Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Однак, зрозуміло, що і серед жителів однієї країни існують різноманітні групи людей з різними характеристиками тривалості життя. Перш за все, важливо відзначити, що смертність серед мужчин є у декілька разів вищою ніж смертність серед жінок. Ймовірно, смертність серед домогосподарок є меншою, ніж серед шахтарів; смертність серед людей, які пройшли медичну комісію перед укладанням договору страхування, є меншою, ніж у середньому по країні ; смертність серед людей, які вийшли на пенсію через хворобу, навпаки, є вищою (звичайно, у всіх випадках ми повинні порівнювати людей у одному віці x). Однак, страхова компанія має справу не з абстрактними людьми, а з цілком конкретними, відносно яких відома деяка інформація (стать, професія, перенесені хвороби і т.д.). Тому зрозуміло, що компанія повинна мати цілий спектр таблиць тривалості життя для різних груп населення. Такі таблиці називаються таблицями з відбором (select tables) чи таблицями відбору ризику. Як правило створюється декілька базових таблиць, а багаточисельні додаткові ризики враховуються за допомогою вказівок по андеррайтингу, які дають відповідні коефіцієнти (чи адитивні надбавки) до базових тарифів. Моральні небезпеки переважно враховують юридичними обмеженнями і зменшенням страхової суми.

Термін відбір пов'язаний з тим, що люди попадають у групу, для якої складається таблиця, після деякого відбору. У деяких випадках цей відбір спеціально проводиться (наприклад, медичною комісією перед укладанням договору страхування), іноді сама людина відбирає себе (наприклад, при оформленні пожиттєвої ренти), іноді це відбувається через зовнішні обставини (наприклад, при оформленні пенсії через хворобу). Смертність серед людей, які включені в таку групу, залежить не тільки від віку x , але і від того, коли відбувся відбір. Розглянемо, наприклад, людей, які успішно пройшли медичний андеррайтинг і уклали договори страхування життя. Зрозуміло, що ймовірність смерті на протязі найближчого року людини з цієї групи істотно менша, ніж ймовірність смерті на протязі найближчого року випадково вибраної людини у тому ж віці. Більш цікавим є те, що ймовірність смерті на протязі найближчого року людини, яка тільки що пройшла відбір, є меншою, ніж ймовірність смерті на протязі року людини у тому ж віці, яка пройшла відбір декілька років тому. Наприклад, ймовірність смерті мужчини у віці 52 роки за даними страхової статистики Великобританії за 1970-1972 роки складає 0,344% для першого року договору; 0,429% якщо з моменту укладання договору пройшов вже один рік і 0,603% якщо договір був укладений 2 чи більше років тому.

У зв'язку з цим величини, включені у таблиці з відбором, мають два аргументи: один показує момент відбору x, а другий - час t, який пройшов з моменту відбору. Щоб вказати цю залежність, в актуарій математиці не пишуть чи (як ми це зробили б у загальному курсі математики), а застосовують наступне позначення:

При фіксованому віці і моменті відбору (чи, що те ж саме, проміжку часу t, який пройшов з моменту відбору) величина виду нічим принципово не відрізняється від величини (ми лише явно вказуємо деяку додаткову умову, при якій вона розглядається). Тому, для характеристик тривалості життя «відібраних» людей справедливі усі наведені вище результати, включаючи введені там позначення (так само, як для умовних ймовірностей в класичному курсі теорії ймовірностей справедливі всі теореми, доведені для звичайних ймовірностей). Наприклад,

1) позначає умовну ймовірність смерті на протязі року людини у віці x+t років, яка t років назад (тобто у віці x років) була відібрана у групу;

2) - це ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка була t років тому назад (тобто у віці x років) відібрана у групу, проживе ще як мінімум рік;

3) - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, помре на протязі найближчих n років;

4) - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, проживе ще як мінімум n років;

5) - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, проживе ще n років, але помре на протязі m наступних років;

6) - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, проживе ще n років, але помре на протязі наступного року.

Всі ці ймовірності можуть бути виражені через ймовірності ; наприклад,

Таблиці з відбором обмеженої дії

Тонкий статистичний аналіз показує, що як правило вплив відбору продовжується необмежено довго. Однак, у більшості випадків, залежність характеристик смертності від часу, який пройшов з моменту відбору, швидко зменшується і через деякий час (з тим чи іншим ступенем точності) ці характеристики залежать тільки від досягнутого віку. Слід відзначити, що сам вплив відбору зберігається, у тому розумінні, що ці характеристики відрізняються від популяційних.

Проміжок часу r, після якого залежністю від моменту відбору можна знехтувати і розглядати всі характеристики тривалості життя тільки як функції досягнутого віку, називається (хоча цей термін не дуже правильно передає суть справи) періодом дії відбору (select period).

Відповідна таблиця називається таблицею з відбором обмеженої дії (select-and-ultimate table). Граничні значення (які заміняють при ) утворюють так звану граничну таблицю (ultimate table). По своїй структурі вона є таблицею найпростішого виду.

Розрахунок характеристик смертності серед представників виділеної групи може бути значно спрощений, якщо замість ймовірностей ввести у розгляд спеціальні величини які є аналогічними до величин із загальних таблиць смертності.

Розглянемо деяку таблицю з відбором, який діє на протязі r років, і визначимо величини за допомогою наступної формули:

Оскільки період дії відбору рівний r, ми покладаємо

якщо

Тоді

і тому величини можуть використовуватися у якості первинних характеристик смертності представників виділеної групи. Однак важливішим є те, що більш складні характеристики смертності, такі як , можуть бути простіше виражені через величини ніж через величини Наприклад,



Для подальшого спрощення формул можна ввести величини

так що, наприклад,

Тому, часто у таблиці з відбором обмеженої дії включають тільки величини

2.2.5 Наближення для дробового віку

Реальні статистичні дані про смертність доступні у виді таблиць, у які входять ймовірності , величини і т.д. для цілочисельних значень віку x. Це означає, що всі формули в актуарій математиці повинні бути приведені до вигляду, коли в них включаються тільки ці величини. Однак всі основні формули для розрахунку премій, резервів і інших величин, необхідних для ведення страхового бізнесу, містять інтеграли (з підінтегральною функцією, яка включає функцію виживання Таким чином, ми повинні знати функцію виживання для всіх дійсних значень аргументу x, а не тільки для цілих.

Ця задача може розглядатися як задача інтерполяції. В актуарій математиці як правило вирішують цю задачу, постулюючи той чи інший вид функції s(x) між вузлами інтерполяції, тобто отримують шукану функцію s(x), склеюючи в цілочисельних точках більш прості функції. Основними є три наступних постулати.

Рівномірний розподіл смертей

Самою простою є інтерполяція лінійними функціями:

Записуючи x у вигляді

x=n+t

де цій формулі можна надати вигляду:

Для щільності f(x) це наближення дає:

Відповідно для інтенсивності смертності ми маємо наступне наближення:

чи, що те саме,

Зазначимо, що в цілочисельних точках щільність f(x) і інтенсивність смертності не визначені.

Один з найбільш важливих наслідків припущення про лінійну інтерполяцію функції виживання полягає у наступному. Розглянемо величину (n - ціле, Для неї маємо:

Отже, в припущенні про лінійну інтерполяцію функції виживання ймовірність смерті на протязі частини року пропорційна величині цієї частини.

Правильним є і обернене твердження, якщо ймовірність смерті на протязі (початкової) частини року пропорційна величині цієї частини (тобто ), то для дробових значень змінної x (між двома сусідніми цілими значеннями) функція виживання є лінійною.

Введемо тепер наступну величину , яка рівна дробовій частині величини

Таким чином

де - заокруглений час життя. Величина описує момент смерті серед року.

Для інтерполяції, яка розглядається

1) випадкова величина рівномірно розподілена на (0, 1);

2) випадкові величини і - незалежні.

Правильним є і зворотне твердження, якщо випадкова величина рівномірно розподілена на (0, 1) і не залежить від то для дробових значень x (між двома сусідніми цілими) функція виживання є лінійною.

Постійна інтенсивність смертності

Якщо наближати функцію виживання s(x) на відрізку показниковою функцією то

Записуючи x у вигляді

де цій формулі можна надати вигляду

Для щільності f(x) це наближення дасть

Звідси для інтенсивності смертності ми маємо наступне наближення:

тобто даній інтерполяції відповідає припущення про постійну інтенсивність смертності між двома днями народження.

Припущення Балдуччі (Balducci) [9]

Припущення Балдуччі зовні подібне на припущення про рівномірний розподіл смертей, однак, на відміну від останнього, лінійними функціями інтерполюється Це приводить до наступних формул (нижче

(2.2.7)

Один з найбільш важливих наслідків припущення Балдуччі полягає у наступному. Розглянемо величину (ймовірність такого виду з'являється при оцінці для дробових моментів часу). Для неї маємо:

Отже, в припущенні Балдуччі ймовірність смерті до чергового дня народження пропорційна часу, який залишився до цього дня народження.

Правильним є і зворотне твердження: якщо ймовірність смерті до чергового дня народження пропорційна часу до цього дня народження (тобто то для виду функції виживання для дробових значень x (між двома сусідніми цілими) істинне припущення Балдуччі.

РОЗДІЛ 3. ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

3.1 Моделі короткострокового страхування

В актуарній математиці моделі страхування життя умовно ділять на дві великі групи залежно від того, приймається чи ні в розрахунок дохід від інвестування зібраних премій. Якщо ні, то ми говоримо про короткострокове страхування (short-term insurance); в якості такого “короткого” інтервалу ми будемо розглядати інтервал в 1 рік. Якщо ж так, то ми говоримо про довгострокове страхування (long-term insurance). Звичайно, цей поділ умовний і, крім того, довгострокове страхування пов'язане з рядом інших обставин, наприклад, андеррайтингом.

Найпростіший вид страхування життя полягає в наступному.

Страхувальник платить страховій компанії р грн (ця сума, як уже зазначалося, називається страховою премією - premium); страхувальником може бути сам застрахований або інша особа (наприклад, його роботодавець).

У свою чергу страхова компанія зобов'язується виплатити особі, на користь якої укладений договір, страхову суму (sum assured) b грн у випадку смерті застрахованого протягом року із причин, перерахованих у договорі (і не платити нічого, якщо він не помре протягом року або помре через причину, що не покривається договором).

Страховая сума часто приймається рівної 1 або 1000. Це означає, що премія виражається як частка від страхової суми або на 1000 страхової суми відповідно.

Нетто-премія

Величина страхової виплати (benefit), звичайно, набагато більша, ніж страхова премія, і знаходження «правильного» співвідношення між ними - одна з найважливіших задач актуарной математики.

Питання про те, яку плату страхова компанія повинна призначати за прийняття на себе того чи іншого ризику, украй складне. При його вирішенні враховується велика кількість різнорідних факторів: імовірність настання страхового випадку, його очікувана величина й можливі флуктуації, зв'язок з іншими ризиками, які вже прийняті компанією, організаційні витрати компанії на ведення справи, співвідношення між попитом та пропозицією по даному виду ризиків на ринку страхових послуг і т.д. Однак основним звичайно є принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії й застрахованого.

В розглянутій вище найпростішій схемі страхування, коли плата за страховку повністю вноситься в момент укладання договору, зобов'язання застрахованого виражається в сплаті премії р. Зобов'язання компанії полягає у виплаті страхової суми, якщо наступить страховий випадок. Таким чином, грошовий еквівалент зобов'язань страховика, X, є випадковою величиною:

У найпростішій формі принцип еквівалентності зобов'язань виражається рівністю р = МХ, тобто, як плата за страховку призначається очікувана величина збитку. Ця премія, як уже зазначалося, називається нетто-премією (net premium).

Ризикова надбавка

Купивши за фіксовану премію р грн. страховий поліс, страховик позбавив укладача договору страхування від ризику фінансових втрат, пов'язаних з невизначеністю моменту смерті застрахованого. Однак сам ризик не зник; його прийняла на себе страхова компанія.

Тому рівність р = MX насправді не виражає еквівалентності зобов'язань страхувальника й страховика. Хоча в середньому й страховик, і страхувальник платять ту саму суму, страхова компанія має ризик, пов'язаний з тим, що в силу випадкових обставин їй, можливо, прийдеться виплатити набагато більшу суму, ніж МХ. Страхувальник же такого ризику не має. Тому було б справедливо, щоб плата за страховку включала деяку надбавку l, яка б служила еквівалентом випадковості, що впливає на компанію. Цю надбавку називають ризиковою (або захисною) надбавкою (security loading), а - відносною ризиковою надбавкою (relative security loading). Розмір ризикової надбавки береться таким, щоб імовірність того, що компанія буде мати втрати по деякому портфелю договорів («розориться»), була досить малою величиною.

Слід зазначити, що реальна плата за страховку (брутто-премія або офісна премія) _ більша нетто-премії з ризиковою надбавкою (часто в кілька разів). Різниця між ними дозволяє страховій компанії покрити адміністративні витрати, забезпечити доход і т.д.

Модель індивідуальних втрат

Точний розрахунок ризикової надбавки може бути здійснений у рамках теорії ризику.

Найпростішою моделлю функціонування страхової компанії, призначеної для розрахунку ймовірності банкрутства, є модель індивідуального ризику. Вона базується на наступних спрощених припущеннях:

аналізується фіксований відносно короткий проміжок часу (так що можна знехтувати інфляцією й не враховувати прибуток від інвестування активів) - як правило це один рік;

кількість договорів страхування N фіксована й невипадкова;

премія повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких надходжень протягом цього періоду немає;

ми спостерігаємо кожен окремий договір страхування й знаємо статистичні властивості пов'язаних з ним індивідуальних втрат X.

Як правило припускається, що в моделі індивідуального ризику випадкові величини - незалежні (зокрема, виключаються катастрофи, коли одночасно по декількох договорах наступають страхові випадки).

У рамках цієї моделі «банкрутство» визначається сумарними втратами по портфелю . Якщо ці сумарні виплати більші, ніж активи компанії, призначені для виплат по цьому блоці бізнесу, u, то компанія не зможе виконати всі свої зобов'язання (без залучення додаткових засобів); у цьому випадку говорять про «розорення».

Отже, імовірність «розорення» компанії дорівнює

Іншими словами, імовірність «розорення» - це додаткова функція розподілу величини сумарних втрат компанії за розглянутий проміжок часу.

Оскільки сумарні виплати S являють собою суму незалежних випадкових величин, розподіл випадкової величини S може бути підрахований за допомогою класичних теорем і методів теорії ймовірностей.

Насамперед - це використання згорток. Нагадаємо, що якщо і - дві незалежні невід'ємні випадкові величини з функціями розподілу і відповідно, то функція розподілу їх суми може бути підрахована по формулі

Застосовуючи цю формулу декілька разів, можна підрахувати функцію розподілу суми будь-якої кількості доданків.

Якщо випадкові величини і - неперервні, то працюють із щільностями Щільність суми може бути підрахована по формулі



Якщо випадкові величини і - целочисельні, то замість функцій розподілу як правило працюють із розподілами

Розподіл суми може бути визначений за формулою

Підрахунок імовірності розорення часто спрощується, якщо використовувати похідні функції й/або перетворення Лапласа.

Як правило кількість застрахованих у страховій компанії дуже велика. Тому для підрахунку імовірності розорення потрібно здійснити розрахунок функції розподілу суми великої кількості доданків. У цьому випадку точний безпосередній чисельний розрахунок може привести до проблем, пов'язаних з малою величиною ймовірностей. Однак обставина, що утрудняє точний розрахунок, відкриває можливість швидкого й простого наближеного розрахунку. Це пов'язано з тим, що при збільшенні N імовірність часто має визначену границю (переважно потрібно, щоб х певним чином змінювалося разом з N), яку можна прийняти як наближене значення цієї ймовірності. Точність подібних наближень звичайно дуже велика й задовольняє практичні потреби. Основним є нормальне (гауссівське) наближення.

Гауссівське наближення грунтується на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей. У найпростішому формулюванні ця теорема виглядає в такий спосіб: якщо випадкові величини , …, незалежні й однаково розподілені із середнім а й дисперсією , то при функція розподілу центрованої й нормованої суми

має границю, яка рівна

(3.1.1)

Існують численні узагальнення центральної граничної теореми на випадки, коли доданки мають різні розподіли, є залежними й т.д. В даній роботі ми обмежимося твердженням, що якщо кількість доданків велика (звичайно досить, щоб N мало б порядок декількох десятків), а доданки не дуже малі й не дуже різнорідні, те можна застосувати гауссівське наближення для

Звичайно, це твердження дуже невизначене, але й класична центральна гранична теорема без точних оцінок похибки не дає точної вказівки про сферу застосування. Стандартна гауссівська фунція розподілу детально вивчена в теорії ймовірностей. Існують детальні таблиці як для самої функції розподілу, так і для щільності

Значення у найбільш цікавому діапазоні наведені в таблиці 1.

Таблиця 1 Значення

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9	15,87% 13,57% 11,51% 9,68% 8,08% 6,68% 5,48% 4,46% 3,59% 2,87%	2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9	2,28% 1,79% 1,39% 1,07% 0,82% 0,62% 0,47% 0,35% 0,26% 0,19%	3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9	0,14% 0,10% 0,069% 0,048% 0,034% 0,023% 0,020% 0,011% 0,007% 0,005%

Корисно також мати таблицю квантилів , (- це корінь рівняння ) що відповідають досить малій ймовірності розорення ; вони наведені в таблиці 2.

Таблиця 2. Таблиця квантилів

	0,1%	0,5%	1%	2%
	3,090	2,576	2,326	2,054
	3%	4%	5%	10%
	1,881	1,751	1,645	1,282

3.2 Моделі довгострокового страхування життя

3.2.1 Основні види довгострокового страхування життя

Довічне страхування (whole life insurance)

При цьому виді страхування фіксована страхова сума виплачується в момент смерті.

Оскільки людина рано чи пізно помре, страхова компанія гарантовано виплатить страхову суму (якщо тільки причина смерті не покривається умовами договору, наприклад, якщо смерть наступила в результаті протиправних дій застрахованого). Якщо плата за це покриття повністю вноситься в момент укладання договору, то мова йде про досить велику суму, співмірну зі страховою сумою. Тому звичайно премії виплачуються періодично протягом всього життя або аж до досягнення застрахованим певного віку (скажімо, пенсійного, коли його доходи різко знижуються).

У цьому розділі ми для простоти розрахунків будемо припускати, що по всіх видах страхування, які розглядаються премія повністю вноситься в момент укладання договору.

N-річне тимчасове страхування життя (п-year term life insurance)

При цьому виді страхування виплата фіксованої страхової суми здійснюється в момент смерті, якщо застрахований помер протягом терміну дії договору, тобто протягом п років з моменту укладання договору. Якщо ж застрахований прожив ці п років, то компанія не платить нічого.

У типових випадках імовірність смерті застрахованого протягом терміну дії договору мала, так що премія по цьому виду страхування відносно невелика. Тому тимчасове страхування часто використовують у випадках, коли потрібне покриття на більшу суму.

Страхування зі змінною страховою виплатою (varying benefit insurance)

У розглянутих вище прикладах величина страхової виплати була фіксована й не залежала від моменту виплати. Існують численні види страхування, коли страхове відшкодування може змінюватися. Як приклад можна привести довічне страхування зі страховим відшкодуванням, що безупинно збільшується (continuously increasing whole life insurance). При цьому виді страхування компанія виплачує в момент смерті суму, рівну (ми вважаємо, що грошові суми вимірюються в нас деякою умовною одиницею). Страхування зі страховою виплатою, що зменшується виникає в кредитному страхуванні життя.

Пожиттєве страхування, відтерміноване на т років (т-year deferred whole life insurance)

При цьому виді страхування виплата фіксованої страхової суми проводиться в момент смерті застрахованого, але тільки якщо вона настала після закінчення m-річного терміну з моменту укладання договору. Якщо застрахований помре раніше, ніж через т років після укладання договору, страхове відшкодування не виплачується зовсім.

За аналогією з довічним страхуванням, відтермінованим на т років, можна ввести й інші види відтермінованого страхування, що узагальнюють раніше введені види звичайного страхування.

Дискретні договори

У всіх описаних вище прикладах страхове відшкодування (benefit) виплачується у вигляді разової суми (lump sum) у момент смерті застрахованого (звичайно, у реальності як укладачу договору, так і компанії потрібен певний час для підготовки документів) - такі види страхування часто називають неперервними. Однак можливі виплати й в інші моменти часу. Найбільш важливий (з теоретичної точки зору) випадок, коли виплата здійснюється не в момент смерті, а в наступний за ним день народження застрахованого - такі види страхування часто називають дискретними. Якщо вважати (як це звичайно робиться при актуарних розрахунках), що вік застрахованого в момент укладання договору - ціле число, то дискретні договори можна описати як договори з виплатою страхової суми в чергову, після моменту смерті, річницю укладання договору.

Наприклад, при довічному страхуванні з виплатою страхової суми наприкінці року смерті страхове відшкодування виплачується в момент

де - заокруглений час життя. Для кожного з розглянутих раніше неперервних видів страхування існує дискретний аналог з виплатою страхової суми наприкінці року смерті.

У пенсійних схемах центральну роль відіграють договори іншого типу, коли виплата страхової суми здійснюється не у випадку смерті, а у випадку дожиття до певного моменту. Як приклади можна привести

N-річне чисто накопичувальне страхування (п-year pure endowment insurance)

При цьому виді страхування виплата страхової суми фіксованої величини здійснюється в момент n, якщо застрахований дожив до цього моменту. У випадку смерті застрахованого до моменту п страхова сума не виплачується (однак, як правило таке покриття передбачає повернення всіх внесених премій у випадку смерті застрахованого до закінчення терміну дії договору).

N-річне змішане страхування (п-year endowment insurance)

При цьому виді страхування виплата фіксованої страхової суми здійснюється на наступних умовах. Якщо смерть застрахованого наступить до закінчення терміну дії договору, то страхова сума виплачується в момент смерті. Якщо ж застрахований дожив до закінчення терміну дії договору, то страхова сума виплачується в момент п закінчення терміну дії договору. Неважко зрозуміти, що цей вид страхування виконує функції як власне страхування (тобто забезпечує дохід родині застрахованого у випадку його смерті), так і нагромадження коштів (тобто забезпечує самого застрахованого). Іноді при змішаному страхуванні страхові суми, виплачувані у випадку смерті й у випадку дожиття, відрізняються.

3.2.2 Актуарна сучасна вартість зобов'язань

З математичної точки зору довгострокове страхування (long-term insurance) характеризується тим, що при розрахунках враховується зміна цінності грошей із часом. Тому теорія довгострокового страхування істотно опирається на теорію складних відсотків.

Зокрема, зпівставляючи зобов'язання страхувальника й страховика, ми повинні приводити їх до одного моменту часу. Скажімо, для того, щоб сформулювати принцип еквівалентності зобов'язань у момент укладання договору, ми повинні привести зобов'язання страхувальника й страховика саме до цього моменту. Їхні середні значення називаються актуарними сучасними вартостями зобов'язань.

Нижче ми будемо припускати, що інтенсивність відсотків не змінюється із часом; буде позначати ефективну річну процентну ставку, коефіцієнт дисконтування й т.д.

Крім того, оскільки величина страхової суми, як правило, фіксована, в актуарних розрахунках ми будемо приймати її за одиницю виміру грошових сум.

Величина зобов'язань страхової компанії по договорах страхування життя з разовою виплатою одиничної страхової суми, приведена на момент укладання договору, позначається буквою Z з додатковими індексами, що описують структуру покриття. У всіх випадках вік застрахованого на момент укладання договору вказується у вигляді індекса внизу ліворуч. Якщо страхова сума виплачується в момент смерті («неперервний» договір), то зверху ставиться риска; відсутність верхньої риски означає, що договір - «дискретний», тобто страхове відшкодування виплачується наприкінці року смерті. Термін дії договору вказується через двокрапку після віку застрахованого й обрамлений прямим кутом (зверху й праворуч).

Математичне сподівання приведеної вартості зобов'язань називається їх актуарною сучасною вартістю й позначається буквою A з тими ж індексами, що й змінна Z.

Наприклад, для довічного страхування

для тимчасового страхування



для змішаного страхування

для відкладеного страхування

3.3 Довічні ренти

3.3.1 Основні види рент

Повна довічна рента (whole life annuity)

Найпростіша довічна рента може бути описана в такий спосіб. Починаючи з деякого моменту людина раз у рік починає одержувати певну суму (яку звичайно приймають у якості умовної грошової одиниці). Виплати здійснюються тільки під час життя людини.

Рента може розглядатися як регулярний дохід для одержувача ренти (переважно в старості). З іншого боку, періодичні премії, виплачувані страхувальником за звичайним договором страхування життя, можна розглядати як ренту, одержувану страховою компанією. Тому теорія рент важлива не тільки для розрахунку пенсійних схем, але й для розрахунку періодичних премій.

Тимчасова довічна рента

Нехай, як і раніше, - теперішній момент, а вік людини, якій виплачується рента - х років. N-річна тимчасова довічна рента (n-year temporary life annuity) визначається як серія виплат одиничної суми, здійснених раз у рік довічно, починаючи з моменту , але не більш, ніж п років. Таким чином, якщо людина проживе ще п років (тобто якщо ), то здійснюється рівно п виплат з випередженням; якщо ж , то здійснюється виплата.

Відтермінована довічна рента

Нехай, як і раніше, - дійсний момент, а вік людини, якій виплачується рента - x років. Відтермінована на т років довічна рента (deferred life annuity) визначається як серія виплат одиничної суми, здійснених раз у рік, починаючи з моменту доти, поки людина жива. Однак якщо людина помре до моменту m, то ні однієї виплати не здійснюється.

Довічні ренти виплачувані із частотою р

У розглянутих вище прикладах передбачалося, що виплати здійснюються один раз у рік (на початку року). Для застосувань до пенсійних схем набагато цікавішим є випадок, коли виплати здійснюються раз на місяць (р = 12), раз у квартал (р = 4), раз у тиждень (р = 52). У стандартних рентах такого виду в якості умовної грошової одиниці розглядається алгебраїчна сума всіх виплат протягом року. Інакше кажучи, кожна окрема виплата має величину 1/р.

Неперервні ренти

Неперервні ренти можна розглядати як граничний випадок рент, виплачуваних із частотою р при . Їх можна представляти як неперервний грошовий потік, що тече зі швидкістю 1.

3.3.2. Оцінювання рент

Метод сумарної виплати

Вартість ренти в початковий момент часу позначають символом Y з відповідними індексами. Її можна підрахувати двома основними способами. При використанні методу сумарної виплати (aggregate payment technique) довічна рента розглядається як звичайна рента, але з випадковим числом виплат. Це дозволяє одержати явну формулу для сучасної вартості ренти за допомогою формул для детермінованих рент і пов'язати її із сучасною вартістю відповідного виду страхування. Наприклад, для довічної ренти

(3.1.2)

для тимчасової довічної ренти

(3.1.3)

для відкладеної довічної ренти

(3.1.4)

Актуарна сучасна вартість ренти - це просто математичне очікування (випадкової) сучасної вартості. Вона позначається символом а з відповідними індексами. Тому метод сумарного платежу негайно дає наступні формули для актуарних сучасних вартостей базових рент:

для довічної ренти

для тимчасової довічної ренти

(3.1.5)

для відкладеної довічної ренти

(3.1.6)

Метод поточного платежу

На відміну від методу сумарної виплати, що розглядає довічну ренту як суму випадкової кількості детермінованих доданків, метод поточної виплати (current payment technique) розглядає довічну ренту як суму детермінованої (можливо, нескінченної) кількості випадкових доданків.

Наприклад, для довічної ренти це означає наступне. У принципі виплати можливі в будь-який момент часу Виплата в момент k здійснюється, якщо людина ще жива, тобто якщо Тому величина виплати в момент k - це індикатор події Відповідно, приведена цінність цієї виплати в момент - це випадкова величина і, отже,

(3.1.7)

Тому для середнього значення маємо:

(3.1.8)

Для тимчасової довічної ренти відповідна формула виглядає в такий спосіб:

і, виходить,

(3.1.9)

Для відкладеної на m років довічної ренти відповідна формула має вигляд:

і, отже,

(3.1.10)

3.3.3. Актуарне нагромадження

Розглянемо пенсійний фонд, у який N людей у віці х років кожна внесли по одиничній сумі в момент До моменту t ця сума збільшиться до Одночасно скоротиться й кількість учасників фонду - у живих залишиться в середньому людей. Якщо на кошти фонду можуть претендувати тільки живі учасники фонду, то на кожного з них буде припадати сума

Це актуарне нагромадження є більшим, ніж звичайне нагромадження у теорії складних відсотків, тому що пенсійний рахунок учасника збільшується не тільки за рахунок доходів від відсотків, але й за рахунок коштів померлих учасників фонду.

Актуарний коефіцієнт дисконтувания - це середня сума, яку потрібно мати в момент людині у віці x, щоб у момент t одержати, якщо вона ще жива, одиничну суму:

(3.1.11)

Використовуючи поняття актуарного дисконтування, можна записати нові версії формул для введених вище актуарних вартостей рент:

(3.1.12)

3.4 Періодичні премії

3.4.1 Періодичні нетто-премії

Дотепер ми припускали, що придбання страховки або довічної пенсії здійснюється у вигляді одиночної премії в момент укладання договору. Однак звичайно премія виплачується у вигляді серії платежів протягом деякого зазначеному у договорі терміну.

Як і у найпростіших випадках, що обговорювалися раніше, повна періодична премія складається з декількох частин. Найважливіша складова частина премії - це нетто-премія, що визначається із принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії (пенсійного фонду) і страхувальника (учасника фонду).

Якщо символ А (або а, у випадку довічних рент), можливо з деякими індексами, використовується для позначення разової нетто-премії, то символ Р(А) використовується для позначення періодичної нетто-премії, яка вноситься на протязі всього часу дії договору. Крім того, буква Р може мати свої індекси, які характеризують процес надходження премій. Наприклад, якщо премії вносяться із частотою m, то вгорі праворуч ставиться індекс (m); якщо премії платяться неперервно, то над буквою Р ставиться риска й т.д. Якщо, крім того, період платежів обмежений строком t, то відповідна періодична премія позначається Для дискретних видів страхування часто букву А опускають і використають тільки символ Р, але з усіма індексами, які були у символа А.

В загальному виді схема розрахунку нетто-премій може бути представлена в такий спосіб.

Нехай - шукана нетто-премія.

Визначимо сучасну актуарну вартість фінансових зобов'язань страхувальника Ця величина, очевидно, є функцією від шуканої премії

Потім підрахуємо сучасну актуарну вартість фінансових зобов'язань компанії

Величина , загалом кажучи, також залежить від шуканої премії

Принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії (пенсійного фонду) і страхувальника (учасника фонду) означає, що

Корінь цього рівняння і є шуканою нетто-премією.

Для регулярних видів страховок і довічних пенсій величина періодичних премій визначається в термінах відповідних довічних рент.

3.4.2 Премії, що враховують витрати

Заключення і підтримка договорів страхування й договорів пенсійного забезпечення пов'язані з певними витратами: комісійні агентам, за підготовку документації, сплата податків, аналіз страхових випадків перед виплатою страхових відшкодувань, оплата судових витрат у спірних випадках і т.д. Деякі із цих витрат фіксовані (наприклад, оформлення документації), деякі становлять певний відсоток від величини премії (наприклад, комісійні агентам або податки), деякі становлять певний відсоток від величини страхового відшкодування (наприклад, судові витрати в спірних випадках). Крім того, частина витрат пов'язана тільки з моментом укладання договору, а частина з'являється періодично при одержанні чергових премій. Деякі витрати виникають тільки при настанні страхових випадків.

Всі ці витрати оплачуються страхувальниками за рахунок певного збільшення нетто-премій. Дуже важливо, щоб це збільшення не було довільним, а розраховувалося належним чином. Занадто велике збільшення премій зачіпає інтереси страхувальників і неприйнятно з погляду суспільства; занадто малі надбавки до премії можуть викликати фінансові проблеми в компанії (що також не в інтересах її клієнтів).

Витрати на ведення справи можна розглядати як специфічну форму фінансових зобов'язань компанії. Тому премії, що враховують витрати, визначаються із принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії або пенсійного фонду й застрахованого (учасника фонду).

Самі значні витрати виникають при укладанні договору; часто вони перевищують першу премію, виплачену страхувальником. Різницю компанія покриває із власних коштів (або за допомогою перестрахування), а потім поступово відшкодовує свої витрати за рахунок збільшених премій. Якщо ж страхувальник вирішить розірвати (lapse) договір протягом декількох перших років дії договору, то компанія зазнає збитків (хоча частково вони можуть бути зменшені, якщо зажадати від агентів повернути комісійні, або зменшити викупну суму, виплачувану страхувальникові).

3.4.3 Розрахунок захисної надбавки

Для захисту від випадкових флуктуації тривалості життя нетто-премія повинна бути певним чином «навантажена», тобто повна премія

де - захисна (ризикова) надбавка, а _ відносна ризикова надбавка [3].

Найпростіший метод розрахунку страхової надбавки до нетто-премії у випадку періодичних виплат премій полягає у наступному. Приймемо до розгляду сучасну величину збитку , пов'язану з одним договором. Цей збиток визначається як різниця між сучасною величиною у страхового відшкодування або пенсії й сучасною величиною потоку премій. У загальному випадку як , так і залежать від навантаженої премії

Відповідно, збиток також залежить від р:

Для кожного конкретного договору збиток L може бути як позитивний, так і негативний. Нам звичайно хотілося б, щоб весь портфель договорів, розглянутий як єдине ціле, не приносив би збитків (однак, в окремі моменти часу можливий негативний баланс). Іншими словами, ми б хотіли, щоб з великою ймовірністю сумарний збиток

де N _ кількість договорів, а збиток від i-го договору, був би недодатнім:

Переписуючи цю умову у вигляді (ми вважаємо ризики, пов'язані з різними договорами незалежними)

і застосовуючи гауссівське наближення, ми одержимо:

(3.1.13)

Для основних принципів призначення страхових надбавок можливе введення єдиного параметра k. Тому насправді це рівняння є рівнянням щодо однієї невідомої величини k і може бути легко розв'язане.

3.5 Резерви

3.5.1 Поняття резерву

Розглянемо деякий договір страхування й приймемо момент його підписання за початковий момент часу. Припустимо, що через час t договір усе ще зберігає чинність (так що застрахований ще живий) і позначимо актуарну приведену вартість зобов'язань компанії (застрахованого) у цей момент через (відповідно, ). Величина визначає середню суму, що має бути виплачена у майбутньому страховій компанії за розглянутим договором. Тільки частина коштів (у середньому ) надійде від застрахованого. Відсутню суму (у середньому -) компанія повинна покрити з інших джерел. Однак, оскільки необхідність цієї додаткової суми зрозуміла уже в момент t, компанія повинна передбачити резерв (reserve) величиною - в цей момент:

Підкреслимо, що резерв, що визначається цією формулою, не враховує випадкові флуктуації виплат і надходжень, пов'язаних з випадковістю часу життя.

Визначення резерву, подане вище, пов'язане з аналізом майбутнього (перспективного) розвитку подій. Тому метод розрахунку резерву безпосередньо за визначенням називають перспективним методом (prospective method).

Для конкретного договору страхування з разовою нетто-премією, що позначена буквою А (або, у випадку довічних рент, буквою а) з відповідними індексами, резерв через час t після укладання договору позначається . Крім того, буква V може мати свої індекси, які характеризують процес надходження премій. Ці індекси аналогічні індексам, які використовуються для позначення періодичних нетто-премій. Наприклад, якщо премії вносяться із частотою т, то вгорі праворуч ставиться індекс (т); якщо премії виплачуються неперервно, то над буквою V ставиться риска й т.д. Якщо період виплат премій обмежений деяким числом h, то його ставлять ліворуч угорі (а не ліворуч унизу як при позначенні нетто-премій, тому що це місце вже зайняте для вказівки моменту t). Для дискретних видів страхування букву А часто опускають і використають тільки символ V, але з усіма індексами, які були у символа А.

Особливо звернемо увагу на наступну обставину. Звичайно термін «резерв» вживається для позначення якихось запасів. Наприклад, теплова електростанція створює резервний запас вугілля для того, щоб забезпечити безперебійне функціонування агрегатів у випадку збоїв у регулярних поставках палива із шахт. Страховик (як і будь-яка інша компанія або фізична особа) може мати певний резерв фінансових коштів для того, щоб без затримок фінансувати які-небудь непередбачені витрати. Однак ми вживаємо термін «резерв» зовсім в іншому значенні. Резерв у страхуванні -це виміряна в грошових одиницях вартість майбутніх зобов'язань компанії. Оскільки величина цих зобов'язань залежить від випадкових факторів, які відносяться до далекого майбутнього, строго кажучи, виміряти їх у сьогоденні взагалі неможливо. Тому резерв - це деяка розумна й, як правило, консервативна оцінка балансу майбутніх витрат і доходів. Відповідно, немає й не може бути однозначного визначення резерву. Визначення, наведене вище, є одним з найпростіших і найпоширеніших.

Маючи на увазі ці обставини, було б розумно використати при оцінці резерву завищену смертність (у страхуванні, і занижену смертність _ при оцінці рент і пенсій), занижену процентну ставку й т.д. Інакше кажучи, оцінюючи майбутній розвиток подій, потрібно бути трохи песимістом (рівень цього песимізму звичайно приписується страховим компаніям регулювальними органами).

Якщо при оцінці резерву використовується нетто-премія й ті ж таблиця смертності й технічна процентна ставка, що й при розрахунку нетто-премій, то резерв називають нетто-резервом або резервом нетто-премій (net premium reserve). Якщо ж премія, яка використовується при розрахунку резерву, враховує витрати, і/або при розрахунку резерву використовується особлива таблиця смертності (valuation table) і/або змінена технічна процентна ставка, то резерв називається спеціальним або модифікованим.

3.5.2 Додаткові методи розрахунку резервів

Рекурентна формула для резервів

Розглянемо наступну загальну схему страхування:

договір страхування укладений у момент на термін п років;

вік застрахованого в момент укладання договору - х років;

премія вноситься в кожну річницю укладання договору й на k-й рік, дорівнює

зобов'язання страховика на k-й рік дії договору полягають у виплаті наприкінці року страхової суми якщо застрахований помер протягом цього року, і суми якщо застрахований дожив до кінця цього року.

Припустимо, що наприкінці k-го року (тобто в момент ) договір усе ще зберігає чинність (так що застрахований ще живий і його вік рівний ). Цей договір

* негайно принесе у вигляді премії суму (індекс вказує, що почався -й рік дії договору)

і, крім того,

* з імовірністю приведе до виплати страхової суми у момент (її приведена вартість у момент k дорівнює ),

* а з імовірністю буде діяти й у момент , що буде вимагати

_ виплати суми (її приведена вартість у момент k дорівнює );

_ і (у середньому) наявності суми для виконання страховиком своїх зобов'язань після моменту (її приведена вартість у момент k дорівнює ).

Тому середня сума, необхідна страховикові в момент k для виконання своїх зобов'язань за договором (тобто нетто-резерв ) дорівнює

(3.1.14)

Це і є рекурентна формула для резервів наприкінці послідовних років дії договору.

Ретроспективна формула для нетто-резерву

Якщо премія з деякого виду страхування або пенсійної схеми визначена із принципу еквівалентності, то в середньому компанія не повинна залучати власні кошти для виконання фінансових зобов'язань перед клієнтами. Це означає, що резерв у момент t, необхідний для виконання майбутніх фінансових зобов'язань по кожному ще діючому договору, повинен бути рівним сумі, яка накопичена до моменту t на кожен діючий договір.

Тому ми можемо оцінювати резерви, виходячи з минулого (ретроспективного) розвитку подій:

де _ актуарне накопичення до моменту k за рахунок премій, а - актуарна накопичена вартість у момент k всіх виплат на проміжку (0, k).

Цей метод розрахунку резервів називається ретроспективним (retrospective).

Ретроспективна формула зручна при розрахунку резервів для відтермінованих видів страхування й рент до настання періоду страхових виплат. У цьому випадку резерв - це просто актуарна накопичена вартість всіх внесених премій.

3.6 Приклади знаходження тарифних ставок для різних видів страхування життя

3.6.1 Побудова тарифних ставок по змішаному страхуванню життя

Уклавши договір страхування життя, страхувальник і страховик починають виконувати свої фінансові зобов'язання.

Фінансові зобов'язання полягають у сплаті страхових внесків. Якщо страхувальник сплачує їх одразу при укладанні договору, то такий внесок називається одноразовим. Якщо ж він виконує свої зобов'язання протягом усього терміну страхування, застосовуються річні внески, які потім можуть сплачуватися у розстрочку - щомісяця.

Для виплат за кожним видом страхової відповідальності страховик повинен створити у себе страховий фонд. Крім того, йому необхідні кошти для компенсації витрат на проведення страхових операцій. Тому тарифна ставка по змішаному страхуванню життя складається з:

- нетто-ставки на дожиття;

- нетто-ставки на випадок смерті;

- нетто-ставки на випадок утрати працездатності;

- навантаження.

Розглянемо послідовно процес побудови тарифних ставок.

1) Одноразова нетто-ставка на дожиття.

Припустимо, що особа у віці 40 років (x=40) укладає договір страхування на дожиття терміном на 5 років на суму 100грн. Яка повинна бути для нього величина одноразового страхового внеску?

Уявимо, що такі договори страхування уклали всі сорокарічні особи з наведеної у додатку 1 таблиці смертності. Після закінчення п'яти років страховій компанії необхідно буде виплатити певну кількість страхових сум тим, хто доживе до закінчення терміну дії договору. З таблиці смертності знаходимо, що до 45 років доживе 91631 чол. Виходить, і виплат буде 91631. Страхова сума кожного договору - 100грн. Отже, страховий фонд, призначений для цих виплат, повинен становити

100грн•91631=9163100грн.

Однак на початку страхування він може мати меншу величину, враховуючи, що щороку на ній буде наростати 3 складних відсотки доходу. Щоб відповідно зменшити цей фонд, тобто знайти його сучасну вартість, застосуємо дисконтуючий множник за 5 років, рівний при 3%-й нормі прибутковості 0,86261.

9163100грн•0,86261=7904182грн.

Отже, щоб через 5 років мати кошти для виплати страхових сум по дожиттю, страхова компанія на початку страхування повинна мати у своєму розпорядженні фонд у 7904182грн. Цю суму і потрібно одноразово зібрати зі страхувальників. Різниця між сумою збору і сумою виплат буде покрита за рахунок 3%-го доходу на зібрані кошти. 7904182грн є сучасною вартістю 9163100грн, що будуть виплачені через 5 років.

Щоб визначити розмір внеску кожного із застрахованих у цей загальний фонд, розділимо отриману суму на кількість осіб на початку страхування (див. Додаток 1, x=40). Одержимо:

7904182грн / 93597=84грн 45коп.

Це і буде одноразова нетто-ставка на дожиття.

Розмір тарифної ставки був, відповідно, обчислений таким чином:

91631•0,86261 / 93597•100=84,45.

91631 - це кількість осіб, що доживають до 45 років. Воно позначається символом , де x - вік на початку страхування, n - термін страхування.

0,86261 - дисконтуючий множник ;

93597 - кількість осіб на початку страхування ;

100 - страхова сума S.

Звідси отримаємо формулу

де - одноразова нетто-ставка по страхуванню на дожиття для осіб у віці x років терміном на n років.

Підставляючи в цю формулу відповідні значення, можна обчислити розмір тарифної ставки на дожиття для будь-якого віку і терміну.

2) Одноразова нетто-ставка на випадок смерті.

Припустимо, що особа у віці 40 років укладає договір страхування на випадок смерті терміном на 5 років на 100грн. Якщо, обчислюючи нетто-ставку на дожиття, необхідно було знайти кількість осіб, що доживають до 45 років, то тепер варто визначити кількість застрахованих, які не доживуть до 45 років.

По таблиці смертності (див. Додаток 1) знаходимо, що у віці 40 років звичайно помирає 335 чол., у віці 41 року - 360, 42 років - 390, 43 років _422, 44 років - 459 чол. Отже, страховій компанії необхідно виплатити у зв'язку з випадками смерті на першому році страхування 33500грн, на другому 36000грн тощо. Перемноживши ці суми на відповідні (для одного року, для двох років і т. ін.) дисконтуючі множники, знайдемо сумарну вартість майбутніх п'ятирічних виплат у випадку смерті:

33500•0,97087+36000•0,94260+39000•0,91514+42200•0,88849++45900•0,86261=179237грн.

Розділимо отриману суму на кількість осіб, що вступають у страхування:

179237/93597=1грн 91коп.

Таким чином, особи у віці 40 років, уклавши договір страхування на випадок смерті на страхову суму 100грн, повинні при укладанні договору внести у загальний страховий фонд 1грн 91 коп.

Розмір тарифної ставки був обчислений за допомогою таких дій:

(335•0/97087+360•0,94260++459•0,86261)/93597•100=1,91,

де

335 - кількість осіб, що помирають у віці 40 років, або

360 - кількість осіб, що помирають у віці 41 року, або і т.д.;

459 - кількість осіб, що помирають на останньому році страхування, або

0,97087; 0,94260, і т.д. - множники, що дисконтують, для відповідних років страхування:

93597 - кількість осіб при вступі у страхування

100 - страхова сума, або S.

Одноразова нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті для осіб у віці x років при терміні страхування n років позначається символом

Користуючись цією формулою, можна обчислити розмір тарифної ставки по страхуванню на випадок смерті для осіб будь-якого віку на будь-який термін.

3) Річна нетто-ставка.

Більшості страхувальників зручніше робити внески протягом усього періоду страхування. Для цього обчислюються річні нетто-ставки.

Визначаючи розмір річної нетто-ставки, не можна механічно ділити одноразову ставку на число років страхування. Необхідний особливий розрахунок, що враховує як втрату доходу на відсотках, так і зменшення числа застрахованих внаслідок смертності.

При одноразовій сплаті більша грошова сума надходить одразу в державний обіг, і на неї наростають відсотки. При річних же внесках частина доходу, одержаного за рахунок відсотків, втрачається. Крім того, при одноразовому внеску всі страхувальники погашають свої внески одразу, а при річній сплаті по ряду договорів внески не будуть виплачені цілком, оскільки частина застрахованих протягом терміну дії договорів може померти (див. таблицю смертності).

Для обчислення річних ставок застосовуються спеціальні коефіцієнти розстрочки (ануїтети).

Розглянемо конкретний приклад. Уявімо: всі 93597 осіб 40-річного віку, що значаться в таблиці смертності, зобов'язалися протягом п'яти років наприкінці кожного року вносити страховій компанії по 1 грн. Але оскільки протягом п'яти років частина застрахованих може померти, страхова компанія одержить відповідно до таблиці смертності: наприкінці

1-го року _ 93262 грн;

2-го року _ 92902 грн;

3-го року _ 92512 грн;

4-го року _ 92090 грн;

5-го року _ 91631грн.

Сучасна вартість суми, внесеної в першому році, дорівнює 93262 • 0,97087 (0,97087 - дисконтуючий множник за один рік). Сучасна вартість внесків другого року дорівнює 92902 • 0,94260 (0,94260 - дисконтуючий множник за 2 роки) і т.д. Перемноживши суми внесків кожного року на відповідні дисконтуючи множники, знайдемо сучасну вартість загальної суми внесків усіх застрахованих. Розділивши отриману величину на 93597 (кількість осіб, що вступили в страхування), розраховуємо сучасну вартість річних внесків у розмірі 1грн, сплачених протягом п'яти років кожним із 40-річних застрахованих. У результаті підрахунку отримаємо 4грн 53 коп. Це значить, що протягом п'яти років страхувальник буде вносити страховій компанії по 1грн і усього він внесе 5 грн. Сучасна вартість цих 5грн у момент укладання договору страхування дорівнює 4грн 53 коп.

Сучасна вартість річних внесків у розмірі 1грн називається коефіцієнтам розстрочки (ануїтетом) і позначається символом .

Якщо в наведеному розрахунку замінити цифрові значення літерними позначеннями, отримаємо формулу:

У ній враховується і норма прибутковості, і природне зменшення внаслідок смертності числа застрахованих осіб протягом терміну страхування.

Деякі значення ануїтетів наведені у таблиці 3.

Таблиця 3. Деякі значення ануїтетів

	20	30	40	50	60
5 10 15 20	4,56 8,45 11,77 14,60	4,55 8,42 11,70 14,46	4,53 8,34 11,51 14,11

Подобные документы

• Страхування життя в міжнародній системі пенсійного забезпечення

  Оцінка можливостей використання систем міжнародного страхування життя для недержавного пенсійного забезпечення майбутніх пенсіонерів України. Аналіз ефективності діяльності вітчизняних та іноземних страхових компаній на ринку страхування життя в Україні.
  
  магистерская работа [4,4 M], добавлен 02.07.2010
  

• Види страхування життя і їх місце в особовому страхуванні

  Страхування життя та пенсій. Страхування життя та його види. Договір страхування життя. Основні випадки страхування життя. Класифікація страхування життя. Змішане страхування життя. Страхування ренти і пенсій.
  
  контрольная работа [21,4 K], добавлен 26.09.2002
  

• Тенденції розвитку страхування життя в Україні

  Характеристика стану страхування життя в Україні на сучасному етапі. Динаміка зміни кількості страховиків. Проблеми, що стримують розвиток страхування життя та шляхи вирішення даної проблеми ринку. Приклади компаній-лідерів зі страхування життя.
  
  реферат [114,0 K], добавлен 04.02.2011
  

• Ринок страхування життя в України: аналіз та стратегія розвитку

  Страхування життя як економічна категорія. Організаційно-правові засади регулювання діяльності страховика в Україні. Характеристика показників діяльності суб’єктів вітчизняного ринку страхування життя. Динаміка доходів і витрат страхової діяльності.
  
  дипломная работа [247,6 K], добавлен 03.12.2011
  

• Загальні положення про страхування

  Мета страхування - захист майнових інтересів фізичних і юридичних осіб. Ризикована функція страхування. Функція створення і використання страхових резервів (фондів). Формування страхових резервів. Функція заощадження коштів. Правова база страхування.
  
  реферат [26,6 K], добавлен 02.02.2008
  

• Управління фінансовою стійкістю страхової компанії

  Основні джерела надходження та отримання інформації для маркетингових досліджень у страхуванні. Коректування тарифних ставок по видах страхування. Методи інвестування резервів. Розробки моделі оптимізації фінансової стійкості на ХФ ВАТ "СТ "Гарантія".
  
  курсовая работа [84,9 K], добавлен 24.08.2011
  

• Особисте страхування

  Страхування життя та його основні види. Змішане страхування життя. Страхування ренти і пенсій. Обов'язкове особисте страхування від нещасних випадків. Види страхових випадків. Індивідуальне та колективне добровільне страхування від нещасних випадків.
  
  реферат [46,1 K], добавлен 19.05.2010
  

• Здійснення особистого страхування

  Поділ страхування на окремі підгалузі. Страхові ризики в особистому страхуванні. Добровільне та обов'язкове страхування. Особисте страхування в Україні: страхування життя та страхування від нещасних випадків. Перспективи розвитку особистого страхування.
  
  курсовая работа [69,7 K], добавлен 22.11.2014
  

• Соціальне та особисте страхування

  Необхідність, зміст та значення соціального страхування. Види соціального страхування. Особисте страхування та його зв'язок із соціальним страхуванням. Страхування життя, страхування додаткової пенсії. Стан розвитку особистого страхування в Україні.
  
  реферат [22,0 K], добавлен 11.05.2010
  

• Розвиток страхування в Україні

  Історичні передумови виникнення страхування, його поняття, функції, класифікація та новітні форми. Етапи розвитку страхового ринку України та його проблеми в умовах фінансової кризи. Аналіз та порівняльна статистика страхування життя в Україні.
  
  курсовая работа [496,3 K], добавлен 26.02.2013
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам