Расчет и моделирование статистических данных

Если индексы охватывают не все элементы сложного явления, а лишь часть, то их называют групповыми или субиндексами (например, индексы продукции по отдельным отраслям промышленности).

Следует подчеркнуть, что статистика применяет, главным образом, общие и групповые индексы, которые и составляют особый прием исследования, именуемый индексным методом.

Индексный метод имеет свою терминологию и символику.

Каждая индексируемая величина имеет обозначение:

q - количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении (от латинского слова quantitas);

р - цена единицы товара ( от латинского слова pretium)'.

Z - себестоимость единицы продукции;

t - затраты времени на производство единицы продукции (трудоемкость);

w - выработки продукции в стоимостном выражении на одного работника или единицу времени;

v - выработка продукции в натуральном выражении на одного работника или в единицу времени;

Т - общие затраты времени (T = tq) или численность работников;

П - посевная площадь;

У - урожайность отдельных культур;

p_q - общая стоимость произведенной продукции данного вида или общая стоимость проданных товаров данного вида (товарооборот, выручка);

Z_q - затраты на производство всей продукции;

УП - валовой сбор отдельной культуры.

Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, принято возле символа индекса внизу справа ставить подстрочные знаки: 1 - для сравниваемых (текущих, отчетных) периодов и 0 - для периодов, с которыми производится сравнение. Если изменение явлений изучается за ряд периодов, то каждый из периодов обозначается соответственно подстрочными знаками 0, 1, 2, 3 и т.д.

Индивидуальные индексы обозначаются i и снабжаются подстрочным знаком индексируемого показателя: i_q - индивидуальный индекс объема произведенной продукции отдельного вида или количества (объема) проданного товара данного вида, ip индивидуальный индекс цен и т.д.

Общий индекс обозначается буквой I и также сопровождается подстрочным знаком индексируемого показателя: например, - I_p - общий индекс цен; I_z - общий индекс себестоимости.

Индивидуальные индексы относятся к одному элементу (явлению) и не требуют суммирования данных. Они представляют собой относительные величины динамики, выполнения обязательств, сравнения. Выбор базы сравнения определяется целью исследования.

Расчет индивидуальных индексов прост, их определяют вычислением отношения двух индексируемых величин:

i_p = Р₁/Р₀ - индивидуальный индекс цен, где Р₁ Р₀ - цены единицы продукции в текущем (отчетном) и базисном периодах.

i_q = q₁/q₀ ~ индивидуальный индекс физического объема продукции.

С аналитической точки зрения индивидуальные индексы аналогичны темпам роста и характеризуют изменения индексируемой величины в текущем периоде по сравнению с базисным, т.е. - во сколько раз она возросла (уменьшилась) или сколько процентов составляет се рост (снижение). Значения индексов выражают в коэффициентах или процентах. Если из значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, т.е. (i - 100), то полученная разность покажет на сколько процентов возросла (уменьшилась) индексируемая величина.

Так, если в I квартале 1996 г. цена 1 л молока на рынке - 1500 руб., а во II квартале - 1710 руб., то i_p, = 1710/1500= 1,14. или 114 %, т.е. цена на молоко повысилась на 14 %, это разность (114 - 100).

В экономических расчетах для измерения динамики сложного явления чаше всего используются общие индексы. Построение этих индексов и является содержанием индексной методологии.

Методика расчета общих индексов сложнее, чем индивидуальных, и различна в зависимости от характера индексируемых показателей, наличия исходных данных и целей исследования.

Любые общие индексы могут быть построены двумя способами: как агрегатные и как средние из индивидуальных. Последние и свою очередь делятся на средние арифметические и средние гармонические. Агрегатные индексы качественных показателей могут быть рассчитаны как индексы переменного состава и индексы постоянного (фиксированном) состава. В индексах переменного состава сопоставляются показатели, рассчитанные на базе изменяющихся структур явлений, а в индексах постоянного состава - на базе неизменной структуры явлений.

Агрегатный индекс является основной формой индекса. "Агрегатным" он называется потому, что его числитель и знаменатель представляют собой набор "агрегат" (от латинского aggregatus складываемый, суммируемый) непосредственно несоизмеримых и не поддающихся суммированию элементов сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируется), а другая -- остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Вес индекса служит для соизмерения индексируемых величин.

2.2 ОБЩИЕ ИНДЕКСЫ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Типичным индексом количественных показателей является индекс физического объема (иногда называют "индекс объема"). Сложность при построении этого индекса заключается в том, что объемы разных видов продукции и товаров в натуральном выражении несоизмеримы и непосредственно суммироваться не могут. Нельзя, например, складывать килограммы хлеба с литрами молока, метрами ткани и парами обуви. Экономически бессмысленно непосредственно суммировать килограммы мяса и рыбы, так как полученный результат в прямом смысле не являлся бы "ни рыбой, ни мясом". Причиной несоизмеримости является неоднородность - различие натуральной формы и свойств.

В связи с этим для разнородных продуктов или товаров сводный индекс физического объема (количества) нельзя построить и вычислить как отношение простых сумм:

Здесь требуется использование специальных приемов индексного метода.

Единство различных видов продукции или разных товаров состоит в том, что они являются продуктами общественного труда, имеют определенную стоимость и ее денежный соизмеритель - цену р. Каждый продукт имеет также себестоимость z и трудоемкость t. Эти качественные показатели я могут быть использованы в качестве общей меры - коэффициента соизмерения разнородных продуктов. Умножая объем продукции каждого вида q на соответствующую цену, себестоимость, трудоемкость единицы продукции получают сравнимые показатели, которые можно суммировать (q_p, q_z, q_t = T).

Коэффициенты соизмерения обеспечивают количественную сравнимость, позволяют учитывать "вес" продукта в реальном экономическом процессе. Поэтому их показатели - сомножители, связанные с индексируемыми величинами, принято называть весами индексов, а умножение на них взвешиванием.

Умножая количество произведенной продукции (проданных товаров) на цены (которые, как правило, выступают в качестве соизмерителя неоднородной продукции), получаем стоимостное ("ценностное") выражение продукции каждого вила, которое допускает суммирование.

Стоимость продукции представляет собой произведение количества продукции в натуральном выражении q на цену единицы продукции р.

Отношение стоимости продукции базисного периода к стоимости продукции текущего периода представляет собой агрегатный индекс стоимости проекции или товарооборота:

Этот индекс показывает во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции (товарооборота) отчетного периода по сравнению с базисным, или сколько процентов составляет рост (снижение) стоимости продукции.

Если из индекса стоимости продукции вычесть 100%, то разность (I_pq - 100) покажет на сколько процентов изменилась стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным.

С помощью агрегатных индексов можно рассчитать не только относительное изменение изучаемого явления, но и разложить абсолютный прирост результативного показателя по факторам.

Например,

Где - абсолютный прирост стоимости продукции;

- абсолютный прирост стоимости продукции, обусловленный изменением уровня цен на продукцию;

- абсолютный прирост стоимости продукции, обусловленный изменением физического объема продукции.

Разность числителя и знаменателя формулы:

показывает на сколько денежных единиц (рублей) изменилась стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным.

При анализе общего объема товарооборота этот прирост объясняется также изменением уровня цен и количества проданных товаров.

Значение индекса стоимости продукции (товарооборота) зависит от двух факторов: изменения количества продукции (объемов) и цен.

Для того чтобы индекс охарактеризовал изменение только одного фактора, нужно устранить (элиминировать) в формуле влияние другого фактора, зафиксировав его как к числителе, так и в знаменателе на уровне одного и того же периода. Так, если продукцию (товары) сравниваемых периодов оценивать по одним и тем же, например, базисным ценам р₀, то такой индекс отразит изменение только одного фактора - индексируемого показателя q и будет представлять собой агрегатный индекс физического объема продукции:

где q₁ , q₀ количество (объем) продукции в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах соответственно р₀ - базисная (фиксированная) цена единицы товара.

Индекс физического объема продукции показывает во сколько раз изменился физический объем продукции или сколько процентов составляет его рост (снижение) в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом.

В числителе формулы - условная стоимость произведенных в текущем периоде товаров в ценах базисного периода, а в знаменателе - фактическая стоимость товаров, произведенных в базисном периоде.

Разность числителя и знаменателя формулы: показывает, на сколько денежных единиц (рублей) изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) се объема.

Прирост физического объема товарооборота объясняется изменением количества проданных товаров.

Изменение цен на продукцию в отчетном периоде по сравнению с базисным не влияет на величину индекса.

Прирост физического объема товарооборота объясняется изменением количества проданных товаров. При построении агрегатного индекса физического объема произведенной на предприятии продукции в качестве весов может быть использована себестоимость базисного периода z₀ .

Обычно при построении агрегатного индекса физическою объема в качестве соизмерителей принимается сопоставимые, неизменные, фиксированные цены на уровне базисного периода, что позволяет устранить их влияние на изменение объема (количества). Использование неизменных цен и зависимости от объекта исследования даст возможность изучить динамику выпуска совокупности произведенных товаров на отдельном предприятии, в отраслях промышленности и промышленности в целом. Если объектом исследования является какой-то регион, то индекс рассчитывается по товарам, произведенным предприятиями региона.

Сопоставимые цены не должны сильно отличаться от действующих (текущих) цен. Поэтому их периодически пересматривают, переходят к новым сопоставимым ценам.

Проиллюстрируем расчет агрегатного индекса физического объема продукции на примере данных (табл. 10).

Таблица 10 - Выработка продукции на предприятии в январе 1996 г.

Продукция ед. изм.	Выработано продукции, тыс.	Цена за единицу, тыс. руб	%, выработки
	q0	q1	p0	p1
А, т	500	500	15	14	1,00
Б, м	200	240	10	11	1,20
В, шт.	600	420	25	30	0,70

Индивидуальные (однотоварные) индексы (см. табл. 10.) показывают, что в отчетном периоде выпуск продукции А остался на уровне базисного периода, продукции Б - увеличился на 20 %, а выпуск продукции В снизился на 30 %.

Для того чтобы на основе данных табл. 10 об изменении выпуска отдельных видов продукции определить изменение выпуска всей продукции используется общий индекс физического объема продукции. Следовательно, физический объем всей продукции в отчетном периоде составляет 83,3% от его уровня в базисном периоде, он снизился за это время на 16,7%, т.е. (0,833 * 100 - 100).

Вычитая из числителя знаменатель, находим абсолютный прирост (снижение) стоимости продукции в неизменных ценах млн. руб.:

= 20400 - 24500 = - 4100, т.e. - 4,l млрд. руб.

Следовательно, в отчетном периоде стоимость продукции уменьшилась в абсолютном выражении на 4,1 млрд. руб. (только за счет снижения на 19,7 % физического объема производства продукции).

Сделав расчет по формуле, найдем, как изменился за этот период общий объем продукции в фактических ценах (т.е. с учетом изменения цен):

Общий выпуск продукции (стоимость) в фактических ценах в текущем периоде составил 90,8 % се выпуска в базисном периоде. или с учетом изменения цен снизился на 9,2 %, т.е. (0.908 - 100 - 100).

Значение общего индекса I_pq зависит от изменения двух индексируемых величин: цен р₁, p₀, и количеств товаров (q₁, q₀). Она характеризует изменение объема продукции в целом, т.е. отражает одновременное влияние обоих факторов - изменение количества продуктов и изменение уровня цен.

Этот индекс чаще вычисляется в торговле, когда необходимо знать изменение товарооборота в фактических ценах. В промышленности же преимущественно исчисляется индекс физического объема продукции в сопоставимых, фиксированных ценах (в условиях высокой инфляции это обычно цены предшествующего периода, с которыми производят сравнение), с тем, чтобы определить динамику выпускаемой продукции.

Агрегатный способ исчисления общих индексов в статистике является основным наиболее распространенным, вместе с тем применяется и другой способ расчета общих индексов как средних из соответствующих индивидуальных индексов. К исчислению таких средневзвешенных индексов прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Так, если неизвестны количества произведенных отдельных видов продукции в натуральных измерителях, но известны индивидуальные индексыi_q= q₁/q₀ и стоимость продукции базисного периода p₀q₀ , можно определить средний арифметический индекс физического объема продукции.

Исходной базой построения средневзвешенного индекса физического объема продукции служит его агрегатная форма.

Из имеющихся данных можно получить знаменатель этой формулы, для нахождения числителя используем формулу индивидуального индекса объема продукции i=q₁:q₀, из которой следует, что q₁=i_q * q₀. Подставляя данное выражение в числитель агрегатной формы, получаем общий индекс физического объема в форме среднего арифметического индекса физического объема продукции, где весами служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде (q₀p₀):

При выборе весов следует иметь в виду, что средний индекс должен быть тожественен агрегатному, который является основной формой индекса.

Если известны данные, позволяющие исчислить только числитель агрегатного индекса физического объема по формуле, то, аналогично выражая продукцию базисного периода как q₀ = q₁/i_q, производим замену в знаменателе агрегатной формы. В результате получаем общий индекс физического объема в форме среднего гармонического индекса физического объема, где весами служит стоимость продукции отчетного периода в базисных (или сопоставимых) ценах (q₁p₀):

В форме средней гармонической взвешенной индекс физического объема используется только в аналитических целях.

Следовательно, применение той или иной формулы индекса физического объема (агрегатного, среднего арифметического или среднего гармонического) зависит от имеющихся в нашем распоряжении конкретных данных и цели исследования.

Так, при наличии данных о стоимости продукции в сопоставимых ценах в базисном периоде общий индекс физического объема продукции должен рассчитываться как средний арифметический взвешенный (см. табл. 11):

Таблица 11 - Индивидуальные индексы объема i_q и стоимость продукции в базисном периоде в базисных ценах 1996 г.

Продукты	общий индекс, iq	q0p0, млн. руб.
А	1,10	300
Б	0,90	250
В	0,75	400

2.3 ИНДЕКСЫ-ДЕФЛЯТОРЫ

Переход к рыночным отношениям сопровождается инфляционными процессами. Инфляция -- повышение общего для всей экономики страны уровня цен на потребительские товары и услуги вследствие обесценивания бумажных денег, находящихся в обращении сверх реальных потребностей всей экономики. Это падение покупательной способности денежной единицы. Инфляция и дефляция (снижение общего уровня цен) усложняют подсчет важнейших экономических показателей системы национальных счетов: НД, ВВП, ВНП и т.д. Например, затруднительно ответить на вопрос, вызван ли 4 %-ный рост ВВП увеличением на 4% объема производства при нулевой инфляции, либо он вызван 4 %-ной инфляцией при неизменном объеме производства, либо каким-нибудь иным сочетанием изменений объема производства и уровня цен (например, 2 %-ным ростом производства и 2 %-ной инфляцией). Проблема заключается в том, чтобы пересчитать значения важнейших стоимостных показателей СНС из фактических цен в сопоставимые. Осуществляется это с помощью индексов-дефляторов.

Дефлятор - это коэффициент, переводящий значение стоимостного показателя за отчетный период в стоимостные измерители базисного. Например, индекс-дефлятор валового внутреннего продукта (ДВВП) представляет собой индекс цен, применяемый для корректировки номинального объема ВВП с учетом инфляции и получения на этой основе реального объема ВВП.

Индекс-дефлятор ВВП для определенного года в общем виде "Представляет собой отношение стоимости продукции отчетного периода к стоимости объема продукции, структура которого аналогична структуре отчетного года, но определенного в ценах базисного года:

Индекс дефлятор ВВП =	Объем ВВП в текущих ценах	х 100 (14)
	Объем ВВП в сопоставимых ценах предыдущего года

Наиболее распространенным показателем инфляции является ИПЦ (сводный индекс потребительских цен), который прост для расчета и может быть определен за короткие промежутки времени (месяц, квартал)

Дефлятор ВВП шире, чем ИПЦ, поскольку включает в себя не только цены потребительских товаров и услуг, но также цены покупаемых правительством товаров и инвестиционных товаров и услуг. Кроме того, дефлятор ВВП характеризует изменение оплаты труда, прибыли (включая смешанные доходы) потребление основного капитала в результате изменения цен, а также номинальной массы чистых доходов. Индекс рассчитывается, как правило, за годичный период.

Подводя итоги, можно сказать, что с помощью показателя реального ВВП измеряется стоимость общего объема отечественного производства в разные годы в предположении неизменного уровня цен, начиная с базисного года и на протяжении всего рассматриваемого периода. Таким образом, реальный ВВП показывает рыночную стоимость продукции каждого года, измеренную в постоянных ценах, т.е. в рублях, которые имеют ту же покупательную способность, как и в базисном году.

Исчисление реального ВВП на основе номинальною ВВП с помощью индекса-дефлятора ВВП проведём по данным табл. 12.

Таблица 12 - Расчетные значения реального ВВП России

№ п/п	Показатель	1992 г.	1993 г.	1994 г.	1995г.
1	Номинальный ВВП (в текущих ценах), млрд. руб.	19 005,5	171509,5	610 592,3	1 630 956,4
2	Индекс-дефлятор, в разах (к предыдущему году)	15,9	9,9	4,1	2,8
3	Реальный ВВП, млрд. руб.	1195,3	17 324,2	148 924,9	582 484,4

Поскольку показатели номинального ВВП отражают изменения как объема производства, так и цены, то показатели реального ВВП позволяют подсчитать изменение реального объема производства, так как они предполагают неизменный уровень цен.

Реальный ВВП является более точной по сравнению с номинальным ВВП характеристикой функционирования экономики. Общепризнанно, что если ежегодный прирост реального ВВП превышает 4 %, то состояние экономики можно считать стабильным, а если не превышает - это свидетельствует о спаде производства, росте безработицы и дестабилизации экономики.

В статистической практике индексы-дефляторы определяются не только в целом по всей экономике страны. Они исчисляются по отдельным регионам, различным товарным группам, отраслям экономики и т.д.

3. Динамические характеристики и погрешности приборов для измерения и контроля финансово-экономических показателей

3.1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При измерениях в динамических условиях, т.е. при переменном во времени значении измеряемой величины, возникают динамические погрешности, обусловленные инерционностью приборов, которые проявляются в том, что их показания отстают от изменения измеряемой величины. Для оценки инерционности обычно вводят понятие динамических характеристик.

Прежде всего заметим, что для каждого прибора существует свой оператор, т.е. закон, в соответствии с которым каждой данной функции на его входе ставится в соответствие определенная функция на его выходе. Именно оператором преобразования и определяется все многообразие динамических свойств, присущих приборам, если конечно, этот оператор составлен с учетом всех важных факторов и закономерностей, сопровождающих работу последних.

Аналоговый прибор называется линейным, если отношение информативного параметра выходного сигнала* к соответствующему постоянному информативному параметру входного сигнала** и динамические характеристики, определяющие изменение выходного сигнала вследствие изменений во времени информативного параметра входного сигнала в пределах требуемой точности, не зависят от информативного параметра входного сигнала***, в противном случае он называется нелинейным.

Прибор называется стационарным, если его динамические свойства не изменяются с течением времени. Если такое изменение имеет место, то прибор является нестационарным. Следствием постоянства во времени динамических свойств прибора является то, что процесс преобразования входных сигналов обладает свойством инвариантности относительно сдвига во времени входных сигналов. Таким образом, реакция стационарных приборов не зависит от момента приложения входных сигналов, а зависит только от разности текущего времени и момента приложения входных сигналов.

Нестационарные приборы не обладают указанным выше свойством инвариантности, их реакция зависит как от текущего времени, так и от момента приложения входных сигналов.

Вполне понятно, что нелинейные приборы могут быть как стационарными, так и нестационарными.

Приборы, будучи представленными одной из выше рассмотренных групп, могут быть отнесены либо к приборам с сосредоточенными, либо с распределенными параметрами.

Приборами с сосредоточенными параметрами называются такие, при учете взаимодействия которых с источником входного сигнала и (или) устройством, подключенным к его выходу, в пределах требуемой точности можно пренебречь размерами входных и (или) выходных устройств и волновыми эффектами*. Их динамические свойства описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Приборами с распределенными параметрами называются такие, входы и сигналы которых непрерывно распределены вдоль некоторой линии или поверхности. Их динамические свойства описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными, интегро-дифференциальными или функциональными уравнениями.

Поскольку влияние динамических характеристик приборов на динамические свойства систем наиболее существенно для систем автоматического регулирования и управления различными финансово-экономическими показателями, где основные параметры процессов являются строго детермированными функциями времени, то для практических случаев с достаточной степенью точности достоверности можно считать применяемые в практике приборы стационарными линейными с сосредоточенными параметрами. При дальнейшем изложении, если это не будет оговорено особо, рассматриваются динамические свойства только таких приборов.

3.2 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИБОРОВ

Динамическими характеристиками приборов называются характеристики их инерционных свойств, определяющие зависимость выходного сигнала от меняющихся во времени величин:

параметров входного сигнала, внешних влияющих величин, нагрузки*.

По признаку полноты описания динамических свойств динамические характеристики приборов разделяют на полные и частные.

Полной динамической характеристикой прибора называется динамическая характеристика, однозначно определяющая изменение его выходного сигнала при любом изменении во времени входного сигнала или влияющей величины**. К ним относятся дифференциальное уравнение, импульсная и переходная характеристики, передаточная функция, совокупность амплитудно - и фазочастотной характеристик.

Частной динамической характеристикой прибора называется динамическая характеристика, представляющая собой параметр или функционал полной динамической характеристики.

3.2.1 Импульсная и переходная характеристики

Для характеристики динамических свойств приборов широко используются переходные процессы, соответствующие типовым входным сигналам. Наиболее распространенными переходными временными характеристиками являются:

Рисунок 5 - Дельта-функция и реакция на нее.

1) импульсная характеристика, которую в дальнейшем будем обозначать К?в, t?, показывающая реакцию прибора на единичный мгновенный импульс ??t? называемый дельта-функцией или функцией Дирака (рис. 5) и удовлетворяющая условиям:

	(15)

Рисунок 6 - Единичная ступенчатая функция и реакции на нее.

переходная характеристика, которую будем обозначать в дальнейшем изложении h?в, t??, показывающая, как изменяется выходная величина у прибора при подаче на его вход сигнала в виде единичной ступенчатой функции l(t), называемой функцией Хевисайда (рис. 6, а):

	(16)

Между функциями ??t? и l(t) а также К?в, t? и h?в, t?? существуют следующие взаимосвязи: ??t? = l(t)

(17)

В большинстве случаев практического применения приборов в качестве основной временной характеристики используется переходная характеристика h?в, t??, (рис. 6, б, в), из которой можно получить следующие частные динамические характеристики: t_п - постоянную времени при экспоненциальном изменении выходного сигнала h?в, t?? (рис. 6, б), за которое последний достигает 0,632 установившегося значения h?в, t?_max и определяемую как проекцию касательной, проведенной в начале координат на ось абсцисс; t_п - постоянную времени для неэкспоненциального характера изменения (рис. 6, в), определяемую как проекцию на ось абсцисс касательной, проведенной в точке перегиба динамической характеристики; t_н.р. - время начала регистрирования, прошедшее с момента изменения входного сигнала до заметного изменения выходного; T_п - время переходного процесса, в течение которого показания входят в 5 %-ную зону установившегося значения, т.е. когда h?в, t?????0,95 h?в, t??_max; a ??const ; Т - полное время установления показаний от момента изменения входного сигнала до момента установления постоянных показаний прибора.

3.2.2 Передаточная функция и амплитудно-фазовая характеристика

Для практики использования приборов в условиях финансово-экономических исследованиях бывает удобнее оперировать не с рассмотренными выше временными характеристиками (импульсными и переходными), а с так называемыми передаточными функциями, которые определяются с помощью преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа L для функции f(t) можно записать в следующем виде:

	(18)

где р - оператор Лапласа.

Передаточной функцией прибора будем называть отношение изображения по Лапласу его выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях

	(19)

При практических расчетах динамических свойств приборов целесообразно рассматривать частный случай передаточных функций, определяемых уравнением (19) при р = i?.

В этом случае преобразование Лапласа превращается в преобразование Фурье и передаточная функция W?a, p? ?выражается в совокупность амплитудно- и фазочастотной характеристик (амплитудно-фазовая характеристика - АФХ) W?a , i???, которая дает представление о частотных свойствах прибора.

В большинстве случаев можно ограничиться изучением частной динамической характеристики - модуля комплексного числа АФХ W?a, i???, который получил название амплитудно-частотной характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика прибора определяет спектр частот, пропускаемых этим прибором. Очевидно, что если он обладает большой инерционностью (запаздыванием), т.е. имеет длительное время от момента изменения входного сигнала на входе прибора до момента начала изменения выходных показаний, то спектр его частот будет лежать в области низких частот и, поэтому он не будет измерять параметры быстроменяющихся процессов, содержащих высокочастотные составляющие.

Функции h?a, t??, k?a, t??, W?a, p ??, W?a , i???, приборов связаны между собой (табл. 13). Каждая из них может быть получена непосредственно из дифференциального уравнения; при этом предполагается, что вектор параметров a ??a 0 ??const .

В табл. 13 приняты обозначения: L - прямое преобразование Лапласа (18); L-1 - обратное преобразование Лапласа:

где ?0 - абсцисса абсолютной сходимости функций; F - прямое преобразование Фурье:

F-¹ - обратное преобразование Фурье

Таблица 13 - Динамические характеристики приборов и связи между ними

3.2.3 Методы определения динамических характеристик

Наиболее распространенными в практике динамических измерений методами определения динамических характеристик приборов являются аналитические и экспериментальные методы.

Аналитические методы предполагают нахождение дифференциального уравнения, описывающего работу прибора в динамическом режиме измерения с учетом всего комплекса физических и физико-химических процессов, происходящих в приборе, а также условий его работы.

В ряде случаев данная группа методов является весьма трудоемкой, поэтому на практике широко применяются экспериментальные методы изучения динамики.

В ГОСТ 8.256-87 определены основные требования к методам экспериментального определения динамических характеристик, суть которых состоит в следующем.

При определении полных динамических характеристик предпочтение необходимо отдавать прямым методам, при которых на вход прибора подается испытательный сигнал, позволяющий непосредственно по выходному сигналу определить искомую характеристику.

Если невозможно воспроизвести с требуемой точностью испытательный сигнал, позволяющий найти полную динамическую характеристику непосредственно из опытных данных, то допускается ее определять пересчетом другой динамической характеристики, найденной прямым методом.

При определении динамических характеристик приборов, представляющих собой функции, вид которых известен, целесообразно определять экспериментально только коэффициенты функций.

3.2.4 Некоторые вопросы анализа нестационарных линейных приборов

Динамические свойства приборов определяются не только структурной схемой, связывающей выходной сигнал с входным, но и характером входящих в эту схему параметров в. Ясно, что постоянство параметров в процессе эксплуатации, переменность и характер их переменности - это основные моменты, которые коренным образом могут изменить динамические свойства приборов, хотя структура оператора преобразования входного сигнала может оставаться одной и той же.

В ряде случаев практического применения входной сигнал прибора измеряется в условиях, отличных от нормальных, поэтому в анализ его динамических свойств необходимо вводить влияющие величины, действующие на параметры, т.е. считать, что в = в (q) , где q - вектор влияющих величин.

Исследование влияния переменности параметров a на динамические свойства прибора может быть произведено методами теории чувствительности, которые являются наиболее простыми, правда далеко не самыми точными.

Теоретической основой методов чувствительности являются классические методы теории возмущений, или, что то же самое, методы малых параметров. Наиболее благоприятной основой для применения методов теории чувствительности являются ситуации, при которых отклонения параметров в(q) от их номинальных значений в(q⁰) сравнительно малы.

Суть метода теории чувствительности заключается в следующем. Пусть в заданной структурной схеме прибора содержится k параметров а₁, а₂, ... , а_k, значения которых могут отличаться от номинальных (т.е. при q ??q⁰)

а₁₀, а₂₀, ... , а_k0 на величины ?a₁, ?a₂,..., ?a_k. Тогда выходной сигнал такого прибора будет функцией как времени, так и всех указанных параметров y = f (t, а₁, а₂, ... , а_k). Допустим, что отклонения ?a₁, ?a₂, ... , ?a_k малы и при разложении функции y (t, а₁, а₂, ... , а_k) в ряд Тейлора можно ограничиться изучением только линейных относительно ?a_i членов.

При этом

где y₀ (t, а₁₀, а₂₀, ... , а_k0) - означает реакцию прибора со значениями параметров в, равными номинальным.

Функции

	(20)

называются функциями чувствительности. Как видно, физический смысл этих функций заключается в том, что они характеризуют влияние отклонений параметров в от их номинальных значений на величину выходного сигнала.

В том случае, когда ограничение линейными членами разложения выходного сигнала в ряд Тейлора не дает ожидаемых результатов, совершенно аналогично вводится понятие функции чувствительности более высокого порядка. Например, функции чувствительности второго порядка будут определяться следующими выражениями:

Функции чувствительности могут быть определены также непосредственно из самих уравнений, описывающих динамику приборов, для чего строятся новые уравнения - уравнения чувствительности, причем, в большинстве случаев они оказываются линейными независимо от структуры исходного уравнения.

На практике исследуется чувствительность не только самого выходного сигнала прибора, но и всех его основных динамических характеристик. Следовательно, по аналогии с формулой (20) для функций чувствительности динамических характеристик прибора имеем

Эти соотношения определяют собой функции чувствительности переходной характеристики, импульсной характеристики, передаточной функции, АФХ, соответственно. Ясно, что если известны аналитические выражения в замкнутой форме или в явном виде для этих характеристик, то нахождение соответствующих функций чувствительности не представляет собой особого труда. Однако, поскольку имеются взаимосвязи между динамическими характеристиками (см. данные табл. 13), то для нахождения всех функций чувствительности достаточно знания хотя бы одной характеристики, причем в большинстве случаев желательно - передаточной функции прибора.

3.3 ДИНАМИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБОРОВ

Динамические погрешности прибора возникают при неустановившемся режиме измерения. Под динамической погрешностью понимают ту часть погрешности прибора, которая добавляется к статической погрешности в неустановившемся режиме измерения. Таким образом, общая погрешность в динамическом режиме равна сумме статической и динамической погрешностей. В практике измерений применяют два способа нахождения динамической погрешности: экспериментальный и аналитический.

В первом случае скачкообразно на входе прибора изменяют значение измеряемой величины, находят выходной сигнал (переходная характеристика h(в ,t )) и по разности между показаниями прибора и действительным значением измеряемой величины (при отсутствии статической погрешности показания) в данный момент времени определяют динамическую погрешность ?_д (см. рис. 6): ?_д = X_д - x, где X_д - показание прибора в динамических условиях; x - измеряемая величина.

Аналитически динамическую погрешность определяют по формуле:

где F_н - символ функции, обратной номинальной статической характеристике прибора при нормальных условиях эксплуатации; q = q⁰; W(в⁰, p) - передаточная функция; f (p,q⁰) - операторное выражение входного сигнала, преобразованного по Лапласу; ?(p,q⁰) - операторное по Лапласу выражение погрешности прибора, приведенное к его входу, если ?_д(t) определяется для нормальных условий эксплуатации, то ?(p,q⁰) - основная допустимая погрешность, если для рабочих условий, то ?(p,q⁰) - погрешность в рабочих условиях эксплуатации.

4. Построить диаграммы: столбиковую, круговую, секторную, линейную, радиальную и картограмм. Данные статистического ежегодника за 2009 г.

Таблица 14. Основные показатели использования информационных и коммуникационных технологий в организациях
	Всего	В процентах от общего числа
		обследованных организаций
	2003	2005	2006	2007	2008	2003	2005	2006	2007	2008
Число обследованных организаций - всего	121393	150934	161523	170035	169880	100	100	100	100	100
из них:
использовали
персональные компьютеры	102737	137436	150694	158706	159158	84,6	91,1	99,3	93,3	93,7
ЭВМ других типов	10134	13990	18318	22182	24660	8,3	9,3	11,3	13	14,5
локальные вычислительные	55624	79054	92127	95882	100668	45,8	52,4	57	56,4	59,3
сети
электронную почту	58988	84538	102699	117549	126309	48,6	56	63,6	69,1	74,4
глобальные информационные	60874	81910	100891	116790	126979	50,1	54,3	62,5	68,7	74,7
сети
из них сеть:
Интернет	52728	80444	99051	115257	125165	43,4	53,3	61,3	67,8	73,7
Интранет	-	-	13843	15870	18415	-	-	8,6	9,3	10,8
Экстранет	-	-	4374	5316	6383	-	-	2,7	3,1	3,8
имели веб-сайты в Интернет	16366	22348	34104	33626	38812	13,5	14,8	21,1	19,8	22,8

Более подробно построение графиков и диаграмм рассмотрены графики в главе 6 раздела 6.3.

Рисунок - 7 Пример построения столбиковой диаграммы: Использование Информационных технологий в организациях, в процентах

Рисунок - 8 Пример построения радиальнойой диаграммы: Использование Информационных технологий в организациях, в процентах

Рисунок - 9 Пример построения трехмерной столбиковой диаграммы: Использование Информационных технологий в организациях, в процентах

Рисунок 10. Пример построения секторной диаграммы: Использование Информационных технологий в организациях, в процентах



Рисунок - 11 Пример построения секторной диаграммы: Использование Информационных технологий в организациях, в процентах от общего числа для каждого года

5. Задание 8. Изобразить графическую динамику ряда с помощью статистической кривой

1. Изобразить графическую динамику ряда с помощью статистической кривой;

2. вычислить по данным полученного ряда абсолютные, относительные средние; результаты расчетов отобразите в табличной форме;

3. произведете выбор адекватной экономико-математической модели тренда с соответствующим графическим сопровождением;

4. сформулируйте выводы относительно основной тенденции развития ряда динамики.

Исходные данные для выполнения задания

Год	Объем розничного товарооборота, тыс.штук
1974	1226
1975	1241
1976	1246
1977	1560
1978	1600
1979	1621
1980	1657
1981	1651
1982	1730
1983	1750
1984	1827
1985	1929
1986	2075
1987	2093
1988	2143
1989	2288
1990	2891
1991	2949
1992	3017
1993	3108
1994	3170
1995	3210
1996	3305

5.1 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИКИ РЯДА С ПОМОЩЬЮ СТАТИСТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

Изобразим графическую динамику ряда с помощью статистической кривой рис.12.

Рисунок 12 - Статистическая кривая

Вычисляем по данным полученного ряда абсолютные, относительные средние; результаты расчетов и отображаем их в табличной форме табл.15

Таблица 15.

Год	Объем розничного товарооборота, тыс.штук	Темп роста по годам %	Абсолютный прирост по годам, млрд. руб.
1974	1226	---	---
1975	1241	101,2	15,0
1976	1246	100,4	5,0
1977	1560	125,2	314,0
1978	1600	102,6	40,0
1979	1621	101,3	21,0
1980	1657	102,2	36,0
1981	1651	99,6	-6
1982	1730	104,8	79,0
1983	1750	101,2	20,0
1984	1827	104,4	77,0
1985	1929	105,6	102,0
1986	2075	107,6	146,0
1987	2093	100,9	18,0
1988	2143	102,4	50,0
1989	2288	106,8	145,0
1990	2891	126,4	603,0
1991	2949	102	58,0
1992	3017	102,3	68,0
1993	3108	103,02	91,0
1994	3170	102	62,0
1995	3210	101,3	40,0
1996	3305	103	95,0
В среднем	2142,9	100,3	90,4

Таблица 16. Матрица определения параметров математических функций при

	условные обозначения времени	yi	ti yi	tiІyi	tiіyi	lgyi	ti lgyi
год	ti	ti2	ti3	ti4	ti5	ti6
1974	-11	121	-1331	14641	-161051	1771561	1226	-13486	148346	-1631806	3,08849	-33,9734
1975	-10	100	-1000	10000	-100000	1000000	1241	-12410	124100	-1246000	3,093772	-30,9377
1976	-9	81	-729	6561	-59049	531441	1246	-11214	100926	-908334	3,095518	-27,8597
1977	-8	64	-512	4096	-32768	262144	1560	-12480	99840	-798720	3,193125	-25,545
1978	-7	49	-343	2401	-16807	117649	1600	-11200	78400	-548800	3,20412	-22,4288
1979	-6	36	-216	1296	-7776	46656	1621	-9726	58356	-350136	3,209783	-19,2587
1980	-5	25	-125	625	-3125	15625	1657	-8285	41425	-207125	3,219323	-16,0966
1981	-4	16	-64	256	-1024	4096	1651	-6604	26416	-105664	3,217747	-12,871
1982	-3	9	-27	81	-243	729	1730	-5190	15570	-46710	3,238046	-9,71414
1983	-2	4	-8	16	-32	64	1750	-3500	7000	-14000	3,243038	-6,48608
1984	-1	1	-1	1	-1	1	1827	-1827	1827	-1827	3,261739	-3,26174
1985	0	0	0	0	0	0	1929	0	0	0	3,285332	0
1986	1	1	1	1	1	1	2075	2075	2075	2075	3,317018	3,317018
1987	2	4	8	16	32	64	2093	4186	8372		3,320769	6,641538
1988	3	9	27	81	243	729	2143	6429	19287	57861	3,331022	9,993067
1989	4	16	64	256	1024	4096	2288	9152	36608	146432	3,359456	13,43782
1990	5	25	125	625	3125	15625	2891	14455	72275	361375	3,461048	17,30524
1991	6	36	216	1296	7776	46656	2949	17694	106164	636984	3,469675	20,81805
1992	7	49	343	2401	16807	117649	3017	21119	147833	1034831	3,479575	24,35703
1993	8	64	512	4096	32768	262144	3108	24864	198912	1591296	3,492481	27,93985
1994	9	81	729	6561	59049	531441	3170	28530	256770	2310930	3,501059	31,50953
1995	10	100	1000	10000	100000	1000000	3210	32100	321000	3210000	3,506505	35,06505
1996	11	121	1331	14641	161051	1771561	3305	36355	399905	4398955	3,519171	38,71089
	0	1012	0	79948	0	7499932	49287	101037	2271407	7891617	76,10781	20,66222



Таблица 17. Матрица определения параметров математических функций при ?tiпо различным функциям	отклонение теоретических уровней yi от фактических уровней yti	параболы третьего порядка	(yti-yi)2	15 793,70293	4 970,25000	16,80180	60 031,86020	44 010,16580	23 396,14976	11 679,55718	312,26424	68,82362	4 161,28206	7 259,21040	7 437,33760	2 409,04272	21 370,05423	47 527,05205	40 806,42404	69 887,26704	31 555,61432	8 531,47796	444,61940	7 860,24096	53 049,14498	107 171,11690	569 749,46018
			yti-yi	-125,67300	-70,50000	-4,09900	-245,01400	-209,78600	-152,95800	-108,07200	-17,67100	-8,29600	64,50800	85,20100	86,24000	49,08200	146,18500	218,00700	202,00600	-264,36200	-177,63900	-92,36600	-21,08600	88,65800	230,32400	327,37000
		параболы второго порядка	(yti-yi)2	1 775,94816	4 361,28160	11 181,37056	24 885,69350	20 005,83936	10 065,70758	4 679,92810	127,96134	140,13824	5 954,90022	8 336,05520	7 437,33760	1 847,28040	17 829,72678	39 155,70288	29 940,07302	92 422,08010	53 014,14150	25 818,70512	11 731,48934	446,81504	8 805,94560	25 479,18288	405 443,30419
			yti-yi	42,14200	66,04000	105,74200	-157,75200	-141,44200	-100,32800	-68,41000	11,31200	11,83800	77,16800	91,30200	86,24000	42,98000	133,52800	197,87800	173,03200	-304,01000	-230,24800	-160,68200	108,31200	-21,13800	93,84000	159,62200
		показательной функции	(yti-yi)2	130,87360	1 025,92090	7 800,42240	26 062,87360	17 988,17440	7 148,70250	2 169,69640	1 369,00000	1 537,42410	10 895,18440	13 609,55560	11 713,73290	3 636,09000	21 054,01000	41 168,41000	29 172,64000	98 501,82250	61 394,92840	34 558,81000	19 712,16000	3 548,58490	2 520,04000	12 570,89440	429 289,95100
			yti-yi	-11,44000	32,03000	88,32000	-161,44000	-134,12000	-84,55000	-46,58000	37,00000	39,21000	104,38000	116,66000	108,23000	60,30000	145,10000	202,90000	170,80000	-313,85000	-247,78000	-185,90000	-140,40000	-59,57000	50,20000	112,12000
		прямолинейной функции	(yti-yi)2	32 884,19560	9 312,25000	2,75560	46 578,27240	24 329,76040	5 950,57960	176,89000	8 563,65160	12 855,02440	37 333,96840	46 681,92360	45 753,21000	28 136,70760	62 290,17640	89 652,33640	64 648,14760	61 951,21000	42 873,84360	30 702,04840	27 682,30440	16 522,53160	4 719,69000	4 078,09960	703 679,57720
			yti-yi	-181,34000	-96,50000	-1,66000	-215,82000	-155,98000	-77,14000	-13,30000	92,54000	113,38000	193,22000	216,06000	213,90000	167,74000	249,58000	299,42000	254,26000	-248,90000	-207,06000	-175,22000	-166,38000	-128,54000	-68,70000	-63,86000
	теоретические уровни по моделям yti	функции параболы третьего порядка	1 100,327	1 170,500	1 241,901	1 314,986	1 390,214	1 468,042	1 548,928	1 633,329	1 721,704	1 814,508	1 912,201	2 015,240	2 124,082	2 239,185	2 361,007	2 490,006	2 626,638	2 771,361	2 924,634	3 086,914	3 258,658	3 440,324	3 632,370	49 287
		функции параболы второго порядка	1268,142	1307,04	1351,742	1402,248	1458,558	1520,672	1588,59	1662,312	1 741,838	1 827,168	1 918,302	2 015,240	2 117,980	2 226,528	2 340,878	2 461,032	2 586,990	2 718,752	2 856,318	2 999,688	3 148,862	3 303,840	3 464,622	49 287
		показательной функции	1214,5600	1273,03	1334,32	1398,56	1465,88	1536,45	1610,42	1688	1769,21	1854,38	1943,66	2037,23	2135,3	2238,1	2345,9	2458,8	2577,15	2701,22	2831,1	2967,6	3110,43	3260,2	3417,12	49 169
		прямоли-нейной функции	1044,66	1144,5	1244,34	1344,18	1444,02	1543,86	1643,7	1743,54	1843,38	1943,22	2043,06	2142,9	2242,74	2342,58	2442,42	2542,26	2642,1	2741,94	2841,78	2941,62	3041,46	3141,3	3 241	49 287
	yi	1 226	1 241	1 246	1 560	1 600	1 621	1 657	1 651	1 730	1 750	1 827	1 929	2 075	2 093	2 143	2 288	2 891	2 949	3 017	3 108	3 170	3 210	3 305	49 287
	ti	-11	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	0
	год	1974	1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996

3. Из характера размещения уровней анализируемого ряда динамики на поле графика (рис.12) можно сделать предположение о возможном применении тренда при аналитическом изучении ряда математических функций. Это может быть и уравнение прямолинейной функции, и уравнение показательной кривой, и уравнение параболы второго порядка, и уравнение параболы третьего порядка. Для выбора наиболее адекватной из них следует осуществить сравнительный анализ тренда исходных данных способом перебора решений по намеченным математическим функциям.

По итоговым данным таблицы 16 определяем параметры уравнения прямолинейной функции:

по формуле

вычисляем параметр

а₀=49287:23=2142,9 (21)

по формуле

вычисляем параметр

а₁= 101037: 1012=99,84 (22)

На основе вычислительных параметров синтезируя трендовая модель по функции:

=2142,9+99,84t (23)

По модели (23) для каждого года анализируемого ряда динамики определим теоретические уровни тренда yt_1, тыс.шт.

Yt₁₉₇₄=2142,9+2296,3 (-11)= 1044,66;

Yt₁₉₇₅=2142,9+2296,3 (-10)= 1144,5;

Yt₁₉₇₆=2142,9+2296,3 (-9)= 1244,34;

Yt₁₉₇₇=2142,9+2296,3 (-8)= 1344,18;

Yt₁₉₇₈=2142,9+2296,3 (-7)= 1444,02;

Yt₁₉₇₉=2142,9+2296,3 (-6)= 1543,86;

Yt₁₉₈₀=2142,9+2296,3 (-5)= 1643,7;

Yt₁₉₈₁=2142,9+2296,3 (-4)= 1743,54;

Yt₁₉₈₂=2142,9+2296,3 (-3)= 1843,38;

Yt₁₉₈₃=2142,9+2296,3 (-2)= 1943,22;

Yt₁₉₈₄=2142,9+2296,3 (-1)= 2043,06;

Yt₁₉₈₅=2142,9+2296,3 (0)= 2142,9;

Yt₁₉₈₆=2142,9+2296,3 (1)= 2242,74;

Yt₁₉₈₇=2142,9+2296,3 (2)= 2342,58;

Yt₁₉₈₈=2142,9+2296,3 (3)= 2442,42;

Yt₁₉₈₉=2142,9+2296,3 (4)= 2542,26;

Yt₁₉₉₀=2142,9+2296,3 (5)= 2642,1;

Yt₁₉₉₁=2142,9+2296,3 (6)= 2741,94;

Yt₁₉₉₂=2142,9+2296,3 (7)= 2841,78;

Yt₁₉₉₃=2142,9+2296,3 (8)= 2941,62;

Yt₁₉₉₄=2142,9+2296,3 (9)= 3041,46;

Yt₁₉₉₅=2142,9+2296,3 (10)= 3141,3;

Yt₁₉₉₆=2142,9+2296,3 (11)= 3241,14.

Полученные по модели (23) теоретические уровни тренда записываем в гр. 4 таблицы 17. По итоговым данным таблицы 16 определим параметры показательной функции:

по формуле

Вычисляем

lgа₀= 76,10781:23=3,30904 или а₀=2037,23 (24)

по формуле

Вычисляем

lgа₁= 20,66222: 1012=0,02042, или а₁=1,04814 (25)

На основе вычисленных параметров синтезируем трендовую модель по функции:

lg=3,30904+0,02042t (26)

или =2037,23·1,04814^t (27)

По модели (26) для каждого года анализируемого ряда динамики определим теоретические уровни тренда :

для 1974 года lgy_t=3,30904 +(-11) 0,02042=3,08442, или Yt₁₉₇₄= 1214,56;

yt₁₉₇₅=3,30904 +(-11) 0,02042=3,10484, или yt₁₉₇₅= 1273,03;

yt₁₉₇₆=3,30904 +(-11) 0,02042=3,12526, или yt₁₉₇₆= 1334,32;