Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод

дипломний проекту на тему:

“ Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод ”.

Івано-Франківськ

2008 р.

Зміст

Вступ

1.Моделювання й прогнозування якості підземних вод

1.1. Математичне моделювання динаміки забруднення підземних вод

1.1.1.Конформні перетворення й моделювання масопереносу при фільтрації підземних вод

1.1.2. Моделювання конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

1.1.3.Моделювання масопереносу у випадку D=D( ) при наявності масообміну

1.1.4. Моделювання процесів забруднення підземних вод з урахуванням якості поверхневих вод

1.2. Методи прогнозування (водойми)

2. Рішення крайових задач (лінійних) математичної фізики

2.1. Моделювання

3. Прогнозування якості підземних вод

3.1.Основні фізичні закони фільтрації підземних вод

3.1.1. Закон Дарсі

3.2. Постановка крайових завдань плоскої фільтрації

3.3. Зв'язок рівнянь плоскої фільтрації з теорією функцій КЗ

3.4. Метод конформних відображень у теорії фільтрації

3.4.1.Спосіб Павловського

3.4.2.Спосіб Ведерникова-Павловского

3.5. Конформні перетворення й моделювання масопереносу

3.6. Крайові задачі конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

3.6.1. Крайові й початкові умови для шуканої функції с(х, у, t) :

3.6.2. Перший тип крайових задач

3.6.3. Другий тип крайових задач

4. Отримання аналітичних розв'язків при конвективній дифузії солей і гіпсів

5. ОХОРОНА ПРАЦІ

5.1 Організація робочого місця

5.2 Захист від електромагнітних випромінювань та електростатичних полів

5.3 Електробезпека

5.4 Пожежна профілактика

Список використаної літератури

Вступ

Сучасне виробництво продукції характеризується зростанням масштабів випуску, розмежовуванням технологічних і виробничих функцій, ускладненням технологічних об'єктів (для підвищення якості продукції) і зв'язків між ними, зростанням числа функцій управління і питомої ваги вартості систем управління в загальних капітальних витратах на устаткування.

Зростання потреби як в кількісних, так і в якісних показниках виробництва, з одного боку, і виникнення нових технологічних процесів і можливості їхнього здійснення, з другого боку, приводять до значних ускладнень як самих технологічних об'єктів, так і зв'язків між ними, і численними додатковими функціональними пристроями, покликаними забезпечити якнайкраще в якомусь сенсі функціонування цих об'єктів.

Поява нових технологічних процесів (ТП), їхня інтенсифікація є результатом науково-технічного прогресу не тільки в даній конкретній області, але пов'язані з комплексними досягненнями в різних областях науки і техніки. Нові технологічні об'єкти, наприклад, в нафтохімії створюються на основі знайдених нових закономірностей отримання продукту і вимагають застосування нових конструкційних матеріалів, методів їхньої обробки, зварки, збірки, транспортування, нових видів реактивів, каталізаторів и.т.п.

Виникнення нових і інтенсифікація існуючих ТП відбувається безперервно, і швидкість цих процесів може служити одній з характеристик технічного прогресу.

Технологічні процеси представляють собою первинну ланку створення матеріальних цінностей, вони забезпечують виробництво необхідною для існування суспільства продукції.

1. Моделювання й прогнозування якості підземних вод

1.1. Математичне моделювання динаміки забруднення підземних вод

1.1.1. Конформні перетворення й моделювання масопереносу при фільтрації підземних вод

Процес міграції розчинних речовин при фільтрації підземних вод, як відомо, описується наступною системою рівнянь.

(1.1)

(1.2)

(1.3)

або в скалярній формі

(1.4)

; (1.5)

(1.6)

де - вектор швидкості фільтрації, м/сут; - потенціал фільтрації; і - концентрація речовини, що дифундує, відповідно в рідкій і твердій фазах, г/см³; D - коефіцієнт конвективної дифузії, м³/сут; у - активна (або ефективна) пористість середовища, у якій відбувається фільтрація розчину; t - час у добі; - оператор Гамильтона; - константа швидкості масообміну; в - коефіцієнт розподілу речовини між фазами в умовах рівноваги по лінійній изотермі Генрі c_p = вN .

У багатьох практичних завданнях можна обмежитися вивченням процесу масопереносу розчинних у фільтраційному потоці речовин тільки на основі рівнянь, що описують конвективний процес, а саме:

(1.7)

(1.8)

причому масообмін визначається наступною досить розповсюдженою залежністю:

(1.9)

де - концентрація граничного насичення.

Наведені рівняння описують, як правило, міграцію й фізичну трансформацію (сорбцію, десорбцію) консервативних водорозчинних речовин.

Якщо досліджувати масоперенос при плоско-вертикальній і планової сталій або квазиустановленій фільтрації підземних вод, то до моделювання даного процесу доцільно застосувати конформне перетворення рівнянь масопереносу до криволінійним змінних - координатам крапок області комплексного потенціалу фільтрації.

У випадку плоско-вертикальної (профільної) фільтрації рівняння руху підземних вод запишуться у вигляді

(1.10)

де ч - коефіцієнт фільтрації, h - напір, що визначається рівністю

(1.11)

причому вісь Oy спрямована вертикально вниз, p - тиск, с - щільність, g - прискорення сили ваги.

У випадку планової напірної фільтрації відповідні рівняння записуються в такий спосіб:

(1.12)

а у випадку планової безнапірної фільтрації

(1.13)

У рівняннях (1.12), (1.13) через T позначена потужність напірного водоносного шару: - вектор питомої фільтраційної витрати (м²/сут), a h - напір, у цьому випадку визначається наступним рівнянням:

, (1.14)

де Z - вертикальна координата крапки фільтраційного потоку.

Припускаючи, що для розглянутих фільтраційних плинів можна побудувати область комплексного потенціалу , де ш - функція потоку, і що відомо характеристичну функцію течії

(1.15)

за допомогою заміни

(1.16)

перетворимо рівняння конвективної дифузії до нових незалежних змінних й . У результаті такої заміни рівняння конвективної дифузії у випадку плосковертикальної фільтрації запишеться у вигляді

(1.17)

у випадку планової напірної фільтрації - у такому виді

(1.18)

а у випадку планової безнапірної фільтрації перетвориться до наступного виду:

(1.19)

Поставивши в рівняннях (1.17)-(1.19) D= 0, одержимо рівняння конвективного масопереносу без обліку дифузійних процесів, перетворені до новим змінних , або Ц, Ш,, або Ц*, Ш* відповідно для випадків плоско-вертикальної, планової напірної й планової безнапірної фільтрації, а саме:

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Таким чином, у випадку знехтування дифузійними процесами питання про визначення концентрації речовин, що забруднюють підземні води, зводиться до рішення відповідного фільтраційного завдання й одного з рівнянь (1.20)-(1.22) при одній додатковій (початковій) умові, що задається залежно від фізичної постановки завдання.

Важливою характеристикою при дослідженні процесу забруднення підземних вод є час, протягом якого в даній точці області (або області z) концентрація розчинної речовини досягає певної величини. Крім того, виникає також питання про визначення часу, протягом якого концентрація розчинної речовини досягає в даній точці максимального значення. Основні диференціальні рівняння, з яких визначаються ці характеристики, а також фронт просування речовини (домішок) у фільтарционному потоці будуть наведені нижче.

Нехай відома концентрація розчинного у фільтраційному потоці речовини як функції координат точок області комплексного потенціалу й часу t . Тоді для кожного значення (моменту) часу t можна побудувати поверхня розподілу концентрації щодо області комплексного потенціалу , а отже, і щодо області фільтрації z . Тим самим для кожного моменту часу буде визначене значення концентрації речовини, що поширюється в підземних водах, у будь-якій точці області фільтрації або уздовж лінії, що цікавить нас, зокрема, уздовж кожної з ліній потоку або еквіпотенціальних ліній.

Якщо ж припустити, що міграція речовини відбувається з постійною концентрацією, то час, протягом якого відбудеться забруднення певної частини області фільтрації, знайдемо в такий спосіб. Нехай відома швидкість фільтрації v(x,y,t) і характеристична функція плину, отримана у вигляді (1.16). Швидкість поширення розчинного у фільтраційному потоці речовини U(x,y,t) у цьому випадку дорівнює дійсній швидкості руху підземних вод V(x,y,t) , яка зв'язана зі швидкістю фільтрації v(x,y,t) співвідношенням

(1.23)

де через позначена активна пористість ґрунту (породи). При миттєво протікаючих сорбіційних процесах, що визначаються рівністю (1.9), активна пористість заміняється так називаною ефективною пористістю середовища, обумовленої рівністю

(1.24)

З (1.23) одержуємо

(1.25)

Після перетворення рівності (1.25) до нових незалежних змінних й маємо

(1.26)

Замість рівнянь (1.20)-(1.22) зручно розглядати рівняння

(1.27)

де - безрозмірні величини, причому . До рівняння (1.27) можна легко звести кожне з рівнянь (1.20)-(1.22). Дійсно, якщо в рівнянні (1.27) покласти

то одержимо рівняння (1.20), якщо в рівнянні (1.27) покласти

то одержимо рівняння (1.21), а якщо в рівнянні (1.27) покласти

те одержимо рівняння (1.22).

Математичні моделі міграції

Зупинимося тепер на математичних моделях міграції (поширення) у фільтраційних потоках неконсервативних забруднюючих речовин (домішок). Неконсервативність такої домішки породжується їхньою взаємодією в результаті різних хімічних і біохімічних перетворень. Тому математична модель таких хімічних і біохімічних взаємодій будується за допомогою системи диференціальних рівнянь щодо концентрації кожної з речовини, що вступає в реакцію.

У підземні води можуть попадати й інші неконсервативні речовини, які добре взаємодіють із киснем, що втримується в підземних водах. Тому, якщо концентрацію неконсервативної речовини позначити через c_нв, а концентрацію розчиненого в підземних водах кисню - c_РК, то поширення таких речовин у підземних водах можна описати наступною системою рівнянь:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Члени рівнянь, що містять функцію , описують кінетику хімічної або біохімічної взаємодії (окислювання хімічної речовини або деструкцію органічної речовини за рахунок подиху мікроорганізмів). Опис цієї взаємодії представляє досить складне завдання. Однак для такого опису можна використати деякі закони хімічної кінетики. Зокрема, якщо скористатися законом діючих мас, то дана взаємодія буде описуватися відповідно до кінетики ізотермічної бімолекулярної реакції

(1.32)

де зазвичай ставлять m = n = 1.

У практиці математичного моделювання використовуються й більш прості кінетичні залежності, зокрема, можна використати систему рівнянь Стритера - Фелпса:

(1.33)

. (1.34)

У випадку значного перевищення концентрації кисню над концентрацією забруднюючої речовини (малі концентрації забруднення) можна використати ще більш прості залежності, а саме

(1.35)

або

(1.36)

Для моделювання динаміки неконсервативної речовини до рівнянь (1.28)-(1.31) необхідно додати початкові й граничні умови, потім відшукати аналітичне, числено-аналітичне або чисельне рішення відповідної крайової задачі. Зокрема, крайова задача для моделювання динаміки БПК (органіки, що окисляєлегко) і РК (розчиненого кисню) при плоско-вертикальній фільтрації підземних вод записується в такому виді:

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

(1.44)

1.1.2. Моделювання конвективної дифузії розчинених речовин при профільній фільтрації

Процес масопереносу розчинних у підземних водах речовин описується системою диференціальних рівнянь у частинних похідних другого порядку зі змінними коефіцієнтами, яка у випадку двовимірної плоско-вертикальної (профільної) сталої фільтрації підземних вод за умови сталості коефіцієнта конвективної дифузії має такий вигляд:

(1.45)

(1.46)

(1.47)

де D - коефіцієнт конвективної дифузії в м/сут, c й N - концентрація речовин, що дифундують, у г/л або кг/м відповідно в рідкій і твердій фазах; v_x(x, y, t) і v_y(x, y, t) - координати вектора швидкості фільтрації в м/сут; у - пористість або активна пористість ґрунту, у якому відбувається рух вод і конвективная дифузія розчинної речовини; б - постійна масообміну (швидкості сорбції); c₀ - початкова концентрація речовини в рідкій фазі; в - коефіцієнт розподілу речовини між рідкою й твердою фазами в умовах рівноваги за законом лінійної ізотерми Генрі, що виражається рівністю c_p = вN, причому через c_p позначена рівноважна концентрація розчину, по величині рівна кількості речовини, що поглинає твердою фазою; - потенціал швидкості фільтрації; ч - коефіцієнт фільтрації в м/сут; - напір в м; p-тиск у
Н(м² =кг/м·c² ); с - щільність у кг/м³; g - прискорення сили ваги в м/с².

Розглянемо конвективну дифузію тих розчинних речовин, які нейтральні до наявних у ґрунті породам, тобто надалі сорбцією й іншими видами поглинання забруднюючі підземні води компонентів знехтуємо й будемо виходити з наступної системи рівнянь фільтрації й конвективної дифузії (гідравлічної дисперсії):

(1.48)

(1.49)

При конвективній дифузії речовин, що забруднюють підземні води, на вході АВ фільтраційного потоку можна прийняти одне з наступних граничних умов:

а) задана концентрація розчиненого у водоймі (ріці) речовини

(1.50)

б) задана умова Данквертса, що враховує як конвективний, так і дифузійний механізми відводу речовини на водопроникній ділянці границі області фільтрації

(1.51)

де n - нормаль до границі; v_n - нормальна складова швидкості фільтрації.

На водонепроникних ділянках границі області фільтрації й на криві депресії виконується умова

(1.52)

На ділянці виходу фільтраційного потоку (CD) можна приймати одне з наступних граничних умов:

а)задана концентрація речовини, що дифундує, або задана умова Данквертса (такі умови приймаються, якщо не спостерігається інтенсивного відводу вод на виході фільтраційного потоку)

(1.53)

б) задана умова, що враховує тільки конвективний перенос через границю (у випадку інтенсивного відводу вод на виході фільтраційного потоку)

(1.54)

При конвективній дифузії солей і гіпсів, що залягають на певній глибині T фільтраційного потоку, на границі із сіллю або гіпсом звичайно приймається умова

(1.55)

де - концентрація повного насичення солі або гіпсу.

Початкові умови засолення підземних вод, мають вигляд

(1.56)

де c₀ - задана концентрація речовини, що дифундує, в області фільтрації в момент часу до настання процесу забруднення (засолення) або промивання підземного середовища.

Трудність, що виникає при рішенні стаціонарних і нестаціонарних крайових завдань, що описують двовимірні процеси, зв'язана не тільки з видом рівнянь у частинних похідних і з видом граничних умов, а головним чином з видом (геометрією) області, у якій відшукується рішення. У зв'язку із цим у рівняннях конвективної дифузії й у наведених вище граничних умовах доцільно перейти до нових незалежних змінних координат комплексного потенціалу щ, що, як відомо, має вигляд багатокутника зі сторонами, паралельними прямокутній системі координат.

Нехай відома характеристична функція течії

(1.57)

яку можна знайти, наприклад, методом конформних відображень. Тоді, зробивши в рівнянні конвективної дифузії (1.49) заміну змінних й одержимо наступне рівняння.

Взявши середню величину , що входить у праву частину рівняння (1.49) по області наведеного комплексного потенціалу , і заміняючи її деякою середньою величиною , розглянемо два типи нестаціонарних крайових завдань.

Перший тип крайових завдань виникає при фільтрації забруднених вод у відкриті водойми (водоймища), коли в останні підтримується задана концентрація речовин. Ці задачі формулюються в такий спосіб: потрібно знайти рішення рівняння

(1.58)

задовольняючій або граничній умовам виду (перша задача)

(1.59)

або умовам, що враховують механізм дифузійного відводу речовини від границі на вході фільтраційної течії (друга задача):

(1.60)

і початковій умові

(1.61)

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що рішенням двовимірних крайових завдань (1.58), (1.59), (1.61) і (1.58), (1.60), (1.61) будуть функції й , що є рішеннями відповідних одномірних крайових завдань:

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.65)

Підставляючи це рішення у вигляді суми рішень стаціонарного й нестаціонарного завдань і застосовуючи метод поділу змінних, одержимо рішення нестаціонарних завдань конвективної дифузії, які після розподілу на c₁ і введення безрозмірних величин і запишуться в наступному вигляді.

(1.66)

(1.67)

де власні значення й визначаються рівняннями

(1.68)

(1.69)

Коефіцієнти й обчислюються за формулами

(1.70)

(1.71)

Другий тип крайових задач конвективної дифузії підземної води, речовин що забруднять, характеризується гарничною умовою, що приймається на виході фільтраційного потоку, коли спостерігається інтенсивний відвід із дренажного каналу CD. У цьому випадку рішенням стаціонарних задач буде стала, значення якої залежить від крайової умови на вході фільтраційного потоку.

Тому перейдемо до розгляду нестаціонарних завдань. Осереднюючи швидкість фільтрації по просторовим змінним, приходимо до наступних двох крайових завдань: Потрібно знайти рішення рівняння

(1.72)

задовольняючим крайовим умовам:

(1.73)

а у випадку обліку механізму дифузійного відводу речовини на вході фільтраційного потоку (друга крайова задача) потрібно знайти вирішення рівняння

(1.74)

задовольняючим крайовим умовам:

(1.75)

Застосування методу Фур'є до крайової задачі(1.72)-(1.73) дає вирішення

(1.76)

де , функція визначається рівностями

(1.77)

(1.78)

Коефіцієнти обчислюються по наступній формулі:

. (1.79)

Рішення крайової задачі (1.74)-(1.75) одержуємо в наступному виді:

(1.80)

де коефіцієнти обчислюються по формулі

(1.81)

а власні значення л_n визначаються з рівняння

л_n = (1.82)

Замість власних значень л_n можна шукати значення v = л + µ² з рівняння

(1.83)

Таким чином, отримані аналітичні рішення всіх основних крайових завдань конвективної дифузії, забруднюючих воду, речовин за умови осереднення швидкості фільтрації по просторових координатах.

1.1.3. Моделювання масопереносу у випадку D=D( ) при наявності масообміну

Вихідні рівняння. Процес масопереносу розчинних речовин (солей, гіпсів й ін.) при фільтрації підземних вод можна описати наступною системою диференціальних рівнянь у частинних похідних:

(1.84)

(1.85)

(1.86)

де - вектор швидкості фільтрації; - потенціал швидкості фільтрації; ч - коефіцієнт фільтрації; - дифузійний потік або вектор масової швидкості розчиненої речовини (вектор кількості речовини, що переноситься через одиницю площадки за одиницю часу); і - концентрації речовини відповідно в рідкій і твердій фазах; - коефіцієнт конвективної дифузії (D_m - коефіцієнт молекулярної дифузії), у - активна (або ефективна) пористість середовища; - оператор Гамільтона, б - постійна швидкості масообміну; в - коефіцієнт розподілу речовини між фазами в умовах рівноваги при лінійній ізотермі Генрі

(1.87)

де Г - коефіцієнт Генрі.

У багатьох практичних задачах як рівняння кінетики масообміну береться одне з наступних рівнянь.

1) при кристалізації або розчиненні компонентів породи у фільтрівній воді

(1.88)

де - коефіцієнт насичення:

2) при нерівномірній необоротній сорбції або десорбції відповідно

(1.89)

3) при рівноважній сорбції або десорбції відповідно

(1.90)

(1.91)

де (або ) - так звана ефективна пористість або масооб'єм поглинання (виділення) речовини породою.

Надалі як рівняння кінетики беремо рівняння (1.88), що є в математичному відношенні найбільш загальним з наведених вище. Тому у випадку плоско-вертикальної сталої фільтрації система рівнянь масопереносу запишеться у вигляді

(1.92)

(1.93)

Припустимо, що вирішено фільтраційне завдання й визначений комплексний потенціал фільтрації як деяка аналітична функція . Тоді область комплексного потенціалу буде конформно відображатися на область фільтрації z функцією

(1.94)

названою зазвичай характеристичною функцією течії ( - функція потоку). Доцільно перетворити рівняння конвективної дифузії (1.93) за допомогою заміни (1.94) до нових незалежних змінних й . При такому конформному перетворенні варто враховувати прийняте припущення про залежність коефіцієнта конвективної дифузії D_y від швидкості фільтрації v. Крім того, варто взяти до уваги, що величина коефіцієнта конвективної дифузії D_y залежить не тільки від величини швидкості фільтрації, але й від її напрямку як тензор, і при рішенні крайових завдань конвективної дифузії, як правило, швидкість фільтрації осереднюється або по всій області комплексного потенціалу, або по одній з координат точок цієї області.

У зв'язку із цим доцільно робити осереднення коефіцієнта конвективної дифузії в новій системі координат окремо уздовж еквіпотенциальних ліній й уздовж лінії струму. Тим самим уводиться поняття коефіцієнта поперечної конвективної дифузії D і коефіцієнта поздовжньої конвективної дифузії D . Таким чином, у результаті перетворення рівняння (1.93) до нових змінних одержимо

(1.95)

Якщо ввести безрозмірні величини

то рівняння (1.95) запишеться у вигляді

(1.96)

де H - діючий напір.

Одержання рішення при осереднені швидкості фільтрації.

При вивченні процесів міграції промислових або побутових стічних вод, що скидають у водойму, а також при розрахунку виносу ядохімікатів або добрив із сільськогосподарських угідь, розглянутих у вигляді смуги певної ширини, виникає необхідність визначення якісного складу підземних вод, ступеня їхнього забруднення або мінералізації. Рішення всіх цих важливих питань зводиться до розгляду відповідних крайових завдань фільтрації й конвективної дифузії, фільтраційні задачі для яких розглянуті вище.

Будемо вирішувати крайову задачу конвективної дифузії при осереднені швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу , потім розглянемо випадок осереднення швидкості фільтрації по одній з координат області комплексного потенціалу або . Опускаючи риски над безрозмірними величинами в рівнянні (1.96), в області шукаємо рішення рівняння

(1.97)

де

при наступних граничних і початкових умовах:

(1.98)

(1.99)

причому через c₁ позначена концентрація речовини у водоймі АВ, а через c₀ - концентрація речовини в підземних водах у початковий момент часу t₀ = 0 . Рішення крайової задачі (1.97)-(1.99) будемо шукати у вигляді

(1. 100)

де функція знаходиться як рішення стаціонарної задачі

(1. 101)

(1. 102)

а функція знаходиться в результаті рішення нестаціонарної крайової задачі

(1. 103)

(1. 104)

(1. 105)

Функція, що задовольняє рівнянню (1.101) і граничним умовам (1.102), не залежить від змінної ш, а крайова задача (1.101),(1.102) еквівалентна наступній:

(1. 106)

Вирішивши крайову задачу, знайдемо

(1. 107)

де

Розглянемо тепер задачу

(1. 108)

Загальна схема методу Фур'є. Рішення крайової задачі шукаємо у вигляді . Підставивши це рішення в (1.108), одержимо:

(1. 109)

Із цієї рівності, з огляду на граничні умови, приходимо до задачі на власні значення

(1. 110)

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

(1. 111)

Використовуючи граничні умови, одержимо рівняння для визначення всіх власних значень задачі.

з якого після перетворення й введення величини одержуємо рівняння для визначення всіх власних значень

(1. 112)

Шукані власні функції запишуться у вигляді

(1. 113)

Тоді

. (1.114)

З рівності (1.109) для кожного л_m одержуємо рівняння

(1. 115)

рішення якого має вигляд

(1. 116)

З огляду на (1.113) і (1.116), записуємо часткові рішення вихідного крайової задачі у вигляді

(1. 117)

а шукане рішення крайової задачі (1.105), (1.106) у силу узагальненого принципу суперпозиції запишеться у вигляді

(1. 118)

Використовуючи початкові умови, знаходимо коефіцієнти у вигляді

(1. 119)

де r₁, r₂ визначаються рівностями (1.104), а µ₁ = 1/(2D₁) .

Таким чином, рішення вихідної крайової задачі (1.97)-(1.99) у випадку осереднення швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу щ не залежить від ш і має такий вигляд:

(1. 120)

Якщо у виразах (1.119),(1.120) покласти г* = 0, c* = 0, r₁ = 0 , r₂ = =1/D₁= 2µ₁ = 2µ, то одержимо рішення задачі про забруднення підземних вод без обліку масообміну, розглянуте раніше, а саме:

(1. 121)

де

(1. 122)

Моделювання процесу очищення (промивання) засолених земель

Нехай промивання засолених земель відбувається в результаті поливу прісною водою поверхні ґрунту й відводу вод за допомогою одиночної дрени або за допомогою системи дрен. У цьому випадку для кожної з фільтраційних схем, що зустрічаються, область комплексного потенціалу зображується у вигляді прямокутника.. Тому питання вивчення процесу промивання підземного середовища зводиться до рішення в прямокутнику ABCD наступної крайової задачі.

(1.123)

(1. 124)

Бачимо, що ця крайова задача збігається із крайовою задачею (1.97)-(1.99), якщо покласти c₁ = 0 , c₀ = c_н, а отже, рішення задачі (1.123) -(1.124) виходить із рішення (1.122), якщо c₁ = 0 , c₀ = c_н.

Конвективная дифузія у випадку планової фільтрації

Розглянемо такі схеми руху підземних вод, коли виконуються відомі передумови гідравлічної теорії фільтрації. Тоді у випадку сталої або квазіустановленої планової фільтрації рівняння руху підземних вод запишуться у вигляді

(1. 125)

а у випадку планової безнапірної фільтрації - у вигляді

(1. 126)

де T - потужність напірного водоносно шару, q - вектор питомої фільтраційної витрати (м²/сут), a h - напір, що у випадку, коли вісь апплікат спрямована вертикально вниз, визначається рівністю

(1. 127)

Припускаючи, що для кожного із плинів відома область комплексного потенціалу щ і функція, що відображає (1.94)

(1. 128)

перетворимо тривимірне рівняння конвективної дифузії, що у розглянутих випадках має вигляд

(1. 129)

до нових змінних за допомогою підстановки

(1. 130)

Тоді у випадку планової напірної фільтрації рівняння конвективної дифузії перетвориться до виду

(1. 131)

а у випадку планової безнапірної фільтрації до такому виду

(1. 132)

При осереднені величини по області комплексного потенціалу щ питання про дослідження міграції водорозчинних речовин зводиться до відшукання в прямокутному паралелепіпеді щЧT (або щ Ч h_cp) рішення наступної крайової задачі.

(1. 133)

(1. 134)

(1. 135)

(1. 136)

Крайова задача (1.133) (1.136) еквівалентна крайовій задачі типу (1.97)-(1.99), а тому її рішення, що не залежить від ш від Z , запишеться у вигляді (1.120). При цьому варто врахувати, що замість безрозмірних величин (1.98) варто ввести безрозмірні величини, які визначаються іншими рівностями окремо для випадку напірної й безнапірної планової фільтарції. Якщо ж розглядається процес засолення підземних вод, що відбувається в результаті дифузії залягаючих на глибині T* солей, то замість крайових умов (1.136) необхідно взяти наступні:

(1. 137)

Рішення крайової задачі (1.133)-(1.135), (1.136) можна одержати тільки за допомогою чисельних методів, а у випадку, коли величина питомої фільтраційної витрати осереднюеться тільки по одній зі змінних або ш, рішення відповідних крайових задача можна знайти за допомогою методу Фур'є в сполученні з варіаційними методами.

1.1.4. Моделювання процесів забруднення підземних вод з урахуванням якості поверхневих вод

При проектирвании й експлуатації басейнів стічних вод різного призначення (ставків - відстійників, ставків - накопичувачів, ставків - охолоджувачів, хвосто - і шламосховищ) виникає необхідність обліку впливу розчинних речовин, що втримуються в них (домішок) на якість підземних вод й якість води в ріках, каналах, водоймищах, водозаборах, які розташовані в зоні впливу цих джерел забруднення.

Нехай у басейні стічних вод, що має початковий обсяг води Q₀ з концентрацією домішки, що втримується в ній, надходять стічні води від n різних підприємств із добовими витратами й з концентраціями даної домішки в них відповідно, причому з поверхні басейну випаровується /сут. води. Тоді, якщо через позначимо повну фільтраційну витрату води з басейну, то концентрацію домішки, що втримується в басейні в кожен момент часу можна визначити по формулі

(1.138)

де

(1. 139)

Параметр б характеризує седиментацію або трансформацію речовини у водоймі й визначається дослідним шляхом за результатами натурних спостережень. Вираз (1.138) надалі буде прийнятий як гранична умова на вході фільтраційного потоку.

Припустимо, що відомо характеристичну функцію потоку z = F(щ), де z = x + iy - точка області фільтрації, aщ- точка області комплексного потенціалу щ = + iш, або припустимо, що побудовано гідродинамічну сітку фільтрації. Тоді дослідження процесу забруднення підземних вод при плоско-вертикальній фільтрації зводиться до рішення в області наступного рівняння.

(1. 140)

де безрозмірні величини визначаються рівностями

(1. 141)

де - потенціал, ч - коефіцієнт фільтрації, h - напір, v - швидкість фільтрації, H - діючий напір, у - пористість.

У випадку планової напірної фільтрації дослідження процесу зводиться до вирішення такого рівняння:

(1. 142)

де

(1. 143)

причому через позначений модуль вектора питомої фільтраційної витрати, Z - вертикальна координата, - напір, T - потужність водоносного шару, .

Середня швидкість фільтрації v (або питома фільтраційна витрата) і з огляду на рівність (1.138), вивчення процесу забруднення підземних вод при двовимірній фільтрації (плоско-паралельної або планової) зводимо до відшукання в прямокутнику , вирішення наступної крайової задачі (тут і надалі риски над безрозмірними величинами опустимо):

(1.144)

(1. 145)

(1. 146)

Рішення крайового завдання (1.144)-(1.146) шукаємо у вигляді

(1. 147)

де функція є рішенням наступної крайової задачі.

(1. 148)

(1. 149)

(1. 150)

Легко помітити, що крайова задача (1.148)-(1.150) еквівалентна наступній:

(1. 151)

(1. 152)

Розклавши функцію в ряд Фур'є

(1. 153)

де коефіцієнти B_m(t*) визначаються рівністю

(1. 154)

а власні значення л_m визначаються з рівняння

(1. 155)

рішення крайової задачі (1.151)-(1.152) будемо шукати у вигляді

. (1.156)

Підставивши (1.153) і (1.156) у рівняння (1.151) і порівнюючи коефіцієнти при . одержимо рівняння

(1. 157)

(1. 158)

З початкової умови маємо

(1. 159)

Вирішивши задачу Коші (1.157)-(1.158), знайдемо коефіцієнти A_m(t*) у такому вигляді

(1. 160)

Таким чином, розв'язання крайової задачі (1.144)-(1.146) запишеться у вигляді

. (1.161)

На закінчення необхідно відзначити, що всі наведені в даній роботі рішення крайових задач конвективної дифузії, за допомогою яких моделюються процеси забруднення, засолення, самоочищення (або промивання) підземних і поверхневих вод, легко застосовуються до більш простих підземних потоків, коли область фільтрації є прямокутною або близькою до прямокутного. У цьому випадку в рівняннях конвективної дифузії недоцільно переходити до нових змінних й .

1.2. Методи прогнозування (водойми)

Наведені нижче рівняння регресії розроблені для прогнозування поширення забруднюючих речовин по поверхні водойм від місця їхнього скидання за рахунок процесів конвективної дифузії. При цьому використалися п'ятирічні спостереження на озері Байкал в умовах дії одного зосередженого джерела забруднення.

а) модель розподілу зважених речовин:

(1. 162)

де -- нормоване щодо середнього значення концентрації в k-й точці в наступний момент часу - близькі в просторі й часі змінні при ?ф = 1 рік.

б)модель розподілу розчинених мінеральних речовин:

(1. 163)

Оперативне прогнозування. Виконується на час добігання забруднюючої речовини від джерела надходження стічних вод до обраного контрольного отвору.

Алгоритми імітаційної системи. У всіх рівняннях витрати виражаються в м/с, довжина в м, концентрація - г/л, площа - м , швидкість - м/с, коефіцієнти швидкості самоочищення - 1/сут.

1. Розрахунок значення коефіцієнта Шези (б) :

(у літню пору):

2. Розрахунок коефіцієнта, що враховує поперечну циркуляцію в потоці і його кінематичній неоднорідності (в) :

при , при .

.

3. Розрахунок коефіцієнтів, що характеризують міру розведення стічних вод :

при ,

, де И,Н,Л,Г,Е,Ж,З;

при .

2[Ф(Г)-Ф(Е)-Ф(Ж)+Ф(З)] при при

при .

2. Рішення крайових задач (лінійних) математичної фізики

Розглянемо наступне рівняння енергії

(2.1)

З урахуванням заміни T = T_m - T₀ початкова умова для рівняння (2.1) здобуває вигляд

(2.2)

Граничні умови для рівняння (2.1) сформулюємо з урахуванням теплообміну між досліджуваною зоною нагрівання й навколишнім середовищем.

(2.3)

Очевидно, що подібні умови повинні виконуватися й щодо ширини зони нагрівання (0 ? y ? L_y):

(2.4)

(2.5)

Уздовж координати x (у напрямку вітру) у точці x = 0 температура середовища й температура початку зони нагрівання повинні збігатися T(0, y, z, t) = 0. У площині x = L_x T(L_x,y, z, t) = T₁(L_x,y, z, t) - температура загоряння речовин. Розглянемо крайову задачу

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Для зведення цієї задачі до стандартної задачі на власні значення й функції, введемо заміну змінних

(2.9)

Тоді

(2.10)

Підстановка цих виразів у рівняння (2.6) приводить до самоспряженого рівняння

(2.11)

з однорідними граничними умовами, що відповідають умовам

(2.12)

(2.13)

Ця задача еквівалентне задачі на власні значення

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Тоді

(2.17)

Невідомі параметри C₁ й C₂ визначаються із граничних умов.

Константа C₁ визначається як норма власної функції v(x) :

Власні значення знаходимо з умови (2.16):

Таким чином,

(2.18)

(2.19)

Перейдемо тепер до рішення задачі (2.1)-(2.5). Уведемо заміну

(2.20)

Після підстановки цих виразів у рівняння (2.1) і граничні умови одержуємо наступну крайову задачу.

(2.21)

Початкова умова

(2.22)

Граничні умови:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Застосуємо інтегральне перетворення по змінній x до рівняння (2.21).

Власні значення л_x і власні функції X(x, л_x) знайдемо як рішення відповідної задачі Штурма-Ліувілля

з граничними умовами

Позначимо . Тоді

. (2.26)

Рівняння (2.21) здобуває вигляд:

(2.27)

Обчисливши інтеграли в цьому рівнянні, одержуємо:

Тут для простоти ми розглядаємо джерела загоряння у вигляді "точкових" джерел - площадок малого розміру , розташованих на розглянутій поверхні випадковим образом з інтенсивностями q_m.

(2.28)

Граничні умови:

(2.29)

(2.30)

Щодо змінної y маємо наступну задачу на власні значення й функції.

Власні функції шукаємо у вигляді

З першої умови (2.30) знаходимо

Власні значення знаходимо із другої умови (2.30).

(2.31)

Або

. (2.32)

Розвязання цього рівняння дає власні значення .

Обчислюємо норму ||Y(y)||:

Таким чином, маємо

(2.33)

(2.34)

Застосування інтегрального перетворення по змінній y до крайової задачі (2.28)-(2.30) приводить до наступної крайової задачі.

. (2.35)

Граничні умови:

. (2.36)

Позначимо . Зважаючи на першу граничну умову (2.36) знаходимо

.

Власні значення знаходимо із другої умови (2.36):

(2.37)

Корінь цього рівняння - власні значення задачі .

Нарешті, приходимо до наступної задачі Коші.

(2.38)

Початкова умова для цього рівняння

Рішення цього рівняння записується у вигляді

(2.39)

Таким чином, рішення крайової задачі, що описує процес нагрівання під впливом точкових джерел горіння отримано у вигляді

(2.40)

2.1. Моделювання

Визначимо динамічні характеристики повітряного турбулентного потоку в приповерхньому шарі.

Для цього необхідно знайти рішення крайової задачі.

Запишемо рівняння у вигляді (незважаючи на першому етапі на вирішення квадратичним членом).

(2.41)

Граничні умови

(2.42)

Друге рівняння запишемо у вигляді

(2.43)

Граничні умови для цього рівняння:

(2.44)

При такому формулюванні задача визначення швидкості потоку u і турбулентного руху b(z) може бути вирішена послідовно. Спочатку знаходимо рішення крайової задачі.

Задача Штурма-Ліувілля, що відповідає крайовій задачі, може бути записана в наступному виді

(2.45)

Ця задача еквівалентна задачі

(2.46)

Шукаємо розв'язання задачі у вигляді

(2.47)

З урахуванням крайової умови маємо

(2.48)

Для визначення власних значень , що відповідають цим власним функціям, задовольнимо граничну умову на правій границі . Маємо

Позначимо

Тоді рішення лінійної частини задачі про визначення швидкості потоку може бути записане у вигляді

(2.49)

Запишемо тепер рівняння відносно b(z) з урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку u(z) .

(2.50)

З урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку

(2.52)

Завдання Штурма-Ліувілля має вигляд

(2.53)

(2.54)

Рішення шукаємо у вигляді

Із граничної умови знаходимо

(2.55)

Із другої граничної умови знаходимо власні значення задачі

У такий спосіб.

(2.56)

3. Прогнозування якості підземних вод

3.1. Основні фізичні закони фільтрації підземних вод

Під фільтрацією мають на увазі повільний рух (просочування) рідини чи газу, розчину або газованої рідини в пористому або тріщинуватому середовищі. Надалі мова йтиме про фільтрацію води або слабких розчинів у ґрунтах і породах.

Обсяг ґрунту W складається з обсягу W₄ часток ґрунту й обсягу порожнеч W_n. Співвідношення між обсягом, займаним кістяком ґрунту й обсягом його порожнеч характеризується параметром , називаним коефіцієнтом пористості або просто пористістю ґрунту. Цей параметр визначається відношенням

(3.1)

Поперечний розмір окремих пор коливається від часток мікрона до декількох сантиметрів. Частина води звичайно постійно втримується ґрунтом за допомогою молекулярних сил (капілярна й плівкова вода), а частина переміщається під дією сил ваги (гравітаційна або ґрунтова вода). Тому іншою важливою характеристикою ґрунту є параметр , що визначається відношенням

, (3.2)

де W_гв - обсяг, що заповнює гравітаційна вода, здатна випливати або втікати в даний обсяг W ґрунту під дією сил ваги. Цей параметр називається коефіцієнтом водовіддачі або недостачею насичення (іноді активною пористістю). Активна пористість трохи менше пористості , але іноді через малу різницю між цими параметрами для проведення розрахунків користуються тільки коефіцієнтом пористості .

Будемо розглядати такий ґрунт, у якому всі порожнечі повністю заповнені рідиною (водою або розчином). У такому водонасиченому ґрунті за певних умов здійснюється рух води під дією сил ваги, тобто спостерігається фільтрація. Переміщення води в не повністю насиченому ґрунті розглядати не будемо. Крім того, будемо розглядати тільки рух води або слабких водяних розчинів, приймаючи їх за ідеально нестисливу рідину.

Просочування води через границю сухого або водоненасиченого ґрунту в розглянутий обсяг водонасиченого ґрунту називається інфільтрацією. Зворотний рух води може спостерігатися за рахунок випару, транспірації, капілярного підняття. Інфільтрація або випар (транспірація) характеризуються кількістю рідини , що надходить через одиничну горизонтальну площадку за одиницю часу. Величина називається питомою інтенсивністю інфільтрації або випару (транспірації).

Простір водонасиченого ґрунту або породи, у якому відбувається рух підземних вод під дією сил ваги, називається областю фільтрації підземних вод, а потік води, що охоплює цю область, називають фільтраційним або підземним потоком. Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо ж властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку - анізотропним.

Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (або пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку його називають анізотропним.

Рух води або іншої рідини в пористому середовищі залежить від структур ґрунту, форми пор і тріщин. Однак для практичних цілей становить інтерес, як рухається осереднений по величині й напрямку підземний водний потік. Тому на практиці використають тільки осереднені характеристики фільтраційного потоку. Для математичного опису процесу фільтрації реальний потік рідини заміняється деяким фіктивним фільтраційним потоком, що безупинно заповнює всі перетини пористого середовища. При цьому приймається, що витрата, обумовлена кількістю рідини, що протікає через будь-яку одиничну площадку розглянутого перетину за одиницю часу у фіктивному потоці, дорівнює витраті реального фільтраційного потоку. Крім того, для фіктивного потоку тиск на обрану площадку дорівнює тиску реального потоку на ту ж площадку, а сили опору, розглянуті як масові (об'ємні) сили, для фіктивного потоку у виділеному обсязі повинні рівнятися реальним силам для того ж обсягу.

Таким чином, замість реального фільтраційного потоку розглядається деяка фізична модель цього потоку, при цьому основні, що цікавлять дослідника характеристики фіктивного (модельного) потоку або збігаються з відповідними характеристиками реального потоку, або по характеристиках фіктивного потоку можна визначити характеристики, що цікавлять, реального потоку. Це, зокрема, стосується визначення середнього значення правдивої швидкості руху часток рідини. Тому для визначення середньої швидкості руху часток рідини в пористому середовищі вводиться статистичне поняття швидкості фільтрації. Нехай через площу ?S за одиницю часу (добу) протікає ?Q об'ємних одиниць рідини. Тоді середнє значення швидкості фільтрації визначиться рівністю

, (3.3)

а швидкість фільтрації v у розглянутій точці визначиться як межа, до якого прагне середня швидкість фільтрації при зменшенні площадки, тобто

.

У дійсності площа ?S у нуль не перетворюється, а мається на увазі її зменшення до досить малої по площі величини, однак значно більшої, ніж площа середнього перетину пори або тріщини. Якщо тепер використати поняття коефіцієнта пористості, то середня швидкість руху води через пори, площа яких дорівнює ?S_п, визначиться наступною рівністю.

. (3.4.)

Аналогічно швидкість v руху рідини в точці

, (3.5)

Якщо ввести вектор швидкості фільтрації V = (V_x,V_y,V_z) і вектор швидкості руху рідини v = (v_x,v_y,v_z) , то

(3.6)

3.1.1. Закон Дарсі

Закон Дарсі - основний закон, якому підкоряється рух рідини в пористому середовищі. Французьким інженером Дарсі в 1856 р. експериментально було встановлено, що швидкість фільтрації пропорційна градієнту напору й спрямована убік його зменшення. Якщо ввести поняття напору, що у теорії фільтрації визначається рівністю

(3.7)

де p - тиск, с щільність рідини, g - прискорення сили ваги, z - геометрична висота над деякою горизонтальною площиною (віссю) порівняння, г = сq - питома вага, p/(сg) - п'єзометричний напір (рівень води в п'єзометрі), тобто у вертикальній трубці, установленої нижнім кінцем у крапці, де виміряється напір (мал. 3.1); то закон Дарсі можна записати у вигляді

рис. 3.1.

(3.8)

де ?h = h₂ - h₁ - зміна напору на ділянці фільтраційного потоку довжиною ?L; ч - коефіцієнт пропорційності, називаний коефіцієнтом фільтрації, що має розмірність швидкості фільтрації v; J=?h/?L - градієнт напору. У диференціальній формі закон Дарсі був отриманий Н. Е. Жуковським і зазвичай записується у вигляді

. (3.9)

У скалярній формі закон Дарсі записується у вигляді

(3.10)

До рівняння (3.9) варто ще додати рівняння нерозривності фільтраційного потоку, що виражає закон збереження маси речовини й для недеформуємого середовища й нестисливої рідини (с = const) має такий вигляд

. (3.11)

Рівняння (3.10), (3.11) з невідомими функціями v_x,v_y,v_z й h утворять повну систему диференціальних рівнянь сталої фільтрації важкої нестисливої рідини. Ця система рівнянь може описувати й несталу або квазівстановлену фільтрацію.

Якщо в рівняння нерозривності замість складових v_x, v_y, v_z підставити їх вирази, обумовлені рівностями (3.10), то у випадку однорідного середовища (ч = const) одержимо диференціальне рівняння для невідомого напору

. (3.12)

яке називається рівнянням Лапласа.

Надалі буде розглядатися тільки плоско-паралельний рух рідини, що може відбуватися або у вертикальній площині (профільна фільтрація), або в горизонтальній площині (планова фільтрація).

3.2. Постановка крайових завдань плоскої фільтрації

Зупинимося на основних рівняннях і постановці крайових задач плоскої (профільної) сталої фільтрації підземних вод в однорідному ізотропному ґрунті. Якщо в якості вертикальної координатної площини вибрати систему координат xOy, причому вісь Oy направити вертикально вниз, то рівняння фільтрації запишеться у вигляді

(3.13)

Із цих рівнянь маємо

. (3.14)

З огляду на те, що для однорідного ґрунту ч = const, і ввівши функцію

(3.15)

яка називається потенціалом швидкості фільтрації, рівняння (3.13) перетвориться до вигляду

(3.16)

а рівняння (3.14) перетвориться до вигляду

(3.17)

Відшукавши потенціал , легко обчислити напір h(x,y) і складову швидкості фільтрації.

Щоб визначити гармонійну функцію , тобто функцію, що задовольняє в області фільтрації G рівняння Лапласа, необхідно вирішити це рівняння при додаткових умовах, які виконуються для шуканої функції на границі області.

Розглянемо вертикальний поперечний розріз земляної греблі або дамби (мал. 3.2).

рис. 3.2.

Область фільтрації G обмежена контуром ADCDEE₁A₁, що складається з окремих, характерних для границі області фільтрації, ділянок. Вісь Ox сполучена з поверхнею води в тій водоймі, рівень води якого перебуває вище (у розглянутому випадку ця водойма перебуває ліворуч, його змочений контур AB). У результаті наявності різниці рівнів води в "лівому" й "правому" водоймах, величина якої дорівнює H (H - дійсний напір), відбувається повільне просочування води через існуючий вододіл (область фільтрації) з першої водойми в другий. Ділянки границі області фільтрації, де відбувається надходження води з водойми в область фільтрації (ділянка AB) або з області фільтрації у водойму (ділянка DE), називаються водопроникними границями області фільтрації. Ділянки, де височується вода на поверхню ґрунту й стікає по поверхні ґрунту вниз або випаровується, називаються проміжками височування (ділянка CD). Ділянка границі між водоненасиченим й водонасиченим ґрунтом називається кривою депресії або депресивною кривою (ділянка BC). Якщо границя області є водонепроникною (або слабопроникною), то такі ділянки називаються водонепроникними (ділянку A₁E₁) або водоупором.