Прогноз годовой прибыли

ВАРИАНТ 5

Изучается зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от нескольких факторов по данным за 1995 г., представленным в табл. 5.

Таблица 5

Принятые в таблице обозначения:

· Y -- средняя ожидаемая продолжительность жизни при рождении, лет;

· X₁ -- ВВП в паритетах покупательной способности;

· X₂ -- цепные темпы прироста населения, %;

· X₃ -- цепные темпы прироста рабочей силы, %;

· Х₄ -- коэффициент младенческой смертности, %.

Требуется:

1. Составить матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными и выявить коллинеарные факторы.

2. Построить уравнение регрессии, не содержащее коллинеарных факторов. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

3. Построить уравнение регрессии, содержащее только статистически значимые и информативные факторы. Проверить статистическую значимость уравнения и его коэффициентов.

Пункты 4 -- 6 относятся к уравнению регрессии, построенному при выполнении пункта 3.

4. Оценить качество и точность уравнения регрессии.

5. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения регрессии и сравнительную оценку силы влияния факторов на результативную переменную Y.

6. Рассчитать прогнозное значение результативной переменной Y, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений. Построить доверительный интервал прогноза фактического значения Y c надежностью 80 %.

Решение. Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

1.С помощью надстройки «Анализ данных… Корреляция» строим матрицу парных коэффициентов корреляции между всеми исследуемыми переменными (меню «Сервис» «Анализ данных…» «Корреляция»). На рис. 1 изображена панель корреляционного анализа с заполненными полямиДля копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen (на некоторых клавиатурах -- Alt+PrtSc).. Результаты корреляционного анализа приведены в прил. 2 и перенесены в табл. 1.

рис. 1. Панель корреляционного анализа

Таблица 1

Матрица парных коэффициентов корреляции

Анализ межфакторных коэффициентов корреляции показывает, что значение 0,8 превышает по абсолютной величине коэффициент корреляции между парой факторов Х₂-Х₃ (выделен жирным шрифтом). Факторы Х₂-Х₃ таким образом, признаются коллинеарными.

2. Как было показано в пункте 1, факторы Х₂-Х₃ являются коллинеарными, а это означает, что они фактически дублируют друг друга, и их одновременное включение в модель приведет к неправильной интерпретации соответствующих коэффициентов регрессии. Видно, что фактор Х₂ имеет больший по модулю коэффициент корреляции с результатом Y, чем фактор Х₃: r_y,x2=0,72516; r_y,x3=0,53397; |r_y,x2|>|r_y,x3| (см. табл. 1). Это свидетельствует о более сильном влиянии фактора Х₂ на изменение Y. Фактор Х₃, таким образом, исключается из рассмотрения.

Для построения уравнения регрессии значения используемых переменных (Y, X₁, X₂, X₄) скопируем на чистый рабочий лист (прил. 3). Уравнение регрессии строим с помощью надстройки «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис» «Анализ данных…» «Регрессия»). Панель регрессионного анализа с заполненными полями изображена на рис. 2.

Результаты регрессионного анализа приведены в прил. 4 и перенесены в табл. 2. Уравнение регрессии имеет вид (см. «Коэффициенты» в табл. 2):

y = 75.44 + 0.0447 ? x₁ - 0.0453 ? x₂ - 0.24 ? x₄

Уравнение регрессии признается статистически значимым, так как вероятность его случайного формирования в том виде, в котором оно получено, составляет 1.04571?10^-45 (см. «Значимость F» в табл. 2), что существенно ниже принятого уровня значимости =0,05.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторе Х₁ ниже принятого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), что свидетельствует о статистической значимости коэффициентов и существенном влиянии этих факторов на изменение годовой прибыли Y.

Вероятность случайного формирования коэффициентов при факторах Х₂ и Х₄ превышает принятый уровень значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 2), и эти коэффициенты не признаются статистически значимыми.

рис. 2. Панель регрессионного анализа модели Y(X₁,X₂,X₄)

Таблица 2

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₁, X₂, X₄)

3.По результатам проверки статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии, проведенной в предыдущем пункте, строим новую регрессионную модель, содержащую только информативные факторы, к которым относятся:

· факторы, коэффициенты при которых статистически значимы;

· факторы, у коэффициентов которых t_статистика превышает по модулю единицу (другими словами, абсолютная величина коэффициента больше его стандартной ошибки).

К первой группе относится фактор Х₁ ко второй -- фактор X₄. Фактор X₂ исключается из рассмотрения как неинформативный, и окончательно регрессионная модель будет содержать факторы X₁, X₄.

Для построения уравнения регрессии скопируем на чистый рабочий лист значения используемых переменных (прил. 5) и проведем регрессионный анализ (рис. 3). Его результаты приведены в прил. 6 и перенесены в табл. 3. Уравнение регрессии имеет вид:

y = 75.38278 + 0.044918 ? x₁ - 0.24031 ? x₄

(см. «Коэффициенты» в табл.3).

рис. 3. Панель регрессионного анализа модели Y(X₁, X₄)

Таблица 3

Результаты регрессионного анализа модели Y(X₁, X₄)

Уравнение регрессии статистически значимо: вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «Значимость F» в табл.3).

Статистически значимым признается и коэффициент при факторе Х₁ вероятность его случайного формирования ниже допустимого уровня значимости =0,05 (см. «P-Значение» в табл. 3). Это свидетельствует о существенном влиянии ВВП в паритетах покупательной способности X₁ на изменение годовой прибыли Y.

Коэффициент при факторе Х₄ (годовой коэффициент младенческой смертности) не является статистически значимым. Однако этот фактор все же можно считать информативным, так как t_статистика его коэффициента превышает по модулю единицу, хотя к дальнейшим выводам относительно фактора Х₄ следует относиться с некоторой долей осторожности.

4.Оценим качество и точность последнего уравнения регрессии, используя некоторые статистические характеристики, полученные в ходе регрессионного анализа (см. «Регрессионную статистику» в табл. 3):

· множественный коэффициент детерминации

n

^{? (y}_i - y⁾²

R²= ^{_i=1____________ =0.946576}

ⁿ

^?(y_i - y⁾²

ⁱ⁼¹

R²=показывает, что регрессионная модель объясняет 94,7 % вариации средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y, причем эта вариация обусловлена изменением включенных в модель регрессии факторов X₁, X₄;

· стандартная ошибка регрессии

показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,252208 лет.

Средняя относительная ошибка аппроксимации определяется по приближенной формуле:

S_рег

E_отн?0,8 ? -- ? 100%=0.8 ? 2.252208/66.9 ? 100%?2.7

? y

где тыс. руб. -- среднее значение продолжительности жизни (определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; прил. 1).

Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения годовой прибыли Y отличаются от фактических значений в среднем на 2,7 %. Модель имеет высокую точность (при -- точность модели высокая, при -- хорошая, при -- удовлетворительная, при -- неудовлетворительная).

5.Для экономической интерпретации коэффициентов уравнения регрессии сведем в таблицу средние значения и стандартные отклонения переменных в исходных данных (табл. 4). Средние значения были определены с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ», стандартные отклонения -- с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. прил. 1).

Таблица 4

Средние значения и стандартные отклонения используемых переменных

1) Фактор X₁ (ВВП в паритетах покупательной способности)

Значение коэффициента b₁=0,044918 показывает, что рост ВВП в паритетах покупательной способности на 1 %. приводит к повышению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении на 0,044918 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X₁ имеет значение

x₁ 29.75

Е₁= b₁ ? Ї = 0.044918 ? ____ ? 0.01997

y 66.9

Он показывает, что при увеличении ВВП в паритетах покупательской способности на 1 % годовая прибыль увеличивается в среднем на 0,01997 %.

2) Фактор X₄ (коэффициент младенческой смертности)

Значение коэффициента b₄=(-0,24031) показывает, что рост коэффициента младенческой смертности на 1 %. приводит к уменьшению средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении в среднем на -0,24031 лет.

Средний коэффициент эластичности фактора X₄ имеет значение

x₄ 40.9

Е₄ = b₄ ? Ї = - 0.24031 ? ____ ? 0.1469

y 66.9

Он показывает, что при увеличении коэффициента младенческой смертности на 1 % средняя ожидаемая продолжительность жизни увеличивается в среднем на 0,1469 %.

Средний коэффициент эластичности для фиктивных переменных лишен смысла, поэтому не рассчитывается.

Сравним между собой силу влияния факторов, включенных в регрессионную модель, на годовую прибыль, для чего определим их бета-коэффициенты:

 S_x1 28.76

B₁ = b₁ ? Ї = 0.044918 ? ____ ? 0.1346;

S_y 9.6

S_x4 3 4.8

B₄ = b₄ ? Ї - 0.24031 ? ____ ? - 0.8711

S_y 9.6

Сравнивая по абсолютной величине значения бета-коэффициентов, можно сделать вывод о том, что на изменение средней ожидаемой продолжительности жизни при рождении Y сильнее всего влияет ВВП в паритетах покупательской способности Х₁, далее по степени влияния следует коэффициент младенческой смертности Х₄.

Определим дельта-коэффициенты факторов:

r_y,x1 0.780235

Д₁ = B₁ ? ___ = 0.1346 ? _______ ? 0.11094;

R² 0.946585

r_y,x4 - 0.96876

Д₄ = B₄ ? ___ = - 0.8711 ? _______ ? 0.8915;

R² 0.946585

где r_y,x1=0,780235; r_y,x4=(-0,96876); -- коэффициенты корреляции между парами переменных Y-X₁ и Y-X₄ соответственно (см. табл. 1); R²=0,946585 -- множественный коэффициент детерминации (см. табл. 3).

Сумма дельта-коэффициентов факторов, включенных в модель, должна быть равна единице. Небольшое неравенство может быть вызвано погрешностями промежуточных округлений.

Таким образом, в суммарном влиянии на среднюю ожидаемую продолжительность жизни при рождении Y всех факторов, включенных в модель, доля влияния ВВП в паритетах покупательной способности X₁ составляет 11,094 %, коэффициента младенческой смертности Х₄ -- 89,15 %.

6.Рассчитаем прогнозное значение годовой прибыли, если прогнозные значения факторов составят 75 % от своих максимальных значений в исходных данных. Максимальные значения факторов были определены с помощью встроенной функции «МАКС» (см. прил. 1). Прогнозные значения рассчитываются только для количественных факторов X₁ и X₄:

· фактор Х₁: х₀₁=0,75*х_1max=0.75*100=75;

· фактор Х₄: x₀₄=0.75*x_4max=0.75*124=93.

Среднее прогнозируемое значение (точечный прогноз) годовой прибыли государственной компании (x₀₆=0) составляет:

Для частной компании (x₀₆=1) этот показатель равен

Стандартная ошибка прогноза фактического значения годовой прибыли y₀ рассчитывается по формуле

Так как фиктивная переменная Х₆ может принимать два значения -- 0 или 1, то S_y0 определяется для обоих случаев:

· для государственных компаний (x₀₆=0):

· для частных компаний (x₀₆=1):

Построим интервальный прогноз фактического значения годовой прибыли y₀ с доверительной вероятностью =0,8. Доверительный интервал имеет вид:

,

где t_таб=1,321 -- табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы (p=4 -- число факторов в модели) (см. Справочные таблицы).

Для государственных компаний:

тыс. руб.

Таким образом, с вероятностью 80 % годовая прибыль государственных компаний при заданных значениях факторов будет находиться в интервале от 272,4 до 945,4 тыс. руб.

Для частных компаний:

 тыс. руб.

С вероятностью 80 % годовая прибыль частных компаний будет находиться в интервале от 499,1 до 1173,7 тыс. руб.