Проверка гипотез

Размещено на http://www.allbest.ru/

НОУ ВПО «МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»

Магистратура

Направление «Экономика»

Программа «Экономика»

Контрольная работа

На тему: «Проверка гипотез»

Москва 2013 г.

Содержание

Введение

1. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей

2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Критерий Фишера-Снедекора

3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормально распределенной совокупности

4. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией

5. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения

Список рекомендованной литературы

Введение

В основе понятия статистической гипотезы лежит принцип практической уверенности: если вероятность события А очень мала, то при однократном проведении испытания можно быть уверенным в том, что событие А не произойдет, и в практической деятельности вести себя так, будто событие А вообще невозможно.

Вопрос о конкретной величине вероятности события А решает исследователь.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу называют нулевой и обозначают . Наряду с нулевой рассматривают альтернативную, конкурирующую гипотезу , являющуюся логическим отрицанием . Правило, по которому гипотеза принимается или отвергается, называется статистическим критерием.

Вероятность допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу , когда она неверна, обычно обозначают . Вероятность называют мощностью статистического критерия.

По своему содержанию статистические гипотезы подразделяются на основные следующие типы:

· О равенстве числовых характеристик генеральных совокупностей;

· О числовых значениях параметров;

· О законе распределения;

· Об однородности выборок, т.е. принадлежности их одной и той же генеральной совокупности.

Пусть имеются две совокупности, генеральные средние которых соответственно и , дисперсии известны и равны соответственно и . Из этих совокупностей взяты независимые выборки объемами и по которым найдены выборочные средние и , и выборочные дисперсии . В этом случае могут проверяться следующие статистические гипотезы.

дисперсия совокупность распределение

1. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух генеральных совокупностей

дисперсия равенство фишер снедекор

Проверяется гипотеза : , на уровне значимости . Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

критическая область выбирается из условия

Если , то гипотеза не отвергается (не противоречит имеющимся наблюдениям)

Пример 1. Для проверки эффективности рекламной компании отобраны две группы магазинов. В первой, численностью , где проводилась рекламная компания, выборочная средняя составила проданных изделий, во второй группе, численностью , где рекламная компания не проводилась, выборочная средняя изделий. Установлено, что дисперсии продаж соответственно равны:

Выяснить: повлияла ли рекламная компания на объем продаж?

Нулевая гипотеза : ,

на уровне значимости

Конкурирующая гипотез :

Фактическое значение критерия (статистики)

Критическое значения критерия находится из условия:

Так как , то нулевая гипотеза отвергается, что свидетельствует о влиянии рекламной компании на объем продаж.

2. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей. Критерий Фишера-Снедекора

Пусть имеются две нормально распределенных совокупности, дисперсии которых и . Проверяется гипотеза

:

Конкурирующая гипотеза

: .

Статистика для проверки

Критическое значение критерия Фишера-Снедекора определяется по таблицам

,

где - числа степеней свободы дисперсий. Если то нет основания отвергнуть нулевую дисперсию.

Пример 2. Проверяется точность изготовления детали на двух станках x и y. Извлечены выборки объемами

и

изделий соответственно. При этом рассчитаны исправленные выборочные дисперсии

и

На уровне значимости

проверить нулевую гипотезу

:

при конкурирующей гипотезе

: .

.

По таблицам находим

.

Так как

то нулевая гипотеза отвергается, т.е. станки не обеспечивают одинаковую точность

3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормально распределенной совокупности

а) дисперсия генеральной совокупности известна.

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа

Если, то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза

:

Конкурирующая гипотеза

:

Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза : ;

Критическое значение критерия определяется по таблицам интеграла Лапласа



Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

б) дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

где имеет распределение Стьюдента

с степенями свободы дисперсии.

Критическое значение критерия определяется по таблицам двусторонних критических точек распределения Стьюдента

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза :

Критическое значение критерия определяется по таблицам право-сторонних критических точек распределения Стьюдента

Если, , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотез :

Конкурирующая гипотеза :

Критическое значение критерия определяется по таблицам правосторонних критических точек распределения Стьюдента

, но

Если, ,то нулевая гипотеза не отвергается.

4. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения

, где

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения

, где .

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Нулевая гипотеза :

Конкурирующая гипотеза :

Статистика для проверки

Критическое значение критерия определяется по таблицам критических точек распределения

,

где

Если , то нулевая гипотеза не отвергается.

Пример 8.4 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема найдена исправленная выборочная дисперсия .

На уровне значимости

проверить гипотезу :

при конкурирующей гипотезе :

Критическая область двусторонняя. Находим наблюдаемое значение статистики и правую и левую критические точки



Так как наблюдаемое значение лежит в области принятия гипотезы, то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Можно считать, что исправленная выборочная дисперсия незначимо отличается от гипотетической.

5. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о законе распределения

Одной из важнейших задач математической статистики является установление теоретического закона распределения изучаемого признака по опытным данным - имеющейся выборке из генеральной совокупности.

Для решения этой задачи надо определить (подобрать) вид и параметры закона распределения. Как правило, это делают при помощи гистограммы или полигона частот, так как эти графические характеристики выступают аналогом функции плотности вероятностей.

Параметры закона распределения, как правило, неизвестны, поэтому их заменяют точечными оценками, находимыми по выборке.

Как бы хорошо ни был подобран теоретический закон распределения, между эмпирическим и теоретическим законом неизбежны расхождения. Для ответа на вопрос: носят ли эти расхождения случайный характер, или являются следствием несоответствия подобранного закона истинному, служат критерии согласия.

Наиболее часто используется критерий согласия Пирсона или -критерий.

В критерии согласия Пирсона проверяется статистическая гипотеза о виде теоретического закона распределения. Сравнивается с критическим значением сумма квадратов отклонений опытного числа попаданий в каждый интервал от теоретического их числа

где - теоретические вероятности попадания в i-й интервал значений изучаемого признака в случае действительной реализации подобранного закона распределения. Вычисляемая статистика

сравнивается с критическим значением

где - уровень значимости, - число степеней свободы дисперсии, - число параметров в теоретическом законе распределения.

Если гипотеза принимается

Пример 5.Для примера 1 по критерию Пирсона проверить гипотезу о нормальном законе распределения на уровне значимости

Таблица 1

i	1	2	3	4	5	6	7	8
	87-91	91 - 95	95 - 99	99- 103	103-107	107-111	111-115	115-119
	4	10	16	33	16	5	15	1
	0,04	0,1	0,16	0,33	0,16	0,05	0,15	0,01

Был получен вариационный ряд и построена гистограмма. Вид гистограммы позволяет предположить, что изучаемый признак распределен нормально. Теоретические значения математического ожидания и среднего квадратического отклонения неизвестны, поэтому заменяем их «наилучшими оценками» и

Для расчета вероятностей попадания признака в интервалы используем таблицы функций Лапласа

.

Теоретические частоты , так

Для вычисления статистики удобно пользоваться таблицей

Таблица 2

i
1	87-91	4	0,03	3,0	1,0	0,33
2	91 - 95	10	0,08	8,0	4,0	0,25
3	95 - 99	16	0,16	16,0	0,0	0,0
4	99- 103	33	0,18	18,0	225,0	18,12
5	103-107	16	0,22	22,0	36,0	1,63
6	107-111	5	0,2	20,0	225,0	11,25
7	111-115	15	0,15	15,0	0,0	0,0
8	115-119	1	0,02	2,0	1,0	0,25
	100	1,04	104		31,83

Число степеней свободы дисперсии

;

.

Так как

то гипотеза о нормальном законе распределения отвергается

Список рекомендованной литературы

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. _ М.: Наука, 1983. _ 366

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. - М.: Радио и связь, 1988. _ 416 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 2011. _ 400с.

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2008. _ 479с.

Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. _ М.: Высшая школа, 2009. _ 336с.

Теория вероятностей и математическая статистика И.И. Гихман, А.В.

Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 2010. _ 495 с.

Размещено на Allbest.ru