Расчеты объема выпускаемой продукции производственным предприятием

Максимизация объема выпускаемой продукции в условиях ограниченных финансовых ресурсов

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

,

где Y -- объем выпуска продукции (ед.).

Требуется:

Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K = 441; б) L =63.

Найти уравнения изоквант ПФ и построить их графики для Y₁=656, Y₂ =984, Y₃=1312.

Известны объем выпуска продукции Y=984 и наличные трудовые ресурсы L=63 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 90 (ден.ед./тыс. чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 30 (ден.ед./тыс. ст.-час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 21000 (ден. ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что ПФ задана на всем множестве K ? 0, L ? 0; найти графическим методом ее решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решаем задачу для следующих значений параметров:

1) Производственная функция (ПФ) -- функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступают рабочая сила (L, тыс. чел.-час.) и оборудование (K, тыс. ст.-час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

где Y -- объем выпуска продукции (ед.).

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

а) По условию K =441. Тогда ПФ -- степенная функция следующего вида:

Y =4*

График функции представлен на рис.

б) По условию L = 63. Тогда ПФ -- степенная функция следующего вида:

Y =4*

График функции представлен на рис.

2) Изокванта -- совокупность всех комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K, L) в виде ее линий уровня.

По условию Y₁ =656;Y₂ =984; Y₃ =1312.

Выпишем соответствующие этим значениям уравнения изоквант:

=656;

=984;

=1312.

Для построения на декартовой плоскости OKL изоквант из их уравнений в явном виде выразим переменную L как функцию от переменной K:

или .

Итак, уравнения трех изоквант запишем в следующем виде:

, отсюда ;

, отсюда ;

, отсюда .

Графики изоквант, выпуклые к началу координат кривые, изображены на рис. Различные комбинации (K₁, L₁) и (K₂, L₂) используемых ресурсов, принадлежащие одной и той же изокванте, дают один и тот же объем выпуска Y. Изокванта Y₃, расположенная выше изоквант Y₂ и Y₁, соответствует большему объему выпуска продукции (Y₃ > Y₂ > Y₁).

3) Известны объем выпуска продукции Y_баз = 984 (ед.) и наличные трудовые ресурсы L_баз =63 (тыс. чел.-час.) в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит

Y = 1.1Y_баз = 1.1984 = 1082,4 (ед.).

Существует множество комбинаций факторов производства (K, L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 1082,4 ед. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты

,

имеем:

.

Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне L_баз =63 (тыс.чел.-час.), то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст.-час.).

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла

(тыс. ст.-час.).

Потребность в ресурсах в плановом периоде:

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит

L = 1.05L_баз= 1.0563 = 66,15 (тыс. чел.-час.),

то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст.-час.).

Итак, при объеме трудовых ресурсов потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , определяемую соотношением

.

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам p_K = 30 (ден. ед. / тыс. ст.-час.) и p_L = 90 (ден. ед. / тыс. чел.-час.). Величина ее затрат C на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С = p_KК + p_LL = 30К + 90L.

Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 21000 ден. ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так: найти объемы ресурсов К и L, удовлетворяющие ограничениям

30К + 90L ? 21000, (1)

К ? 0, L ? 0 (2)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

> max. (3)

Так как Y -- нелинейная функция, то эта модель представляет собой задачу нелинейного программирования. Ограничение (1) называется бюджетным ограничением.

Графическое решение задачи производителя

Ее решение можно найти графическим методом. Для этого построим область допустимых решений, задаваемую условиями (1) и (2). Она представляет собой заштрихованный треугольник ОАВ. Граничная прямая АВ бюджетного ограничения задается уравнением

30K + 90L = 21000

Для определения оптимального решения проведем несколько линий уровня (изоквант) целевой функции, имеющих общие точки с областью допустимых решений. Как было показано в п. 2, чем выше находится изокванта, тем большему уровню целевой функции она соответствует (Y₂ > Y₁). Поэтому изокванта, соответствующая максимально возможному объему выпуска, должна касаться граничной прямой бюджетного ограничения (1), а точка ее касания D будет оптимальным решением задачи.

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y = , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС = (p_K, p_L) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

. (4)

Поскольку отсюда имеем, что

Следовательно, K = 7L. Подставляя полученное выражение K через L в уравнение граничной прямой АВ, получаем:

90L + 30*7L = 21000.

Отсюда имеем, что оптимальная величина трудовых ресурсов равна

L^* = 70.

Оптимальный объем оборудования равен

K^* = 7*L = 7*70 = 490,

а соответствующий объем выпуска Y^* = 4*490^0.7•70^0.3 ? 1093,3.

Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой в точке рыночного равновесия равна отношению цен этих ресурсов, т.е.

.

Предельная эффективность финансовых ресурсов

= = (4*0.7•350^-0.3•50^0.7)/30 ? 0.816,

что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден. ед. объем выпускаемой продукции возрастет на 0.816 ед.

Итак, получены следующие результаты.

1. Фирма должна взять в аренду K^* = 490 тыс. ст.-час. оборудования и нанять по контракту L^* = 70 тыс. чел.-час. рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y^* = 1093,3 ед.

2. Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTS_KL = 0,333.

3. Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0.816.

4.

Задача 4

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очередность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в следующей таблице:

Требуется:

С учетом технологической последовательности работ построить сетевой график выполнения этих работ.

Рассчитать временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме выполнения работ. Найти критический путь и его продолжительность, указать все возможные критические пути, определить стоимость всего комплекса работ.

Указать стратегию минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дн. С какую итоговую сумму обойдется фирме ускоренная стройка павильона.

Решение.

Упорядоченный сетевой график строительства торговой павильона изображен на рис., где рядом с буквой, обозначающей работу, в скобках проставлено число, равное нормальному сроку ее выполнения.

Обозначим

Т^кр - критическое время, т.е. наименьшее время выполнения всего комплекса работ.

Т^р_i - раннее время наступления i-й события, т.е. момент времени, раньше которого событие i не может наступить.

Рассчитаем Т^р_i для всех событий сетевого графика, т.е. для i= 1,2,…,7. Время наступления 1-го события сетевого графика будем считать равным нулю, т.е. Т^р₁ = 0. Далее последовательно находим Т^р₂,…, Т^р₆

дн

дн;

дн;

дн;

дн;

Стоимость S = 33+84+78+31+35+19+71+74+38,5+40=503,8

Критический срок Ткр = 46 дней.

Критический пути (V,Q,В), (V,Q,H,D).

Сокращение сроков строительства торгового павильона

Просматривая все полные некритические пути, убеждаемся, что при сокращении срока строительства на 2 дня, т.е. до 44 дней, критическими могут стать пути Р₄ и Р₅ . Эффективно сократить работу Q на 2 дня. При этом дополнительные затраты составят:

2 (дня) 7,7 (млн.руб./день) = 15,4(млн.руб.)

критическое время станет равным

Ткр = 46 -2 =44 (дней)

Новая стоимость работ будет равной

S = 503,5 +15,4=518,9(млн.руб.)

Задача 5

Имеются данные по 15 субъектам Российской Федерации за январь-март 2001 года о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в таблице:

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить его значимость.

4. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ увеличится на 30%.

5. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.

Решение.

5.1. Построение математической модели. Оценка неизвестных параметров методом наименьших квадратов.

Полем рассеяния называется множество точек на плоскости, координаты которых соответствуют наблюдаемым значениям исследуемых показателей. В нашем примере х_i - среднедушевые денежные доходы, y_i - среднедушевые потребительские расходы в i-м субъекте РФ, i = 1,…,15. Таким образом, поле рассеяния состоит из 15-ти точек с координатами (x_i,y_i), которые показаны на рис.

Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейной модели

у = ? + ?х + u,

где ?, ? - неизвестные постоянные коэффициенты, а u - случайная величина, характеризующая отклонения реальных значений потребительских расходов от их теоретических значений ? + ?х. Случайная величина u называется случайным отклонением или случайным возмущением модели. Ее включение в модель призвано отразить:

а) влияние не учтенных в модели факторов, влияющих на размер потребительских расходов;

б) элемент случайности и непредсказуемости человеческих реакций;

в) ошибки наблюдений и измерений.

5.2 После формулировки математической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестных параметров ? и ? по результатам наблюдений над переменными х и у, т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии у = a + bх, являющегося некоторой реализацией модели, в котором коэффициенты а и b есть оценки неизвестных параметров ? и ? соответственно. Оценки а и b можно искать по следующим формулам:

n?x_iy_i - ?x_i?y_i

b = -------------- , а = у_ср - bх_ср.

n?x_i² - (?x_i)²

Для удобства вычисления оценок искомых коэффициентов модели составляется табл.1, в которой столбцы «у», «у - у», «(у - у)²» заполняются после нахождения уравнения регрессии.

Табл.1

Нахождим оценки а и b. Получаем:

х_ср = ?х_i/15 =29,95/15 = 1,997 (тыс.руб.) - среднее значение среднедушевых доходов;

у_ср = ?у_i/15 = 24,01/15 = 1,601 (тыс.руб.) - среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

Следовательно, b = 0,683

а = у_ср - bx_cp = 0,236

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид

y = 0,683x + 0,236

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

5.3. Нахождение коэффициента корреляции.

Мерой зависимости между переменными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции, который обозначается через r_xy и определяется по формуле:

n?x_iy_i - ?x_i?y_i

r_xy = --------------------------------------

vn?x_i² - (?x_i)² v n?у_i² - (?у_i)²

Подставляя соответствующие значения из последней строки табл.1, получаем

r_xy = 0,951, r_xy > 0 и близко к 1, следовательно, связъ сильная положительная, т.е. при увеличении доходов, расходы растут.

Для того, чтобы с большей уверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи между переменными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличие коэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значение коэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не очень близкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейной взаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественное отличие r_xy от нуля, то, не смотря на возможно достаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме: .

¦ r_xy v n-2 ¦

если ______________ > t_1-?/2,n-2 ,

v1 - r_xy²

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-?/2,n-2 - квантиль распределения Стьюдента, ? - уровень значимости или уровень доверия, n - число наблюдений, (n-2) - число степеней свободы. Значение ? задается исследователем зависимости между х и у. Примем ? = 0,05, тогда t_1-?/2,n-2 = t_0,975,13 = 2,1604

.

r_xy v n-2 0,951v15-2

___________________=11,053 > t_0,975,13

v1 - r_xy² v1- 0,951²

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у. Т.е. если мы будем проводить многократное повторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами, всякий раз выбирая различные группы из 15 субъектов РФ, то в 95% этих экспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в 95% случаев коэффициент корреляции r_xy будет существенно отличатся от нуля.

5.4 Нахождение точечных и интервальных прогнозов.

Точечным прогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется значение y₀, получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х₀, т.е.

y₀ = y(х₀)= a + bx₀ - точечный прогноз.

Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-ом субъекте РФ в будущем периоде, что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте увеличатся на 30%, т.е.

х₀ = х₁₀ + 0,3х₁₀ = 1,3х₁₀ = 1,32,47 = 3,21

y₀ = 0,236 + 0,6833,21 = 2,431 (тыс.руб.).

Таким образом, если среднемесячные денежные доходы в 10-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то потребительские расходы в этом субъекте составят 2,431 тыс.руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле:

yв.н. = y(х₀) ± t_1-?/2,n-2S_y,

где у_в, у_н - соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

y(х₀) - точечный прогноз;

t_1-?/2,n-2 -квантиль распределения Стьюдента;

(1-?/2) - доверительная вероятность;

(n-2) - число степеней свободы;

/ 1 (x₀ - x_cp) (y_i - y_i)²

S_y = S v + , S = vS² , S² = ,

n (x_i - x_cp)² n-2

Доверительный интервал - это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться прогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте РФ увеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемое значение денежных доходов х₀ = 3,21 тыс.руб.

Пусть ? = 0,05, тогда 1-? = 0,95; t_1-?/2,n-2 = t_0,975,13 = 2,1604;

(y_i - y_i)² 0,222 ^.

S² = = = 0,017; S = v 0.017 = 0.131

n - 2 13

(х₀ - х_ср)² = (3,21 - 1,997)² = 1,475

(x_i - x_cp)² = х_i² - n(x_cp)² = 64,262- 151,997² = 4,461.

_______________ ____________

/ 1 (x₀ - x_cp)² / 1 1,475

S_y = S v + = 0.131 v + = 0,082

n (x_i - x_cp)² 15 4,461

Следовательно, y_н =2,431 - 0,082 = 2,349 (тыс.руб.)

y_в = 2,431 + 0,082 = 2,513(тыс.руб.)

Это означает , что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 2,47 тыс.руб. до 3,21 тыс.руб., размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов с вероятностью 0,95 будет колебаться в пределах от 2,349 тыс.руб. до2,513 тыс.руб.

Содержательная интерпретация полученных результатов.

Рассмотрим найденное уравнение регрессии y = 0,683x + 0,236. Коэффициент а = 0,236 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,683 определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательная интерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задаче была приведена по ходу решения.

В заключение впишем итоговые результаты.

у = ? + ?х + u - математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов.

y = 0,683x + 0,236- уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

r_xy =0,951- коэффициент корреляции между х и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимости расходов и доходов.

4. y₀ (х₀) = 2,431 (тыс.руб.) - точечный прогноз;

y_н = 2,329(тыс.руб.)

y_в = 2,513 (тыс.руб.) - интервальный прогноз с 95% доверительной вероятностью.