Теория статистики

Наиболее простым путем решения проблемы выбора формы трендовой модели можно назвать графический, на базе общей конфигурации графика фактических уровней ряда. В несложных случаях подход графического выбора может дать вполне приемлемые результаты. Подбор класса выравнивающих кривых для временного ряда производится на основе качественного анализа представленного им процесса, а также если известны: Д¹, Д², Д³…….Дⁱ - первые, вторые, третьи и т.д. разности или абсолютные ускорения; Tp_Д? - темпы роста первых абсолютных приростов уровней; Д? lgy_i - первые абсолютные приросты логарифмов уровней; Т_р - темпы роста. В этих случаях критерии выбора типа кривой следующие

Критерии выбора класса выравнивающих кривых

Показатель	Изменение уровней временного ряда	Формула уравнения	Наименование функции
Д?	более или менее постоянные		линейная
Д?	уменьшающиеся		гиперболическая
Д?	изменяющиеся с насыщением (быстрое развитие в начале ряда, затихание в последнем уровне)		логистическая
Д??	постоянны		параболическая 2-ой степени
Д???	постоянны		параболическая 3-ой степени
Д????	постоянны		параболическая 4-ой степени
TpД1	постоянны		экспоненциальная
TpД?	сначала быстро растут, а затем рост изменяется		полулогарифмическая парабола
Д? lgyi	изменяется с постоянным темпом роста		кривая Гомперца

? метод разностного исчисления (суть: определяются последовательные разности - цепные, абсолютные приросты - Д? равны, а Д?? (отклонения м/у последовательными значениями цепных абс приростов) = 0, линейный тренд)

? расчет и анализ средней квадратической ошибки;

,

k ? число параметров уравнения.Чем меньше значение средней квадратической ошибки, тем функция наилучшим образом описывает тенденцию исходного временного ряда.

- Критерий наименьшей суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических > min также предполагает, что наилучшим образом тенденция описывается трендом, которому соответствует наименьшее значение суммы квадратов отклонений.

- Дисперсионный метод анализа основывается на сравнении дисперсий. Преимущество: знаем вероятность ошибки. Суть метода в следующем: общая вариация временного ряда делится на две части: * вариация вследствие тенденции V_f(t); * случайная вариация V_е: V_общ = V_f(t) + V_е

, , V_f(t) = V_общ - V_е, , если > .

15. Модели временных рядов с периодическими колебаниями

При рассмотрении квартальных и месячных данных часто обнаруживаются периодические колебания, вызываемые сменой времен года. Их называют сезонными. Изучение сезонных колебаний имеет самостоятельное значение как исследование особого типа динамики.

Сезонность можно понимать как внутригодовую динамику вообще.

Во многих случаях сезонность приносит ущерб народному хозяйству в связи с неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной нагрузкой транспорта, поставкой сырья для других отраслей, связанных с сезонными отраслями.

Моделью периодически изменяющихся уровней служит ряд Фурье:

, (6.1)

где k -- определяет номер гармоники ряда Фурье и может быть взята с разной степенью точности (чаще от ``1'' до ``4'').

Параметры уравнения определяются методом наименьших квадратов, то есть по условию . Решая систему нормальных уравнений, получим:

. (6.2)

Для изучения сезонности берется (n = 12) по числу месяцев в году.

Как правило, при выравнивании по ряду Фурье рассчитывают не более четырех гармоник и затем уже определяют, какая гармоника наилучшим образом отражает периодичность изменения уровней ряда.

Так, при k=1: ;

k=2: . (6.3)

Рассчитав остаточные дисперсии для 2-х случаев, можно сделать вывод, какая гармоника Фурье наиболее близка к фактическим уровням ряда.

Моделирование сезонности проводится в следующей последовательности:

Определяется тенденция исходного ряда динамики и ее аналитическое выражение, например, в виде линейного тренда:

.

Динамика объема строительно-монтажных работ, выполненных

собственными силами, наилучшим образом описывается уравнением следующего вида:.

2. Определяются - теоретические уровни ряда динамики;

3. Определяется ( ) - по месяцам года.

4. Определяются средние арифметические по месяцам года. Получается ряд индексов, характеризующих сезонную волну.

3. Определяется модель сезонной волны:

- ряд Фурье.

- порядковый номер гармонии.

16. Методы построения моделей авторегрессионных преобразований

Основными моделями связных рядов динамики являются модели авторегрессии, или модели авторегрессионных преобразований. В настоящее время разработано 3 способа исключения автокорреляции:

1. Основан на использовании, так называемых, последовательных или конечных разностей.

Основан на определении цепных абсолютных (последовательные) или базисных абсолютных (конечных) разностей. ?y_t+1 = a₀ + a₁?x_{1, t+1} + a₂?x_{2, t+1} +... + a_k?x_{k, t+1}. При коррелировании разностей в общем виде функция зависимости результативного признака от факторных может быть представлена в следующем виде: ?_y = f(?_x). Показателем тесноты связей между изучаемыми признаками, представленными последовательными разностями, является коэффициент корреляции разностей:

2. Метод отклонений эмпирических значений признака от теоретических по уравнению тренда полученных. Определяется тенденция исходных рядов динамики. Рассчитывается тренд, и его величина исключается из каждого уровня. Оценка степени тесноты связи осуществляется на основе расчета и анализа коэффициента корреляции отклонений. Коэффициент корреляции отклонений характеризует степень связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих, им выравненных, уровней коррелируемых рядов динамики.

3. Метод Фриша-Воу

Этот метод заключается в ведении времени как дополнительного факторного признака. Это возможно только в случае, если основные тенденции временных рядов одинаковы. В общем виде модель Ф-В имеет вид: . Даже при наличии парной зависимости при реализации метода Ф-В парные связи обращаются в многофакторные и модель оценки влияния одного фактора на изменение результативного показателя будет иметь вид: . Коэффициент корреляции рассчитывается как множественный:

, ,

-- остат. дисперсия; -- общ. дисперс.

Недостатком 3-х методов является то, что теоретически слабо обоснованы интерпретация и экономическое содержание параметров.

Исходя из этого в рядах динамики, имеющих небольшие периодические колебания, данная методика построения моделей авторегрессионных преобразований не используется. Наибольшее преимущество в экономическом анализе отдается методы Ф-В, т.к. позволяет наиболее точно и без проведения дополнительных вычислительных работ интерпретировать параметры исходной модели. Применение методов авторегрессионных преобразований для анализа связных рядов динамики осложняется наличием временных лагов. Наиболее четко временные лаги прослеживаются в строительстве, при модернизации оборудования и т.д.

Под временным лагом следует понимать несинхронность совпадения связных между собой социально-экономических явлений. Временные лаги различаются на основе различных периодов, сдвигов во времени, изменяя показатели.

Различают лаги со сдвигом 1,2 и более периодов времени. Однако, при сдвиге лага более чем на 10 периодов времени, уже не имеет смысла применение методов анализа связных между собой социально-экономических явлений. При наличии временного лага коэффициент корреляции рассчитывается при условии, что один их рядов исследуемого связного ряда динамики будет сдвинут на несколько периодов времени. Данный коэффициент корреляции определяется как:

,

Vx - ряд фактического признака, Vy - ряд динамики результативного признака, сдвинутого на определенное количество лет во времени.

Следует отметить, что уравнение авторегрессии также строится при условии сдвига одного или нескольких показателей, связных между собой во времени. Однако, в этих случаях всегда принимается во внимание, что лаг является дискретной величиной. В то же время практика показывает, что временные лаги - это непрерывные величины.

17. Классификация статистических прогнозов

В современных условиях управляющие решения должны приниматься лишь на основе тщательного анализа имеющейся информации. Например, банк или совет директоров корпорации примет решение о вложении денег в какой-то проект лишь после тщательных расчетов, связанных с прогнозами состояния рынка, с определением рентабельности вложений и с оценками возможных рисков. В противном случае могут опередить конкуренты, умеющие лучше оценивать и прогнозировать перспективы развития.

Для решения подобных задач, связанных с анализом данных при наличии случайных воздействий, предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. Эти методы позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные прогнозы и оценивать вероятность их выполнения.

Под прогнозом понимается научно обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. prognosis- предвидение, предсказание).

Прогнозирование соотносится с более широким понятием - предвидения.

Различают 3 формы предвидения: гипотезу, прогноз, план.

Гипотеза характеризует научное предвидение на уровне общей теории, т.е. исходную базу построения гипотезы составляют теория и открытые на ее основе закономерности и причинно-следственные связи функционирования и развития исследуемых объектов. На уровне гипотезы дается качественная характеристика объектов.

Прогноз имеет значительно большую определенность, т.к. основан не только на качественных, но и на количественных параметрах. Прогноз выражает предвидение на уровне конкретно-прикладной теории. Прогноз отличается от гипотезы меньшей степенью неопределенности и большей достоверностью. Прогноз носит вероятностный характер.

План представляет собой постановку точно определенной цели и предвидение конкретных событий исследуемого объекта. В нем фиксируются пути и средства развития в соответствии с поставленными задачами, обосновываются принятые управленческие решения. Отличительная черта плана - определенность. План основывается на результатах и достижениях конкретно прикладной теории.

В зависимости от объектов прогнозирования принято разделять прогнозы на научно-технические, экономические, социальные, военно-политические и т.д. Однако такая классификация носит условный характер, т.к. между этими прогнозами, как правило, существует множество прямых и обратных связей.

Классификация экономических прогнозов

В зависимости от масштабности объекта прогнозирования экономические прогнозы могут охватывать все уровни: от микроуровня (рассматривающего прогнозы развития отдельных предприятий, производств и т.д.) до макроуровня (анализирующего экономическое развитие в масштабе страны) или - до глобального уровня (где существующие закономерности рассматриваются в мировом масштабе).

Важной характеристикой является время упреждения прогноза -отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

По времени упреждения экономические прогнозы делятся на:

· оперативные (с периодом упреждения до одного месяца),

· краткосрочные (период упреждения- от одного, нескольких месяцев до года),

· среднесрочные (период упреждения более 1 года, но не превышает 5 лет),

· долгосрочные (с периодом упреждения более 5 лет).

Оперативные прогнозы основаны на предположении о том, что в прогнозируемом периоде не произойдет существенных изменений в исследуемом объекте. В них преобладают детально количественные оценки ожидаемых событий.

Краткосрочные прогнозы предполагают только количественные изменения. Оценка событий дается количественная.

Смотри вопросы №№18-24.

18. Простейшие методы прогнозирования

К простейшим методам прогнозирования относятся: метод среднего уровня ряда; метод среднего абсолютного прироста; метод среднего темпа роста.

Метод прогнозирования на основе среднего уровня ряда используется для случаев, когда изменение значений уровней временных рядов носит стационарный характер. При построении прогноза данным методом используется принцип, согласно которому значения всех последующих прогнозируемых уровней принимаются равными среднему значению уровней ряда в прошлом, то есть: Таким образом, получают точечный прогноз. Целесообразно определить доверительный интервал:

,

-- табличное значение; -- СКО средней, к-ая определяется по ф-ле ;

-- СКО. . Полученный таким образом доверительный интервал учитывает колеблемость выборочных средних и предполагает, что каждая следующая прогнозная оценка будет равна среднему уровню ряда динамики. При этом упускается из вида возможность колебания эмпирических значений признака вокруг средней, то есть в определении доверительного интервала. В расчете дисперсии необходимо учесть как колеблемость выборочных средних, так и степень варьирования индивидуальных эмпирических значений признака вокруг средней. В этом случае доверительный интервал прогнозной оценки можно определить по выражению вида:

Прогнозирование методом среднего абсолютного прироста предполагает, что общая тенденция развития изучаемого социально-экономического явления наилучшим образом аппроксимируется линейной формой аналитического выражения. Применение данного метода прогнозирования возможно при предварительной проверке следующих предпосылок:

1. Абсолютные цепные приросты должны быть приблизительно одинаковыми;

2. Должно выполняться неравенство вида: , где - остаточная дисперсия:

; ,

- цепные абс приросты ур исходн ряда динам

После проверки и подтверждения выполнения данной предпосылки можно приступать к прогнозированию методом среднего абсолютного прироста, общая модель прогноза:

,

где L - период упреждения прогн., - последний уровень ряда динамики, - средний абсолютный прирост, который определяется по формулам вида или , -последний, а - первый уровень исходного ряда динамики

Прогнозирование методом среднего темпа роста осуществляется в случае, если темпы роста цепные, рассчитанные по данным исходного ряда динамики за исследуемый период времени, имеют приблизительно одинаковое цифровое значение, а тенденция развития явления подчиняется геометрической прогрессии и может быть описана показательной (экспоненциальной) кривой.

Модель прогноза методом среднего темпа роста имеет вид:

- средний темп роста, определяемый: или , где ПТР_ц - произведение цепных темпов роста.

Коэффициенты несоответствия и СКО по методам: КН ср абс прир = ; КН ср темп роста = ; ср абс прир =; ср темп роста =.

19. Прогнозирование на основе экстраполяции тренда

Наиболее распространенным методом прогнозирования выступает аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной - времени. При таком подходе к прогнозированию предполагается, что ход развития явления связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, то есть: Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза.

Точечный прогноз - оценка прогнозируемого показателя в точке (в конкретном году, месяце, дне) по уравнению, описывающему тенденцию показателя. Совпадение фактических данных и прогностических оценок - явление маловероятное, поэтому целесообразно определить доверительные интервалы прогноза. Величина доверительного интервала определяется следующим образом:

,

-- СКО тренда; -- расчет прогноз знач уровня; t_б -- доверит. значение критерия Стьюдента.

Метод прогнозирования на основе экстраполяции тренда базируется на следующих предпосылках:

1. исходный временной ряд должен описываться плавной кривой, тогда прогн м.б. осуществлен на достат длит период времени; 2. общие условия, определяющие тенденцию развития изучаемого явления в прошлом и настоящем не должны претерпевать значительных изменений в будущем; 3. исходный ряд динамики должен иметь достаточное число уровней, с тем, чтобы отчетливо проявилась тенденция. Трендовые модели выражаются различными функциями , на основе которых строятся модели прогноза и осуществляется их оценка.

На практике наибольшее распространение получили следующие виды трендовых моделей:

1) линейная

2) параболы различных степеней:

-- 2-го порядка

-- 3-го порядка (кубическая)

и т.д.

3) степенная: ;

4) показательная: ; ;

5) логарифмическая:

Выбор трендовой модели осущ любым из методов оценки качества модели: графич, последоват разностей, дисперсионный метод анализа, критерий серий, на основе СКО, КН (коэф несоотв). При этом наиболее существенным вопросом прогнозирования по трендовым моделям является проблема точного прогноза.

Точная оценка прогноза весьма условна в силу следующих причин:

1. Выбранная для прогнозирования функция дает лишь приближенную оценку тенденции, так как она не является единственно возможной.

2. Статистическое прогнозирование осуществляется на основе ограниченного объема информации, что, в свою очередь, сказывается на величине доверительных интервалов прогноза.

3. Наличие в исходном временном ряду случайного компонента приводит к тому, что любой прогноз осуществляется лишь с определенной долей вероятности.

Рассматривая получение интервальных или точечных оценок прогноза следует учитывать, что в отдельных случаях получение более точных оценок не гарантирует надежности прогноза.

Прогноз по аналитическому выражению тренда имеет один существенный недостаток, который иногда приводит к большим ошибкам: в данном случае прогнозируется только детерминированная составляющая ряда динамики и не учитывается случайный компонент. Чтобы избежать этой ошибки и сделать прогноз более точным, надо отыскать закономерность изменения во времени случайного компонента. Для этого принято вначале находить отклонения от тренда и определять закономерность их изменения во времени, а затем делать прогноз случайной составляющей динамического ряда. Результаты обоих прогнозов объединяются.

20. Прогнозирование с учетом дисконтирования информации

Принцип дисконтирования предполагает, что более поздняя информация имеет больший уд вес по степени информативности для построения точных и надежных прогнозов, чем инфо более ранняя.

Эти методы м б исп только в случае, если выполняются след предпосылки их реализации:

- ряд динамики должен быть дост длинным с тем, чтобы более четко проявилась тенденция изменения явлений. - в рядах динамики должны отсутствовать скачки в развитии явления. - должен соблюдаться принцип инертности, согласно которому тенденция и закономерность прошлого и настоящего м б продлены на будущее. - значение функции автокорреляционных преобразований д уменьшаться с увеличением числа членов ряда (надо посчитать к-ты автокорреляции).

Принцип дисконтирования предполагает взвешивание инфо на протяжении всего исходного ряда динамики. На принципе дисконтирования реализуется неск методов:

1.Метод простого экспоненциального сглаживания. Общая идея заключ в том, что уровни исх ряда динамики взвешиваются с помощью средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону распределения. Принцип дисконтирования в этом случае будет выражаться в том, что прогноз осуществляется по наиболее важным последним наблюдениям. Прогнозирование данным методом реализуется в случае выполнения перечисленных предпосылок в след последовательности:

1. Предполагается, что тенденция исх ряда динамики описывается уравнением линейного тренда (сумма t не д б равна 0!!!) 2. Определяются начальные условия первого и второго порядков (порядок начальных условий зависит от числа параметров трендовой модели, кот наилучшим образом аппроксимирует реально сущ-ие тенденции и закономерности)

Начальные условия 1 и 2 порядка:

,

где альфа - параметр взвешивания 0,1<альфа<0,3, альфа = 2/(n+1) или строится серия моделей при заданных различных альфа. На основе СКО или др пок-ля опред модель прогноза.

3. Определяются экспоненциальные средние 1 и 2 порядка:

и

4. Определяются оценки модели прогноза ,

,

5. Ошибка прогноза опред по след фор-ле:

,

где - СКО



Данным методом определяется как точечный, так и интервальный прогноз. На практике исп-ие данного метода ограничено в связи с тем, что 1. не принимается во внимание влияние внешних факторов на изменения моделируемого пок-ля, 2. прогнозируемые явления рассматриваются лишь как функция времени.

Отсутствие учета влияния внеш факторов не позволяет осущ прогноз на долгосроч перспективу.

2.Метод гармонических весов базируется на идее построения так называемых скользящих средних трендов. Предполагается, что выполняются ранее перечисленные предпосылки. Для опред-ия скользящего тренда исх ряд динамики разбивают на фазы (к). Число фаз д б меньше длины исх ряда. Обычно длина фазы равна 3-5 уровням. Для каждой фазы в отдельности опред уравнение тренда, которое наилучшим образом опис тенденции, присущие данной фазе изменения явления. Для каждой фазы рассчит линейный тренд. На основе полученных уравнений тренда опред значения скользящего тренда. Определяются цепные абс приросты из теоретич значений (выровненных), полученных по скользящим трендам. .

Прогноз осущ по модели:

.

В методе гармонических весов ср абс прирост не явл величиной постоянной, т.е. после получения каждого следующего прогнозного уровня процедура реализации метода повторяется заново.

21. Прогнозирование на основе кривых роста Гомперца и Перля-Рида

Прогнозирование социально-экономических явлений на основе кривых роста (кривых насыщения) стало применяться сравнительно недавно. Кривые роста хорошо себя зарекомендовали и при прогнозировании социально-экономических явлений. Их применение в этом случае требует соблюдения определенных условий.

1. Исходный временной ряд должен быть достаточно длинным (30-40 лет). 2.Исходный временной ряд не должен иметь скачков, и тенденция такого ряда должна описываться достаточно плавной кривой. 3.Использование кривых роста в прогнозировании социально-экономических явлений может давать достаточно хорошие результаты, если предел насыщения будет определен сравнительно точно.

Кривые роста отражают кумулятивные возрастания к определенному заранее максимальному пределу. Особенностью кривых роста является то, что абсолютные приращения уменьшаются по мере приближения к пределу. Однако процесс роста идет до конца. Значение кривых роста как методов статистического прогнозирования социально-экономических явлений состоит в том, что они способствуют эмпирически правильному воспроизведению тенденции развития исследуемого явления. Наиболее распространенными кривыми роста, используемыми в статистической практике прогнозирования, являются кривая роста Гомперца и кривая роста Перля-Рида. Обе кривые, в общем, похожи одна на другую и графически изображаются S-образной кривой. Особенностью уравнений этих кривых является то, что их параметры могут быть определены методом наименьших квадратов лишь приближенно. Для расчета параметров этих кривых используется ряд искусственных методов, основанных на разбиении исходного ряда динамики на отдельные группы. Например, для того чтобы осуществить прогноз на основе кривой роста Гомперца необходимо выполнить следующее:

1. кривая описывается уравнением:

2. прологарифмировав уравнение, получаем:,где: lg a -- логарифм максимального значения, к которому приближается прогнозный уровень явления; lg b -- расстояние, которое отделяет в каждый данный момент значение уровня от его максимального значения; с -- имеет значение от нуля до единицы; х -- начало на шкале х, к которому относится первое значение уровня (t = 0, 1, 2, …, n);

3. затем весь ряд динамики разбивается на три приблизительно равные части:

длины ряда;

4. для каждой выделенной части рассчитываются суммы логарифмов значений уровней ;

5. затем определяются первые разности по этим суммам:

6. на основании этих расчетов получим параметры уравнения с, которые рассчит. следующим образом: где:n -- число уровней ряда в каждой части;, можно прогнозировать, если

,

Наряду с кривой роста Гомперца достаточно широкое распространение получила кривая роста Перля-Рида, которая в прогнозировании социально-экономических явлений впервые была использована для демографических расчетов американским учеными - биологом Р. Перлем и математиком Л. Ридом. Эта кривая выражает модифицированную геометрическую прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к некоторому определенному пределу. Так же, как и кривая Гомперца, кривая Перля-Рида использует тот же искусственный прием для определения параметров кривой. Однако следует отметить, что по сравнению с кривой Гомперца прогнозные данные, полученные по этой кривой, имеют некоторую неопределенность. Кривая роста Перля-Рида описывается уравнением:

Параметры уравнения находятся следующим образом:

22. Автокорреляция: причины возникновения и способы выявления

Автокорреляция - это наличие сильной корреляционной зависимости между последовательными уровнями временного ряда. Если при выявлении и моделировании тенденции такая зависимость имеет положительный характер, т.к. при её наличии тренд проявляется более четко, то при моделировании связных рядов динамики (рядов динамики, характеризующих взаимосвязь 2 или более показателей, экономически зависимых во времени) наличие автокорреляции приводит к тому, что прямые методы построения регрессионных моделей не могут быть использованы. Причинами автокорреляции м.б.: не учтен в модели существенный фактор, при этом его влияние отражается на величине отклонений, которые в этом случае показывают закономерность в изменении, связанную с изменением неучтенного фактора. В модели не учитывается несколько факторов, влияние каждого из которых в отдельности не существенно, но при совпадении изменений этих факторов по направлению и по фазе в отклонениях может возникнуть автокорреляция. Автокорреляция в отклонениях может появиться в случае, когда неправильно выбрана форма связи между y и x. Неверно выбран порядок авторегрессионой модели. Вследствие специфичности внутренней структуры случайного компонента.

Схема анализа автокорреляции в уровнях ряда динамики имеет следующий вид:

1) оценка наличия автокорреляции на основе коэффициента автокорреляции или критерия Дарбина-Уотсона; 2) Выявление причин автокорреляции; 3) построение моделей авторегрессионных преобразований, исключающих автокорреляцию;

Оценка автокорреляции может быть осуществлена на основе расчета и анализа коэффициента автокорреляции, который определяется на основе формулы коэффициента корреляции для парной (линейной) связи между уровнями исходного ряда и того же ряда, но сдвинутого на ф шагов во времени:

где y_t - эмпирические значения уровней ряда;

Возникает проблема заполнения последнего уровня ряда y _t+1. В данном случае возможны два варианта:

1. Если значение последнего уровня мало отличается от первого, то чтобы ряд не укорачивался, его можно условно дополнить . Тогда

2. Значение уровня ряда остается незаполненным и ставится прочерк.

Проверка на наличие автокорреляции заключается в сравнении расчетных значений с его критическим или табличным значениями.

Если r_a > r_{a кр} при заданном уровне значимости б и n, то в исходном временном ряду существует автокорреляция, в противном случае она отсутствует.

Для проверки автокорреляции в уровнях ряда также используется и критерий Дарбина-Уотсона. Гипотеза о наличии автокорреляции проверяется с помощью случайной величины:

Если автокорреляции в ряду нет, то значения критерия d колеблются вокруг 2.

Эмпирическое значение d сравнивается с табличным значением. При отрицательной автокорреляция d изменяется от 2 до 4, и для проверки её наличия рассчитывается d` = 4 - dрасчет.

Иногда приходится при анализе рядов динамики исследовать вопрос о наличии или отсутствии автокорреляции не между самими уровнями ряда, а между их отклонениями эмпирических значений признака от теоретических, полученных по уровню тренда.

Из этого следует сделать вывод, что прежде чем проводить корреляционно-регрессионый анализ временных рядов, необходимо исключить из исследуемых рядов автокорреляцию.

В настоящее время разработано 3 способа исключения автокорреляции

1) последовательных или конечных разностей:

2) Метод Фриша-Воу.

3) По отклонениям эмпирических значений от выравненных по тренду

23. Прогнозирование связных временных рядов

Связными наз ряды динамики, которые хар-ют взаимосвязь 2 или более пок-ей, эк-ки зависимых во времени. Модели связных рядов динамики выражаются моделями регрессии. Характерной особенностью связных рядов динамики в большинстве случаев явл наличие автокорреляции (авторегрессии) в уровнях.

Исходное уравнение регрессии, на основе кот осущ прогноз по связным временным рядам определяется по функции вида: , где к - кол-во факторных признаков, исп-ых для прогнозирования. Это ур-ние описывает связь между прогнозируемой величиной и факторными признаками в моментном временном ряду. Все входящие в модель факторные признаки, как правило, автокоррелированы, а в большинстве случаев коррелированны их остатки. Значит, прогнозирование непосредственно по исх модели приведет к нарушению 1 из основных условий прогнозирования, а именно независимости факторных признаков. Т.о., если осущ прогнозирование по модели данного вида, то это приводит к сильному возрастанию дисперсии к-тов регрессии. И значит расчеты не м б пригодны для построения прогнозов. Наличие автокорреляции часто приводит к возникновению ложной связи между прогнозируемым пок-лем и отобранными факторными признаками. Исключение авторегрессии м осущ неск методами: (см вопрос 8)

1. метод последовательных и конечных разностей

2. метод отклонений эмпирических значений от выровненных по уравнению тренда

3. метод Фриша - Воу

Чтобы исключить автокорреляцию и реализовать прогноз методом последовательных разностей, модель связных рядов строят не по исх значениям признака, а по цепным абс приростам данных признаков. При этом теряются не только прогностические, но и познавательные св-ва таких моделей, тк в обоих случаях исключается основная тенденция развития.

Более сильными прогнозными св-вами обладают модели, в кот в кач-ве дополнительного фактора исп время (модели методом Фриша-Воу). Но в этом случае прогнозные св-ва модели будут базироваться на том, что все факторные признаки описываются только одной ф-ой тренда. Фактор времени заводится в линейной форме. На практике возможно допущение, что фактор времени опред не линейной функцией. Это допущение возможно в случае, если на основе перебора различных форм трендовых моделей исследователем доказано, что большинство (70%), если не все факторные признаки и результативный изменяются по 1 и тому же полиному, отличному от линейного.

В отд случаях для расширения прогностических св-в исходных данных и исключения автокорреляции идут на значительное увеличение исходных наблюдений. То исп-ется искусственный метод «заводо-лет». Модели, построенные по связным рядам динамики, обладают слабыми прогностическими св-вами и м б исп-ны для построения краткосрочных прогнозов. А в отд случаях - среднесрочных, при выполнении след условий:

1. все факторные признаки и моделируемый д иметь тенденцию, описываемую линейным трендом.

2. Наличие дост длинных рядов динамики с тем, чтобы получить ряды к-тов регрессии, на основе которых определять прогнозные оценки факторных признаков с последующим включением их в прогнозную модель.

24. Оценка точности и надежности прогнозов

О точности прогн. можно говорить лишь как об интервале ожидаемых результатов. Надежность прогноза - оценка доверит интервалов прогноза для заданной вероятности его осуществления. При оценке точности необходимо учитывать время упреждения, надежность, величину ошибки прогноза. Эмпирической мерой точности прогноза, служит величина его ошибки, которая определяется как разность между прогнозными и фактическими значениями исследуемого показателя (СКО, мах 9,9%) Данный подход возможен только в двух случаях:

а) период упреждения известен, уже закончился, и исследователь располагает необходимыми фактическими значениями прогнозируемого показателя; б) строится ретроспективный прогноз, то есть рассчитываются прогнозные значения показателя для периода времени, за который уже имеются фактические значения.

Абсолют. и относит. ошибки прогноза м.б. рассчитаны в случае наличия данных ретроспективного прогноза.

Все показатели оценки точности статистических прогнозов условно можно разделить на три группы:

- аналитические; - сравнительные; - качественные.

Аналитические показатели точности прогноза позволяют количественно определить величину ошибки прогноза. К ним относятся: Абсолютная ошибка прогноза (Д*) определяется как разность между эмпирическими и прогнозными значениями признака и вычисляется по формуле: , где: -- прогнозное значение признака; у_t -- фактическое значение признака

Относительная ошибка прогноза (d_ош) может быть определена как отношение абсолютной ошибки прогноза (Д*):

а) к фактическому значению признака (уt):

б) к прогнозному значению признака :

Поэтому на практике иногда определяют не ошибку прогноза, а некоторый коэффициент качества прогноза (Кк), который показывает соотношение между числом совпавших (с) и общим числом совпавших (с) и несовпавших (н) прогнозов и определяется по формуле: Кк = с/(с+н), [0;1]

Средним показателем точности прогноза является средняя абсолютная ошибка прогноза , которая определяется как средняя арифметическая простая из абсолютных ошибок прогноза по формуле вида:

,

где: n -- длина временного ряда.

Для оценки точности прогноза используется средняя квадратическая ошибка прогноза, определяемая по формуле: (при прогн методом экстраполяции трендов или методами, содержащими полиномы различн степеней, в знаменателе будет (n-k-1), k- число параметров модели)

, [0; ] , [0; ]

Размерность средней квадратической ошибки прогноза также соответствует размерности изучаемого признака. Между средней абсолютной и средней квадратической ошибками прогноза существует следующее примерное соотношение: .

Определяют среднюю ошибку аппроксимации:. Данный показатель является относительным показателем точности прогноза и не отражает размерность изучаемых признаков, выражается в процентах и на практике используется для сравнения точности прогнозов полученных как по различным моделям, так и по различным объектам.

Интерпретация оценки точности,%: < 10 - высокая; [10 -- 20] - хорошая;

[20 -- 50] - удовлетворительная; > 50 - не удовлетворительная

Одним из показателей оценки точности статистических прогнозов является коэффициент несоответствия (КН), который был предложен Г. Тейлом и может рассчитываться в различных модификациях.

25. Основные понятия теории выборочного наблюдения

Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях развития рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Под выборочным понимается такое несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные по специально разработанной схеме, базирующейся, как правило, на принципе случайности. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу - по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц, при условии соблюдения всех правил и принципов поведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц. Теория выборочных обследований базируется на принципе, исключающем субъективность и тенденциозность поведения отбора единиц для их последующего изучения по заранее разработанной программе. Она исходит из следующих положений: ? выбор той или иной конкретной единицы для обследования должен быть независим от воли, субъективного подхода лица, производящего отбор; ? выбор должен быть независим от значений изучаемых статистических характеристик (показателей), которыми обладают отдельные единицы совокупности; ? процесс отбора должен быть организован так, чтобы все единицы совокупности имели равные шансы, равные вероятности быть отобранными.

Предметом выборочного обследования является количественная сторона массовых социально экономических явлений в неразрывной связи с качественной стороной в конкретных условиях места и времени, исследуемая на основе принципов выборочного метода. Методология включает: 1. Выборочное наблюдение - на этом этапе собираются сведения о каждой единице совокупности, сформированные на основе того или иного способа отбора из общей совокупности единиц. 2. Сводка и группировка полученных на основе выборочного обследования материалов - на этом этапе сведения, относящиеся к каждой единице выборочной совокупности, объединяются в группы и подгруппы по заранее разработанной программе. 3. Собранные и сгруппированные данные анализируются и распространяются на всю изучаемую совокупность, при этом рассчитываются абсолютные, относительные, средние показатели.

Необходимым условием применения методологии выборочного наблюдения является решение таких вопросов, как предварительная оценка необходимого объема выборки и, когда это возможно, ее точности.

Метод отбора определяет возможность продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора. Бесповторным или отбором без возвращения называется такой отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор.

При повторном отборе или отборе с возвращением попавшая в выборку единица после регистрации наблюдаемых признаков возвращается в исходную (генеральную) совокупность для участия в дальнейшей процедуре отбора. При этом методе отбора объем генеральной совокупности на всем протяжении процедуры выборки остается неизменным, что обусловливает постоянною вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности. Повторный метод отбора применяется в тех случаях, когда характер исследуемого явления предполагает возможность повторной регистрации единиц.

В мировой практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие выборки:* собственно-случайная (простая случайная);* механическая (систематический отбор);* типическая (расслоенная, стратифицированная);* серийная (гнездовая);* комбинированная;

Выборочная доля - доля единиц в выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака.

Выборочная совокупность - совокупность отобранных для обследования единиц.

Выборочная средняя - среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности.

Выборочное наблюдение - несплошное наблюдение, при котором признаки регистрируются у отдельных единиц изучаемой стат. совокупности, отобранных с использованием спец. методов, а полученные в процессе обследования результаты с определенным уровнем вероятности распространяются на всю исходную совокупность.

Генеральная доля - доля единиц в генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака. Генеральная совокупность - исходная изучаемая стат. совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется выборочная совокупность. Генеральная средняя - среднее значение изучаемого признака по генеральной совокупности. Метод отбора - алгоритм извлечения единиц или групп единиц из генеральной совокупности, реализующий принцип случайности отбора и лежащий в основе того или иного способа формирования выборочной совокупности (вида выборки).

Объем выборочной совокупности - планируемое или фактическое число единиц ген. совокупности, отбираемых ля регистрации наблюдаемых признаков. Ошибка репрезентативности - расхождение между стат. хар-ками выборочной совокупности и генеральной совокупностей, обусловленное нарушением принципов формирования выборки или случайными факторами.

26. Алгоритмы формирования выборочной совокупности

Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.

По виду различают индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе - группы единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание группового и индивидуального отбора.

Метод отбора определяет возможность продолжения участия отобранной единицы в процедуре отбора. Бесповторным или отбором без возвращения называется такой отбор, при котором попавшая в выборку единица не возвращается в совокупность, из которой осуществляется дальнейший отбор. Повторный метод отбора применяется в тех случаях, когда характер исследуемого явления предполагает возможность повторной регистрации единиц. В мировой практике выборочных обследований наибольшее распространение получили следующие выборки:* собственно-случайная (простая случайная);* механическая (систематический отбор);* типическая (расслоенная, стратифицированная);* серийная (гнездовая);* комбинированная;

Собственно-случайная или простая случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в случайном порядке без каких-либо элементов системности. Необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений.

Для реализации простой случайной выборки могут применяться различные алгоритмы отбора.

Алгоритм случайной сортировки.* каждой единице совокупности присваивается случайное число u, полученное с помощью процессора случайных чисел в интервале от 0 до 1 (полученные случайные числа должны в той или иной степени соответствовать закону равномерного распределения), * единицы совокупности ранжируются в порядке убывания (возрастания) u;* отбираются n первых единиц.Недостаток: требуется относительно долгая процедура сортировки в случае большого объема N (генеральной совокупности). Достоинства данного метода заключаются в простом алгоритме отбора единиц, а также в возможности формирования нескольких выборок без перекрытия или с контролируемым перекрытием.

Алгоритм прямой реализации.* все единицы генеральной совокупности нумеруются от 1 до N;* образуют n чисел в интервале от 1 до N в соответствии с законом равномерного распределения (с помощью процессора случайных чисел); * из сформированного списка единиц генеральной совокупности отбираются единицы, по номеру соответствующие образованным числам. Преимущество: требует только одного считывания файла (в случае ранжирования n случайных чисел).

Алгоритм метода отбора-отказа.* последовательно образуют случайные числа u1, u2... в соответствии с законом равномерного распределения в интервале от 0 до 1;* если u₁ < n/N, то первая из списка единица извлекается в выборку, в противном случае - отбрасывается;* для последующих единиц: если , то единица (k+1) извлекается, в противном случае - отбрасывается; где k - число просмотренных единиц; n_k - число отобранных единиц среди первых k просмотренных единиц. * процедура заканчивается, когда n_k = n, т.е. когда выборка необходимого объема полностью сформирована. Преимущество: является наиболее экономичным, так как при его реализации происходит только одно считывание файла без каких-либо предварительных сортировок единиц генеральной совокупности или случайных чисел. После проведения отбора для определения возможных границ генеральных характеристик рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Механическая выборка (систематический отбор) применяется в случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц.

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей.

Серийный отбор или гнездовой способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном либо механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.

Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом - более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

В отличии от многоступенчатой, многофазная выборка предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения, при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию (на каждой последующей стадии отбора программа обследования расширяется).

27. Простая случайная выборка

Простая случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц, ни от значений их признаков. прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку. Следует установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или невключение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений.

Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел. При отборе по таблицам случайных чисел каждая единица генеральной совокупности должна иметь порядковый номер. В выборочную совокупность отбираются единицы с порядковыми номерами, соответствующими числам выбранного столбца.

После проведения отбора рассчитываются:

- средняя ошибка повторной выборки ; при бесповторной выборке

- предельная ошибка выборки с учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения t

- необходимый объем для повторной случайной выборки ; для бесповторной выборки

28. Систематическая выборка

Систематическая (механическая) выборка может быть применена в тех случаях, когда ген. совокупность каким-либо образом упорядочена. Для проведения мех выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и ген. совокупностей. Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы (например, каждая 50-я единица). Опасность систематической ошибки при механической выборке также может появиться вследствие случайного совпадения выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Именно по этой причине, а также в связи с трудоемкостью предварительной сортировки, данный способ отбора не имеет большого распространения в практике статистических работ.

Средняя ошибка и необходимый объем при бесповторном отборе определяются также как при простой случайной выборке.

После проведения отбора рассчитываются:

- средняя ошибка повторной выборки ; при бесповторной выборке

- предельная ошибка выборки с учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения t

- необходимый объем для повторной случайной выборки ; для бесповторной выборки

29. Расслоенная выборка

Также называется типический или стратифицированный отбор. Применяется в тех случаях, когда все единицы ген. совокупности объединены в несколько крупных типических групп (области, районы, возрастные группы). Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. При обследованиях населения такими группами могут быть, например, районы, социальные, возрастные или образовательные группы, при обследовании предприятий - отрасль и подотрасль, форма собственности и т.п.

Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки, которая в этом случае определяется только внутригрупповой вариацией. Данный способ отбора при переводе реального сектора на несплошные методы наблюдения, должен быть основным, так как он позволяет учесть региональные и отраслевые классификации субъектов финансово-хозяйственной деятельности.

Отбор единиц в типическую выборку может быть организован либо пропорционально объему типических групп, либо пропорционально внутригрупповой дифференциации признака (оптимальное размещение Чупрова - Неймана). Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осуществляется простым случайным или механическим способом.

При выборке, пропорциональной объему групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется по ф-ле: , где Ni - объем i-ой группы, n(i) - объем выборки из i-ой группы.

Средняя ошибка определяется по ф-лам:

- повторный отбор , - бесповторный отбор , где - средняя из внутригрупповых дисперсий.

При определении необходимого объема используются ф-лы:

- повторный отбор , бесповторный отбор

При отборе единиц, пропорциональном вариации признака число наблюдений по каждой группе рассчитывается по ф-ле:

Средняя ошибка рассчитывается по ф-лам:

- повторный отбор ,

- бесповторный отбор .

30. Кластерная (сериальная) выборка

Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе групп единиц (серий), внутри которых производится сплошное обследование. Единицей отбора служит группа или серия.

Средняя ошибка серийной выборки рассчитывается по ф-лам:

- повторный отбор , бесповторный отбор , где r - число отобранных серий, R - общее число серий.

Межгрупповая дисперсия при равновеликих группах вычисляется след образом: