Износ поверхности 2 вала сцепления трактора

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования (ФГБОУ ВПО)

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет заочного обучения

Кафедра ремонта машин

Специальность 11031,65 - «Механизация сельского хозяйства»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

по дисциплине «Надежность и ремонт машин»

Износ поверхности 2 вала сцепления трактора

Вариант № 77

Выполнил студент

2 группы 5 курса ____________________________/Юханов М. В./

Принял ст. преподаватель_____________________/Олейник С. О./

Нормоконтроль _____________________________/Янчин Ю. Д./

Краснодар 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Краткая характеристика детали

2. Алгоритм выполнения задания

2.1 Перевод исходной информации в приведенные единицы

2.2 Формирование вариационного ряда значений износов

2.3 Составление статистического ряда износов, определение опытной и накопленной вероятности

2.4 Нахождение числовых характеристик распределения износов: среднего значения выборки, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации

2.5 Проверка опытной информации об износах на наличие Выпадающих точек по критерию Ирвина

2.6 Построение гистограммы и полигона опытного распределения значений износа

2.7 Выбор теоретического закона распределения износа заданной поверхности детали

2.8 Проверка согласия опытного распределения с теоретическим по критерию Пирсона для закона нормального распределения

2.9 Проверка согласия опытного распределения с теоретическим по критерию Пирсона для закона распределения Вейбула

2.10 Определение доверительных границ рассеяния относительной ошибки среднего износа и необходимого объема выборки

2.11 Построение графиков дифференциальной функции распределения вероятностей износа

2.12 Построение графиков интегральной функции распределения вероятностей износа

2.13 Графическое определение износа с заданной вероятностью

2.14 Аналитический метод расчета квантили

Заключение

Список использованных источников

Введение

износ вал сцепление статистический

При ремонте машин изношенные детали измеряют для принятия решения об их восстановлении либо выбраковке и замене на новые.

Значения износов поверхностей деталей машин и механизмов, полученные при измерении, являются случайными величинами, имеющими разброс внутри какого-то интервала. Другими словами, значение износа одной и той же поверхности определенного количества деталей имеет поле рассеяния. При этом возникает задача кокой износ при определении технологии восстановления (по величине) наиболее характерен, часто встречающийся, а какие износы восстанавливать нецелесообразно, ввиду значительных затрат, а возможно и снижения качества восстановленной поверхности.

Цель роботы. Практическое освоение и использование методики математической обработки опытных значений износа детали для выбора рационального способа её восстановления.

Проведя измерение износа заданной поверхности, имеющихся, но рабочем месте деталей (30 - 50 деталей) составляют таблицу 1.1 исходной информации результатов замера.

После чего выполняют математическую обработку результатов износа данного количество деталей и находят, с принятой вероятностью, экономически обоснованный порог износа, после которого восстановление экономически нецелесообразно.

1. Краткая характеристика детали

1.1 Назначение детали в механизме машины

В контрольной работе исследуется износ поверхности 2 вала сцепления трактора, которая показано на рисунке 1.1.

Вал сцепления, предназначенный для передачи крутящего момента и восприятия действующих сил со стороны расположенных на нем деталей.

Основные неисправности вала сцепления: износ посадочных мест под подшипники качения, уплотнение и муфту включения,- износ и повреждение шлицев, шпоночных канавок и резьбы.

Износ поверхности 2 целесообразно, восстанавливать газопламенным напылением, с последующим шлифованием до номинального размера.

Рисунок 1.1 - Вал сцепления трактора

1.2 Данные детали по каталогу

Наименование детали Вал сцепления трактора

Материал деталиСталь 45

Масса детали, кг4,5

1.3 Задание

Таблица 1.1 - Результаты замеров износов поверхности 2 вала сцепления трактора, мм

Износ, мм	Износ, мм	Износ, мм	Износ, мм	Износ, мм
0,31	0,81	0,21	0,60	0,53
0,45	0,87	0,53	0,69	0,52
0,44	0,57	0,45	0,47	0,62
0,71	0,88	0,52	0,61	0,37
0,36	0,30	0,61	0,74	0,51
0,45	0,29	0,90	0,61	0,57
1,12	0,26	0,31	0,73	0,48
0,51	0,40	0,76

2. Алгоритм выполнения задания

2.1 Перевод исходной информации в приведенные единицы

Переводим заданную исходную информацию (таблица 1.1) с целью удобство вычислений в приведённые единицы измерения с использованием множителя 100. Последующую обработку результатов износа вала сцепления трактора выполняем в приведённых единицах измерения, мм/100.

2.2 Формирование вариационного ряда значений износов

Строим вариационный ряд значений износа вала сцепления трактора, расположив их в ранжированной последовательности от меньшего к большему, (таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Вариационный ряд информации об износах вала сцепления трактора, мм/100

21	36	45	52	60	71	90
26	37	47	53	61	73	112
29	40	48	53	61	74
30	44	51	57	61	76
31	45	51	57	62	81
31	45	52	57	69	88

2.3 Составление статистического ряда износов. Определение опытной и накопленной вероятности

Составляем статистический ряд износа, разбив вариационный ряд на интервалы с указанием начала, конца и середины интервала.

Число строк таблицы равно количеству интервалов статистического ряда, которое, в свою очередь, зависит от объема выборки N. Эта зависимость выражается формулой

(2.1)

Где n - количество интервалов;

N - объем выборки.

Полученный результат округляют в сторону увеличения до ближайшего целого числа. Количество интервалов не должно выходить за пределы n = 6...20.

= 6,2 ? 7

Желательно, чтобы все интервалы статистического ряда были равны по величине и не имели разрывов. Величину А одного интервала определяют по уравнению:

(2.2)

где, А - величина интервала в единицах измерения случайной величины;

R - размах выборки в тех же единицах;

n - количество интервалов статистического ряда.

Значение величины интервала, полученное по формуле (2.2), всегда округляют в большую сторону до величины, удобной для дальнейших расчетов.

Далее определяют нижние и верхние границы интервалов и середины интервалов. В качестве нижней границы первого интервала принимается начало поля рассеяния:

,(2.3)

где, - нижняя граница первого интервала;

- минимальное значение износа;

- величина интервала.

.

В случае если нижняя граница первого интервала получается отрицательной, она принимается равной нулю.

Для каждого из последующих интервалов нижняя граница текущего интервала определяется, как сумма нижней границы предыдущего интервала и величины интервала:

(2.4)

Верхняя граница для любого интервала определяется, как сумма нижней его границы и величины интервала:

(2.5)

Середина интервала определяется, как полусумма его нижней и верхней границ:

.(2.5)

В таблице 2.2 также представляем значения частоты износа вала сцепления трактора, износ поверхности, которых входит в границы интервала.

Для дальнейшей математической обработки результатов и определения закономерности износа детали вводим понятие опытной вероятности рi и накопленной опытной вероятности Рn и находим их значения по формулам 2.6 и 2.7, и представляем в таблице 2.2.

Значение опытной вероятности или частостью, рi определяем по формуле:

,(2.6)

В первом интервале,,

во втором интервале опытная вероятность и так далее.

В последний столбец статистического ряда записывается накопленнаяопытная вероятность Pi, вычисляемая по формуле:

(2.7)

Она представляет собою сумму опытных вероятностей по всем интервалам, начиная с первого и кончая текущим (т. е., интервалом, для которого она определяется) включительно.

При использовании этой формулы для первого интервала величину Pi-1 следует принимать равной нулю. Для нашего примера:

Р1 = Р0 + Р1 = 0 + 0,053 = 0,053

Р2 = Р1 + Р2 = 0,053 + 0,184 = 0,237

Р3 = Р2 + Р3 =0,237 + 0,316 = 0,553

Р4 = Р3 + Р4 = 0,553 + 0,211 = 0,763

Р5 = Р4 + Р5 = 0,763 + 0132 = 0,895

Р6 = Р5 + Р6 = 0,895 + 0,079 = 0,974

Р7 = Р6 + Р7 = 0,974 + 0,000 = 0,974

Таблица 2.2 - Статистический ряд значений износов вала сцепления трактора

№ интервала	Нижняя граница интервала	Верхняя граница интервала	Середина интервала	Частота	Опытная вероятность (частость)	Накопленная опытная вероятность
i	hнi	hвi	hci	wi
1	15	28	22	2	0,053	0,053
2	28	41	35	7	0,184	0,237
3	41	54	48	12	0,316	0,553
4	54	67	61	8	0,211	0,763
5	67	80	74	5	0,132	0,895
6	80	93	87	3	0,079	0,974
7	93	106	100	0	0,000	0,974

2.4 Нахождение числовых характеристик распределения износов среднего значения выборки, среднеквадратического отклонения и коэффициента вариации

При вероятностном описании характера распределения износов важно знать числовые характеристики распределения: среднее значение массива информации (выборки), среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Чтобы найти числовые характеристики распределения: среднее значение массив информации (выборки), среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации составляем таблицу 2.3.

В неё из статистического ряда, таблицы 2.2 переносим значения i, hci, piв столбцы (1, 4, 6), а также дополняем ее еще двумя столбцами, В которые записываем значения вспомогательных величин П1 и П2, представляющих собой произведения, стоящие под знаком суммы в формулах (2.8) и (2.9).

Таблица 2.3 - Расчет характеристик распределения износов вала сцепления трактора

№ интервала	Середина интервала	Опытная вероятность (частость)	П1	П2
i	hci		hci•pi	(hci - h)І•pi
1	22	0,053	1,166	48,614
2	35	0,184	6,440	58,204
3	48	0,316	15,168	7,238
4	61	0,211	12,871	16,022
5	74	0,132	9,768	59,404
6	87	0,079	6,873	92,477
7	100	0,000	0,000	0,000
		Сумма	52,286	281,959

Среднее значение определяется по формуле:

(2.8)

где,- среднее значение;

- середина i-го интервала;

- опытная вероятность в i-ом интервале;

n- число интервалов статистического ряда.

Несмещенная оценка для среднего квадратического отклонения вычисляется по формуле:

,(2.9)

где,у -среднее квадратическое отклонение;

-среднее значение;

-середина i-го интервала;

-опытная вероятность в i-ом интервале;

n -число интервалов статистического ряда;

N -объем выборки.

,(2.10)

.(2.11)

Расчет величины П1для всех интервалов дает следующие результаты:

;

;

;

После заполнения столбца П1 и вычисления его суммы получаем среднее значение износа гильзы

Для нахождения среднеквадратического отклонения заполняем столбец П2.

Сумма по этому столбцу составляет 281,959. Подставляя ее в формулу (2.9) и производя необходимые вычисления, получаем:

Коэффициент вариации находим по формуле:

,(2.12)

где, - коэффициент вариации;

- среднеквадратическое отклонение;

- среднее значение износа;

Для износов вала сцепления коэффициент вариации составит:

2.5 Проверка опытной информации об износах на наличие Выпадающих точек по критерию Ирвина

В связи с тем, что в выборке могут быть износы, которые являются следствием не типичных износов, проверим опытную информацию обвала сцепления трактора на наличие выпадающих точек по критерию Ирвина, используя формулу:

(2.13)

где hiи hi-1 - смежные точки в вариационном ряду износов.

Для наименьшего значения износа вала сцепления трактораh1= 21; h2=26.

Для наибольшего значения износа вала сцепления трактораh37=112; h38=90

Полученные значения оп сравним с табличными значениями критерия

Ирвина.

В нашем случае при N = 38 и доверительной вероятности а = 0,95 табличное значение критерия Ирвина = 1,2 ,то есть равнойоп. Поэтому с вероятностью 0,95 можно утверждать, что все точки информации об износах достоверны.

2.6 Построение гистограммы и полигона опытного распределения значений износа

Гистограмму распределения значений износа строим следующим образом. На графике по оси абсцисс откладываем границы интервалов износа, а по оси ординат в масштабе их частоту, используя данные таблицы 2.2. Из начала каждого интервала проводим ординату высотой, равной значению частоты износа для данного интервала. Из этой точки проводим горизонтальную линию до начала следующего интервала, рисунок 2.1.

Для построения полигона распределения из середины каждого интервала проводим ординату высотой, равной значению частоты для данного интервала. Вершины полученных ординат соединяем прямыми линиями, рисунок 2.1

Полигон и гистограмма позволяют визуально оценить распределение износов поверхности 2 вала сцепления трактора и сделать предположение относительно вида теоретического закона распределения, которому соответствует разброс значений износов.

В частности из рисунка 2.1, видно, что наиболее часто встречающимся является износ, расположенный во ___ и ___ интервалах от _________мм/100.

а) б)

Рисунок 2.1 - Гистограмма (а) и полигон (б) распределения износа вала сцепления трактора

2.7 Выбор теоретического закона распределения износа заданной поверхности детали

Практика изучения износов деталей сельскохозяйственной техники говорит о том, что износ, как случайная величина лучше всего описываются законами нормального распределения (ЗНР) и распределения Вейбулла (ЗРВ).

Закон распределения - нормальный (ЗНР) или Вейбулла (ЗРВ) - В первом приближении Выбирают по Величине коэффициента Вариации если V < 0,30, Выбирают ЗНР, В случае если V > 0,50 - ЗРВ.

Если значение коэффициента вариации V находится в интервале от 0,30 до 0,50, выбирают тот закон распределения (ЗНР или ЗРВ), который обеспечивает лучшее совпадение с распределением опытной информации. Точность совпадения проверяют по критериям согласия.

Для выбора одного из указанных законов, определим величину«смещенного» коэффициента вариации,

(2.14)

где, - среднеквадратическое отклонение;

- среднее значение износа в выборке, мм/100;

- параметр смещения.

Указанная величина в рассматриваемых примере равна:

;

Поскольку значение «смещенного» коэффициента вариации находится в интервале от 0,30 до 0,50 то выбирают тот закон распределения (ЗНР или ЗРВ), который обеспечивает лучшее совпадение с распределением опытной информации. Точность совпадения проверяют по критериям согласия или критерию Пирсона.

2.8 Проверка согласия опытного распределения с теоретическим по критерию Пирсона для ЗРН

Проверим теоретический ЗНР на соответствие опытному по критерию, Пирсона, для чего найдем параметры функций ЗНР:

Формулы дифференциальной и интегральной функций для ЗНР имеют вид:

,(2.15)

. (2.16)

ЗНР - уникальный случай, когда две первые числовые характеристики совпадают с параметрами закона распределения. Поэтому параметры ЗНР для рассматриваемых примеров уже определены и составляют:

мм / 100 ? 0,522 мм;

мм / 100 ? 0,170 мм;

x = h (текущее значение износа гильзы)

Критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона вычисляется по формуле:

, (2.17)

где - опытная частота;

- теоретическая частота;

i - номер интервала статистического ряда.

Суммирование производится по всем n интервалам. Расчеты удобно свести в таблицу (таблица 2.4). В первый столбец записываются номера интервалов, во второй переносятся из статистического ряда их верхние границы. По ним вычисляются и записываются в третий столбец значения центрированного нормированного аргумента u для входа в таблицу интегральной функции ЗНР.

В следующий, четвертый столбец заносятся найденные по таблице значения интегральной функции для верхних границ интервалов.

В пятый столбец расчетной таблицы записываются значения теоретической вероятности p* попадания случайной величины в текущий интервал. Эта вероятность вычисляется, как разность функции распределения по концам интервала, то есть как разность этой функции между текущим и предшествующим интервалами. Для первого интервала в этом столбце повторяется значение из четвертого столбца.

В шестой столбец переносятся из статистического ряда опытные частоты. Далее вычисляются и записываются в седьмой столбец теоретические частоты w*i как произведение объема выборки N на теоретическую вероятность p*i. Следует иметь ввиду, что теоретические частоты, как правило, получаются не целыми. Однако, округлять их до целых значений не следует.

В восьмой столбец записываются квадраты разности опытных и теоретических частот.

В последний, девятый столбец расчетной таблицы записывается отношение квадрата разности частот к теоретической частоте. Сумма этого столбца и представляет собой искомый критерий «хи-квадрат».

Проследим на числовых примерах заполнение этой таблицы. Для первого интервала (первая строка таблицы) верхняя граница равна 28. Табличный аргумент для нее составит:

Используя это значение, в таблице 2[1] находим и записываем его в четвертый столбец. Поскольку сейчас мы обрабатываем первый интервал, полученное значение просто переписываем в следующий, пятый столбец.

Для последующих интервалов этот столбец заполняется иначе.

В шестой столбец переносим из статистического ряда опытную частоту w1 = 2. Далее находим и записываем в седьмой столбец теоретическую частоту w*:

В восьмой столбец записываем квадрат разности опытной и теоретической частот:

В последний, девятый столбец записываем отношение квадрата разности частот к теоретической частоте:

.

Для следующего, второго интервала статистического ряда строка расчетной таблицы 2.4 будет содержать следующие результаты:

hв2 =41;

;

(из таблицы 2[1]);

;

(из статистического ряда);

;

;

.

Аналогичным образом заполняем все оставшиеся строки таблицы 2.4 и находим сумму последнего столбца, которая составляет 2,232. Это и есть критерий «хи-квадрат» для ЗНР износа вала сцепления трактора.

Теперь можно сопоставить согласие опытных данных с ЗНР. Для этого находят число степеней свободы по формуле:

k = n - s - 1, (2.18)

где,k - число степеней свободы;

n - число интервалов статистического ряда;

s - число параметров закона распределения.

В нашем примере n = 7. Число параметров s для ЗНР равно двум (и ). Поэтому число степеней свободы равно: для ЗНР K =7 - 2 - 1 = 4;

Определяем уровень значимости для ЗНР. В четвертой строке таблицы 21[1] (эта строка соответствует значению k = 4) отыскиваем полученное нами значение ч2 = 2,232 или близкое к нему. Ближайшими оказываются значения 2,195 при P = 0,70 и 3,357 при P = 0,50. Требуется производить интерполяцию, поскольку оба эти значения существенно отличаются от 2,232.

Поясним, как воспользоваться в данном случае интерполяционной формулой (2.19).

(2.19)

Приступая к интерполяции важно установить, какой параметр в данном случае является функцией и какой аргументом.

В математике традиционно символом у обозначают искомую функцию. Такой функцией в нашем случае является уровень значимости P. Ближайшие его табличные значения равны 0,70 и 0,50. Обозначим у1 = 0,70; у2 = 0,50. Эти значения функций соответствуют аргументам х1 = 2,195 и х2 = 3,357.

Таблица 2.4 - Расчетная таблица значения критерия Пирсона для ЗНР

№ интервала	Верхняя граница интервала	Табличный аргумент	Интегральная функция	Теоретическая вероятность p*	Опытная частота	Теоретическая частота	Квадрат разности частот	Отношение
i	hвi		F(hвi)		wi
1	28	-1,4272	0,0778	0,0778	2	2,9564	0,9147	0,309
2	41	-0,6632	0,2546	0,1768	7	6,7180	0,0795	0,012
3	54	0,1007	0,5398	0,2852	12	10,8376	1,3512	0,125
4	67	0,8647	0,8051	0,2653	8	10,0810	4,3306	0,430
5	80	1,6286	0,9474	0,1423	5	5,4070	0,1656	0,031
6	93	2,3925	0,9916	0,0442	3	1,6800	1,7424	1,037
7	106	3,1565	0,9992	0,0076	0	0,2890	0,0835	0,289
							Сумма:	2,232

Критерий Пирсона для ЗНР = 2,232.

Число степеней свободы, к = 4.

Уровень значимости, Р= 0,69.

2.9 Проверка согласия опытного распределения с теоретическим по критерию Пирсона для ЗРВ

По такой же методике как и пункте 2.8 выполняем расчет критерия «хи-квадрат» для ЗРВ износа вала сцепления. Отличие заключается лишь в том, что величина u для распределения Вейбулла вычисляется по формуле (2.20), в то время как для ЗНР использовалась формула (2.21).

, (2.20)

(2.21)

Другое, более важное, отличие заключается в следующем. Таблицы 1 и 2[1] для ЗНР являются таблицами с одним входом, то есть они могут быть записаны в два столбца: столбец аргумента и столбец функции. В столбце аргумента находим нужное значение и в этой же строке считываем в столбце функции результат.

Таблицы же для ЗРВ (3 и 4[1]) являются таблицами с двумя входами: кроме значения аргумента u (первый вход таблицы) необходимо также задавать значение параметра b (второй вход). Поэтому результат считывается из таблицы на пересечении строки с заданным значением u и столбца с заданным значением b. Естественно, если в точности заданных значений в таблице не содержится, приходится интерполировать по одному или по обоим входам таблицы. В этом случае следует использовать формулу (2.19)

Итак, параметры ЗРВ для рассматриваемого вала сцепления составляют:

a = 42,059; b = 2,329; c = 15.

Параметр aнаходим по формуле:

,(2.22)

Создаем вспомогательную расчетную таблицу 2.5 и переносим в нее из статистического ряда номера интервалов, верхние их границы и опытные частоты.

Интегральная функция распределения Вейбулла для нормированной центрированной величины u (ЗРВ с параметрами: a = 1; c = 0; b) по формуле:

,(2.23)

Рассчитываем переменные первой строки:

;(рассчитывается по формуле 2.23);

;

;

;

.

Теперь можно сопоставить согласие опытных данных с ЗРВ. Для этого находят число степеней свободы для каждого из рассматриваемых распределений по формуле 2.18:

В нашем примере n = 7. Число параметров s, для ЗРВ - равно трём (а, b и с). Поэтому число степеней свободы равно: для ЗРВ K=7 - 3 - 1 = 3.

Определяем уровень значимости для ЗРВ. В третье строке таблицы 21[1] (эта строка соответствует значению k = 3) отыскиваем полученное нами значение ч2 = 1,6310 или близкое к нему. Ближайшими оказываются значения 1,424 при P = 0,70 и 2,366 при P = 0,50. Требуется производить интерполяцию, поскольку оба эти значения существенно отличаются от 1,6310.

Воспользуемся формулой 2.19 для интерполяции выражения:

Таблица 2.5 - Расчетная таблица значения критерия Пирсона для ЗРВ

№ интервала	Верхняя граница интервала	Табличный аргумент	Интегральная функция	Теоретическая вероятность p*i	Опытная частота	Теоретическая частота	Квадрат разности частот	Отношение
i	hвi		F(hвi)		wi
1	28	0,309	0,0629	0,0629	2	2,3888	0,1512	0,0633
2	41	0,618	0,2784	0,2155	7	8,1895	1,4150	0,1728
3	54	0,927	0,5678	0,2894	12	10,9962	1,0075	0,0916
4	67	1,236	0,8059	0,2381	8	9,0478	1,0979	0,1213
5	80	1,545	0,9365	0,1306	5	4,9635	0,0013	0,0003
6	93	1,855	0,9852	0,0487	3	1,8524	1,3170	0,7110
7	106	2,164	0,9976	0,0124	0	0,4707	0,2216	0,4707
	Сумма:	1,6310

Критерий Пирсона для ЗРВ = 1,6310.

Число степеней свободы, к = 3.

Уровень значимости, Р= 0,17.

Чтобы отдать предпочтение какому-либо из сравниваемых законов, следует для каждого из них по таблице 21[1], найти уровень значимости Pс учетом числа степеней свободы. Более подходящим признается тот, у которого уровень значимости выше.

Таким образом, уровень значимости для ЗНР износа вала сцепления составляет 0,69. Это существенно выше уровня значимости ЗВР. Поэтому в качестве закона распределения для износа вала сцепления принимаем ЗНР.

2.10 Определение доверительных границ рассеивания, относительной ошибки среднего износа и необходимого объема выборки

Очевидно, что данные наших вариационных рядов являются частной выборкой Если взять другие выборки, то характеристики и для этих новых выборок не совпадут с найденными нами. Иными словами, выборочные характеристики являются случайными величинами. Поэтому ошибка, которую мы допускаем, заменяя выборку, также является величиной случайной.

Как известно, вероятность того, что непрерывная случайная величина в точности примет заданное значение, равна нулю (хотя такое событие не является невозможным). Поэтому вероятность того, что использование выборочной характеристики в качестве значения генеральной даст нулевую ошибку, равна нулю. В связи с этим более уместно говорить о том, что ошибка при такой замене не превысит величину с вероятностью .На практике вероятностью задаются (она называется доверительной вероятностью) , а величину находят, исходя из принятого значения , т.е., находят такое значение , при котором вероятность того, что ошибка окажется в интервале (этот интервал называют доверительным), равна принятому значению .

Как известно, вероятность попадания случайной величины в заданный интервал значений равна площади криволинейной трапеции, ограниченной слева и справа ординатами концов интервала, сверху - кривой плотности распределения и снизу - осью x. Границы доверительного интервала называются нижней и верхней доверительными границами.

Для случая ЗНР доверительные границы определяются по формулам:

,(2.23)

(2.24)

где и - соответственно нижняя и верхняя доверительные границы рассеивания среднего значения износа при доверительной вероятности ;

t - коэффициент Стьюдента, который определяют по таблице 26[1] в зависимости от N и выбранной доверительной вероятности .

Для износа вала сцепления, подчиняющегося ЗНР, переменные формул (2.23ч24) имеют следующие значения:

мм / 100,

= 17,017 мм / 100,

N = 38.

Тогда, задавшись доверительной вероятностью = 0,95, при N = 38 по таблице 26[1] находим t = 2,04. Соответствующие этому значению t доверительные границы составляют:

мм / 100;

мм / 100.

Определим относительную ошибку среднего значения износа, зависящую от объема выборки, определяется по формуле:

, (2.25)

где,еб - относительная ошибка;

б - доверительная вероятность;

- верхняя доверительная граница среднего значения;

- среднее значение.

Хотя объем выборки N в формуле (2.25) в явном виде отсутствует, тем не менее, он влияет на величину ошибки. Это влияние проявляется через величину , которая для ЗНР зависит от t. В свою очередь, и tи r1 явно зависят от N (величина N является одним из входов в таблицу 26[1]). Поэтому величина относительной ошибки функционально зависит от объема выборки, причем, зависимость здесь обратная: чем больше объем выборки, тем меньше относительная ошибка.

Для износа вала сцепления при доверительной вероятности б = 0,95 относительная ошибка составит:

.

Для определения объема выборки, когда исследуется всего один признак, например, износ одной и той же поверхности у деталей одного и того же наименования, можно воспользоваться упрощенным подходом, основанным на использовании формулы:

, (2.26)

где,N - объем выборки;

t - коэффициент Стьюдента, определяемый по таблице 26[1];

v - коэффициент вариации;

е - относительная ошибка среднего значения (указанная в задании);

б - доверительная вероятность.

Коэффициент вариации либо принимают по опыту ранее проведенных исследований, либо определяют на основании небольшой серии пробных экспериментов (замеров, наблюдений, испытаний). После проведения рассчитанного по формуле (2.26) количества замеров фактическую относительную ошибку уточняют, как это описано выше, и принимают решение о прекращении или продолжении замеров (наблюдений, испытаний).

Таким образом, к имеющимся 38нет необходимости проводить дополнительные замеры так как38 - 38 = 0 замеров.

2.11 Построение графика дифференциальной функций распределения износов

Для построения графика плотности распределения f(x) ЗНР необходимо либо выбрать из таблицы 1[1], либо рассчитать по формуле

плотность распределения для ряда последовательных значений величины износа. Обычно в качестве таких значений принимают середины интервалов статистического ряда. Для более точного построения можно взять в каждом интервале кроме середины еще несколько равноотстоящих точек.

Расчеты целесообразно проводить в табличной форме (таблица 2.6). В столбцы 1, 2 и 6 этой расчетной таблицы переносим значения из статистического ряда (таблица 2.2). В столбец 3 записываем значения табличного аргумента, рассчитанные по формуле (2.21). В столбец 4 записываем найденное в таблице 2.2 значение плотности, делим его на у и результат записываем в столбец 5. Далее строим график, откладывая (в выбранном масштабе) по оси абсцисс данные второго столбца, а по оси ординат - данные пятого столбца.

Для визуальной оценки степени совпадения теоретической плотности распределения с опытными данными на этот же график заносим опытные плотности (столбец 7), полученные делением опытных вероятностей на величину интервала А. На графике они отобразятся в виде горизонтальных линий, каждая из которых занимает весь свой интервал.

График плотности распределения износа вала сцепления изображен на рисунке 2.2

Таблица 2.6 - Расчетная таблица плотности распределения износа вала сцепления, подчиняющегося ЗНР

Номер интервала	Середина интервала	Табличный аргумент	Плотность вероятности стандартного распределения (табл. 1)	Плотность вероятности исследуемого параметра	Опытная вероятность	Опытная плотность вероятности
i
1	22	0,1664	0,2116	0,0050	0,0530	0,0041
2	35	0,4755	0,7265	0,0173	0,1840	0,0142
3	48	0,7846	0,9557	0,0227	0,3160	0,0243
4	61	1,0937	0,7653	0,0182	0,2110	0,0162
5	74	1,4028	0,4048	0,0096	0,1320	0,0102
6	87	1,7119	0,1440	0,0034	0,0790	0,0061
7	100	2,0210	0,0345	0,0008	0,0000	0,0000

Рисунок 2.2 - Теоретическая и опытная плотность функции распределения износов вала сцепления для ЗНР

2.12 Построение графика интегральной функций распределения износов

Для построения графика интегральной функции распределения составляем расчетную таблицу 2.7. Содержимое столбцов 1, 2 и 5 (номер интервала, верхняя граница, накопленная опытная вероятность) переносим из статистического ряда (таблица 2.2). В столбец 3 записываем вычисленную по формуле (2.21) значения табличного аргумента u, в столбец 4 - найденные по таблице 2[1] значения вероятностей. Откладывая их в масштабе на координатной плоскости и соединяя плавной кривой, получаем график интегральной функции (рисунок 2.3). Для визуальной оценки степени совпадения теоретических значений вероятности с опытными данными на этот же график наносим в том же масштабе накопленные опытные вероятности (столбец 5) в виде отдельных точек.

Таблица 2.7 - Расчетная таблица значений интегральной функции ЗНР

Номер интервала	Верхняя граница интервала	Табличный аргумент	Теоретическая вероятность(табл. 2[1])	Накопленная опытная вероятность
i
1	28	0,3091	0,0629	0,053
2	41	0,6182	0,2784	0,237
3	54	0,9273	0,5678	0,553
4	67	1,2364	0,8059	0,763
5	80	1,5455	0,9365	0,895
6	93	1,8546	0,9852	0,974
7	106	2,1636	0,9976	0,974



Рисунок 2.3 - Интегральная функция износов вала сцепления для ЗНР

2.13 Графическое определение износа с заданной вероятностью. Нахождение значения вероятности для выбранного износа (прямая задача). Графическое определение квантили для заданной вероятности (обратная задача)

Для решения прямой задачи определим величину износа поверхности 2 вала сцепления, который не будет превышен с заданной Вероятностью (a = 0,95, указана в задании). Вычислим квантиль для указанного значения вероятности.

Квантиль - это функция, обратная функции распределения. квантиль позволяет ответить но вопрос какое максимальное значение х случайная величина X не превысит с заданной вероятностью р при очередном испытании.

Проиллюстрируем полученный результат на графике интегральной функции для вала сцепления, рисунок 2.3.

Наличие графиков интегральной функции распределения позволяет найти долю деталей (в процентах), у которых износ поверхности не превысит определенную (задаваемую) величину, рисунок 2.3.

Наличие графиков интегральной функции распределения позволяет найти долю деталей (в процентах), у которых износ поверхности не превысит определенную (задаваемую) величину, рисунок 2.4.

Для этого но оси абсцисс находим точку, соответствующую заданному износу (например, 0,54 мм). Из этой точки проводим Вертикаль до пересечения с теоретической интегральной кривой распределения. Из полученной точки провозим горизонталь (1) до пересечения с осью координат, и считываем результат (в данном примере он равен ~ 0,1949), который и будет характеризовать заданную Вероятность.

Вычисление квантили графическим путём представляет собой обратную задачу (рисунок 2.3). В этом случае, определим Величину максимального износа, который не будет превышен у заданного (выбранного) количество деталей (например, у 95%). То есть, определим квантиль для вероятности 0,95, которая обосновывается экономическими соображениями, и устанавливает долю изношенных деталей, не подлежащих восстановлению, а рекомендуемых к выбраковке (в задании 5 %). Для этого на оси ординат (рисунок 2.3) откладываем заданную вероятность, (0,95). Из этой точки проводим горизонталь (2) до пересечения с теоретической интегральной кривой. Из точки пересечения опускаем вертикаль но ось абсцисс и считываем значение износа (для нашего случая он равен ~ ________ мм).

2.14 Аналитический метод расчета квантили

Для нормального закона распределения таким законом-представителем является так называемое «стандартное нормальное распределение» - нормальное распределение с параметрами m = 0 и у = 1. Чтобы после нахождения по заданной вероятности p табличного значения квантили перейти к квантили распределения с требуемыми (а не с вышеназванными стандартными) значениями параметров, следует воспользоваться формулой

(2.27)

где, K(p) искомая квантиль;

и у - параметры заданного закона распределения;

Kст(p) - найденное табличное значение квантили стандартного нормального распределения;

p - заданная вероятность, для которой отыскивается квантиль.

Заключение

В контрольной работе выполнен микрометраж поверхности 2 вала сцепления и получена опытная износная информация.

Выполнено математическая обработка этой информации и получены числовые характеристики распределения:

среднее арифметическое значение износов h = 0,522 мм;

среднеквадратическое отклонение у - 0,170 мм,

коэффициент Вариации v=0,325.

Выбран теоретический закон распределения по критерию согласия Пирсона. Для наложения на опытное распределение вероятностей использованы два наиболее употребляемых в теории надёжности закона, а именно закон нормального распределения.

По величине уровня значимости Р = 0,69 большее совпадение для рассматриваемого случая имеет закон нормального распределения.

В работе определены параметры нормального распределения масштабный параметр а = 0,420 мм, параметр формы b-2,329 , параметр сдвига с = 0,15 мм.

Определены доверительные границы рассеяния среднего значения и его относительная ошибка. Уточнено по результатам вычислений, что нет необходимости производить дополнительную выборку.

Построены графики дифференциальной и интегральной функций распределения вероятностей износов.

Вычислен износ поверхности 2 вала сцепления трактора, который не будет превышен с вероятностью 0,95, представляющий собой квантиль К(0,95) = 0,802 мм.

Квантиль проиллюстрирована на графике интегральной функции.

На основе полученной квантили можно с вероятностью 95% утверждать, что восстановление поверхности 2 вала сцепления трактора целесообразно при износах не более 0,802 мм.

При износах более 0,802 мм вал сцепления трактора восстанавливать экономически нецелесообразно, а лучше выбраковывать.

С учетом этого, одним из самых рациональных способов восстановления поверхности 2 вала сцепления трактора является газопламенное напыление с последующим шлифованием до номинального размера.

Список использованных источников

1. Юдин М.И, Карасев И.В, Шапиро Е. А, Янчин Ю.Д. Теория вероятностей в прогнозировании параметров технического состояния и показателей надежности машин: Учебное пособие. - Краснодар: Изд-Во Кубанского ГАУ, 2010.

2. Чеботарёв М.И. и др. Методические указания для выполнения контрольной роботы по дисциплине «Надежность и ремонт машин» для студентов заочной формы обучения).Изд-Во Кубанского ГАУ, 2011.

3. Курчаткин В. В. Тельнов Н.Ф. Надежность и ремонт машин. Учебники и учебные пособия для Высших учебных заведений Москва 2000 год

Размещено на Allbest.ru