Судовые двигатели внутреннего сгорания

Характеристику максимальной мощности иногда называют абсолютной внешней характеристикой.

Рис. 6.1 - Внешние характеристики дизеля: 1 - максимальной мощности (абсолютная внешняя характеристика); а - номинальной мощности; б - эксплуатационной мощности; в - частичной мощности

Эксплуатационная внешняя характеристика или просто внешняя характеристика снимается при ограниченной подаче топлива, обеспечивающей бездымный выпуск отработавших газов. Площадь расположенная под внешней характеристикой представляет собой область всех возможных в условиях эксплуатации режимов работы двигателя.

Внешние характеристики обычно снимают на стенде при определённых условиях, указанных в технических документах, т.е. при вполне определённых давлении и температуре окружающей среды, определённом разрежении на всасывании и противодавлении на выхлопе определённом температурном режиме охлаждения.

При работе дизеля на режиме внешней характеристики при снижении оборотов наблюдается ухудшение индикаторных показателей и возрастание механической и тепловой напряжённости.

В ряде случаев при работе по внешней характеристике температура выпускных газов и максимальное давление сгорания не превышают предельных значений. Вместе с тем работа по внешней характеристике на пониженной частоте вращения не допускается вследствие резкого ухудшения рабочего процесса и связанного с эти усиления нагаро - и смолообразовании, нарушающего нормальную смазку, теплоотвод и подвижность поршневых колец, т.е. вредно отражается на ресурсе двигателя.

Кратковременный выход нагрузок до значений внешней характеристики при реверсе, разгоне, циркуляции не отражается существенно на надёжности и ресурсе дизеля, поэтому его можно считать вполне допустимым.

6.2 Ограничительная характеристика

Как указывалось ранее площадь под внешней характеристикой представляет область возможных режимов работы двигателя. Однако координаты внешней характеристики не определяют допустимую нагрузку двигателя в условиях эксплуатации, поскольку работа на по этой характеристике сопряжена с возрастанием механической и тепловой напряжённости. К тому же следует иметь виду, что реальные условия использования двигателя могут значительно отличаться от тех, при которых проводилось снятие внешней характеристики, что в свою очередь вызывает необходимость уменьшения нагрузки. Исходя из этого и было введено понятие об ограничительной характеристике.

Ограничительной характеристикой называется зависимость между частотой вращения и максимально допустимой мощностью двигателя при условии обеспечения полной надёжности его работы.

В связи с рассмотрением ограничительной характеристики необходимо рассмотреть факторы, ограничивающие допустимую нагрузку на двигатели. Их можно разбить на три группы:

1. Характеризующие механическую нагрузку на детали двигателя;

2. Характеризующие тепловую нагрузку;

3. Характеризующие качество протекания рабочего процесса.

К первой группе следует отнести P_z, , , М_кр. Из приведённых параметров только крутящий момент достаточно полно характеризует нагрузку, прежде всего, на коленчатый вал - наиболее дорогостоящую деталь двигателя.

Важно иметь ввиду, что судовых условиях можно определять или косвенным путём оценивать величину крутящего момента на валу. В ряде случаев при постоянстве крутящего момента обеспечивается примерное постоянство температуры выпускных газов. В связи с вышесказанным заводы обычно в качестве ограничительной характеристики принимают N_e = f(n) при М_кр = const, которая в координатах N_e - n представляет собой прямую линию. Что тоже немаловажно.

Тепловая напряжённость деталей двигателя зависит от величины теплового потока, проходящего через эту деталь.

Тепловое состояние двигателя в целом обычно оценивают по температуре донышка поршня, поэтому она является надёжным критерием теплового состояния двигателя. Однако в условиях эксплуатации не представляется возможным контролировать температуру поршня. В реальных условиях тепловое состояние двигателя оценивают по косвенным показателям, например, температуре выпускных газов. Однако это недостаточно надёжный критерий тепловой напряжённости двухтактных дизелей и четырёхтактных дизелей с перекрытием клапанов (там, где имеет место продувка камеры сгорания).

Рис. 6.2 - Ограничительная характеристика М_кр = const

Экспериментальные исследования показали, что тепловое состояние ЦПГ достаточно точно определяется величиной теплоотвода в охлаждающую воду, поэтому можно пользоваться ограничительной характеристикой Q_w = const.

Тепловое состояние поршня зависит и от величины коэффициента избытка воздуха. Для обеспечения наиболее экономичного режима работы двигателя необходимо добиваться поддержания на высоком уровне индикаторных показателей - g_i, з_i. Последние зависят, главным образом от величины коэффициента избытка воздуха б. В этой связи целесообразно принимать б за критерий допустимой нагрузки и пользоваться ограничительной характеристикой б = const. Такая ограничительная характеристика применяется для быстроходных дизелей ПО "Звезда".

6.3 Винтовая характеристика

Главные судовые двигатели обычно нагружаются гребным винтом. Поэтому для любого режима плавания мощность, развиваемая двигателем будет определяться мощностью, потребляемой гребным винтом.

Винтовой характеристикой называется зависимости параметров работы двигателя нагружаемого гребным винтом от частоты вращения.

Отсюда следует, что винтовая характеристика является совместной характеристикой двигателя и потребителя мощности - гребного винта.

При использовании винта фиксированного шага (ВФШ) изменение мощности двигателя от оборотов представляется в виде параболической зависимости N_e = Cn^m.

Для судов с круглыми обводами (водоизмещающие суда) m = 2,7 ч 3,2; для полуглиссирующих судов в период глиссирования m = 1,8 ч 2,2; для глиссирующих m = 1,6 ч 1,8.

Вид винтовой характеристики зависит от конструкции гребного винта, обводов корпуса судна, гидравлических условий работы гребного винта (состояние моря, осадка, глубина под килем, направление потока воды, обтекающего гребной винт) и других факторов. Поэтому в эксплуатации гребной винт создаёт поле характеристик, ограничиваемое следующими винтовыми характеристиками:

1) при работе на швартовах (а также момент снятия с мели);

2) с оголёнными гребными винтами.

Первая соответствует наибольшей мощности, потребляемой гребным винтом, вторая сбросу нагрузки.

При определении номинальной частоты вращения и номинальной мощности при непосредственной связи с гребным валом, совмещают внешнюю, ограничительную характеристики с нормальной винтовой. Нормальная винтовая характеристика снимется при прямом свободном ходе судна, на спокойной воде, чистом корпусе и нормальной осадке судна при работе всех гребных валов судна.

Обычно винтовую характеристику представляют в виде кубической параболы N_e = Cn³. Коэффициент "С" определяется по данным для номинального режима. Для данного судна при неизменных гидродинамических условиях работы гребного винта коэффициент "С" сохраняется постоянным. В этом случае внешняя, ограничительная и винтовая характеристики пересекаются в одной при номинальной частоте вращения. При изменении гидравлических условий работы гребного винта значение коэффициента "С" будет меняться. В связи с этим изменится мощность, поглощаемая гребным винтом при данной частоте вращения гребного вала.

Обычно на практике чаще всего происходит увеличение коэффициента "С", так называемое "утяжеление" винтовых характеристик. В этом случае возникнут ограничения по частоте вращения, поскольку максимально допустимую мощность двигатель будет развивать при пониженной частоте вращения. Предельным случаем "утяжёления" винтовой характеристики Является швартовная характеристика, когда судно стоит на месте а гребной вал вращается, создавая упор.

Однако, на практике возможны и другие случаи, когда судно идёт в балласте, попутном ветре, по течению, попутной волне. Тогда будет происходить "облегчение" винтовой характеристики и она будет располагаться ниже нормальной винтовой характеристики. Предельным случаем "облегчения" винтовой характеристики является работа двигателя с оголённым гребным винтом (при сильном дифференте на нос).

Характер изменения параметров при работе дизеля 6ЧНСП 18/22 по винтовой характеристике приведён на рисунке 6.4.

Рис. 6.3 - Винтовая характеристика дизеля 6ЧНСП 18/22

6.4 Нагрузочная характеристика

Нагрузочная характеристика показывает зависимость параметров, характеризующих работу двигателя, от нагрузки при постоянной частоте вращения. Характер изменения параметров при работе двигателя ДН 23/30 по нагрузочной характеристике приведён на рисунке 6.4.

Рис. 6.4 - Нагрузочная характеристика дизеля ДН 23/20

6.5 Универсальная характеристика

Универсальная характеристика - это семейство кривых постоянных значений удельного эффективного расхода топлива, температуры выпускных газов, построенных в координатах N_e - n, Р_e - n.

Эта характеристика нужна для оценки технико-экономических показателей дизеля при работе на переменных режимах в различных эксплуатационных условиях. Они выражают связь трёх исследуемых параметров. Для построения универсальных характеристик нужно иметь серию нагрузочных характеристик.



Рис. 6.5 - Универсальная характеристика дизеля 14Д40 (10ДН20,7/2х25,4)

Универсальные характеристики дают возможность выбирать для дизеля наиболее экономичные режимы с учётом требований эксплуатации.

Лекция 11. 7. Кинематика кривошипно-шатунного механизма

7.1 Определения и обозначения

Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) служит для преобразования поступательного движения поршня во вращательное движение коленчатого вала.

При рассмотрении кинематики КШМ предполагается, что угловая скорость вращения коленчатого вала постоянна. В действительности из-за неравномерности крутящего момента двигателя угловая скорость вала переменна, но изменяется в незначительных пределах.

Различают три основных вида КШМ:

- центральный (нормальный) КШМ, в котором ось цилиндра пересекает ось вращения коленвала (рис. 7.1, а);

- смещённый (дезаксиальный) КШМ, в котором ось цилиндра не проходит через ось коленвала, при этом смещение оси цилиндра "С", которое называется дезаксаж, обычно не превышает 10 % хода поршня (рис. 7.1, б);

- КШМ с прицепным шатуном, у которого два шатуна передают усилия на одну и ту же шатунную шейку коленвала (рис. 7.1, в). Шатун соединённый с шейкой называется главным, шатун шарнирно соединённый с нижней головкой - главного шатуна - прицепным. Поршень, сочлёнённый с главным шатуном, называется главным поршнем, а сочленённый с прицепным шатуном - боковым. В общем случае с главным шатуном могут соединяться два прицепных шатуна (W - образный двигатель) или более двух (звёздообразный двигатель).



Рис. 7.1 - Виды КШМ

L - длина шатуна; l- длина прицепного шатуна;

R - радиус кривошипа; r - радиус прицепа;

б - угол поворота кривошиап от ВМТ;

S_max - ход поршня;

S - перемещение поршня от ВМТ, соответствующее повороту кривошипа на угол б;

в - угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра;

в_l - угол отклонения оси прицепного шатуна от оси цилиндра;

щ - угловая скорость вращения коленвала;

г - угол развала цилиндров.

Угол в считается положительным при отклонении оси шатуна от оси цилиндра в сторону вращения коленвала. В судовых ДВС наиболее распространённым является центральный КШМ. Смещённый КШМ применяется главным образом в автомобильных и поршневых авиационных ДВС для снижения нормальной силы поршня на втулку цилиндра.

Отношение - называется постоянной КШМ.

Для современных ДВС значения л имеют следующие значения:

ВОД тронковые л = 0,25 ч 0,30;

СОД тронковые л = 0,20 ч 0,25;

МОД крейцкопфные л = 0,24 ч 0,28;

7.2 Перемещение поршня

Рассмотрим центральный КШМ при некотором положении поворота колена на угол б (рис. 7.1, а).

Максимальное перемещение поршня S_max = 2R. Текущее перемещение поршня S в функции от б определится следующим образом:

,

или, вынеся R за скобки получим

(7.1)

Угол в находим по теореме синусов из треугольника

. (7.2)

Откуда sinв = л?sinб. Поскольку в формуле для определения перемещения поршня S стоит cosв, т,о используя известную зависимость sin²в + cos²в = 1, получим

. (7.3)

Используя формулу бинома Ньютона, это выражение можно записать в виде сходящегося ряда

. (7.4)

При л = 0, 20 ч 0,30 практически достаточно сохранить два первых члена сходящегося ряда, т.е.

. (7.5)

Тогда формулу (7.1) можно записать в следующем виде

. (7.6)

Зная, что sin²б = 1 - cos²б = (1- cos2б) подставим это выражение в формулу (7.6) получим

, (7.7)

Перемещение поршня, отнесённое к радиусу кривошипа называют безразмерным .

Формула безразмерного перемещения поршня приближённо представляет перемещение поршня как сумму двух гармонических перемещений первого и второго порядка

. (7.8)

7.3 Определение угла поворота кривошипа по заданному перемещению поршня

Эта задача наиболее часто возникает в двухтактных ДВС при определении угла поворота коленвала в момент выпускных и продувочных открытия окнах по известной их относительной высоте ш.

Для этого воспользуемся формулой

. (7.9)

Зная, что имеем S₀ = h = ш2R.

Решаем уравнение (7.9) относительно б₀

; (7.10)

;

. (7.11)

7.4 Скорость поршня

Выражение для скорости поршня найдём дифференцируя по времени зависимость, для перемещения поршня и делая замену переменных дифференцирования

, (7.12)

где - угловая скорость коленвала, с^-1.

Для нахождения точного выражения скорости поршня дифференцируем уравнение (7.1) по времени

(7.13)

Для определения продифференцируем полученное ранее выражение sinв = л?sinб

.

.

Подставим полученное выражение для в формулу 7.13 и зная, что , получим

,

. (7.14)

Безразмерная скорость определяется следующим образом

. (7.15)

Приближённое выражение для скорости поршня выводится путём дифференцирования выражения (7.7)

. (7.16)

Из этой формулы видно, что при л ? 0 скорость поршня находится как сумма двух гармонических составляющих первого и второго порядков.

7.5 Ускорение поршня

Ускорение поршня находится путём дифференцирования скорости по времени

. (7.17)

Для точного выражения ускорения имеем

. (7.18)

Подставим ране полученные выражения , в уравнение (7.18) и используя формулы тригонометрических соотношений, выполним следующие преобразования



Окончательно

. (7.19)

Безразмерное ускорение поршня

.

Следовательно

.

Приближённое выражение для ускорения получается путём дифференцирования приближённого выражения для скорости (формула 7.16)



. (7.20)

Для безразмерного ускорения

. (7.21)

То есть это сумма гармоник первого и второго порядка.

Значения углов поворота кривошипа б при которых ускорение поршня j получается экстремальным находят приравняв к нулю производную по б от правой части уравнения (7.20)

.

Откуда

sinб + 2•л•2•sinб•cosб = sinб (1+4•л•cosб) = 0.

Следовательно экстремумы будут при б = 0, б = 180 и б = arccos.

Подставим эти значения б в уравнение (7.21) найдём следующие значения

1. В положении ВМТ б = 0, j = 1 + л, J_ВМТ = Rщ(1+ л).

2. В положении НМТ б = 180, j = - (1 - л) , J_ВМТ = -Rщ(1 - л).

3. Третье экстремальное значение возможно при , т.е. при л ? 0,25.

Лекция 12. 8. Динамика кривошипно-шатунного механизма

КШМ во время работы двигателя подвергается воздействию следующих сил: от давления газов на поршень, инерции движущихся масс механизма, тяжести отдельных деталей, трения в звеньях механизма и сопротивления приемника энергии.

Расчётное определение сил трения весьма сложно и при расчёте сил нагружающих КШМ обычно не учитывается.

В ВОД и СОД обычно пренебрегают силами тяжести деталей ввиду их незначительной величины по сравнению другими силами.

Таким образом основными силами действующими в КШМ являются силы от давления газов и силы инерции движущихся масс. Силы от давления газов зависят от характера протекания рабочего цикла, силы инерции определяются величиной масс движущихся деталей, размером хода поршня и частотой вращения.

Нахождение этих сил необходимо для расчёта деталей двигателя на прочность, выявления нагрузок на подшипники, определения степени неравномерности вращения коленвала, расчёт коленвала на крутильные колебания.

8.1 Приведение масс деталей и звеньев КШМ

Действительные массы движущихся звеньев КШМ для упрощения расчётов заменяют приведёнными массами, сосредоточенными в характерных точках КШМ и динамически или, в крайнем случае, статически эквивалентными реальным распределённым массам.

За характерные точки КШМ принимают центры поршневого пальца, шатунной шейки, точку на оси коленвала. В крейцкопфных дизелях вместо центра поршневого пальца за характерную точку принимают центр поперечины крейцкопфа.

К поступательно-движущимся массам (ПДМ) M_s в тронковых дизелях относят массу поршня с кольцами, поршневого пальца, поршневых колец и часть массы шатуна. В крейцкопфных двигателях в приведённую массу входит масса поршня с кольцами, штока, крейцкопфа и часть массы шатуна.

Приведённая ПДМ M_S считается сосредоточенной либо в центре поршневого пальца (тронковые ДВС), либо в центре поперечины крейцкопфа (крейцкопфные двигатели).

Неуравновешенная вращающаяся масса (НВМ) M_R складывается из оставшейся части массы шатуна и части массы кривошипа, приведённой к оси шатунной шейки.

Распределённую массу кривошипа условно заменяют двумя массами. Одной массой, расположенной в центре шатунной шейки, другой - находящейся на оси коленвала.

Уравновешенная вращающаяся масс кривошипа не вызывает сил инерции, так как центр её масс находится на оси вращения коленвала. Однако момент инерции этой массы входит как составляющая часть в приведённый момент инерции всего КШМ.

При наличии противовеса его распределённая масса заменяется приведённой сосредоточенной массой, расположенной на расстоянии радиуса кривошипа R от оси вращения коленвала.

Замена распределённых масс шатуна, колена (кривошипа) и противовеса сосредоточенными массами называется приведением масс.

Приведением масс шатуна

Динамическая модель шатуна представляет собой отрезок прямой (невесомый жёсткий стержень), имеющий длину, равную длине шатуна L с двумя массами, сосредоточенными по концам. На оси поршневого пальца располагается масса поступательно-движущейся части шатуна M_шS, на оси шатунной шейки - масса вращающейся части шатуна M_шR.

Рис. 8.1 - Шатун и его динамическая модель

M_ш - фактическая масса шатуна; ц.м. - центр масс шатуна; L - длина шатуна; L_S и L_R - расстояния от концов шатуна до его центра масс; M_шS - масса поступательно-движущейся части шатуна; M_шR - масса вращающейся части шатуна

Для полной динамической эквивалентности реального шатуна и его динамической модели должны выполняться три условия

(8.1)

Для удовлетворения всех трёх условий следовало бы составить динамическую модель шатуна с тремя массами.

Для упрощения расчётов сохраняют двухмассовую модель, ограничиваясь условиями только статической эквивалентности

(8.2)

В этом случае

, . (8.3)

Как видно из полученных формул (8.3) для расчёта M_шS и M_шR необходимо знать L_S и L_R, т.е. расположение центра масс шатуна. Эти величины можно определить расчётным (графо-аналитическим) методом или экспериментально (методом качания или взвешивания). Можно воспользоваться эмпирической формулой проф. В.П.Терских

,

где n - частота вращения двигателя, мин^-1.

Также ориентировочно можно принимать

M_шS ? 0,4•M_ш; M_шR ? 0,6•M_ш.

Приведение масс кривошипа

Динамическую модель кривошипа можно представить в виде радиуса (невесомый жёсткий стержень) с двумя массами по концам М_к и М_к0.

Условие статической эквивалентности

(8.4)

где - масса щеки; - часть массы щеки, приведённая к оси шатунной шейки; - часть массы щеки, приведённая к оси колевала; с - расстояние от центра масс щеки до оси вращения коленвала; R - радиус кривошипа. Из формул (8.4) получаем

; (8.5)

. (8.6)

В результате приведённые массы кривошипа примут вид

; , (8.7)

где - масса шатунной шейки;

- масса рамовой шейки.

Рис. 8.2 - Кривошип и его динамическая модель

Приведение масс противовеса

Динамическая модель противовеса аналогична модели кривошипа.

Рис.8.3 - Противовес и его динамическая модель

Приведённая неуравновешенная масса противовеса

, (8.8)

где - фактическая масса противовеса;

c₁ - расстояние от центра масс противовеса до оси вращения коленвала;

R - радиус кривошипа.

Приведённая масса противовеса считается расположенной в точке на расстоянии R в сторону центра масс относительно оси коленвала.

Динамическая модель КШМ

Динамическую модель КШМ в целом составляют на основе моделей его звеньев, при этом массы сосредоточенные в одноимённых точках суммируют.

1. Приведённая поступательно-движущаяся масса, сосредоточенная в центре поршневого пальца или поперечины крейцкопфа

M_S = M_П + М_ШТ + М_КР + М_ШS, (8.9)

где M_П - масса комплекта поршня;

М_ШТ - масса штока;

М_КР - масса крейцкопфа;

М_ШS - ПДМ части шатуна.

2. Приведённая неуравновешенная вращающаяся масса, сосредоточенная в центре шатунной шейки

M_R = М_К + М_ШR, (8.10)

где M_К - неуравновешенная вращающаяся часть массы колена;

М_ШR - НВМ части шатуна;

Обычно для удобства расчётов абсолютные массы заменяют относительными

; , (8.11)

где F_п - площадь поршня.

Дело в том, что силы инерции суммируются с давлением газов и в случае использования масс в относительной форме получается одинаковая размерность. Кроме того, для однотипных дизелей значения m_S и m_R изменяются в узких пределах и их значения приводятся в специальной технической литературе.

В случае необходимости учёта сил тяжести деталей, они определяются по формулам

g_R = m_Rg;

g_S = m_Sg,

где g - ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с².

Лекция 13. 8.2. Силы инерции одного цилиндра

При движении КШМ возникают силы инерции от поступательно-движущихся и вращающихся масс КШМ.

Силы инерции ПДМ (отнесённые к F_П)

судовой двигатель термодинамический поршневый

q_S = -m_SJ. (8.12)

Знак "-" потому что направление сил инерции обычно обратно направлено вектору ускорения.

Зная, что , получим

. (8.13)

В ВМТ (б = 0) .

В НМТ (б = 180) .

Обозначим амплитуды сил инерции первого и второго порядков

P_I = - m_SRщ² и P_II = - m_Sл Rщ²

Получим

q_S = P_Icosб+ P_IIcos2б, (8.14)

где P_Icosб - сила инерции первого порядка ПДМ;

P_IIcos2б - сила инерции второго порядка ПДМ.

Сила инерции q_S приложена к поршневому пальцу и направлена по оси рабочего цилиндра, её величина и знак зависят от б.

Силу инерции первого порядка ПДМ P_Icosб можно представить как проекцию на ось цилиндра некоторого вектора , направленного по кривошипу от центра коленвала и действующего так, будто он представляет собой центробежную силу инерции массы m_S, расположенной в центре шатунной шейки.

Рис. 8.4 - Векторное изображение сил инерции ПДМ первого порядка

Проекция вектора на горизонтальную ось представляет фиктивную величину P_Isinб, так как в действительности такой величины не существует. В соответствии с этим и сам вектор , имеющий сходство с центробежной силой также не существует и поэтому носит название фиктивной силы инерции первого порядка.

Введение в рассмотрение фиктивных сил инерции, имеющих только одну реальную вертикальную проекцию, является условным приемом, позволяющим упростить расчёты ПДМ.

Вектор фиктивной силы инерции первого порядка можно представить как сумму двух составляющих: действительной силы P_Icosб, направленной по оси цилиндра и фиктивной силы P_Isinб, направленной перпендикулярно к ней.

Силу инерции второго порядка P_IIcos2б можно аналогично представить как проекцию на ось цилиндра вектора P_II фиктивной силы инерции ПДМ второго порядка, составляющего с осью цилиндра угол 2б и вращающегося с угловой скоростью 2щ.

Рис. 8.5 - Векторное изображение сил инерции ПДМ второго порядка

Фиктивную силу инерции второго порядка ПДМ можно также представить как сумму двух составляющих из которых одна - действительная P_IIcos2б, направленная по оси цилиндра, а вторая фиктивная P_IIsin2б, направленная перпендикулярно к первой.

Силы инерции НВМ (отнесённые к F_П)

. (8.15)

Сила q_R приложен к оси шатунной шейки и направлена вдоль кривошипа в сторону от оси коленвала. Вектор силы инерции вращается вместе с коленвалом в ту же сторону и с той же частотой вращения.

Если переместить так, чтобы начало совпало с осью коленвала, то его можно разложить на две составляющие

- вертикальную ;

- горизонтальную .

Рис. 8.6 - Силы инерции неуравновешенных вращающихся масс

Суммарные силы инерции

Суммарная сила инерции ПДМ и НВМ в вертикальной плоскости

. (8.16)

Если рассматривать отдельно силы инерции первого и второго порядков, то в вертикальной плоскости суммарная сила инерции первого порядка

. (8.17)

Сила инерции второго порядка в вертикальной плоскости

. (8.18)

Вертикальная составляющая сил инерции первого порядка стремится приподнять или прижать двигатель к фундаменту один раз за оборот, а сила инерции второго порядка - два раза за оборот.

Сила инерции первого порядка в горизонтальной плоскости стремится смещать двигатель справа налево и обратно один раз в течение одного оборота.

Совместное действие силы от давления газов на поршень и сил инерции КШМ

Возникающее во время работы двигателя давление газов действует как на поршень, так и на крышку цилиндра. Закон изменения P = f(б) определяется по развёрнутой индикаторной диаграмме, полученной экспериментальными или расчётным путём.

1) Считая, что на обратную сторону поршня действует атмосферное давление, найдём избыточное давление газов на поршень

P_г = P - P₀, (8.19)

где Р - текущее абсолютное давление газов в цилиндре, взятое из индикаторной диаграммы;

Р₀ - давление окружающей среды.

Рис.8.7 - Силы, действующие в КШМ: а - без учёта сил инерции; б - с учётом сил инерции

2) С учётом сил инерции вертикальная сила, действующая на центр поршневого пальца определится как движущая сила

P_д = Р_г + q_s. (8.20)

3) Разложим движущую силу на две составляющие - нормальную силу P_н и силу действующую по шатуну P_ш:

P_н = Р_дtgв; (8.21)

. (8.22)

Нормальная сила P_н прижимает поршень к втулке цилиндра или ползун крейцкопфа к его направляющей.

Сила, действующая по шатуну P_ш сжимает или растягивает шатун. Она действует по оси шатуна.

4) Перенесём силу P_ш по линии действия в центр шатунной шейки и разложим на две составляющие - тангенциальную силу t, направленную касательно к окружности описываемую радиусом R

 (8.23)

и радиальную силу z, направленную по радиусу кривошипа

. (8.24)

К центру шатунной шейки кроме силы P_ш будет приложена сила инерции q_R.

Тогда суммарная радиальная сила

. (8.25)

Перенесём радиальную силу z по линии её действия в центр рамовой шейки и приложи в этой же точке две взаимно уравновешивающиеся силы и , параллельные и равные тангенциальной силе t. Пара сил t и приводит во вращение коленчатый вал. Момент этой пары сил называется крутящим моментом. Абсолютное значение крутящего момента

M_кр = tF_пR. (8.26)

Сумма сил и z, приложенных к оси коленвала даёт результирующую силу , нагружающую рамовые подшипники коленвала. Разложим силу на две составляющие - вертикальную и горизонтальную . Вертикальная сила совместно с силой давления газов на крышку цилиндра растягивает детали остова и на фундамент не передаётся. Противоположно направленные силы и образуют пару сил с плечом H. Эта пара сил стремится повернуть остов вокруг горизонтальной оси. Момент данной пары сил называется опрокидывающим или обратным крутящим моментом M_опр.

Опрокидывающий момент передаётся через остов двигателя на опоры фундаментной рамы, на корпус судового фундамента. Следовательно, M_опр должен быть уравновешен внешним моментом реакций r_ф судового фундамента.

Порядок определения сил, действующих в КШМ

Расчёт этих сил ведётся в табличной форме. Шаг расчёта следует выбирать с использованием следующих формул:

- для двухтактных; - для четырёхтактных,

где K - целое число: i - число цилиндров.

б°	Рд	tgв	Pн = Pдtgв	cosв
0 5 10

Движущая сила, отнесённая к площади поршня

P_д = Р_г + q_s + g_s +P_тр. (8.20)

Силой трения P_тр пренебрегаем.

Если g_s ? 1,5 % P_z, то также пренебрегаем.

Значения P_г определяем, используя давление индикаторной диаграммы Р.

P_г = Р - Р₀. (8.21)

Силу инерции определяем аналитически

. (8.22)

Рис. 8.8 - Диаграммы движущих сил в функции от угла поворота коленвала

Кривая движущих сил P_д является исходной для построения диаграмм сил P_н = f(б), P_ш = f(б), t = f(б), z = f(б).

Для проверки правильности построения тангенциальной диаграммы следует определить среднюю по углу поворота кривошипа тангенциальную сил t_ср.

Из диаграммы тангенциальной силы видно, что t_ср определится как отношение площади между линией t = f(б) и осью абсцисс к длине диаграммы.

Площадь определяется планиметром либо путём интегрирования по методу трапеций

,

где n₀ - число участков, на которые разбивается искомая площадь;

y_i - ординаты кривой на границах участков;

Определив t_cp в см, используя масштаб по оси ординат перевести её в МПа.

Рис. 8.9 - Диаграммы тангенциальных сил одного цилиндра: а - двухтактного двигателя; б - четырёхтактного двигателя

Индикаторную работу за цикл можно выразить через среднее индикаторное давление P_i и среднее значение тангенциальной силы t_cp следующим образом

P_i F_п2Rz = t_cp F_пR2р,

где коэффициент тактности z = 1 для двухтактных ДВС и z = 0,5 для четырёхтактных ДВС.

Тогда

- для двухтактных ДВС

;

- для четырёхтактных ДВС

.

Допустимое расхождение не должно превышать 5%.

Лекция 14. 8.3. Определение набегающих тангенциальных сил на шейках коленвала многоцилиндрового двигателя

Определим законы изменения крутящих моментов на коленчатом валу многоцилиндрового двигателя

Рис. 8.10 - Схема коленчатого вала двухтактного четырёхцилиндрового двигателя: 1, 2, 3, 4 - номера цилиндров; - номера шатунных шеек; I, II, II,I V - номера рамовых шеек; M₁, М₂, М₃, М₄ - крутящие моменты, передаваемые на коленвал от соответствующих цилиндров; M_Ш1, М_Ш2, М_Ш3, М_Ш4 - крутящие моменты, скручивающие шатунные шейки; М_PI, М_PII, М_PIII, М_PIV, М_PV,- моменты, скручивающие соответствующие рамовые шейки.

Моменты, скручивающие рамовые шейки называются набегающими крутящими моментами на рамовых шейках. Очевидно, что набегающий крутящий момент на последней рамовой шейке представляет собой суммарный крутящий момент всего двигателя.

Следует отличать M_Ш1 от M₁, M_Ш2 от M₂, M_Ш3 от M₃, M_Ш4 от M₄. Действительно, при положении кривошипа четвёртого цилиндра в НМТ M₄ = 0, а четвёртая шатунная шейка скручивается почти полным крутящим моментом двигателя и, следовательно, М_Ш4 ? 0.

Крутящие моменты M_Ш1, М_Ш2, М_Ш3, М_Ш4 называют набегающими крутящими моментами на шатунных шейках коленвала.

При исследовании динамики двигателя первое колен всегда располагают в положении ВМТ.

Схема коленвала задаётся диаграммой заклинки кривошипов, которая по существу представляет вид по стрелке А. Применяется, как правило, равномерная заклинка.

Рис. 8.11 - Схема диаграммы заклинки коленвала. Последовательность вспышек 1-3-4-2

- для двухтактных ДВС ;

- для четырёхтактных ДВС .

Для двухтактных ДВС последовательность вспышек (порядок работы цилиндров) полностью определяется диаграммой заклинки кривошипов и направлением вращения. Для рассматриваемого двигателя этот порядок 1-2-4-3.

Зная порядок работы цилиндров и подсчитав д нетрудно представить диаграмму заклинки.

Определим скручивающие моменты на рамовых и шатунных шейках коленвала.

На рис. 8.10 рамовая шейка I является свободной, и если пренебречь моментом сил трения, то

М_PI = 0.

Производим суммирование моментов, начиная со свободного конца коленвала

М_PI = 0; М_PII = М₁; М_PIII,= М₁ + М₂;

М_PIV = М₁ + М₂ + М₃; М_PV = М₁ + М₂ + М₃ + М₄.

Эти уравнения можно записать в другой форме

М_PI = 0; М_PII = М_PI + М₁;

М_PIII,= М_PII + М₂; М_PIV = М_PIII + М₃; М_PV = М_V + М₄.

В общем виде

М_P(i+1),= М_Pi + М_i.

Крутящий момент от данного КШМ

М_i= t_iF_пR.

Следовательно, значение тангенциальной силы

.

Введём понятие условных тангенциальных сил на рамовых и шатунных шейках коленвала

; .

Тогда

t_P(i+1)= t_Pi + t_i; .

Если имеется диаграмма тангенциальных сил одного цилиндра, то определение ординаты в любом цилиндре начинается с угла

- для двухтактных ДВС о = 360 -г_з;

- для четырехтактных ДВС о = 720 -г_з.

Рассмотрим порядок определения набегающих тангенциальных сил на рамовых и шатунных шейках.

Имеем шестицилиндровый четырёхтактный ДВС с порядком вспышек 1-3-5-2-4-6. Угол заклинки °. Определяем начальные фазы цилиндров о₁ = -360°; о₂ = -360 + 360 = 0°; о₃ = -360 + 120 = -240°; о₄ = -360 + 480 = 120°; о₅ = -360 + 240 = -120°; о₆ = -360 + 600 = 240°.

Исходным материалом служит диаграмм тангенциальной силы первого КШМ. Расчёт ведём в табличной форме.

Таблица 8.1 - Расчёт тангенциальных сил на рамовых шейках

ц

tр2 = t1

t2 о = 0

tр3 = tр2+t2

t3 о = -240

tр4 = tр3+t3

t4 о = 120

tр5= tр4+t4

t5 о = -120

tр6= tр5+t5

t6 о = 240

tр7= tр6+t6

? ПКВ

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

-360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969 0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618 -0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603 0,0000 5,3779 2,9277 1,9755 1,3199 0,6199 0,0000 -0,3573 -0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430

0,0000 5,3779 2,9277 1,9755 1,3199 0,6199 -0,0000 -0,3573 -0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430 0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969 0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618 -0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603

0,0000 4,8312 2,7460 2,4724 1,9613 0,9750 0,0000 -0,7991 -1,3547 -1,2901 -0,5476 -1,1172 0,0000 4,8312 2,7460 2,4724 1,9613 0,9750 0,0000 -0,7191 -1,3547 -1,2901 -0,5476 -1.1172

0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618 -0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603 0,0000 5,3779 2,9277 1,9755 1,3199 0,6199 0,0000 -0,3573 -0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430 0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969

0,6415 5,1863 2,7460 2,1106 1,2524 0,1878 -0,7233 -2,4594 -1,3547 4,0878 2,3801 0,8583 1,3199 5,4511 2,7460 2,1151 1,3154 0,4721 0,1757 -0,1761 -1,3547 -1,8368 -0,7292 -0,6203

1,3199 0,6199 0,0000 -0,3573 -0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430 0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969 0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618 -0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603 0,0000 5,3779 2,9277 1,9755

1,9614 5,8062 2,7460 1,7533 0,6065 -0,3151 -0,5476 -1,9164 -1,3547 3,5411 2,1985 1,3502 1,9614 5,8062 2,7460 1,7533 0,6065 -0,3151 -0,5476 -1,8364 -1,3547 3,5411 2,1985 1,3552

-0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603 0,0000 5,3779 2,9277 1,9755 1,3199 0,6199 0,0000 -0,3573 -0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430 0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969 0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618

1,2525 5,0190 2,0227 0,0930 0,6065 5,0628 2,3801 0,0591 -0,0348 4,1610 2,1985 0,9929 1,3155 5,3033 2,9217 2,2963 0,6065 -0,8618 -0,7192 -1,3395 -0,7132 3,8962 2,1985 0,9934

-0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430 0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969 0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618 -0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603 0,0000 5,3779 2,9277 1,9755 1,3199 0,6199 0,0000 -0,3573

0,6066 4,5161 2,1984 0,6361 0,6065 4,5161 2,1984 0,6361 0,6065 4,5161 2,1984 0,6361 0,6065 4,5161 2,1984 0,6361 0,6065 4,5161 2,1984 0,6361 0,6065 4,5161 2,1984 0,6361

Таблица служат исходным материалом при расчёте на прочность рамовых шеек коленчатого вала многоцилиндрового двигателя

Таблица 8.2 - Расчёт тангенциальных сил на шатунных шейках

ц

tш1

tр2

t2 о = 0

tш2

t3 о = -240

tш3

t4 о = 120

tш4

t5 о = -120

tш5

t5 о = 240

tш6

? ПКВ

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

МПа

-360 -330 -300 -270 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330

0,0000 -0,2734 -0,0908 0,2485 0,3207 0,1775 0,0000 -0,1809 -0,3544 -0,3936 -0,3616 -0,8301 0,0000 2,6890 1,4638 0,9878 0,6599 0,3099 0,0000 -0,1787 -0,3229 -0,2514 0,0879 0,2715

0,0000 -0,5467 -0,1816 0,4969 0,6415 0,3551 0,0000 -0,3618 -0,7089 -0,7872 -0,7233 -1,6603 0,0000 5,3779 2,9277 1,9755 1,3199 0,6199 0,0000 -0,3573 -0,6459 -0,5029 0,1757 0,5430

0,0000 2,6890 1,4638 0,9878 0,6599 0,3099 0,0000 -0,1787 -0,3229 -0,2514 0,0879 0,2715 0,0000 -0,2734 -0,0908 0,2485 0,3207 0,1775 0,0000 -0,1809 -0,3544 -0,3936 -0,3616 -0,8301

0,0000 2,1422 1,2822 1,4847 1,3014 0,6650 0,0000 -0,5404 -1,0318 -1,0386 -0,6354 -1,3888 0,0000 5,1046 2,8368 2,2240 1,6406 0,7974 0,0000 -0,5382 -1,0003 -0,8965 -0,1859 -0,2871

0,3207 0,1775 0,0000 -0,1809 -0,3544 -0,3936 -0,3616 -0,8301 0,0000 2,6890 1,4638 0,9878 0,6599 0,3099 0,0000 -0,1787 -0,3229 -0,2514 0,0879 0,2715 0,0000 -0,2734 -0,0908 0,2485

0,3207 2,3197 1,2822 1,3038 0,9470 0,2714 0,3616 -1,3705 -1,0318 1,6504 0,8284 -0,4010 0,6599 5,4145 2,8368 2,0453 1,3177 0,5460 0,0879 -0,2667 -1,0003 -1,1699 -0,2767 -0,0386

0,6599 0,3099 0,0000 -0,1787 -0,3229 -0,2514 0,0879 0,2715 0,0000 -0,2734 -0,0908 0,2485 0,3207 0,1775 0,0000 -0,1809 -0,3544 -0,3936 -0,3616 -0,8301 0,0000 2,6890 1,4638 0,9878

0,9806 2,6296 1,2822 1,1251 0,6241 0,0200 0,4495 -1,0990 -1,0318 1,3770 0,7376 -0,1525 0,9806 5,5920 2,8368 1,8644 0,9633 0,1524 -0,2737 -1,0928 -1,0003 0,4273 1,6144 0,9492

-0,3544 -0,3936 -0,3616 -0,8301 0,0000 2,6890 1,4638 0,9878 0,6599 0,3099 0,0000 -0,1787 -0,3229 -0,2514 0,0879 0,2715 0,0000 -0,2734 -0,0908 0,2485 0,3207 0,1775 0,0000 -0,1809

0,6262 2,2360 0,9206 0,2950 0,6241 2,7090 1,9133 -0,1112 -0,4831 1,6869 0,7376 0,3312 0,6577 5,3406 2,9247 2,1159 0,9633 -0,1210 -0,3645 -0,8443 -0,6796 0,6048 1,6144 0,7683

-0,3229 -0,2514 0,0879 0,2715 0,0000 -0,2734 -0,0908 0,2485 0,3207 0,1775 0,0000 -0,1809 -0,3544 -0,3936 -0,3616 -0,8301 0,0000 2,6890 1,4638 0,9878 0,6599 0,3099 0,0000 -0,1787

0,3033 1,9846 1,0085 0,5665 0,6241 2,4356 1,8225 0,1373 -0,1624 1,8644 0,7376 0,1503 0,3033 4,9470 2,5631 1,2858 0,9633 2,5680 1,0993 0,1435 -0,0197 0,9147 1,6144 0,5896

Таблица служат исходным материалом при расчёте на прочность шатунных шеек коленчатого вала многоцилиндрового двигателя

Лекция 15. 8.4. Внешняя неуравновешенность и уравновешивание двигателей

Определение неуравновешенных сил и моментов от системы сил инерции поступательно-движущихся масс. Под внешней неуравновешенностью двигателя понимается наличие в нем периодических сил или моментов сил, передающихся на фундамент. Эти силы вызывают вибрацию. В СЭУ с ДВС вследствие неуравновешенности возникают вибрация корпуса судна или отдельных его участков. Причиной внешней неуравновешенности являются силы инерции приведенных ПДМ и неуравновешенных вращающихся масс КШМ всех цилиндров, а также опрокидывающие моменты. Силы инерции неуравновешенных вращающихся масс одного цилиндра при установившемся режиме работы двигателя

где i - номер цилиндра.

Вертикальная и горизонтальная проекции этой силы определяются в зависимости от положения кривошипа б_i

Проекция силы инерции ПДМ на вертикальную ось найдем по приближенной формуле

P_ji=M_SiRщ²(cosб_i + л cos2б_i)= P_{I i} cosб_i + P_{II i} л cos2б_i,

где P_{I i В} = P_{I i} cosб_i P_{II i В} = P_{II i} cosб_i - силы инерции ПДМ первого и второго порядков.

Рассмотрим систему сил инерции многоцилиндрового двигателя на примере четырехцилиндрового двухтактного ДВС. На рисунке приняты следующие обозначения: P_r - сила инерции неуравновешенных вращающихся масс КШМ; P_I cos б и P_II cos б - сила инерции ПДМ КШМ первого и второго порядков соответственно. В рассматриваемом примере система сил инерции состоит 12 сил: четыре силы инерции вращающихся масс P_r1, P_r2, P_r3, P_r4 ; четыре силы инерции ПДМ первого порядка P_I cos б₁, P_I cos б₂, P_I cos б₃, P_I cos б₄ и четыре силы инерции ПДМ второго порядка P_II cos 2б₁, P_II cos 2б₂, P_II cos 2б₃, P_II cos 2б₄ . Кривошипно-шатунный механизм в многоцилиндровых двигателях обычно выполняют одинаковыми, однородными; поэтому, как правило, для многоцилиндровых двигателей можно принять

P_{r 1}= P_{r 2} = P_{r 3} = P_{r 4}= P_r

P_{I 1}= P_{I 2} = P_{I 3} = P_{I 4}= P_I

P_{II 1}= P_{II 2} = P_{II 3} = P_{I I4}= P_II

Рис. 8.12 - Системы сил инерции: а - одного цилиндра; б - 4-х цилиндрового 2-тактного ДВС.

Как следует из рисунка, система сил инерции вращающихся масс представляет пространственную систему сил, а система сил инерции ПДМ первого и второго порядков - плоскую систему сил, лежащих в вертикальной плоскости, проходящей через ось вращения коленчатого вала.

Двигатель считается полностью уравновешенным, если при любом положении коленчатого вала система сил находится в равновесии. Приведем систему сил к точке О_С, т.е. в середине оси коленчатого вала. Как известно, любую систему сил можно привести к данной точке, заменив ее главным вектором всей системы сил, приложенным в точке О_С приведения и равным геометрической сумме всех сил системы, и главным моментом, равным геометрической сумме векторов моментов всех сил относительно точки приведения. Для удобства исследования обычно отдельно рассматривают:

систему сил инерции вращающихся масс;

систему сил инерции ПДМ первого порядка;

систему сил инерции ПДМ второго порядка.

Рис. 8.13 - Схема систем сил инерции

Силы инерции вращающихся масс P_{r i} перенесены по линии их действия в точки О_i на оси коленчатого вала и каждая из сил разложена на две составляющие: вертикальную P_riВ и горизонтальную P_riГ . Величины составляющих находят по уравнениям

P_riВ = P_{r i}cos б_i ; P_riГ = P_{r i} sin б_i

Плечи сил разных КШМ относительно точки О обозначены

h₁ = О₁О_С; h₂ = О₂О_С; h₃ = О₃О_С; h₄ = О₄О_С;

Так как моменты сил, приложенных по разные стороны от точки, имеют разные знаки, будем приписывать плечам сил, расположенным в сторону носовой части двигателя (h₁ и h₂) знак плюс, расположенным в сторону кормовой части двигателя (h₁ и h₂) - знак минус.

Для того чтобы общая система сил инерции находилась в равновесии при любом положении коленвала, необходимо обеспечить условия равновесия каждой из трех систем сил. Условием такого равновесия будет равенство нулю главных векторов и главных моментов сил инерции у каждой из систем относительно точки О_С.

При исследовании уравновешенности систем сил инерции ПДМ первого и второго порядков удобнее рассматривать равновесие систем фиктивных сил тех же порядков. Из равенства нулю, например, главного вектора и главного момента системы фиктивных сил инерции ПДМ первого порядка, как следствие, вытекает равенство нулю главного вектора и главного момента действительной системы сил инерции ПДМ первого порядка. Условия равновесия запишем в следующем виде:

Равенства 8.5, 8.7, 8.9 и 8.11 выражают сумму действительных составляющих, а равенства 8.6, 8.8, 8.10 и 8.12 - сумму фиктивных составляющих главного вектора и главного момента сил инерции ПДМ первого и второго порядков.

Уравнения 8.1 - 8.12 являются аналитическим условиями уравновешенности многоцилиндрового двигателя, записанными в скалярной форме.

При симметричной конструкции остова и коленчатого вала двигателя положение точки О_С можно принимать в середине коленчатого вала. В случае несимметричной конструкции остова координату центра масс можно найти из уравнения статических моментов масс отдельных цилиндров относительно какой-либо вертикальной оси, например оси первого цилиндра.

Расположение колен коленчатого вала характеризуется диаграммой заклинки кривошипов, которая иначе называется фазовой диаграммой первого порядка и представляет собой вид на коленчатый вал со стороны его свободного конца при положении кривошипа первого цилиндра в ВМТ.

Рис. 8.14 - Схема расположения кривошипов коленчатого вала.

Рис. 8.15 - К определению б_i для произвольного положения коленчатого вала

Очевидно, что в произвольном положении коленчатого вала, когда угол кривошипа первого цилиндра от своей ВМТ равен б₁ , для угла б_i справедливо следующее равенство

б_i = б₁ + в_i .

В самом общем случае неуравновешенности системы сил инерции ни одно из уравнений 0-10 не будет удовлетворяться, и мы получим двенадцать уравнений, характеризующих неуравновешенные силы и моменты:

где R_{r В} и R_{r Г} - вертикальная и горизонтальная проекции неуравновешенной силы инерции (главного вектора) системы сил P_{r i} ;

М_{r Г} и М_{r В} - моменты системы сил P_{r i} относительно горизонтальной и вертикальной осей, проходящих через точку О_С (проекция главного момента системы сил P_{r i} относительно точки О_С соответственно на горизонтальную и вертикальную ось);

R_{1 Д} и R_{1 Ф} - действительная и фиктивная составляющие главного вектора системы сил инерции ПДМ первого порядка:

М_{1 Д} и М_{1 Ф} - действительная и фиктивная составляющие главного момента системы сил инерции ПДМ первого порядка;

R_{1I Д} и R_{1I Ф} - действительная и фиктивная составляющие главного вектора системы сил инерции ПДМ второго порядка:

М_{1I Д} и М_{1I Ф} - действительная и фиктивная составляющие главного момента системы сил инерции ПДМ второго порядка;

Главный вектор неуравновешенных вращающихся масс, равный геометрической сумме векторов , , и

будет вращаться вместе с коленчатым валом с угловой скоростью щ. При любом положении коленвала проекциями этого вектора на вертикальную и горизонтальную ось будут R_rВ и R_rГ. Следовательно, численное значение главного вектора неуравновешенных вращающихся масс можно определить из выражения

Если определены проекции главного вектора R_r при положении коленчатого вала, кргда его первый кривошип находится в своей ВМТ, то угол между главным вектором и вертикальной осью ц_r

Справедливо и обратное: для произвольного положения коленчатого вала, определяемого углом б_i, проекции главного вектора на вертикальную и горизонтальную оси можно найти по уравнениям

R_rВ = R_r cos (б₁ +ц_r) R_rГ = R_r sin (б₁ +ц_r).

Несколько иначе обстоит дело с неуравновешенными моментами от сил инерции вращающихся масс. Как известно, момент P·a сил , действующих в плоскости ЕЕ, можно представить вектором , перпендикулярным к плоскости ЕЕ. Длина вектора соответствует в выбранном масштабе величине момента. Вектор направлен в ту сторону, откуда пара сил представляется действующей по часовой стрелке. В соответствии с этим вектор момента от силы P_riВ направлен горизонтально, а вектор момента от силы P_riГ - вертикально.

Рис. 8.16 - Вектор изображения момента пары сил

Рис. 8.17 - Схема моментов неуравновешенных вращающихся масс цилиндра

Момент от силы P_ri

.

Соответственно

.

Обозначим через ш_r угол между результирующим вектором момента M_r и горизонтальной осью. Для главного вектора сил инерции вращающихся масс по аналогии получим

,

;

Таким образом

,

откуда непосредственно следует

M_{r Г} = М_r cos (б₁ + ш_r);

M_{r В} = М_r sin (б₁ + ш_r),

где ш_r - начальная фаза момента.

В дальнейшем будем определять ш_r для положения коленчатого вала при б₁ = 0.

Для сил и моментов сил инерции ПДМ первого и второго порядков получим соответственно: