного исследования - изучение методов и моделей исследования социальных процессов.

В ходе достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

ь изучены основные методы сбора и обработки социологической информации;

ь проведен анализ математических моделей социологических процессов;

ь рассмотрены методы исследования социологических процессов;

ь решены задачи в системе компьютерной математики Mathematica 10 и Excel.

Глава 1. Теоретические аспекты использования дискретных методов в исследованиях социологических процессах

1.1 Сущность, специфика социологического исследования

Человеческое общество - это сложная неравновесная развивающаяся система. Сложность, многофакторность и противоречивость социальной эволюции приводят исследователей к закономерному выводу о том, что любое упрощение, редукция, упущение из виду всего многообразия факторов неизбежно ведет к неверному пониманию изучаемых процессов. Возможно ли описать его развитие какими-либо достаточно простыми законами? Современные достижения в области математического моделирования дают однозначный ответ: "Можно".

Социологическое исследование (наравне с этим термином используется так же термин социологическое обследование) - это системное изучение социальных процессов и явлений, характеризующееся: всесторонним сущностным анализом предмета исследования; эмпирическим способом получения данных об изучаемом явлении, процессе; статистической обработкой данных об единичных проявлениях социальной реальности. Это система теоретических и эмпирических методов обследования социальной реальности с использованием методов статистической обработки данных.

При проведении социологического исследования пользуются как общенаучными методами, так и специфическими.

Социологические исследования бывают:

ь теоретическими (то есть основанные на применении и апробировании определенных социологических теорий) и эмпирическими (то есть основанные на сборе и обработке данных об объективной реальности, завершающиеся, как правило, теоретическим осмысливанием);

дискретное исследование социальный процесс

ь фундаментальными (ориентированными на выявление универсальных связей и отношений) и прикладными (ориентированными на решение узкого круга практических проблем);

ь сплошными (когда обследуется вся генеральная совокупность [1] ) и выборочным (проводимое на основе определенной выборки из генеральной совокупности).

В основе социологического исследования лежит его программа. Программа социологического исследования - это изложение его цели и общей концепции, исходных гипотез вместе с логической последовательностью операций для их проверки.

Особенности социологического исследования заключаются:

ь в конкретности, то есть изучаются конкретно существующие или существовавшие люди, изучается реальная социальная действительность;

ь в системности, то есть социальная действительность рассматривается как реально функционирующая система, обладающая всеми признаками материальных систем, во взаимосвязи со средой.

Особенность подхода к изучению социальных систем состоит в конкретно-историческом анализе, осуществляемом, как правило, на основе идеологической позиции (как научной, так и политической) исследователей.

Объект социологического исследования - это деятельность людей, занимающих определенное социальное положение, и условия, в которых эта деятельность осуществляется. При описании объекта социального исследования должны учитываться следующие его характеристики: профессиональная принадлежность, пространственная ограниченность (регион, город, деревня), функциональная направленность (производственная, политическая, бытовая), временные границы.

Прикладные социологические исследования чаще всего преследуют практическую цель, ибо призваны дать информацию для выработки рекомендаций, подготовки и принятия управленческих решений, способных повысить эффективность работы институциональных структур общества. Проблема исследования всегда предполагает своего носителя - ту общность людей и их деятельность, с которыми она неразрывно связана. Следовательно, объектом социологического исследования в широком смысле выступает носитель той или иной социальной проблемы. Говоря, например, об уровне знаний, мы всегда подразумеваем уровень знаний у определенной группы людей: студентов, рабочих, молодых специалистов и т.п. Все они могут выступать в качестве носителя проблемы (отличаться недостаточным уровнем общих или профессиональных знаний, затрудняющим подготовку квалифицированных специалистов, либо адаптацию к новым технологическим требованиям производства, например, в результате компьютеризации), а значит, и быть объектом исследования.

Предмет исследования - это то, что изучается в объекте, то есть на что направлено изучение, те свойства и стороны объекта, которые отражают определенную проблему. Это могут быть социальные явления и процессы, если объектом выступают конкретные социальные общности; степень выраженности свойств, характеристик, структура социальных явлений и процессов, общностей людей и т.п. Выбор предмета исследования:

1. Ориентируется на тот набор переменных и связей между ними, которые наиболее выпукло выражают центральный вопрос проблемы.

2. Очерчивает границы (рамки) предпринимаемого исследовательского поиска.

Цель социологического исследования определяет преимущественную его ориентацию - теоретическую или прикладную. Цели исследования могут быть различны. Например, если сформулирована такая проблема, как недостаточно высокий уровень управления подразделениями организации, то цель будет состоять в анализе реальной ситуации причин низкой эффективности управления организацией, выявлении скрытых резервов и разработке практических рекомендаций по изменению этой ситуации.

Основные задачи исследования заключают в себе поиск ответа на его центральный вопрос: каковы пути и средства решения исследуемой проблемы? Например, если цель исследования - определение эффективности учебного процесса, то в качестве основной задачи может выступить поиск факторов, дестабилизирующих этот процесс. Возможна ситуация, когда выдвижение дополнительных гипотез потребует выяснения еще каких-либо вопросов. В соответствии с этим и формулируются дополнительные задачи. В последнем примере в качестве дополнительных задач могут выступать: выявление степени обеспеченности студентов учебниками, оценка их материального положения и занятости во внеучебное время, изучение структуры досуга, политических интересов и активности и др.

Наблюдая проявления признаков (Х_i) в выборочной совокупности, состоящей из n носителей (конкретных людей: жителей города, села, профессионально-занятых в какой-либо сфере, обучающихся и т.п.), говоря языком теории вероятностей, мы проводим n независимых испытаний, (опытов) в которых конкретное проявление признака (X_i) есть или нет в каждом из опытов. То есть в основу исследования ложится испытание Бернулли - независимые испытания с двумя случайными исходами: "удачей” и "неудачей”. Их вероятности изменяются от испытания к испытанию. Вероятность "успеха” - p, а вероятность "неуспеха” - q = 1 - p. Для дискретной случайной величины вероятность проявления признака X_i точно m раз в n независимых опытах равна:

Эта формула называется биноминальным законом распределения Бернулли. Биноминальное распределение при соответствующих условиях и достаточно больших значениях n можно заменить подходящим нормальным распределением.

Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты (частности) при неограниченно растущем числе испытаний:

; http://read.virmk.ru/s/SANZ_SOC/g-0332.htm - _edn3

В реальности наблюдать у всей генеральной совокупности (N) проявление признака (X_i) практически бывает невозможным да и не нужным. То есть необходимо ограничиваться каким-то разумным числом n<N, чтобы с определенной степени достоверности говорить о свойствах генеральной совокупности (N) на основе описания свойств выборочной (n). Говоря языком математики, чтобы уверенно применить эмпирическую функцию распределения (W_n), необходимо иметь оценку разности между точным и приближенным выражением функции. Модуль разности между P_n и W_n называется абсолютной погрешностью выборки:

Абсолютная погрешность не характеризует точности измерения. Например, при измерении длины стола в 2 м и длины дороги в 200 км допущена абсолютная погрешность D₁= D₂=0.1 м. [6] Для оценки точности измерения используется относительная погрешность (d) применяемого значения W_n, равная отношению абсолютного значения погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа: [7]

Следовательно, чтобы определить объем выборочной совокупности необходимо провести оценивание возможного эмпирического распределения, то есть извлечь из данных наилучшее статистическое приближение для неизвестных значений параметров, отвечающих наблюдениям, а также объективную меру этого распределения. [8]

Для этого необходимо уточнить методы описания выборок, которые аналогичны основным методам статистического описания совокупности. Основными из них являются:

- прямое или косвенное описание полного распределения: прямое - в терминах одной из стандартных производящих функций;

- описание отдельных свойств полного распределения, таких как моменты (дисперсия, вариация, ковариация), избранные процентные точки.

Например, используя второй метод описания первых моментов и избранных процентных точек и определив достаточным интервал доверия с коэффициентом равным 0.9, можно вычислить объем выборки. При этом, во-первых, определив по таблице критическую точку 100% распределения при обозначенном коэффициенте доверия (t=1.65); во-вторых, определив как возможно максимальную дисперсию качественного дихотомического вопроса (да или нет) d²_max= p q = 0.25; в-третьих, определив абсолютную ошибку (погрешность) выборки D = 1 - 0.9 = 0.1.

Для определения объема выборки используем формулу для случайного повторного отбора, когда объем генеральной совокупности неизвестен:

Для обработки эмпирических данных необходимо определить, доверительный интервал для математического ожидания эмпирической функции распределения, используя при этом второй метод оценивания, предварительно вычислив предельную ошибку выборочной средней для максимально возможной дисперсии D (X_i) = d²= 0.25:

Таким образом, что бы выводы исследования можно было распространить на исследуемую совокупность, ее объем должен быть в соответствии закону больших чисел не менее 70 обследуемых для коэффициента доверия, равного 0.9. Обосновав логико-математически требуемое количество респондентов в выборочной совокупности, необходимо определить логико-структурный состав выборки, то есть определить в ней представительство конкретных людей количественно и качественно.

Выборка это процесс формирования выборочной совокупности путем отбора единиц наблюдения.

Единицы наблюдения включают в себя:

элементы выборочной совокупности (например, респонденты), подлежащие изучению, это единицы анализа;

элементы (поселения, предприятия, группы респондентов), отбираемые на каждом этапе выборки по особому плану, это единицы отбора.

Выборочная совокупность это часть генеральной совокупности, отражающая основные с точки зрения целей исследования свойства, признаки генеральной совокупности.

Свойство выборочной совокупности воспроизводства характеристик генеральной совокупности называется репрезентативностью. Ее критерии: статистический - отражение при расчете объема выборки в выборочной совокупности параметров генеральной с заданной погрешностью; ресурсно-экономический - экономичность исследования (оценка кадрового обеспечения, стоимости, временных затрат и т.д.); аналитический - ограничения на объем выборки, накладываемые задачами последующего анализа.

Генеральная совокупность это общность людей или социальный объект, на который распространяются выводы исследования.

Выборка бывает одноступенчатая (на первой ступени объекты репрезентации совпадают с единицами наблюдения) и многоступенчатая (отбор на первой ступени объектов репрезентации, на последующих единиц наблюдения).

Случайным называется отбор, при котором каждая единица генеральной совокупности имеет равную или почти равную вероятность попадания в выборочную совокупность. Случайные отборы бывают:

Вероятностный отбор - при котором каждая единица генеральной совокупности сохраняет равную возможность на протяжении всего процесса отбора быть отобранной в выборочную совокупность (повторный отбор) или вероятность попадания возрастает, так как отобранная единица не участвует в отборе далее (бесповторный отбор). Основное требование - достаточно большой объем выборочной совокупности;

Систематический отбор это случайный отбор, при котором первая единица наблюдения отбирается случайно, а остальные через один и тот же интервал (шаг), например из списка. Это псевдослучайный отбор.

Направленным называется неслучайный отбор, при котором единицы наблюдения отбираются в выборочную совокупность в соответствии с критериями, заданными исследователем. Направленные отборы бывают:

Гнездовой отбор это направленный многоступенчатый отбор, при котором на каждой ступени выделяется промежуточный объект репрезентации ("гнездо”), служащий исходной совокупностью для следующей ступени. При его осуществлении, как правило, в качестве единиц отбора выступают не отдельные респонденты, а группы с последующим сплошным отбором их. Особенностью является то, что "гнезда” на каждой ступени неоднородны по внутренней структуре подобно генеральной совокупности. Респондентом называется лицо (личность, человек), которое является источником первичной социологической информации, представляющей собой результат измерения;

Квотный отбор это направленный многоступенчатый отбор, при котором единицы наблюдения включаются в выборочную совокупность пропорционально их долям ("квотам”) в генеральной совокупности. Ему предшествует построение генеральной совокупности, воспроизводящей ее структуру в виде пропорций (квот) изучаемый признаков, например, если в коллективе количество мужчин и женщин соотносится как 1: 2, то в выборочной совокупности должны быть представлены респонденты по этому признаку в таком же соотношении. Это наиболее сложный метод, применяемый при большой генеральной совокупности и требующий для отбора респондентов использования не менее четырех признаков;

Районированный отбор это направленный многоступенчатый отбор, которому предшествует процедура деления совокупности на "районы”, которые внутри себя относительно однородны, но различаются между собой. Основные особенности - деление производится на основе признака, коррелирующего с исследуемыми характеристиками; ошибка выборки обуславливается только вариацией внутри выделенных типичный групп (районов). Данный отбор требует информации о генеральной совокупности для определения % -ного представительства признаков деления в выборочной совокупности, предварительного анализа объекта исследования;

Основными ошибками социологического исследования являются: теоретические (связанные с выбранной теорией), статистические (как правило, это заданная погрешность), наблюдения (полученные при сборе и первичной обработке информации). Ошибки наблюдения бывают: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности.

Ошибки регистрации возникают в результате неправильного установления фактов в процессе наблюдения или не точной их записи: случайные - при заполнении документов, при измерении показателей, при подсчете и т.п.; систематические - из-за неправильного выбора метода сбора или обработки первичных данных, неточностью в "инструменте" (анкете, бланке наблюдения и т.д.), из-за не учета постоянного влияния внешних факторов и т.п. Ошибки репрезентативности возникают из-за отклонения значений показателей по выборочной совокупности от их значений по генеральной: случайные - при отборе единиц наблюдения (как правило, задаются при определении объема выборки); систематические - из-за неточности соблюдения процедуры выборки, отказа респондентов, нарушений процедуры обработки.

Таким образом, эмпирическое исследование открывает новые факты и ставит новые задачи перед теорией. Теоретическое исследование получает новые возможности объяснения фактов и методологически ориентирует эмпирическое. В сущности, это два уровня глубины научного исследования социальных процессов и явлений. Единство и взаимообусловленность эмпирического и теоретического уровней являются основной теоретико-методологической предпосылкой и условием достоверности получаемого социологического знания. Социологическое исследование это система логически последовательных методологических и организационно-технических процедур, связанных между собой единой целью - получить объективно-достоверные сведения об изучаемом социальном явлении или процессе для их последующего использования на практике.

В социологическом исследовании применяются количественный и качественный способы измерения, сущность которых заключается в выборе респондентами той или иной категории или цифрового балла из серии предложенных ответов, с последующей логико-математической обработкой полученных статистических результатов. При этом основными способами проверки обоснованности и надежности измерительных шкал являются: логико-математический и статистический анализ; определение системы независимых критериев, например сведения документов, результаты экспертиз, апробированных методик и т.д.

1.2 Математическое моделирование социологических исследований

Исходя из вышесказанного строятся соответствующие математические модели. Выделяются следующие критерии классификации математических моделей социологических процессов:

тип математического аппарата, посредством которого осуществляется формализация процесса. Основное различие связано с тем, является ли модель стохастической вероятностной, случайной, то есть характер изменения точно предсказать невозможно, или детерминистской (определенной, причинно-обусловленной). Другие подклассификации относятся к типу используемых переменных: непрерывное или дискретное время; является ли зависимая переменная непрерывной, или лее представляет дискретные состояния;

основная функция моделей процессов в теоретическом и эмпирическом исследовании. В соответствии с этой основной функцией модели делятся на теоретические эмпирические.

содержание анализируемых процессов: процессы в малых и больших группах, процессы индивидуального и группового принятия решений, динамика групповой структуры и т.д.;

тип концептуализации социального процесса: рассматривается ли данный процесс как процесс без управления или как управляемый процесс Управляемые процесс можно разделить на процессы целесообразного поведения рефлексного типа и процессы целенаправленного поведения не рефлексного типа

Использование компьютерного моделирования в социальных науках довольно новая идея, хотя первые работы в этом направлении были осуществлены в 1960х, а широкое использование компьютеров началось в 1990-х. Эта идея имеет огромный потенциал потому, что моделирование представляет собой превосходный путь прогнозирования и понимания социальных процессов.

Компьютерное моделирование предоставляет возможность реализовать идею рождения сложного социального поведения из сравнительно простых действий индивидов:

Рис. 1 - Этапы моделирования

Процесс компьютерного моделирования социальных процессов включает в себя следующие этапы:

1. Ознакомление с социологической теорией, на основе которой строится модель

2. Поиск основных элементов структуры объекта, взаимосвязей, управляющих факторов

3. Построение информационной модели и аналитических схем на основе социологической теории объекта моделирования

4. Теоретическое изучение готовой информационной модели и построение математической модели (выбор математического аппарата, формализация структуры, взаимосвязей и элементов)

Построение компьютерной реализации математической модели (выбор метода компьютерного моделирования и алгоритма моделирования)

Практическое изучение готовой компьютерной модели (работа с компьютерными моделями как с объектами исследования: введение начальных данных, получение результатов в виде графиков и диаграмм, анализ и интерпретация полученных данных, изменение начальных условий на основе имеющихся результатов для нахождения оптимального решения)

В результате анализа компьютерной модели приходим к выводу об адекватности построенной модели моделируемому социальному процессу. Далее принимается решение: либо изменить структуру построенной модели с целью ее совершенствования и улучшения, либо произвести дополнительный анализ социологического объекта, либо собрать недостающие сведения об исследуемом социальном процессе.

Взаимосвязи между математикой в любой областью, где она находит приложение, развиваются двумя путями. Один путь очевиден и состоит просто в применении математики, которое может осуществляться различными способами: от решения конкретных практических задач, до развития обширных теорий. Второй путь, обычно не принимаемый во внимание многими людьми, заключается в том, что прикладная область может быть "применена к математики". Такое "применение" либо стимулирует разработку новых разделов математики, либо помогает при решении известных математических задач.

Рассмотрим взаимосвязи между математикой и прикладными проблемами из таких областей, как социология, биология, экология. Эти взаимосвязи возникли, в основном, значительно позже тех, которые существуют между математикой и физическими проблемами и затрагивают такие математические дисциплины, которые до недавних пор не включались в математическое образование.

Применение математики в указанных выше областях, требуется создание новых математических средств, достаточно мощных, чтобы справиться со сложными математическими вопросами, возникающими в ряде реальных задач.

Проблемы социологии, экологии, биологи послужили или должны стать стимулом для развития новой математики. Математика, создаваемая при этом воздействии, может быть интересна и сама по себе. Ее применимость не обязательно является критерием оценки, хотя конечно, можно надеяться, что в конечном счете она окажется полезной. Мы должны иметь в виду, что многие разделы математики развивались исключительно в силу внутренних причин и обнаружили свою полезность позднее. Хороший пример - булева алгебра, которая была использована в вычислительной технике более чем через пятьдесят лет после свое создания.

Другие разделы математики нередко развивались для одной единственной цели, и лишь позднее была обнаружена их важность для других прикладных областей. Значительная часть теории графов имеет такую же историю. Это наука берет свое начало с известной задачи о кенигсбергских мостах, затем исследование стимулировались вопросами, относящимися к структурам химических соединений, анализу игр и головоломок, а сегодня теория применяется для решения большого числа задач генетики, экологии, анализа транспортных потоков, коммуникаций и т.д.

Процесс математического моделирования включает четырехэтапный контур, который в упрощенном виде изображен на рисунке 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Циклическая природа математического моделирования

На первоначальном этапе происходит сбор сведений об изучаемом явлении. Затем формулируют определенные допущения об этом явлении на строгом языке - языке математики. Так получается математическая модель. На точном языке, который обычно используется для описания модели, общие допущения, законы и теории можно сформулировать таким образом, чтобы изложил" само существо дела, а не различия, возникающие из-за употребления нечетких терминов. Более того, становится возможным применить развитые в течение нескольких столетий точные методы исследований к изучению явлений реального мира.

В любом случае формальная модель строится на математических допущениях и следующие два блока контура предназначены для испытания построенной модели, а в случае необходимости и для ее модификации.

Для проверки модели желательно излучить некоторые выводы о реальном явлении. Такие выводы бывают двух типов: один относятся к ранее наблюдавшимся ситуациям (и носят объяснительный характер), а другие относятся к новым, ранее не наблюдавшимся ситуациям (и используются для предсказания или прогноза). Оба типа выводов важны для проверки математической модели, хотя в нашем обсуждении целесообразно относиться к ним обоим как к прогнозам. Для получения таких прогнозов сначала при помощи т математических методов, разработанных ранее или специально для данной математической модели, составляются математические прогнозы.

Эти математические прогнозы затем переводятся с языка модели обратно на язык реального мира и, следовательно, могут интерпретироваться как прогнозы или выводы для изучаемого явления.

На заключительном этапе прогнозы сверяются с реальными данными,"ибо известными (в случае проверок объяснительных возможностей модели) либо новыми (в случае проверок ее предсказывающих возможностей). На основе новых данных, включающих и сведения о прогнозе, по модели, модель модифицируется, и процесс исследования циклически повторяется по тому же контуру.

Таким образом, любая математическая модель признается лишь временной. Циклический процесс продолжается все время, и новые порции данных должны повышать объяснительную или предсказывающую способность модели. Следует иметь в виду, что не всякая математическая модель создается в описанной выше последовательности, т.е. некоторые шаги могут пропускаться, повторяться и т.п. Но в качестве некоторой идеализации наша четырехэтапная процедура вполне приемлема.

1.3 Система компьютерной математики Mathematica 10 в исследованиях социологических процессов

Сложно представить изучение математики в наше время без использования программного обеспечения (ПО) различного вида и уровня. ПО берет на себя большую часть вычислительной и аналитической нагрузки современного математика. Очевидные плюсы применения ПО выражаются и в повсеместном требовании повышения компьютерной грамотности, и в экономии времени на различные промежуточные вычисления, и во всеобщей тенденции компьютеризировать любую информацию. Поэтому перед сегодняшними исследователями стоят и, главное, представляются разрешимыми совсем другие задачи, нежели ранее.

Рынок систем компьютерных математик (СКМ) широк, что позволяет выбрать то или иное ПО по своим критериям. Порой трата времени на поиск наиболее адаптивной СКМ для самостоятельных исследований с лихвой окупается ее возможностями.

СКМ Mathematica дает возможность специалистам решать большое количество достаточно сложных задач, не вдаваясь в тонкости программирования. Mathematica может быть модернизирована самим пользователем, так как она является ПО с открытым кодом. Данная СКМ позволяет включать в расчеты все известные элементарные функции, а также сотни специальных встроенных функций. Пользователь программы может вводить и свои функции как для применения в течение одного сеанса работы, так и для постоянного использования. Входной язык Mathematica содержит большое количество конструкций, позволяющих для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод программирования. Помимо обычного процедурного программирования с применением условных переходов и операторов цикла, имеется еще несколько методов. В каждой конкретной программе пользователь может одновременно применять несколько методов или даже все перечисленные.

В то время, когда только начали появляться СКМ, книги по этому направлению были способны лишь отпугнуть обычного читателя и пользователя компьютера от изучения возможностей компьютерной алгебры в силу перенасыщенности их узкоспециальным теоретическим материалом и весьма специфического языка описания. Несколько периодических изданий и более двухсот книг посвящено СКМ Mathematica, эти книги способны помочь ознакомиться с работой в системе, но без знания какой-либо предметной области работа в СКМ не представляется целесообразной.

В начале 60-х годов XX века обсуждалась задача создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования, при которых получались бы символьные результаты везде, где это только возможно. Одни из первых таких систем были Reduce, Derive, Macsyma. На сегодняшний день существует множество систем компьютерной математики (СКМ) как коммерческих, так и некоммерческих. Среди коммерческих СКМ наиболее широко известны такие универсальные системы, как Mathcad, Mathematica, Maple и др., т.е. такие системы, которые выполняют как численные, так и символьные вычисления. Среди свободно распространяемых систем известны Axiom, Eigenmath, Maxima, Yacas. СКМ Maxima, первоначально носившая имя Macsyma (от MAC's SYmbolic MAnipulation), была создана в конце 60-х годов в знаменитом MIT (Massachusetts Institute of Technology) Массачусетском технологическом институте. Macsyma в течение многих лет использовалась и развивалась в университетах Северной Америки, где появилось множество вариантов системы. Maxima является одним из вариантов, созданным профессором Вильямом Шелтером в 1982 году. Принципы, положенные в основу проекта, позднее были заимствованы наиболее активно развивающимися ныне коммерческими программами - Mathematica и Maple. Можно сказать, что Macsyma фактически стала родоначальником всего направления программ символьной математики.

В конце 80-х Стивен Вольфрам приступил к созданию проекта математической системы Mathematica. В 80-х годах он основал корпорацию WolframResearch, для создания компьютерной системы Mathematica.

Первая версия Mathematica была выпущена 23 июня 1988 г. За все это время Mathematica оптимизировалась, расширялась ее функциональность и документация. В выпускной работе рассмотрена последняя версия системы.

Mathematica содержит большую коллекцию высоко оптимизированных алгоритмов, многие из которых были открыты в WolframResearch. Система поддерживает числа любой точности, причем для внутренних расчетов часто используются еще более точные значения для повышения качества результата. Для повышения точности вычисления среда использует символьные вычисления, т.е. пытается упростить или преобразовать выражение, и лишь затем производит численный расчет. При этом алгоритм решения выбирается автоматически из тысяч методов и может быть изменен даже в процессе вычисления, что ускоряет получение решения и повышает точность больше, чем ручное задание метода [8].

Начиная с 8-ой версии пакета, можно выделить возможность ввода вычислительных команд на почти естественном для человека языке. Сами разработчики называют эту функцию "linguistically controlled computing" (вычисления с лингвистическим управлением). В систему интегрирована технология, лежащая в основе онлайн-базы знаний и набора вычислительных алгоритмов WolframAlpha, благодаря чему в новой версии Mathematica можно вводить математические выражения на естественном английском языке и мгновенно получать ответ или переходить к расширенному анализу. Наглядным примером использования естественного языка в вычислениях является команда "pi 100 digits". Если ввести ее в стандартное поле команд, пакет Mathematica преобразует символы в стандартную конструкцию "N [Pi, 100] " (вывод числа Пи до девяноста девятого знака после запятой). Кроме того, пользователь может ввести целую математическую задачу, например, в форме системы уравнений вроде "2a - b = 3, a + b + c = 1, c - b = 6". Интеллекта, вложенного в пакет Mathematica 10, будет достаточно, чтобы правильно воспринять задачу и вывести решение в понятной форме, в том числе конкретные значения переменных a, b и c [23].

Пакет Mathematica 10 содержит более 500 новых функций и инструментов, поддерживает вычисления с использованием ресурсов графического процессора или многоядерных процессоров. Также Mathematica содержит достаточный набор управляющих структур для создания условных выражений, ветвления в программах, циклов и т.д. Таким образом, программирование в совокупности с символьными, графическими и численными вычислениями, выполняемыми в одном сеансе использования Mathematica, превращают ее в удобный и мощный инструмент научных исследований.

Что нового в системе Mathematica 10.

В системе Mathematica 10 были добавлены новые обширные сферы применения - ещё более расширяя не имеющую себе равных базу алгоритмических, информационных возможностей и возможностей пользовательского интерфейса системы Mathematica.

· Полоса с предложениями о следующих вычислениях. Как только вы закончили вычисления, вам будут предложены оптимизированные предложения о следующих возможных шагах. Нажатием кнопки можно выполнить новую функцию или открыть модуль оперативной помощи. Этот новый подход к интерфейсу пользователя позволяет ориентироваться в функциях системы Mathematica и открывать для себя новые функциональные возможности.

· Контекстный модуль помощи ввода. Разумное автозавершение и яркостное выделение для функций, опций и других элементов системы Mathematica, интегрированное с не имеющей себе равных документацией системы Mathematica.

· Анализ социальных сетей. Полный комплект функций для анализа социальных сетей, включая выявление сообществ, сплочённые группы и меры центральности, а также встроенные каналы получения данных от Facebook, LinkedIn, Twitter и др.

· Системная поддержка единиц измерений. Тесно интегрированная поддержка более чем 4500 единиц измерений-в том числе свободная форма языкового ввода, преобразования, и проверка согласования размерностей в построении графиков, в численных и символьных вычислениях.

· Корпоративное развёртывание вычисляемых документов (Enterprise CDF). Новый вариант Mathematica Enterprise Edition делает возможным непосредственное развёртывание CDF документов, использующих оперативные данные во время выполения, и другие расширенные возможности. Режимы предварительного просмотра имитируют Wolfram CDF Player и Wolfram Player Pro.

· Обширная поддержка случайных процессов. Универсальная платформа для моделирования систем, которые случайным образом изменяются во времени, включая поддержку построения реализаций, оценивание параметров (калибровку), нахождение распределений временных срезов, а также ковариационной функции и функции среднего значения.

· Цепи Маркова и теория массового обслуживания. Автоматизированная поддержка цепей Маркова с дискретным и с непрерывным временем, и теории массового обслуживания. Нахождение показателей производительности для построения случайных процессов в прикладных расчётах, например, для центра телефонного обслуживания или для серверной архитектуры." Временные ряды и стохастические дифференциальные уравнения. Автоматическая калибровка моделей временного ряда по данным и прогнозирование по моделям. Вычисление символьных свойств для стохастических дифференциальных уравнений, используемых в финансах, обработке сигналов и других дисциплинах.

· Анализ надёжности. Полная подсистема для анализа надёжности, поддерживающая блок схемы расчёта надёжности, деревья неисправностей, модели ненагруженного резервирования, и критерии важности.

· Анализ выживаемости. Широкая поддержка цензурированных данных, оптимизированные платформы для параметрического и непараметрического моделирования выживаемости, а также ряд универсальных функций для проверки гипотез.

· Развёрнутая поддержка теории вероятностей и статистики. Расширенные возможности по теории вероятностей и статистике, в том числе критерии статистической независимости, новые тесты для проверки статистических гипотез, поддержка взвешенных данных, а также новые параметрические и вторичные распределения вероятностей.

· Расширенная поддержка графов и сетей. Новые и оптимизированные распределения вероятностей на графах, функции расчёта транспортных сетей, а также повышенная производительность подсистемы в целом.

· Встроенная интеграция с языком R. Использование кода на языке R в процессе работы в системе Mathematica, обмениваясь данными между системой Mathematica и средой R, и выполняя R код непосредственно из системы Mathematica. Включает автоматическую загрузку среды выполнения R.

· Обработка 3D объемных изображений. Подсистема по обработке изображений теперь поддерживает операции с трехмерными объемными изображениями, такие как пиксельные операции, локальное фильтрование, и морфологические операции. Также включает рендеринг трехмерных поверхностей и объёмов.

· Новые передовые алгоритмы обработки изображений. Функции определения контура, распознавания лиц, функции улучшения изображений и другие высоко оптимизированные алгоритмы позволяют выполнять всесторонний анализ изображений.

· Интерактивный помощник в работе с изображениями. Новый способ находить функции по работе с изображениями, используя указательный интерфейс-не покидая среды блокнота системы Mathematica.

· Поддержка больших изображений. Работая с внешней памятью, система Mathematica 10 расширяет масштабы производительности до очень больших двумерных и трехмерных изображений.

· Поддержка HDR изображений. Импортирование изображений с высоким динамическим диапазоном (HDR) и данных цветового профиля, а также улучшенная поддержка форматов JPEG и PNG.

· Интегрированная поддержка обработки цифровых и аналоговых сигналов. Фильтрование и анализ сигналов-аудио, изображения, многомерные данные - а также непосредственное создание и использование интерактивных фильтров. Поддержка SystemModeler.

· Расширенная функциональность систем управления. Построение моделей с запаздыванием или алгебраическими уравнениями, и их использование с полным набором функций систем управления в системе Mathematica. Автоматическое построение ПИД-регуляторов в соответствии с заданными критериями.

· Значительные расширения в нахождении численных решений дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами, гибридных дискретно-непрерывных динамических систем, параметрических дифференциальных уравнений, а также дифференциально-алгебраических уравнений.

· Встроенная поддержка символьных тензоров. Эффективная поддержка символьных массивов, от простых векторов до массивов произвольного ранга, размерности или симметрии. Новые и улучшенные базовые алгоритмы. Новые специальные функции, улучшения по функциям линейной и полиномиальной алгебры, а также значительное увеличение быстродействия по системе в целом.

· Другие новые улучшения. Поддержка векторного анализа, в том числе векторного исчисления и координатных систем. Встроенная поддержка производственного и других календарей.

· Расширенные визуализация и элементы управления. Высоко настраиваемые интерактивные индикаторы для приборных досок и элементов управления, системная поддержка автоматических легенд на графиках и диаграммах, а также новые функции визуализации, специализированные для обработки сигналов.

· Новые форматы для функций импорта и экспорта. Широкая поддержка новых форматов данных, в таких дисциплинах как молекулярная биология, обработка изображений с высоким динамическим диапазоном, химическая спектроскопия.

· Поддержка полного спектра интернет доступа. Полный доступ к интернету со стороны клиента для обмена информацией с удалёнными серверами, и для работы с программными интерфейсами веб-приложений. Асинхронное соединение для программирования в стиле AJAX.

· Перепроектированные шаблоны слайд-шоу. Обновлённый внешний вид слайд-шоу, использующий новые стилевые шаблоны, и с поддержкой фоновых изображений.

· Другие новые улучшения. Низкоуровневая поддержка операций ввода-вывода для потоков данных. Расширенная документация с рекомендуемыми примерами и учебными ресурсами. Переработанное стандартное стилевое оформление и новые шаблоны.

Новый проект Mathematica 10 в первую очередь представляет собой специализированное программное обеспечение для учёных, студентов ВУЗов и школьников, которые готовятся к экзаменам и решают домашние задания по высшей математики [7].

Глава 2. Математические модели в социологических исследованиях

2.1 Модели демографических процессов

Конструктивный синтез социальных наук и математики требует введения адекватных способов измерения социальных величин. Одной из наиболее доступных для непосредственного измерения социальных величин является численность людей. Поэтому неудивительно, что именно область демографии привлекает исследователей, давая надежды на успех в построении количественной теории. Примечательно, что и проникновение математических методов в социальную сферу во многом проходило под флагом описания популяционной динамики животных.

Численность популяции может меняться во времени различным образом: расти, совершать колебания, падать и причины этого могут быть различны. Здесь мы рассмотрим модели роста популяций и математический аппарат, позволяющий описывать динамику численности разных популяций.

Однако несмотря на измеримость данных и, более того, на очевидность формулы, вытекающей из закона сохранения и описывающей демографическую динамику:

, (4)

где N - число людей, B - число рождений и D - число смертей в единицу времени, на микроуровне оказывается, что и число рождений, и число смертей зависят от многих других социальных параметров, и в том числе от "человеческого фактора" - принятия решений отдельными людьми, слабо поддающегося формализации.

Кроме того, формула (4) не учитывает перемещения людей в пространстве, а следовательно она должна быть расширена:

,

где вектор J соответствует миграционному потоку. В этом случае задача еще больше усложняется, поскольку миграционные процессы еще сильнее подвержены влиянию внешних факторов.

Поэтому описание демографических процессов на микроуровне наталкивается на существенные проблемы, связанные, прежде всего, с неразработанностью формальных социальных законов, увязывающих экономические, политические, этические и прочие факторы, определяющие поведение малых групп людей.

Таким образом, единственным пока доступным подходом является макроописание, не вдающееся в мелкие детали демографического процесса и описывающее динамику больших людских масс, для которых влияние человеческого фактора заметно ниже.

Рассмотрим модель, предложенную Мальтусом в 1798 г. в классическом труде "О законе роста народонаселения". Томас Роберт Мальтус (1766-1834) - известный английский демограф и экономист, обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте (в геометрической прогрессии), в то время как производство питания растет со временем линейно (в арифметической прогрессии), из чего сделал справедливый вывод, что рано или поздно экспонента обязательно "обгонит" линейную функцию, и наступит голод. На основании этих выводов Мальтус говорит о необходимости ввести ограничения на рождаемость, в особенности для беднейших слоев общества. "Экономический пессимизм", следующий из прогнозов предложенной им модели, в основу которой положен анализ эмпирических данных, Мальтус противопоставлял модным в начале IXX века оптимистическим идеям гуманистов: Жана-Жака Руссо, Уильяма Годвина и других, предсказывающих человечеству грядущее счастье и процветание. Можно говорить о том, что Мальтус был первым ученым - "алармистом", который на основании результатов моделирования "бил тревогу" и предупреждал человечество об опасности следования развитию по используемым ранее сценариям прогресса.

Динамика популяций в соответствии с моделью Мальтуса протекает по закону:

x_n+1 = qx_n (5)

где q - некоторое число, большее единицы, а x_n есть численность популяции в n-м году.

Пусть в год Рождества Христова число жителей некоторого города было равно х_0. Через год его численность будет равна x₁ = qx₀. В году с номером n его численность будет равна x_n= qⁿ x₀.

В экономической интерпретации x_{n -} величина вклада в банке в n-м году, а величина q определена процентной ставкой.

Удобно рассмотреть вариант q= 1,03, что соответствует ежегодному 3% -му приросту населения, а в экономической интерпретации начислению 3% годовых на начальный вклад, график функции на рис.3. Оценим как происходит рост населения. Через сколько лет удвоится населения города?

Разумеется, что при ежегодном росте в 3 % гарантировано удвоение через 34 года. Однако эффект начисления процентов на проценты приводит к тому, что уже через 24 года величина x₀ удвоится:

x ₂₄ = (1,03) ²⁴ · x₀ = 2,032793 · x₀ > 2 · x_0.

Нетрудно посчитать, что через 48 лет население увеличится в 4 раза, через 64 года - в 8 раз, а через 24 n лет - более, чем в 2 ⁿраз. К 1992 году население увеличилось более, чем в 2⁸³ раз, т.к. 1992 = 24*83. Т.е. численность потомства одной пары, жившей во времена Рождества Христова равна 2⁸³*2 = 2⁸⁴ (х₀ = 2).

Таким образом посчитали, что при трехпроцентном ежегодном росте населения количество потомков одной пары современников Христа составит в среднем более 10²⁵ человек. Это такое количество, что если каждому человеку выделить на Земле один квадратный сантиметр, то все они на Земле не поместятся.

Действительно, т.к.2¹⁰ = 1024, то

2⁸⁴ = (2¹⁰) ^8,4 = 1024 ^8,4> (10³) ^8,4> 10 ²⁵.

Рис. 3. График роста величины x_n = (1,03) ⁿ. Сверху: при n, меняющемся от 0 до 10.

Снизу: при n, меняющемся от 0 до 2016, в измененном масштабе по обеим осям.

Итогом обсуждения мальтузианской модели является вывод:

Гипотеза постоянного в течение двух тысячелетий ежегодного трехпроцентного экономического роста (постоянного трехпроцентного роста практически любой величины) опровергается арифметикой.

Эти соображения заставляют прислушаться к аргументам сторонников ограничения экономического роста и качественной диверсификации экономики. Такие идеи высказывались так называемым Римским клубом.