Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

АНОТАЦІЯ

Дипломна робота на тему: "Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній"

Текстова частина включає: вступ, три розділи, висновки, список використаної літератури.

Обсяг роботи становить 91 сторінку.

Основний зміст роботи: Проаналізовано історію страхування життя та виникнення наукових підходів щодо обчислення тарифних ставок по страхуванню життя.

Наведені основи фінансової математики, зокрема поняття процентних ставок, приведеної вартості, детермінованих рент, які широко використовуються для побудови довгострокових моделей страхування життя. Здійснено аналіз побудови короткотермінових та довготермінових моделей страхування життя, страхових резервів, періодичних премій.

Розв'язано декілька задач знаходження тарифних ставок для змішаного страхування життя, приведено числові приклади побудови короткотермінових і довготермінових моделей страхування життя які мають практичне спрямування.

Ключові слова: брутто-ставка, нетто-ставка, навантаження, страхувальник, страховик, принцип еквівалентності страхових зобов'язань

ВСТУП

Найважливіша проблема страхового бізнесу - це обчислення вартості премії за страхування (страхового тарифу). З одного боку, вона повинна забезпечувати страховій компанії не тільки захист від збитків, а й хороший прибуток, з іншого - конкурувати з преміями інших страхових компаній.

У нашій країна з огляду на погане становище страхового бізнесу в цілому відшукання оптимальної премії є особливо важливим. Але сьогодні страхові компанії України переважно не рахують тарифи самостійно, а беруть їх з російського страхового ринку. Однак зрозуміло, що становище українського ринку значно відрізняється від російського. Крім того, одна з проблем, які постають на шляху обчислення премій за страхування, полягає у тому, що дуже важко знайти статистичні дані, які б реально описували становище українського страхового ринку. Часто беруть дані європейських страхових ринків, оскільки такої статистики немає і в Росії. І як наслідок знову неправильна оцінка премії, а неправильна оцінка премій за страхування в багатьох випадках призводить до банкрутства страхових компаній. І ще одна перешкода для правильної оцінки страхових премій - це нестабільність нашого ринку на законодавчому рівні. Швидкі зміни законодавства в галузі страхування зумовлюють коливання страхового ринку, зміни економічного становища. Оскільки змінюється ситуація на ринку, то повинна змінюватися і стратегія поведінки страхової компанії.

Загальноприйнята назва наукового напряму, що займається вивченням математичних моделей і методів страхової справи - актуарна математика (aktuarial mathematics) яка походить від actuary - актуарій, статистик страхового товариства. Разом з відповідними економічними і юридичними дисциплінами актуарна математика утворює більш широку область знань - актуарну науку (actuerial science), яка є теоретичною основою страхового бізнесу.

Актуарна освіта у світі має вікові традиції. Однак у нашій країні з майже 70-річною відсутністю вільних ринкових відносин актуарна освіта у актуарна наука практично були відсутніми до 90-х років ХХ століття. У теперішній час з'явився великий інтерес до цієї сфери діяльності, що пов'язано з великою потребою у спеціалістах-актуаріях зі сторони страхових компаній.

Дослідження, виконані в Україні в останнє десятиліття в області актуарной математики носять фрагментарний й епізодичний характер, відносяться в першу чергу до прикладних робіт. Відсутність статистичних даних (часто вони є комерційною таємницею) і недостатнє цільове фінансування, очевидно, є основними причинами цього, крім зазначеної вище «молодості» і нерозвиненості цієї області в цілому, що виражається в недостачі інформаційного забезпечення й кваліфікованих кадрів. Основною рисою сучасного стану актуарної науки в Україні можна назвати воістину величезний розрив, що існує між теорією й практикою. Украй мало таких робіт, де досить передові теоретичні розробки були б доведені до практичної реалізації; навіть демонстрації їхнього застосування одиничні, не говорячи вже про систематичне використання.

Розрізняють актуарну математику у майновому і особистому страхуванні. Під майновим страхуванням (non-life insurance) розуміють всі види страхової діяльності, не пов'язані з особистим страхуванням (страхування житла, автомобілів, підприємств і т.д.). У найзагальнішому плані особисте страхування можна визначити як галузь страхової діяльності, яка забезпечує страховий захист громадян або зміцнення досягнутого ними сімейного добробуту.

Особисте страхування включає:

­ страхування життя;

­ страхування від нещасних випадків;

­ страхування додаткової пенсії;

­ добровільне медичне страхування;

­ страхування від нещасних випадків на транспорті.

Особисте страхування має багато спільного з соціальним, насамперед у об'єктах страхового захисту громадян. Головна відмінність між ними - в джерелах формування страхових фондів: для соціального - це в основному кошти підприємств, установ, організацій, і лише незначною мірою - індивідуальні доходи, тоді як для особистого індивідуальні доходи є головним джерелом, а кошти підприємств, установ і організацій - тією мірою, якою особисте страхування є обов'язковим.

Необхідність особистого добровільного страхування зумовлюється як ризиковим характером відтворення робочої сили, так і підвищенням ступеня ризику життя у зв'язку з урбанізацією, погіршенням довкілля, а також зростанням частки людей похилого віку у загальній чисельності населення. Це ускладнює захист особистих інтересів громадян з боку держави та за її рахунок і передбачає формування захисних механізмів за рахунок перерозподілу індивідуальних доходів.

Особисте страхування регламентується Законом України "Про страхування". У даній дипломній роботі зосередимо увагу на добровільному особистому страхуванні.

У дипломній роботі викладаються основні математичні моделі й методи, які використаються для розрахунків характеристик тривалості життя, разових і періодичних премій, страхових надбавок, резервів і т.д. для різних видів страхування життя й пенсійних схем.

Даний поглиблений виклад основних математичних моделей і методів, необхідних для визначення характеристик тривалості життя, разових і періодичних премій, страхових надбавок, резервів і т.д. для різних видів страхування й пенсійних схем.

Задачі, які розв'язані у дипломній роботі мають яскраво виражену практичну спрямованість і дозволяють одержати певне уявлення не тільки про актуарні розрахунки, але й про розробку страхових продуктів, андеррайтингу й т.д.

При актуарних розрахунках у довгостроковому страхуванні життя широко використовується теорія складних відсотків. Тому, у дипломну роботу включено розділ „Основи фінансової математики та її застосування до актуарних розрахунків”.

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

тарифний ставка страхування життя

1.1 Історія страхування життя і виникнення наукових методів обчислення розмірів тарифних ставок

Історія страхування життя налічує приблизно 20 століть. Зародковими формами страхування життя були [1] грошові фонди для благодійних цілей у древній Індії, комунальні установи древніх іудеїв, колегії Римської імперії. Організації, подібні до римських колегій, існували в епоху середніх віків у цехах і гільдіях. Надаючи матеріальну підтримку своїм членам у скрутних випадках, вони піклувалися також про забезпечення близьких померлого.

У докапіталістичних формаціях страхування знаходилося в зародку. Господарство тієї епохи мало натуральний характер. Кожен рабовласник чи феодал у натуральній, а іноді й у грошовій формі зберігав у себе спеціальний "страховий фонд".

Страхування засноване на участі окремих господарств та осіб у створенні єдиного страхового фонду. За самою своєю природою воно несумісне з замкнутістю натурального господарства. Поява страхування в докапіталістичних формаціях припускає порушення цієї замкнутості. А порушувалася вона насамперед у сфері торгівлі й ремесла, простого товарного виробництва. Але оскільки товарне виробництво і торгівля в економіці тієї епохи відігравали другорядну роль, страхування не одержало широкого поширення.

У рабовласницькому суспільстві та при феодалізмі визначилися лише найбільш загальні риси страхової справи. Не існувало ще ні страхових премій, що регулярно вносилися б членами цехів і гільдій у загальну касу, не було й заздалегідь створених страхових фондів. Страхування не відокремилося ще від ремесла і торгівлі, не виділилося в особливі спеціалізовані страхові організації. Те саме об'єднання ремісників і торговців виступало одночасно у ролі страхувальника й у ролі страховика.

Слідом за розвитком товарного виробництва розвивається і страхування. Поступово уточнюється перелік страхових випадків, при настанні яких виплачується допомога, форми і розміри виплат. Збір коштів для виплати допомоги після настання страхового випадку змінюється попередньою акумуляцією страхового фонду, розкладка збитку - системою регулярних внесків. Призначення регулярних внесків і утвореного ними фонду поступово здобуває стійкий характер.

При капіталізмі страхування поступово перетворюється в особливу галузь економіки, здобуває загальне поширення як необхідний її елемент.

У 1706 р. в Англії виникло перше товариство страхування життя - "Емікебл". Система тарифних ставок у нього була недосконалою, вони ще не диференціювалися за віком.

Через деякий час з'являються товариства "Рефьюдж іксчендж" і "Лондон іншуренс корпорейшен". Вони вперше застосували поліси з фіксованими страховими сумами.

У 1762 р. було створено товариство "Еквітебл". Для розрахунку тарифних ставок воно використовувало відомості про смертність населення, зібрані й оброблені відомим ученим Р. Прайсом. Більш точні дані про смертність, а також диференціація тарифних ставок за віковими групами дозволили їх істотно знизити. Зниження тарифів сприяло інтенсивному розширенню операцій "Еквітебла" і разом з тим зростанню його капіталу. Такий успіх звернув на себе увагу і викликав появу нових товариств.

Трохи пізніше ніж в Англії товариства страхування життя комерційного типу виникають і в інших країнах. Так, у Франції перше товариство з'явилося у 1829р., у Німеччині - у 1827р., у СШ А - у 1830 р., у Росії - у 1835 р. До кінця XIX ст. операції по страхуванню життя одержали широке поширення у всіх країнах світу.

Значно вплинули на розвиток страхування життя статистика і математика.

Виникла статистика у так званій школі "політичних арифметиків". Один із засновників цієї школи англійський учений Д. Граунт у 1662 р. опублікував роботу "Природні і політичні спостереження, виконані над бюлетенями смертності", яка поклала початок страховій математиці _ теорії актуарних розрахунків.

Майже одночасно з Д. Граунтом питання залежності страхування життя від смертності людей досліджував голландець Я. де-Вітт, який написав роботу про ціну довічної ренти, де розробив метод розрахунку страхових внесків у залежності від віку застрахованого і норми зростання грошей.

Своє продовження теорія актуарних розрахунків знайшла в працях англійського вченого Е. Галлея. Він склав таблицю смертності на основі матеріалів про смертність населення Бреславля за період 1687-1691 рр., дав визначення основних функцій таблиці смертності, обчислював ймовірності дожити і вмерти, увів у науку поняття ймовірної тривалості життя, застосував принцип розрахунку середньої тривалості життя при обчисленні щорічної ренти в залежності від віку, показав, що таблиця смертності дозволяє регулювати розміри страхових внесків. Форма таблиці Галлея застосовується в страхуванні життя дотепер.

Потім англійський математик А. Муавр, вивчивши таблицю смертності Е.Галлея, зумів спростити актуарні розрахунки. Він склав три інші таблиці на основі даних про смертність застрахованих у Голландії і Франції, а також про смертність населення Лондона за 1728-1737 рр.

До кінця XVII - початку XVIII ст. були сформульовані основні положення математичної теорії ймовірностей і нагромадилися статистичні дані про смертність населення. Страхування життя було поставлено на наукову основу.

Розвиток страхової справи у свою чергу стимулює розширення наукових досліджень. У середині XVIII ст. починається новий підйом у статистиці. Кілька праць ("Про довічні ренти", "Про овдовілі каси", "Про страхування сиріт" та ін.) присвячує страхуванню життя один з найвідоміших математиків світу Леонард Ейлер. Виходять друком роботи французького вченого Е. Дювильяра "Дослідження про ренти, позики і платежі", "План страхової асоціації".

Проблемами, пов'язаними з актуарними розрахунками, займалися майже усі великі математики того часу: Л. Ейлер, Н. Фус, С. Лакруа та ін. В ці роки були складені таблиці смертності В. Керсебума, А. Депарс'є. У цей час у теорії актуарних розрахунків застосовуються новітні досягнення математики і статистики. Страхові товариства одними з перших стали використовувати обчислювальну техніку [2].

1.2 Особливості побудови тарифної ставки по страхуванню життя і її структура

Тарифна ставка [4] - ціна страхового ризику та інших витрат, необхідних для виконання зобов'язань страховика перед страхувальником за підписаним договором страхування.

Тарифна ставка, за якою укладається страховий договір, називається брутто-ставкою. Вона складається з двох частин: нетто-ставки і навантаження.

Нетто-ставка - ціна страхового ризику (вибуху, пожежі і т.д.).

Навантаження - вартість, яка покриває витрати страховика з організації та ведення страхової справи, а також містить елементи прибутку.

Для розрахунку тарифів можуть бути використані кілька методів [8]:

· на основі теорії імовірності та методів математичної статистики з використанням часових рядів;

· на базі експертних оцінок;

· за аналогією до інших об'єктів або компаній;

· з використанням математичної статистики і розрахунку дохідності.

У даній дипломній роботі наведені основи розрахунків тарифної ставки на основі теорії ймовірностей та методів математичної статистики.

Страхування життя пов'язане з наступними ризиками: смерть страхувальника (застрахованої особи); тимчасова і постійна втрата працездатності; закінчення трудової діяльності у зв'язку з виходом на пенсію за віком, дожиття страхувальника до закінчення терміну страхування або обумовленого договором віку. Настання цих подій, крім останньої, може суттєво знизити сімейний дохід страхувальника, і в зв'язку з цим виплата страхових винагород за договорами страхування життя є матеріальною підтримкою для людини і її сім'ї у важкі періоди часу.

Імовірність настання страхових випадків в житті сприяє розвитку відповідних видів страхування.

Страхування дітей дозволяє забезпечити інтереси дитини (застрахованої особи). При цьому виді страхування страхувальниками виступають батьки або інші родичі дитини, а застрахованими - діти від дня їх народження до 18 років. Термін страхування визначається як різниця між віком 18 років та віком (у повних роках) застрахованого при укладанні договору.

Страхова сума виплачується застрахованому у разі нещасного випадку, що стався в період дії договору (певний відсоток), та при дожитті дитини до 18 років.

Страхування до шлюбу. Договір може бути укладено на користь дітей, котрі постійно проживають в Україні. Вік дитини на день підписання договору не може перевищувати 15 повних років.

Страхова сума виплачується застрахованому при його вступі до законного шлюбу в період з дня укладання договору страхування до досягнення 21 року. При не вступі до шлюбу страхова сума виплачується по дожитті застрахованого до 21 року.

Пенсійне страхування проводиться для осіб похилого віку з метою забезпечення громадян додатковим доходом при виході на пенсію.

Страхування на випадок смерті гарантує виплату відповідної суми у випадку смерті страхувальника.

Змішане страхування життя - вид страхування, який об'єднує в одному договорі кілька самостійних договорів страхування, зокрема три випадки:

­ дожиття до закінчення строку страхування;

­ смерть застрахованого;

­ втрата здоров'я від нещасних випадків.

Страхувальниками в цьому виді страхування є тільки фізичні особи.

Договори змішаного страхування життя укладаються з громадянами віком від 16 до 75 років строком на 3, 5, 10, 15 або 20 років. Розмір страхової суми визначає страхувальник.

При страхуванні на дожиття до закінчення договору страхування страхувальник отримує повну страхову суму, на яку було укладено договір, незалежно від того, отримував він страхові суми у зв'язку з нещасними випадками впродовж дії договору, чи ні.

У разі смерті застрахованого в період дії страхового договору страхова сума в розмірі 100% виплачується правонаступнику, зазначеному в договорі страхування. Природна смерть як наслідок хвороби, старості і т. ін. не є страховим випадком.

При страхуванні від нещасних випадків з настанням страхової події застрахований отримує певний відсоток від страхової суми залежно від ступеня втрати здоров'я. Отримання страхової суми за страховим договором від нещасних випадків не залежить від виплат, на які має право страхувальник з державного соціального та пенсійного забезпечення.

Нещасними випадками за цим видом страхування вважаються:

­ утоплення;

­ опіки, ураження блискавкою або електричним струмом;

­ обмороження;

­ гострі отруєння газами або парами, отруйними та хімічними речовинами, ліками, харчовими продуктами.

Побудова тарифів по страхуванню життя має свої особливості:

розрахунки проводяться з використанням демографічної статистики і теорії ймовірності;

при розрахунках застосовуються способи довгострокових фінансових розрахунків;

тарифні нетто-ставки складаються з кількох частин, кожна з яких покликана сформувати страховий фонд за одним з видів страхової відповідальності, який включений в умови страхування.

Тарифна ставка визначає, скільки грошей кожний із страхувальників повинен внести в загальний страховий фонд з одиниці страхової суми. Тому тарифи повинні бути розраховані так, щоб сума зібраних внесків виявилася достатньою для виплат, передбачених умовами страхування. Таким чином, тарифна ставка - це ціна послуги, що надається страховиком населенню, тобто своєрідна ціна страхового захисту. Від чого ж залежать її розміри, як установити ціну на той чи інший вид страхування життя?

Отже, для розрахунку обсягу страхового фонду потрібно мати відомості про те, скільки осіб з числа застрахованих доживе до закінчення терміну дії їх договорів страхування і скільки з них щороку може вмерти; у скількох і в якому ступені настане втрата здоров'я. Кількість виплат, помножена на відповідні страхові суми, дозволить визначити розміри майбутніх виплат, тобто з'явиться можливість дізнатися, у яких розмірах потрібно буде акумулювати страховий фонд.

Тривалість життя окремих людей коливається в широких межах. Вона відноситься до категорії випадкових величин. Теорія ймовірності і статистика досліджують випадкові явища, що мають масовий характер, у тому числі смертність населення. Установлено, що демографічний процес зміни поколінь, що виражається в зміні рівня повікової смертності, підпорядкований закону великих чисел, настільки одноманітному у своїх проявах і настільки достовірному в результатах, що він може бути основою фінансових розрахунків у страхуванні.

Демографічною статистикою виявлена і виражена за допомогою математичних формул залежність смертності від віку людей. Розроблено спеціальну методику складання так званих таблиць смертності, де на конкретних цифрах показується послідовна зміна смертності слідом за віком. Цими таблицями страхові компанії користуються для розрахунку тарифів.

Крім закономірностей, пов'язаних із процесом дожиття і смертності, при побудові тарифів враховується довгостроковий характер операцій страхування життя, оскільки ці договори укладаються на тривалі терміни від трьох і більше років. Протягом усього часу їхньої дії (чи на самому початку терміну страхування при одноразовій сплаті) страхові компанії одержують внески. Виплати ж страхових сум проводяться протягом терміну страхування чи після закінчення визначеного періоду від початку дії договору, якщо настане смерть застрахованого чи він втратить здоров'я.

Тимчасово вільні кошти акумулюються страховою компанією і використовуються як кредитні ресурси. За користування ними сплачується позичковий відсоток. Але якщо при ощадній операції дохід від відсотків приєднується до внеску, то в страхуванні на суму цього доходу заздалегідь зменшуються (дисконтуються) внески страхувальника, що підлягають сплаті. Для того щоб заздалегідь понизити тарифні ставки на той дохід, що буде утворюватись протягом ряду років, використовуються методи теорії довгострокових фінансових розрахунків.

Тарифні ставки в страхуванні життя складаються з кількох частин. Візьмемо для прикладу змішане страхування життя. У ньому поєднуються кілька видів страхування, що могли б бути і самостійними:

­ страхування на дожиття;

­ страхування на випадок смерті;

­ страхування від нещасних випадків.

По кожному з них за допомогою тарифу створюється страховий фонд, тому тарифна ставка в змішаному страхуванні складається з трьох частин, що входять у нетто-ставку, і четвертої частини - навантаження.

Аналогічно складається структура тарифних ставок і по інших видах страхування життя.

Структура тарифної ставки наведена на рис. 1.

Рис. 1. Структура тарифної ставки змішаного страхування життя

РОЗДІЛ 2. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ ДО АКТУАРНИХ РОЗРАХУНКІВ

2.1 Основи фінансової математики

2.1.1 Процентні ставки

Ефективна процентна ставка

Поняття відсотків на капітал виникає в наступній найпростішій ситуації.

Припустимо, що в момент t ми позичаємо суму C (наприклад, кладемо на свій рахунок у банку, вносимо плату за страховку, перераховуємо пенсійний внесок у пенсійний фонд і т.д.). Через час h ми можемо розраховувати на певний прибуток від інвестування нашого капіталу С. Сума є винагородою за те, що наші засоби використовувалися іншою людиною. Звичайно її вимірюють у відносних одиницях; величина називається ефективною процентною ставкою (effective rate of interest) або нормою прибутковості за розглянутий проміжок часу (t, t+h).

Прості й складні відсотки

Припустимо тепер, що сума C може інвестуватися на два послідовних проміжки часу; нехай k = 1, 2, - ефективна процентна ставка на k-му проміжку. Існують дві схеми обчислення доходу на об'єднаному інтервалі:

1. Принцип простих відсотків (simple interest) припускає, що відсотки нараховуються тільки на основний капітал. Тому Відповідно, підсумкова процентна ставка

2. Принцип складних відсотків (compound interest) припускає, що відсотки нараховуються не тільки на основний капітал, але й на вже зароблені відсотки. Тому наприкінці другого інтервалу часу основний капітал C виросте до величини

 (2.1.1)

Відповідно, підсумкова процентна ставка i визначається з умови тобто

Принцип складних відсотків фактично означає, що інвестор може вільно розпоряджатися своїми засобами. Тому в актуарной математиці прийнято використовувати принцип складних відсотків при визначенні доходу від вкладення засобів.

Процентні ставки, які використовуються в більшості розрахунків в актуарній математиці, визначаються, виходячи з консервативних оцінок прибутковості реальних майбутніх інвестицій страховика. Вони набагато нижчі від реальних процентних ставок, які є на ринку для різних видів інвестиційних проектів. Їхнє призначення полягає в тому, щоб хоч як-небудь урахувати збільшення об'єму грошей, внесених як плату за страхове покриття. Тому їх називають технічними процентними ставками [6]. Насправді страхова компанія заробляє набагато більші відсотки; більше того, це одине із самих головних (якщо не саме головне) джерело доходу страховика.

Накопичення

Виберемо деякий проміжок часу в якості одиничного (як правило, це буде один рік) і припустимо, що процентна ставка за цей проміжок дорівнює i. Припустимо, що в момент сума інвестується на t одиниць часу. З принципу складних відсотків слідує, що в момент капітал C перетвориться в суму Величину деколи називають коефіцієнтом нагромадження або відсотковим множником за час t (див. Додаток 2).

Інтенсивність відсотків

Інтенсивність відсотків (force of interest) - це миттєва відносна швидкість нагромадження засобів

(2.1.2)

Оскільки коефіцієнт нагромадження за час t задається формулою

Інтенсивність відсотків зручно використати для вивчення нагромаджень у випадку, коли процентні ставки змінюються. У цьому випадку

і

Номінальні процентні ставки

Розглянемо проміжок часу довжиною 1/р. Якщо за одиницю виміру прийняти один рік, та найцікавішими є випадки: р = 12 (розглянутий проміжок часу дорівнює одному місяцю), р = 4 (розглянутий проміжок часу дорівнює одному кварталу), р = 2 (розглянутий проміжок часу дорівнює півріччю).

Ефективна процентна ставка за цей проміжок часу рівна

(2.1.3)

Однак у фінансовій математиці прийнято характеризувати прибутковість вкладення засобів на проміжку 1/р не ефективною (тобто реальною) процентною ставкою , а так званою номінальною процентною ставкою (nominal rate of interest)

(2.1.4)

Іноді величину називають номінальною процентною ставкою, виплачуваною ( нараховуваною) із частотою р (nominal rate of interest payable (convertible) p thly).

2.1.2 Приведена вартість

Припустимо, що в момент у майбутньому ми повинні будемо виплатити деяку суму С. Щоб до моменту t мати точно необхідну суму C, у даний час потрібно мати у своєму розпорядженні суму тому що після інвестування на час t сума Р перетвориться в суму Величина Р називається сучасною вартістю (present value) суми С у момент t. Іноді вживається термін сучасна цінність, приведена вартість і т.д.

Величину називають коефіцієнтом дисконтування (обліку) (discount factor). З її допомогою формулу для приведеної вартості можна записати у вигляді

Облікова ставка

Припустимо, що в момент ми позичаємо суму С. Тоді в момент нам повинні повернути суму що складається із двох частин: повернення основного капіталу С и відсотків на капітал .

Якщо суму що повинна бути виплачена в момент t=1, привести до моменту то ми одержимо суму Тому, якщо відсотки на капітал можуть бути виплачені заздалегідь, у момент одержання позики, то ці відсотки, виплачувані наперед, становлять від суми позики С. Величина d називається ефективною обліковою ставкою [6] (effective rate of discount) за одиницю часу.

Облікова ставка d може бути виражена й через інтенсивність відсотків і коефіцієнт дисконтування v.

Припустимо тепер, що сума C=1 дається в борг на час 1/р із завчасною виплатою відсотків. Як ми бачили, ефективна процентна ставка рівна Саме ця сума повинна бути виплачена в момент t = 1/р у вигляді відсотків. Якщо її привести до моменту то вона перетвориться в суму Оскільки для ефективної облікової ставки за час 1/р одержимо формулу

(2.1.5)

Однак у фінансовій математиці прийнято працювати не з ефективними (тобто реальними) дисконтними ставками за час 1/р, а з так званими номінальними (тобто умовними, що не існують реально) обліковими ставками (nominal rate of discount)

Величину називають номінальною обліковою ставкою, що нараховується із частотою р (nominal rate of discount convertible p thly).

2.1.3 Оцінювання серії платежів. Детерміновані ренти

Якщо ми хочемо оцінити серію виплат, які повинні бути здійснені в різні моменти часу, то всі ці виплати повинні бути приведені до деякого фіксованого моменту після чого ці виплати можна додавати, порівнювати й т.д. З погляду застосування до страхування й пенсійних схем найбільш важливою є задача визначення сучасної вартості а серії з п виплат величиною відповідно, які будуть зроблені в деякі моменти у майбутньому. Величина а може розглядатися, наприклад, як сума, яку людина повинен внести в пенсійний фонд у момент укладання договору (цей момент звичайно приймають за початковий) для того, щоб у майбутньому, у моменти , одержувати пенсію величиною.

Як слідує з вищесказаного

Якщо плата за пенсії відбувається у вигляді декількох платежів величиною зроблених у моменти то справедливе співвідношення між внесками і пенсійними виплатами знаходиться із принципу еквівалентності зобов'язань:

Ліва частина цієї формули виражає сучасну цінність всіх внесків у пенсійний фонд або страхову компанію, а права - сучасну вартість всіх пенсійних виплат.

Описана вище загальна модель детермінованої пенсійної схеми на практиці як правило не застосовується. Реально використовуються схеми, що мають ту чи іншу форму регулярності як за величиною внесків і виплат, так і за моментами здійснення цих платежів. Особливо важливим є випадок серії платежів фіксованої величини, які здійснюються через рівні проміжки часу фіксовану кількість разів. Такі серії платежів звичайно називають постійними рентами (level annuity). Часто, якщо немає небезпеки плутанини з термінами, слово «постійні» опускають.

Детерміновані постійні ренти

Розглянемо п послідовних одиничних проміжків часу Під моментом ми звичайно будемо мати на увазі теперішній момент, а за одиничний проміжок часу приймемо один рік (цей вибір, звичайно, умовний, тому нижченаведені формули можна застосовувати й у випадку, якщо за одиничний проміжок часу обраний один тиждень, один місяць, один квартал і т.д.).

Серія з п виплат, кожна величиною 1, зроблених наприкінці цих проміжків, тобто в моменти 1, 2, ..., n, називається рентою із запізненням (annuity payable in advance чи annuity-due).

Серія з п виплат, кожна величиною 1, зроблених на початку цих проміжків, тобто в моменти 0, 1, 2, ..., п-1, називається рентою із випередженням (annuity payable in advance чи annuity-due).

Відмінність між рентою із запізненням і рентою із випередженням умовна й пов'язана з вибором початку відліку. Зрозуміло, що якщо за початковий момент вибрати момент то рента із запізненням може розглядатися як рента із випередженням.

Приведена цінність ренти із випередженням у фінансовій математиці позначається . Це - цінність серії з п платежів величиною 1, здійснених через одиничні інтервали часу. Вартість цієї серії розраховується в момент здійснення першого платежу.

У випадку, коли цінність даної серії платежів розраховується не на момент першого платежу, а на одиницю часу раніше (умовний нуль), то приведена цінність називається приведеною цінністю із запізненням і позначається .

Щоб підрахувати ці величини, потрібно привести кожний з п платежів до початкового моменту часу , а потім додати отримані значення:

(2.1.6)

(2.1.7)

Величини і дозволяють підрахувати розмір суми, яку потрібно інвестувати в даний момент для того, щоб одержувати фіксований регулярний дохід у майбутньому. З їхньою допомогою також можна визначити величину регулярних виплат у випадку, коли борг повертається не одним платежем, а серією однакових платежів.

Розглянуті вище рентні платежі починалися на першому ж проміжку (0, 1) (на його початку, тобто в момент для ренти з випередженням, і наприкінці, тобто в момент , для ренти із запізненням). Для застосування на практиці важливі також так звані відтерміновані ренти (defferred annuities). Щоб дати означення таких рент, розглянемо послідовні одиничні проміжки часу (0,1), (1, 2), … , (m-1, m), (m, m+1), … , (m+п-1, m+п). Як і раніше, під моментом ми будемо мати на увазі дійсний момент часу.

Серія з п виплат, кожна величиною 1, зроблених наприкінці проміжків (m, m+1), …, (m+n-1, m+n), тобто в моменти m+1, ..., m+n, називається відтермінованою рентою із запізненням (deferred immediate annuity). Її цінність у даний момент позначається Щоб підрахувати цю величину, приведемо кожний з п платежів у моменти m+1, …, m+n до початкового моменту часу, після чого додамо одержані значення:

Серія із n виплат, кожна величиною 1, зроблених на початку проміжків (m, m+1), …, (m+n-1, т+п), тобто в моменти m, … m+n-1, називається відтермінованою рентою із випередженням (deferred annuity-due). Її вартість у теперішній момент позначається . Щоб підрахувати цю величину, приведемо кожний з п платежів у моменти m,. . . , m+n-1 до теперішнього моменту часу, а потім додамо отримані значення:

Часто корисно знати цінність ренти не в початковий момент часу, а наприкінці останнього платіжного періоду. Цю цінність можна інтерпретувати як загальну суму, накопичену на банківському рахунку після серії регулярних внесків. Її позначають так само, як і відповідну приведену цінність у початковий момент, але із заміною букви а на букву s.

Отже, - це приведена вартість ренти із запізненням в момент останнього платежу, а _ це приведена цінність ренти з випередженням, у момент , тобто через одиницю часу після останнього платежу.

Формули для нагромаджень можна одержати безпосередньо, привівши кожний з п платежів до моменту і потім додавши отримані значення:

(2.1.8)

(2.1.9)

Детерміновані постійні ренти, виплачувані із частотою р

Розглянемо п послідовних одиничних проміжків часу (0,1), (1, 2), … , (п_1, п). Під моментом ми, як правило, будемо мати на увазі дійсний момент, а як одиничний проміжок часу будемо розглядати один рік.

Розіб'ємо кожний з п одиничних проміжків на р рівних частин довжиною 1/р кожна. Якщо, як ми відзначали, за одиниця часу прийнято один рік, то найцікавішими є випадки:

р = 12 (проміжок часу 1/р відповідає одному місяцю),

р = 4 (проміжок часу 1/р відповідає одному кварталу),

р = 2 (проміжок часу 1/р відповідає одному півріччю).

Серія з np виплат, кожна величиною 1/р, зроблених наприкінці цих підпроміжків, тобто в моменти

1/р, ..., р/р = 1; … ; п-1+1/р, …, п-1+р/р=п,

називається рентою із запізненням, виплачуваною із частотою р (annuity payable p thly in arrear чи immediate annuity payable p thly). Її цінність у даний момент позначається а цінність у момент останнього платіжного періоду називається нагромадженням і позначається

Зазначимо, що кожна виплата має величину 1/р, так що як одиниця виміру грошових сум розглядається алгебраїчна сума всіх виплат за одиничний проміжок часу (у типовому випадку - за рік).

Серія з np виплат, кожна величиною 1/р, зроблених на початку підпроміжків, тобто в момент

0; 1/p; …; (p-1)/p; …; n-1, n-1+1/p; …; n-1+(p-1)/p,

називається рентою з випередженням, виплачуваною із частотою p (annuity payable p thly in advance чи p thly annuity-due). Її цінність у даний момент позначається а цінність у момент закінчення останнього платіжного періоду називається нагромадженням і позначається .

Величини і , так само як і величини , оцінюють ту саму серію платежів, але в різні моменти часу. Тому між ними негайно може бути встановлений простий зв'язок:

Отже, нам досить мати формулу для величини Із цією метою візьмемо за одиничний відрізок часу р-у частку початкового одиничного відрізка (наприклад, якщо р=12 і вихідний одиничний проміжок часу був один рік, то новим одиничним відрізком часу буде один місяць). Ефективна процентна ставка для цього нового одиничного відрізка дорівнює

де - номінальна процентна ставка для основного одиничного проміжку, що нараховується із частотою р. Відповідно, нова облікова ставка дорівнює а нове значення коефіцієнта дисконтування рівне

Тепер на ренту з випередженням, виплачувану із частотою р на проміжку (0, n), можна дивитися як на звичайну ренту з випередженням, виплачувану на проміжку (0, np). Оскільки кожна виплата дорівнює 1/р, ми маємо:

(2.1.10)

де символом позначено ефективну процентну ставку на проміжку, що розглядається в якості одиничного. Звідси випливає, що:

(2.1.11)

Для вірна аналогічна формула:

(2.1.12)

Неперервні ренти

Розглянемо тепер ренти із запізненням і з випередженням, які виплачуються із частотою р на проміжку [0, п], і припустимо, що . Неважко показати, що

Той факт, що ці границі співпадають, легко пояснити інтуїтивно.

Якщо то ми маємо справу з більшою кількістю малих платежів (величиною 1/р кожний), які здійснюються через малі проміжки часу 1/р. При можна розглядати надходження засобів як неперервний процес, подібний до плину рідини. При цьому на нескінченності різниця між платежами на початку й наприкінці проміжків зникне. Неперервний потік платежів, який з'явився у цьому міркуванні, називається неперервно виплачуваною рентою [7] (continuously payable annuity). Приведена вартість неперервного потоку платежів у момент позначається

Розглядаючи надходження засобів у граничному випадку як неперервний потік, легко безпосередньо визначити величину як інтеграл

Можна ввести й довільну неперервну ренту на проміжку [0, n], що характеризується довільною швидкістю р(t) надходження засобів у момент t. Для такої ренти приведена вартість у момент рівна інтегралу



Неперервні ренти часто використаються як наближення для рент, які виплачуються достатньо часто:

Можна одержати і більш точні формули:

Сума, накопичена до моменту t при неперервному надходженні засобів зі швидкістю 1, позначається Вона може бути підрахована приведенням суми до моменту t:

Детерміновані зростаючі ренти

Розглянемо п послідовних одиничних проміжків часу (0,1), (1, 2), …, (п-1, п). Під моментом ми будемо мати на увазі поточний момент, а за одиничний проміжок часу приймемо один рік. Серія з п виплат величиною 1, 2, . . . , n, зроблених наприкінці цих проміжків, тобто в моменти …, називається зростаючою рентою із запізненням (increasing immediate annuity). Її приведена цінність у момент у фінансовій математиці позначається Для підрахунку цієї величини потрібно всі платежі привести до початкового моменту, а потім додати:

(2.1.13)

Серія з п виплат величиною 1, 2, …, n, зроблених на початку проміжків (0,1),.. ., (п-1, n), тобто в моменти називається зростаючою рентою з випередженням (increasing immediate annuity). Її приведена цінність у момент позначається

(2.1.14)

2.1.4 Прибутковість інвестиційних проектів

Інвестиційний проект _ це угода, згідно якої інвестор у певні моменти часу вкладає кошти в розмірі відповідно, а потім у моменти одержує дохід у розмірі відповідно.

Моменти коли інвестор вкладає кошти, не зобов'язані передувати моментам , коли інвестор одержує дохід (хоча для застосувань до страхування це, як правило, має місце), а можуть чергуватися.

Для спрощення теоретичних міркувань зручно розглядати об'єднану послідовність моментів часу і вважати, що

1. якщо то в момент проект приносить прибуток у розмірі

2. якщо то в момент проект приносить негативний дохід у розмірі

Послідовність називається чистим грошовим потоком.

Найпростішою мірою прибутковості інвестиційного проекту є внутрішня ставка прибутковості (internal rate of return - IRR). Ця величина задовольняє наступне рівняння прибутковості (yield equation):

Загалом кажучи, рівняння прибутковості має декілька дійсних коренів. Інтерпретувати як процентну ставку можна лише корінь, що більше, ніж -1; при цьому лише позитивний корінь означає власне дохід. Зрозуміло, що якщо не робити ніяких припущень про структуру інвестиційного проекту, то рівняння прибутковості може мати кілька таких коренів. У цьому випадку вважають, що внутрішня ставка прибутковості не визначена.

У застосуваннях до страхування життя доводиться мати справу із проектами, у яких всі негативні платежі передують позитивним. Для таких проектів рівняння прибутковості має єдиний корінь який приймають у якості IRR. Якщо, крім того, сума абсолютних величин всіх негативних платежів менша, ніж сума всіх позитивних, то цей корінь рівняння прибутковості позитивний.

2.2 Характеристики тривалості життя

2.2.1 Час життя як випадкова величина

Невизначеність моменту смерті є основним фактором ризику для страхування життя. Тому, створення адекватної теорії для страхування життя повинне починатися з розробки системи понять і означення величин, які дозволяють висловлювати об'єктивне твердження про тривалість життя. Основним є наступний висновок.

Відносно моменту смерті окремої людини неможливо сказати нічого визначеного. Однак, якщо ми маємо справу з великою однорідною групою людей і не цікавимося долею окремих людей з цієї групи, то ми знаходимося в рамках теорії ймовірностей як науки про масові випадкові явища, які володіють властивістю стійкості частот. Відповідно, ми можемо говорити про тривалість життя як про випадкову величину T.

Функція виживання

В теорії ймовірностей описують стохастичну природу будь-якої випадкової величини T функцією розподілу , яка визначається як ймовірність того, що випадкова величина T менша, ніж число x:

В актуарій математиці прийнято працювати не з функцією розподілу, а з додатковою функцією розподілу [9] Застосовуючи до тривалості життя - це ймовірність того, що людина доживе до віку x років. Функція

називається функцією виживання (survival function):

Функція виживання володіє наступними характеристичними властивостями:

1. спадає (при );

2.

3.

4. неперервна.

В таблицях тривалості життя як правило вважають, що існує деякий граничний вік (limiting age) (переважно, =100-120 років) і відповідно при . При описанні смертності аналітичними законами переважно вважають, що час життя необмежений, однак підбирають вид і параметри законів так, щоб ймовірність життя понад деякий вік була б нескінечно мала.

Функція виживання має простий статистичний зміст. Припустимо, що ми спостерігаємо за групою з новонароджених (як правило, =100000) і можемо фіксувати моменти їх смерті. Позначимо кількість живих представників цієї групи у віці x через . Тоді:

Символ M тут і нижче використовується для позначення математичного сподівання. Отже, функція виживання рівна середній частці доживших до віку x з деякої фіксованої групи новонароджених.

В актуарій математиці часто працюють не з функцією виживання , а з тільки що введеною величиною (зафіксувавши початковий розмір групи

Крива смертей

В теорії ймовірностей прийнято описувати стохастичну природу неперервних випадкових величин щільністю яка може бути визначена як похідна від функції розподілу. В актуарій математиці графік щільності тривалості життя (чи, що практично одне і те ж, графік функції називають кривою смертей (the curve of deaths). Величина має простий статистичний зміст. Розглянемо середню кількість представників вихідної групи з новонароджених, які померли у віці x років; ця величина позначається і рівна Тоді

Функція виживання може бути відновлено по щільності



тому крива смертей може бути використана у якості первісної характеристики тривалості життя.

Інтенсивність смертності

Величина

називається інтенсивністю смертності (the force of montality). Для людини, яка дожила до x років при малих t величина наближено виражає ймовірність смерті у інтервалі (x, x+t).

Оскільки функція виживання може бути відновлена по інтенсивності смертності:

інтенсивність смертності може бути використана у якості первинної характеристики тривалості життя.

Макрохарактеристики тривалості життя

З практичної точки зору важливими є наступні макрохарактеристики смертності:

1) середній час життя

2) дисперсія часу життя

де

3) медіана часу життя яка визначається як корінь рівняння

Медіана часу життя - це вік, до якого доживає рівно половина представників вихідної групи новонароджених.

Аналітичні закони смертності

Для спрощення розрахунків, теоретичного аналізу і т.д. природно спробувати описати одержувані емпіричним шляхом дані про функцію виживання чи інтенсивності смертності за допомогою простих аналітичних формул.

Просте наближення було введено у 1729 році де Муавром (de Moivre), який запропонував рахувати, що час життя рівномірно розподілений на інтервалі , де _ граничний вік. В моделі де Мавра при

Порівняння графіків цих функцій з реальними графіками функції виживання , функції смертей f(x), інтенсивності смертності показує, що закон де Мавра є не дуже хорошим наближенням. Наприклад, перши формула означає, що крива смертей f(x) є горизонтальною лінією, у той час як емпіричні дані вказують на пік у районі 80 років.

В моделі, яку запропонував у 1825 році п. Гомпертць (Gompertz), інтенсивність смертності наближається показниковою функцією виду , де і - деякі параметри. Відповідна функція виживання s(x) має вигляд

(2.2.1)

а крива смертей

Мейкхам (Makeham) у 1860 році узагальнив попередню модель, наблизивши інтенсивність смертності функцією виду Постійний доданок A дозволяє врахувати ризики для життя, пов'язані з нещасними випадками (які мало залежать від віку), у той час як доданок враховує вплив віку на смертність. У цій моделі

(2.2.2)

Другий закон Мейкхама, введений у 1889 році, наближає інтенсивність смертності функцією виду У цій моделі

(2.2.3)

Вейбулл (Weibull) у 1939 році запропонував наближати інтенсивність смертності більш простою функцією виду У цій моделі

(2.2.4)

2.2.2 Залишковий час життя

Страхова компанія має справу з конкретними людьми, які дожили до певного віку. Статистичні властивості часу життя таких людей суттєво відрізняються від властивостей часу життя новонароджених. Якщо людина у віці x років звернулася у страхову компанію (в актуарій математиці таку людину позначають через (x)), то відомо, що вона дожила до віку x років, і тому усі випадкові події, пов'язані з цією людиною, повинні розглядатися при умові, що

Для людини у віці x років переважно розглядають не тривалість життя Т, а залишковий час життя Розподіл випадкової величини - це умовний розподіл величини при умові, що

Відповідна функція виживання задається формулою:

тому щільність випадкової величини може бути підрахована за формулою:

Інтенсивність смертності, пов'язана з величиною якщо



Це співвідношення означає, що інтенсивність смертності через час t для людини, якій зараз x років, рівна інтенсивності смертності у віці x+t для новонародженого. Іншими словами, інтенсивність смертності у даному віці x+t не залежить від вже прожитих років.

Основні величини, пов'язані з залишковим часом життя

Ймовірність (тобто ймовірність смерті людини віку x років на протязі найближчих t років) в актуарій науці позначається символом З наведених вище формул для випливає, що

Додаткова ймовірність (тобто ймовірність того, що людина у віці x років проживе як мінімум t років) в актуарій науці позначається символом

Випадок відіграє особливу практичну роль і зустрічається найбільш часто. Для нього прийнято опускати передній індекс у змінних і . Таким чином символ позначає ймовірність того, що людина у віці x років помре на протязі найближчого року, а символ позначає ймовірність того, що людина у віці x років проживе ще як мінімум один рік. З наведених вище загальних формул маємо:



За допомогою ймовірностей можна підрахувати і більш загальні ймовірності

Розглянемо тепер більш загальну подію, яка полягає у тому, що людина віку x проживе ще t років, але помре на протязі u наступних років.

В термінах залишкового часу життя цю подію можна виразити подвійною нерівністю: Ця ймовірність позначається

Випадок цікавий для застосування до страхування життя. Як і в попередньому випадку, відповідний індекс прийнято упускати. Отже, _ це ймовірність того, що людина у віці x років проживе ще t років, але помре на протязі наступного року. Наведені вище загальні формули дають:

Макрохарактеристики залишкового часу життя

Середнє значення залишкового часу життя людини у віці x років позначається і називається повною сподіваною тривалістю життя (the complete-expectation-of-life):

 (2.2.5)

Для другого моменту вірна аналогічна формула:

(2.2.6)

Середній залишковий час життя можна виразити і через інші характеристики часу життя. З цією ціллю розглянемо групу з новонароджених і позначимо через сумарну кількість років, які були прожиті представниками цієї групи після віку x років. Таким чином, якщо час життя і-го представника групи менший від x, його вклад у суму рівний 0. Якщо ж то вклад у суму рівний

Тоді

Середнє значення величини де n - деяка додатна константа, називають частковою середньою тривалістю життя і позначають . Для неї вірна формула

2.2.3 Заокруглена тривалість життя

Зазвичай люди ведуть рахунок прожитих років цілими роками, а страхові компанії зазвичай заключають договори страхування життя на 1, 3, 5 і т.д. цілу кількість років. У зв'язку з цим природно розглянути поряд із звичайною тривалістю життя її цілу частину Таким чином, якщо наприклад, =18 років 9 місяців=18,75 років, то 18 років. Величина називається округленою залишковою тривалістю життя (curtate-future-lifetime). Слід відзначити, що заокруглення здійснюється не до найближчого цілого, а завжди з недостачею (тобто до найближчого цілого, яке менше, ніж дане дробове число). В цьому розумінні англійський термін curtate („урізана”) - точніший, ніж прийнятий термін „заокруглена”.

Розподіл заокругленого часу життя

Оскільки випадкова величина приймає тільки цілі значення, її стохастична природа характеризується (як це прийнято в теорії ймовірностей) не функцією розподілу, а розподілом, тобто набором ймовірностей . Оскільки подія еквівалентна тому, що є істинними рівності:

Середня заокруглена тривалість життя і її дисперсія

Математичне сподівання випадкової величини називається середньою заокругленою тривалістю життя (curtate-expectation-of-life) і позначається

(2.2.7)

Подібним чином для другого моменту який є необхідним для розрахунку ми маємо:

 (2.2.8)

Більш цікавою є рекурентна формула

звідки випливають наступні співвідношення, які пов'язують середню заокруглену тривалість життя і ймовірність смерті на протязі найближчого року

2.2.4 Таблиці тривалості життя

Статистичні дані про тривалість життя, як ми уже зазначали, підсумовуються у таблицях тривалості життя (life tables) (див. Додаток 1); іноді їх називають таблицями смертності (mortality tables). Найпростішим видом таблиць є таблиці, які містять інформацію про статистичні властивості тривалості життя випадково вибраної людини, про якого відомим є тільки його вік. Такі таблиці називають загальними чи спрощеними [4] (aggregate tables). Вони дозволяють одержати загальну наближену картину смертності. Прикладом таких таблиць можуть служити популярні таблиці, які містять дані про смертність населення. В принципі для розв'язування будь-якої задачі достатнім є знання функції виживання однак для наочності в таблиці як правило включають введені раніше величини:

1) _ середня кількість живих представників деякої групи з новонароджених у віці x років;

2) _ кількість представників групи, які померли у віці від x до x+1 років;

3) _ ймовірність смерті протягом року для людини у віці x років;

4) _ середній залишковий час життя.

У якості кроку таблиці як правило розглядають 1 рік, тобто табулюють значення функції від x для x =0, 1, 2, … років.

Таблиці відбору ризику

Очевидно, що статистичні властивості тривалості життя цілком різні у жителя високорозвиненої країни Заходу і жителя бідної африканської держави, тому абсолютно загальна таблиця взагалі не має реального інтересу.