Предмет и метод эконометрики. Эконометрические взаимосвязи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольно-курсовая работа

Предмет и метод эконометрики. Эконометрические взаимосвязи

Содержание

1. Эконометрика, предмет и метод

1.1 Предмет и метод

1.2Эконометрическая модель

1.3 Измерения в экономике

2. Изучение взаимосвязей в эконометрике

2.1 Понятие о взаимосвязях в эконометрике

2.2 Метод сопоставления параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков

2.3 Метод аналитических группировок

2.4 Корреляционно-регрессионный анализ

2.4.1 Парная регрессия. Парная корреляция

2.4.1.1 Парная линейная регрессия

2.4.1.2 Парная линейная корреляция

2.4.1.3 Оценка надежности параметров парной линейной регрессии и корреляции

2.4.1.4 Парная нелинейная регрессия

2.4.1.5 Коэффициенты эластичности в парных моделях

2.4.1.6 Парная нелинейная корреляция

2.4.1.7 Оценка надежности параметров парной нелинейной регрессии и корреляции

2.4.1.8 Прогнозирование на основе парной модели регрессии. Расчет доверительных интервалов для прогнозного значения , параметров уравнения регрессии и коэффициента (индекса) корреляции

2.4.2 Множественная регрессия. Множественная корреляция

2.4.2.1 Множественная регрессия

2.4.2.2 Частные уравнения регрессии

2.4.2.3 Множественная корреляция

2.4.2.4 Частная корреляция

2.4.2.5 Оценка надежности параметров множественной регрессии и корреляции

Литература

1. Эконометрика, предмет и метод

1.1 Предмет и метод

Термин «эконометрика» впервые введен в Австро-Венгрии П. Цьемпой. Слово эконометрика это комбинация слов «эконом» и «метрика» т.е. экономика и измерение. Соответственно эконометрика это измерение в экономике.

На данный момент под эконометрикой понимают науку, которая занимается измерением и анализом экономических явлений.

В основу эконометрики положены три основных компонента:

1. экономическая теория;

2. статистические методы;

3. математические методы.

Эконометрика это слияние всех этих трех компонентов, каждый из которых является ее неотъемлемой частью.

В основе метода эконометрики лежат методы статистики, такие как:

1. регрессионный анализ;

2. корреляционный анализ;

3. выделение тренда динамического ряда;

4. изучение сезонных и циклических колебаний динамического ряда;

5. статистическое оценивание результатов и т.д.

Но так как, эконометрика является эмпирической наукой и решает конкретные экономические задачи, методы эконометрического анализа должны исключать проявление процессов искажающих результаты статистического анализа. К таким процессам относятся:

1. асимметричность связей;

2. мультиколлинеарность переменных;

3. гетероскедастичность;

4. автокорреляция;

5. ложная корреляция;

6. наличие лагов и т.д.

1.2 Эконометрическая модель

Эконометрические модели являются главным инструментом в эконометрике. Невозможно, например, абсолютно точно подсчитать спрос на автомобили в следующем году. Но можно, зная основные факторы, влияющие на спрос, построить модель спроса.

Эконометрическая модель - теоретическая модель экономических процессов, которая является средством прогнозирования эмпирических экономических процессов.

В эконометрике используют три класса эконометрических моделей:

1. Модели временных рядов.

2. Регрессионные модели с одним уравнением.

3. Системы одновременных уравнений.

Моделью временных рядов называется эконометрическая модель, в которой результативных признак - функция переменной времени, или переменных относящихся к другим моментам времени. К моделям временных рядов относятся:

1. Модель тренда - отражает зависимость результативного признака от трендовой компоненты:

(1)

где:

временной тренд, заданный функцией определенного вида, линейной или нелинейной.

- случайная компонента.

2. Модель сезонности - отражает зависимость результативного признака от сезонной компоненты

(2)

где:

сезонная компонента.

- случайная компонента.

3. Тренда и сезонности - отражает зависимость результативного признака и от трендовой и от сезонной компоненты. Может быть:

аддитивная (дополняющая) модель

, (3)

мультипликативная (множительная) модель

(4)

4. К моделям, отражающим зависимость результативного признака от переменных, относящихся к другим моментам времени относятся:

модель с распределенным лагом - модель, отражающая зависимость результативного признака от предыдущих значений факторных признаков.

модель авторегрессии - модель, отражающая зависимость результативного признака от предыдущих значений результативных признаков.

модели ожидания - модель, отражающая зависимость результативного признака от будущих значений факторных или результативных переменных.

Регрессионной моделью с одним уравнением называется модель, в которой результативный признак представляется в виде функции факторных переменных:

 (5)

где

- результативный признак (зависимая переменная).

- факторные признаки (независимые или объясняющие переменные).

Регрессионные модели с одним уравнением в зависимости от вида функции делятся на линейные и нелинейные.

Наиболее часто в экономике используют следующие модели с одним уравнением:

1. Функция цены, где цена товара зависит от объема поставки и цен конкурентов :

(6)

2. Функция спроса, где величина спроса товара зависит от его цены , от цен конкурентов , и доходов потребителей :

(7)

3. Производственная функция, где зависимость объема производства товара зависит от производственных факторов, например затрат капитала и затрат труда :

(8)

Системы одновременных уравнений - модели, которые описываются системами взаимосвязанных регрессионных уравнений.

Системы уравнений могут быть тождественными или поведенческими.

Тождественные системы уравнений состоят из уравнений, вид которых и значения параметров известны.

Поведенческие системы уравнений состоят из уравнений, вид которых и значение параметров требуется оценить, а также уравнения, которые в качестве независимых переменных могут включать, кроме факторных переменных, результативные признаки из других уравнений системы.

К системам одновременных уравнений относится, например, модель спроса и предложения из трех уравнений:

(9)

где

- предложение товара в момент времени .

- спрос на товар в момент времени .

- цена товара в момент времени .

- цена товара в предыдущий момент времени .

- доход потребителя в момент времени .

Системы одновременных уравнений могут включать в себя большое количество уравнений, например, модель Уортона американской экономики, содержит более одной тысячи уравнений, которые решаются одновременно.

1.3 Измерения в экономике

В настоящее время термин «измерение» употребляется в трех значениях:

1. Измерение - это получение, сравнение и упорядочение информации. Предполагает сравнение объектов исследования по наличию или отсутствию исследуемого свойства. Данному понятию соответствуют термины «классификация», «нумерация».

2. Измерение - это операция, в результате которой получается численное значение величины измеряемого признака. Данному понятию соответствуют термины «шкалирование», «топология», «упорядочение».

3. Измерение - измерение с обязательным наличием единицы измерения, т.е. сравнение изучаемых объектов с эталоном. Данному понятию соответствуют термины «измерение», «квантификация».

Измерение, по любому из определений, предполагает наличие шкалы измерения. Различают следующие типы шкал:

номинальная;

порядковая (ранговая, ординальная);

интервальная;

шкала отношений.

Тип шкалы определяется допустимым преобразованием, при котором истинные утверждения не становятся ложными, а ложные утверждения не становятся истинными.

Номинальная шкала

Номинальная шкала - шкала, в которой измерением называется классификация, при которой каждое значение определяет отдельную категорию, т.е. каждая категория «отличается» от других, но это отличие не может быть количественно измерено. Например, нумерация игроков в футбольной команде.

Номинальной шкале присущи только свойства «симметричности» и «транзитивности».

Симметричность - если то и .

Транзитивность - если и то и .

Порядковая (ординальная, ранговая) шкала

Порядковая шкала ранжирует объекты по уровню свойства, т.е. «больше» или «меньше», но не позволяет сказать «на сколько больше» или «на сколько меньше».

Ординальная шкала допускает следующие операции: «равенство-неравенство» и «больше-меньше».

Для порядковой шкалы возможно любое монотонное преобразование.

Среди порядковых шкал большое распространение получили бальные шкалы.

Примерами ординальной шкалы может служить рейтинг популярных песен, успеваемость учеников в школе, оценка силы волн, и т.д.

Интервальная шкала (шкала разностей)

Интервальная шкала - шкала, которая позволяет не только упорядочить объекты по уровню свойства, но и сравнивать между собой разности количеств свойства.

Шкала разностей - интервальная шкала, масштаб в которой зафиксирован. По шкале разностей мы можем сказать, например, что температура воды 100С больше, чем 30С, но и определить разницу в 70С, между двумя значениями.

Шкала разностей допускает следующие операции: «равенство-неравенство» и «больше-меньше», «равенство-неравенство интервалов» и операцию вычитания.

Шкала отношений (пропорциональная шкала)

Шкала отношений - шкала, на которой указан абсолютный ноль. По шкале отношений можно определить во сколько раз величина одного объекта больше другого. Например, используя шкалу температур Кельвина, можно сказать, что 400К по сравнения с 200К не только больше на 200, но и в два раза «горячее».

Шкала отношений допускает следующие операции: «равенство-неравенство интервалов», «больше-меньше» и операции вычитания и деления.

Особенность экономических измерений

Естественно, что измерения в экономике отличаются от измерений в физике или механике. Экономика это так называемая «неточная» наука, так как ей свойственны большие погрешности, чем «точным» наукам.

Экономическим измерениям свойственна более низкая контролируемость их точности, т.к. в естественных науках точность измерения зависит, в основном, от самого измерения, а в экономических измерениях точность кроме самого измерения зависит от:

правильного определения экономической величины и экономического показателя;

формирования системы условий, определяющих точность экономического измерения;

выбора условий соизмеримости показателей;

разработки других специфических условий экономического измерения.

2. Изучение взаимосвязей в эконометрике

2.1 Понятие о взаимосвязях. Методы выявления и измерения взаимосвязей

В природе, и тем более в обществе, все явления взаимосвязаны между собой. Урожайность зависит от качества почвы, внесения удобрений, обеспеченности производственными фондами и от многих других факторов; производительность труда от производственных затрат, обеспеченности основными и оборотными фондами и т.д.; среднедневная температура от времени года, местоположения страны удаленности от океана и т.д. Соответственно, что бы прогнозировать, то есть управлять развитием явлений, общественных и природных, необходимо установить связи, существующие между интересующими нас явлениями, их силу, вид, направление и т.д.

Так как, в статистике изучают детерминированность следствия факторами (детерминизм - обусловленность явлений множеством факторов) будем называть признак (явление) характеризующий следствие результативным признаком (зависимым признаком, результатом). Признаки, характеризующие факторы - факторными признаками (независимыми признаками). Результативные признаки принимают то или иное значение под влиянием на них признаков факторных. Соответственно размер результативного признака есть результат влияние на него факторных признаков.

В статистике различают два вида взаимосвязей между явлениями: функциональная и корреляционная.

Функциональная связь - это связь, жестко детерминированная или полная (связь равная единице или 100%), размер результативного признака зависит только от одного фактора, причем каждому конкретному значению факторного признака может соответствовать одно, или несколько четко заданных значений результативного признака.

Строго определить функциональную связь можно, только придав ей математическую формулировку. Функциональной связью является, например, связь вида:

а) , при ,

б) , при , , или

Видно, что величина признака зависит, лишь от признака , причем строго определенным образом.

Но, в мире природы и тем более в обществе функциональных связей не бывает - все явления реального мира взаимосвязаны между собой. И поэтому функциональная связь - это связь абстрактная, упрощающая расчеты, но и упрощающая объективно существующую реальность. Тем не менее, представление о связях как связях функциональных используют такие науки как химия, физика, механика, электротехника и т.д.

Обратная величина функциональной связи - это отсутствие связи (связь между явлениями равна нулю), размер результативного признака совершенно не зависит от какого-то фактора. Отсутствие связи, как и связь функциональная не существует в реальном мире - это также абстрактное понятие, упрощающее расчеты и соответственно реальность.

Корреляционная связь - это связь схоластически детерминированная, неполная. При корреляционной связи каждому значению факторного признака (признаков) соответствует множество значений результативного признака. Корреляционная связь проявляется лишь при большом числе наблюдений, в среднем.

Также различают формы связи:

1. прямая связь - с возрастанием величины фактора наблюдается рост величины результата, а при уменьшении величины фактора уменьшение величины результативного признака.

2. обратная связь - с увеличением величины фактора величина результативного признака уменьшается, а с уменьшением увеличивается.

Кроме того, по математическому выражению, связи делятся на линейные и нелинейные.

При изучении взаимосвязей общественных явлений используют различные методы, такие как:

1. сопоставление параллельных рядов;

2. метод аналитических группировок;

3. корреляционно-регрессионный анализ;

4. и др.

Изучение взаимосвязей позволяет решить следующие задачи:

1. определить наличие связи;

2. определение формы связи;

3. измерение тесноты связи;

4. прогнозирование изменения результативного признака под влиянием изменения фактора (факторов).

2.2 Метод сопоставления параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков

Метод сопоставления параллельных рядов является наиболее простым методом исследования взаимосвязей между явлениями.

Данный метод заключается в сопоставлении ранжированного ряда факторного признака с ранжированным рядом результативного признака. Данное сопоставление позволяет определить наличие или отсутствие связи между явлениями, а также ее направление.

Также метод параллельных радов позволяет определить тесноту связи. Для этого рассчитывают коэффициент Фехнера и коэффициент корреляции рангов Спирмена.

Расчет коэффициента Фехнера.

Для расчета данного коэффициента необходимо рассчитать отклонения значений признаков и от их средних значений и , при этом определяют знак отклонений или . Если знаки отклонений у признаков и совпадают, то делается вывод о согласованности вариации, если не совпадают - вариация несогласованна. Формула расчета коэффициента Фехнера:

(10)

где:

С - число совпавших знаков отклонений и

Н - число не совпавших отклонений и

Коэффициент Фехнера может принимать значения от до . В статистике принято считать, что до 0,3 связь слабая, от 0,3 до 0,7 связь средняя, свыше 0,7 связь сильная. Знак плюс показывает, что связь прямая, знак минус - связь обратная.

Необходимо учитывать, что коэффициент Фехнера определяет направление связи, но дает лишь очень грубую оценку ее величины.

Коэффициент корреляции рангов Спирмена

Коэффициент корреляции рангов учитывает согласованность рангов единиц совокупности.

Ранг - номер, который занимает единица совокупности по признакам и .

Формула расчета коэффициента корреляции рангов:

(11)

где: - число единиц совокупности,

- квадрат разности рангов.

Коэффициент корреляции рангов может принимать значения в интервале .

Корреляция альтернативных признаков

В случае, когда имеются противоположные по значению варианты признака, говорят об альтернативном признаке (да, нет). Например, продукция может быть годной или не годной.

Для исследования взаимосвязей между двумя альтернативными признаками, то есть, вариация обоих атрибутивных признаков ограничена двумя группами, используют «тетрахорические показатели». Их расчет основан на использовании определенной расчетной таблицы (табл. 1).

Таблица 1.

II I	+	-
+	a	b
-	c	d

Она состоит из четырех ячеек обозначенных буквами a, b, c, d - частоты, расположенные в I, II, III, IV квадрантах. Знаки и в заголовках столбцов и строк характеризуют наличие или отсутствие альтернативного признака.

К «тетрахорическим показателям» относят:

коэффициент ассоциации Пирсона

коэффициент коллигации Юла

коэффициент контингенции Юла и Кендэла

коэффициент Шарлье и др.

Рассмотрим некоторые из них.

Коэффициент ассоциации Пирсона, данный коэффициент используют для измерения тесноты взаимосвязи надежности и годности. Рассчитывается по формуле:

(12)

Коэффициент коллигации Юла рассчитывается как:

(13)

Данный коэффициент показывает средний размер связи.

Рассмотренные коэффициенты могут принимать значения от до .

Если при измерении связи между качественными показателями образуется более двух групп, для определения тесноты связи используют:

коэффициент взаимной сопряженности Пирсона

коэффициент взаимной сопряженности Чупрова

коэффициент взаимной сопряженности Крамера и. д.р.

Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона рассчитывается:

(14)

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова рассчитывается:

(15)

где:

- число групп по первому и второму признаку соответственно.

- показатель взаимной сопряженности

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова целесообразно использовать, когда число групп по каждому признаку одинаково . Если используют коэффициент Крамера.

Показатель взаимной сопряженности рассчитывают, используя вспомогательную таблицу (табл. 2)

Данные подставляют в формулу:

(16)

Таблица 2. Вспомогательная таблица для расчета показателя взаимной сопряженности

y x	I	II	III	Итого
I	…	…
II	…	…
III	…	…
Итого

Коэффициент взаимной сопряженности Крамера рассчитывается:

(17)

где:

- минимальное, из значений и

При значения коэффициентов Чупрова и Крамера совпадают.

Пример 1. По совокупности, состоящей из 27 предприятий, имеются данные о фондовооруженности тыс.руб. и производительности труда тыс.руб. (табл. 3).

Таблица 3.

№			№
1	8,0	3	15	11,1	11
2	8,2	4	16	11,6	9
3	8,3	3	17	11,8	10
4	8,4	6	18	12,0	11
5	8,9	3	19	12,1	12
6	9,2	4	20	12,3	13
7	9,3	6	21	12,5	12
8	9,4	7	22	12,9	12
9	9,7	7	23	13,0	13
10	9,9	9	24	13,2	14
11	10,2	7	25	13,7	15
12	10,3	8	26	13,8	14
13	10,6	9	27	14,0	16
14	10,9	10

Необходимо определить направление и тесноту связи с помощью коэффициента Фехнера и коэффициента корреляции рангов Спирмена.

Решение.

I. Рассчитаем коэффициент Фехнера.

1. В таблице 4 рассчитаем отклонения значений признаков и от их средних значений - и , определим знак отклонений или и подсчитаем число совпадений (С) и несовпадений (Н) знаков отклонений.

Таблица 4.

№	x				С или Н
1	8,0	3	-2,9	-6,2	С
2	8,2	4	-2,7	-5,2	С
3	8,3	3	-2,6	-6,2	С
4	8,4	6	-2,5	-3,2	С
5	8,9	3	-2,0	-6,2	С
6	9,2	4	-1,7	-5,2	С
7	9,3	6	-1,6	-3,2	С
8	9,4	7	-1,5	-2,2	С
9	9,7	7	-1,2	-2,2	С
10	9,9	9	-1,0	-0,2	С
11	10,2	7	-0,7	-2,2	С
12	10,3	8	-0,6	-1,2	С
13	10,6	9	-0,3	-0,2	С
14	10,9	10	0,0	0,8	С
15	11,1	11	0,2	1,8	С
16	11,6	9	0,7	-0,2	Н
17	11,8	10	0,9	0,8	С
18	12,0	11	1,1	1,8	С
19	12,1	12	1,2	2,8	С
20	12,3	13	1,4	3,8	С
21	12,5	12	1,6	2,8	С
22	12,9	12	2,0	2,8	С
23	13,0	13	2,1	3,8	С
24	13,2	14	2,3	4,8	С
25	13,7	15	2,8	5,8	С
26	13,8	14	2,9	4,8	С
27	14,0	16	3,1	6,8	С
Среднее	10,9	9,2

2. Коэффициент Фехнера будет равен:

Коэффициент Фехнера показывает сильную положительную связь между признаками и .

II. Рассчитаем коэффициент корреляции рангов Спирмена.

1. Назначим ранги для показателя (табл. 5). Для этого ранжируем показатель по возрастанию и определим ранг, который признак занимает в ранжированном ряде.

а) Значение признака равное 3 занимает №1, №2 и №3, соответственно ранг данного значение будет .

б) Значение признака равное 4 занимает №4 и №5, соответственно ранг данного значение будет .

в) Значение признака равное 6 занимает №6 и №7, соответственно ранг данного значение будет .

г) Значение признака равное 7 занимает №8, №9 и №10, соответственно ранг данного значение будет .

д) Значение признака равное 8 занимает №11, соответственно ранг данного значение будет .

е) Значение признака равное 9 занимает №12, №13 и №14, соответственно ранг данного значение будет .

ж) Значение признака равное 10 занимает №15 и №16, соответственно ранг данного значение будет .

з) Значение признака равное 11 занимает №17 и №18, соответственно ранг данного значение будет .

и) Значение признака равное 12 занимает №19, №20 и №21, соответственно ранг данного значение будет .

к) Значение признака равное 13 занимает №22 и №23, соответственно ранг данного значение будет .

л) Значение признака равное 14 занимает №24 и №25, соответственно ранг данного значение будет .

м) Значение признака равное 15 занимает №26, соответственно ранг данного значение будет .

н) Значение признака равное 16 занимает №27, соответственно ранг данного значение будет .

Таблица 5

№	по возрастанию	ранг признака
1	3
2	3
3	3
4	4
5	4
А	1	2
6	6
7	6
8	7
9	7
10	7
11	8
12	9
13	9
14	9
15	10
16	10
17	11
18	11
19	12
20	12
21	12
22	13
23	13
24	14
25	14
26	15
27	16

2. Назначим ранги для показателя ранжированием по порядку возрастания - 1; 2; 3; . . . 27 (табл. 6).

Далее в таблице 6 проставим ранги признаков и , рассчитаем разности рангов , квадраты разности рангов и сумму квадратов разностей рангов (табл. 5).

Таблица 6

№
1	8,0	3	1	2,0	1,0	1,00
2	8,2	4	2	4,5	2,5	6,25
3	8,3	3	3	2,0	-1,0	1,00
4	8,4	6	4	6,5	2,5	6,25
5	8,9	3	5	2,0	-3,0	9,00
6	9,2	4	6	4,5	-1,5	2,25
7	9,3	6	7	6,5	-0,5	0,25
8	9,4	7	8	9,0	1,0	1,00
9	9,7	7	9	9,0	0,0	0,00
10	9,9	9	10	13,0	3,0	9,00
11	10,2	7	11	9,0	-2,0	4,00
12	10,3	8	12	11,0	-1,0	1,00
13	10,6	9	13	13,0	0,0	0,00
14	10,9	10	14	15,5	1,5	2,25
15	11,1	11	15	17,5	2,5	6,25
16	11,6	9	16	13,0	-3,0	9,00
17	11,8	10	17	15,5	-1,5	2,25
18	12,0	11	18	17,5	-0,5	0,25
19	12,1	12	19	20,0	1,0	1,00
20	12,3	13	20	22,5	2,5	6,25
21	12,5	12	21	20,0	-1,0	1,00
22	12,9	12	22	20,0	-2,0	4,00
23	13,0	13	23	22,5	-0,5	0,25
24	13,2	14	24	24,5	0,5	0,25
25	13,7	15	25	26,0	1,0	1,00
26	13,8	14	26	24,5	-1,5	2,25
27	14,0	16	27	27,0	0,0	0,00
Итого						77,00

3. Рассчитаем коэффициент корреляции рангов

Связь сильная.

Пример 2. Имеются данные о количестве торговых точек, сгруппированных по уровню средней прибыли и уровню квалификации продавцов в разных торговых точках (табл. 7).

Определить тесноту связи, через коэффициенты взаимной сопряженности.

Решение.

Рассчитаем показатель взаимной сопряженности непосредственно в таблице, используя формулу:

,

1. Рассчитаем коэффициент Пирсона.



и из полученного значения (значение находится в нижнем правом углу таблицы) вычтем единицу:

2. Так как рассчитаем коэффициент Чупрова:

Коэффициент Чупрова всегда меньше чем коэффициент Пирсона.

3. Коэффициент взаимной сопряженности Крамера:

Так как значения коэффициентов Чупрова и Крамера совпадают.

Таблица 7.

Средняя прибыль Квалификация	Низкая	Средняя	Высокая	Итого
Низкий
Средний
Высокий
Итого

Пример 3. Группа предприятий, исследованная по влиянию на прибыль новой маркетинговой схемы, разделена на две подгруппы по надою.

Таблица 8

Схема Прибыль	Переведены на новую схему	Не переведены
Прибыль увеличилась	230 (а)	84 (b)
Прибыль не увеличилась	99 (c)	210 (d)

Рассчитаем коэффициент ассоциации Пирсона:

Полученное значение показывает среднюю, прямую связь между исследуемыми признаками.

Рассчитаем коэффициент коллигации Юла:

Полученное значение показывает, что средняя связь между исследуемыми признаками прямая, средняя.

2.3 Метод аналитических группировок

Этот метод позволяет определить взаимосвязи между двумя и более признаками.

В ходе построения аналитической группировки необходимо решить следующие вопросы:

1. выбор факторных признаков

2. определение числа групп

3. оценка линии регрессии

4. измерения тесноты связи

Выбор факторных признаков

Выбор основывается на всестороннем анализе изучаемого явления, экономической теории, опыте и знаниях исследователя и т.д.

Определение числа групп

В принципе, чем больше число групп, тем точнее будет описана линия регрессии, но в месте с тем снижается точность расчета средних.

В данном вопросе необходимо, что бы увеличение числа групп, для более точного описания линия регрессии, не привело к утрате закономерного характера линии регрессии, из-за малочисленности групп.

Границы интервалов групп определяют, выделяя основные типы изучаемых явлений. При расчете величин интервалов возможно использование следующей формулы предложенной американским ученым Стерджессом.

(18)

где:

- максимальное значение признака в совокупности

- минимальное значение признака в совокупности

N - число единиц в совокупности.

При разбиении изучаемой совокупности рекомендуется соблюдение принципа равных частот, т.е. образование групп с примерно одинаковой численностью единиц.

Оценка линии регрессии

Оценка линии регрессии в данном случае основывается на вычислении среднего значения признака для интервала значений признака .

В качестве группировочного признака, как правило, используется факторный признак.

Показатель, характеризующий влияние факторного признака на результативный признак называется показателем силы связи , который показывает, на сколько единиц изменится результативный признак, если факторный увеличится на одну единицу.

Если связь между признаками нелинейная, то есть, существенно изменяется при переходе от одной группе к другой, рассчитывается как:

(19)

Так, например, если совокупность разбита на четыре группы, рассчитывают

1); 2) ; 3)

где:

- средне-групповые значения результативного признака.

- средние значения (или середины интервалов) факторного признака.

Для группировочного признака, среднюю величину находят как середину интервала.

В случае линейной связи важным показателем является поазатель средней силы связи .

 (20)

где:

- средние значения результативного признака в последней и первой группах соответственно;

- середины интервалов (или средние значения) факторного признака в последней и первой группах.

Измерение тесноты связи

Измерение тесноты связи в аналитических группировках основано на правиле сложения дисперсий - общая дисперсия всегда равна сумме средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

(21)

где:

- общая дисперсия, характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и условий:

или (22)

где - общая средняя.

- средняя внутригрупповая дисперсия, оценивает вариацию признака, сложившуюся по влиянием других, неучтенных в данном исследовании факторов и независящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий:

 или (23)

- внутригрупповая (случайная) дисперсия,

или (24)

где - групповая средняя.

- межгрупповая (систематическая) дисперсия, измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:

эконометрика корреляция коэффициент модель

(25)

Показателем тесноты связи между признаками в аналитической группировке служит корреляционное отношение:

(26)

Корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Принято считать, что до 0,3 связь слабая, от 0,3 до 0,7 связь средняя, свыше 0,7 связь сильная. Чем больше корреляционное отношение, тем больше фактор, положенный в основание группировки, оказывает влияние на общую вариацию результативного признака, то есть они более тесно взаимосвязаны.

Квадрат корреляционного отношения - коэффициент детерминации:

 (27)

Показывает долю вариации результативного признака обусловленную включенным в модель фактором.

Пример 4. В таблице 9 приведены значения факторного признака - затраты на рекламу млн.руб. и результативного признака - прибыль млн. руб. и число предприятий в каждой группе .

Таблица 9.

Затраты на рекламу в месяц млн.руб.	Число предприятий,	Средняя прибыль за месяц млн. руб.
0,08-0,12	10	23,56
0,12-0,16	15	25,20
0,16-0,20	8	29,80
0,20-0,24	5	36,50

Необходимо рассчитать показатели силы связи.

Решение.

Рассчитаем среднее значение фактора как середину интервала, и изменение средней прибыли при переходе от одной группы к другой . Результаты занесем в таблицу 10.

Таблица 10

Затраты на рекламу в месяц млн.руб.	Число предприятий,	Средняя прибыль за месяц млн.руб.	Середина интервала млн.руб.	Изменение средней прибыли млн.руб.
0,08-0,12	10	23,56	0,10	-
0,12-0,16	15	25,20	0,14	1,64
0,16-0,20	8	29,80	0,18	4,60
0,20-0,24	5	36,50	0,22	6,70

Изменение средней прибыли имеет существенные отличия при переходе от одной группы к другой, соответственно связь меду признаками нелинейная. Необходимо рассчитывать несколько показателей силы связи характеризующих взаимосвязи при переходе от одной группы к другой.

1);

Это значит, что при увеличении затрат на рекламу от 0,08 до 0,16 млн. руб. средняя прибыль будет увеличиваться в среднем на 41 руб. на каждый дополнительно потраченный на рекламу рубль.

2) ;

Это значит, что при увеличении затрат на рекламу от 0,16 до 0,20 млн. руб. средняя прибыль будет увеличиваться в среднем на 115 руб. на каждый дополнительно потраченный на рекламу рубль.

3) .

Это значит, что при увеличении затрат на рекламу от 0,20 до 0,24 млн. руб. средняя прибыль будет увеличиваться в среднем на 167,5 руб. на каждый дополнительно потраченный на рекламу рубль.

Различия между показателями силы связи обусловлены тем, что сила влияния затрат на прибыль не постоянна, она возрастает при переходе от одной группы к другой.

Пример 5. По данным табл. 10 необходимо рассчитать показатели силы связи.

Таблица 11

Затраты на рекламу в месяц млн.руб.	Число предприятий,	Средняя прибыль за месяц млн.руб.	Середина интервала млн.руб.	Изменение средней прибыли млн.руб.
0,08-0,12	10	23,56	0,10	-
0,12-0,16	15	25,20	0,14	1,64
0,16-0,20	8	26,86	0,18	1,66
0,20-0,24	5	28,51	0,22	1,65

Решение.

Изменения отличаются не существенно, то есть связь между признаками линейная, рассчитаем показатель средней силы связи.

.

Это значит, что для всей совокупности, увеличение затрат на рекламу в среднем увеличит среднюю прибыль на 41,25 руб. на каждый дополнительно затраченный рубль.

Пример 6. Имеются данные о средней прибыли на отдельных торговых точках и профессиональном разряде продавцов (табл. 11)

Таблица 12

Разряд	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.		Разряд	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
I	60	5		I	65	3
I	68	7		I	68	4
II	67	4		II	74	5
II	75	3		II	67	4
II	71	5		II	72	3
I	70	5		II	69	4

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 13):

Таблица 13

№	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
1	60	5	-8,673077	75,222265	376,111323
2	68	7	-0,673077	0,453033	3,171229
3	67	4	-1,673077	2,799187	11,196747
4	75	3	6,326923	40,029955	120,089864
5	71	5	2,326923	5,414571	27,072853
6	70	5	1,326923	1,760725	8,803623
7	65	3	-3,673077	13,491495	40,474484
8	68	4	-0,673077	0,453033	1,812131
9	74	5	5,326923	28,376109	141,880543
10	67	4	-1,673077	2,799187	11,196747
11	72	3	3,326923	11,068417	33,205250
12	69	4	0,326923	0,106879	0,427515
Итого		52			775,44231
Среднее	68,673077				14,912352

2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:

Таблица 14

№	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
1	60	5	-6,375000	40,640625	203,203125
2	68	7	1,625000	2,640625	18,484375
3	70	5	3,625000	13,140625	65,703125
4	65	3	-1,375000	1,890625	5,671875
5	68	4	1,625000	2,640625	10,562500
Итого		24			303,625000
Среднее	66,375				12,651042

а) Группа с разрядом - I (табл. 14)

Таблица 15.

№	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
1	67	4	-3,642567	13,268294	53,073177
2	75	3	4,357433	18,987222	56,961667
3	71	5	0,357433	0,1277583	0,6387917
4	74	5	3,357433	11,272356	56,361782
5	67	4	-3,642567	13,268294	53,073177
6	72	3	1,357433	1,8426243	5,527873
7	69	4	-1,642567	2,6980263	10,792105
Итого		28			236,42857
Среднее	70,642567				8,4438776

б) Группа с разрядом равным II (табл. 15)

.

3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:

.

4. Найдем межгрупповую дисперсию.

Проверим через правило сложения дисперсий

5. Рассчитаем корреляционное отношение:

.

То есть, фактор, положенный в основу группировки (разряд) оказывает среднее влияние на результат (среднюю прибыль).

6. Рассчитаем детерминационное отношение

То есть вариация результативного признака на % обусловлена влиянием фактора - разряд продавца.

2.4 Корреляционно-регрессионный анализ

Основные понятия

Корреляция - взаимосвязь между признаками, заключается в изменении средней величины результативного признака в зависимости от значения фактора (факторов).

Регрессия - функция, позволяющая по величине одного корреляционно связанного признака вычислять средние значения другого.

Корреляция, регрессия парная - корреляция, регрессия между двумя признаками: результативным и факторным .

Корреляция, регрессия множественная - взаимосвязь между несколькими признаками (тремя и более), один из которых является результативным признаком , другие факторными признаками .

Корреляция линейная - корреляционная зависимость между признаками носящая линейный характер.

Корреляция нелинейная - корреляционная зависимость между признаками не носит линейный характер, а выражена соответствующей кривой - парабола, гипербола, экспонента, показательная функция и т.д.

Регрессия линейная - регрессионная функция, выраженная уравнение прямой.

Регрессия нелинейная - регрессионная функция выражена соответствующей нелинейной функцией - парабола, гипербола, экспонента, показательная функция и т.д.

Парная корреляционно-регрессионная модель строится для изучения взаимосвязи между результативным признаком и одним фактором . Применяется в случае доминирующего влияния на результат лишь одного фактора, остальные факторы оказывают на результат несущественное влияние. Модель парной регрессии имеет вид: .

Множественная корреляционно-регрессионная модель применяется, когда необходимо изучить влияние на результативный признак не одного, а нескольких факторных признаков. Множественная модель регрессии имеет вид:

2.4.1 Парная регрессия. Парная корреляция

Если предполагается, что величина результативного признака сложилась, в основном, под влиянием лишь одного факторного признака , при исследовании взаимосвязей между ними используют парную модель функции регрессии.

(28)

Для того чтобы, построить парную корреляционно-регрессионную модель необходимо решить следующие задачи:

1. отбор фактора,

2. спецификация модели (выбор вида функции регрессии).

Отбор фактора в модель парной регрессии

Фактор, который будет использован в парной модели, должен отвечать следующим требованиям: его влияние на результат должно быть таким, что влиянием всех остальных факторов можно пренебречь, но он не должен находиться в функциональной зависимости с результатом.

Число наблюдений фактора должно превышать число параметров при переменной в 6-7 раз. Так для модели вида необходимо не менее 6-7 наблюдений, а для модели потребуется не менее 12-14 наблюдений.

Спецификация модели парной регрессии

В парной регрессии используют линейные и нелинейные функции:

- линейная функция

- полином второй степени

- полином третьей степени и т.д.

- равносторонняя гипербола

- степенная функция

- показательная функция и т.д.

Выбор вида функции в модели парной регрессии может быть осуществлен следующими методами:

Графический метод. В его основу положено построение и исследование графика «корреляционное поле», на основании которого делается вывод о виде функции описывающей взаимосвязь между явлениями.

Аналитический метод. Опирается на изучение природы взаимосвязи между исследуемыми явлениями.

Экспериментальный метод. Вид функции подбирается экспериментально через анализ качества подбора функции, путем сравнения остаточной дисперсии рассчитанной для разных моделей.

2.4.1.1 Парная линейная регрессия

Парная линейная регрессия наиболее часто применяется в регрессионных моделях, в силу простоты расчета и интерпретирования результатов.

Расчет регрессионной модели данного вида заключается в нахождении уравнения вида:

(29)

или (30)

где;

- теоретическое значение результативного признака, рассчитанное по уравнению регрессии, показывающему взаимосвязь между и.

- фактическое значение результативного признака.

- случайная величина (возмущение, шум)

(31)

Показывает влияние не учтенных в модели факторов, а также случайных ошибок.

- параметры уравнения.

Решение уравнения регрессии заключается в расчете его параметров. Наибольшее распространение из методов расчета параметров уравнения получил метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получать такие значения , которые минимизируют сумму квадратов отклонений фактических значений от теоретических .

(32)

При расчете параметров уравнения при помощи МНК необходимо решить систему из двух нормальных уравнений.

(33)

Также используют и готовые уравнения.

Для расчета параметра :

; так как получим:

или (34)

где: (35)

(36)

Для расчета параметра :

(37)

Параметр - это теоретическое значение результативного признака при и только в этом случае имеет экономический смысл, если параметр экономического смысла не имеет. В геометрическом представлении означает координату точки пересечения линии регрессии с осью ординат.

Параметр называется коэффициентом регрессии. Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц, в среднем изменится результативный признак, если факторный признак увеличится на одну единицу. Например, если уравнение регрессии имеет вид:

где прибыль млн. руб. в месяц, а затраты на маркетинг тыс. руб. в месяц. Можно сказать, что при дополнительных затратах на маркетинг на 1 тыс. руб. прибыль в среднем возрастет на 0,02 млн. руб.

Геометрически это тангенс угла наклона прямой регрессии .

Пример 7. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятий сферы торговли (табл. 21).

Построить линейное уравнение регрессии.

Таблица 21.

№
1	37,8	0,3
2	38,0	0,5
3	39,0	0,7
4	37,5	0,8
5	39,5	0,9
6	36,8	1,1
7	40,0	1,3
8	40,1	1,6
9	40,0	1,7
10	39,0	2,2
11	38,0	2,5
12	41,0	2,6
13	41,6	2,7
14	41,0	3,0
15	41,9	3,2

Решение. Для расчета параметров уравнения регрессии используем МНК. МНК в данном случае дает систему уравнений:

1. Рассчитаем, в таблице 22, все возможные значения и подставим в систему.

После подстановки данных получим систему:

1) Решим систему методом исключения параметра . Для этого первое уравнение разделим на 15, а второе на 25,10.

Далее из второго уравнения вычтем первое

Рассчитаем коэффициент регрессии:

.

Подставим значение в первое уравнение системы и рассчитаем параметр .

Таблица 22

№
1	37,80	0,30	0,09	11,34	37,792344
2	38,00	0,50	0,25	19,00	38,028410
3	39,00	0,70	0,49	27,30	38,264476
4	37,50	0,80	0,64	30,00	38,382510
5	39,50	0,90	0,81	35,55	38,500543
6	36,80	1,10	1,21	40,48	38,736609
7	40,00	1,30	1,69	52,00	38,972676
8	40,10	1,60	2,56	64,16	39,326775
9	40,00	1,70	2,89	68,00	39,444808
10	39,00	2,20	4,84	85,80	40,034974
11	38,00	2,50	6,25	95,00	40,389074
12	41,00	2,60	6,76	106,60	40,507107
13	41,60	2,70	7,29	112,32	40,625140
14	41,00	3,00	9,00	123,00	40,979240
15	41,90	3,20	10,24	134,08	41,215306
Сумма	591,20	25,10	55,01	1004,63	591,199993
В среднем	39,413333	1,673333	3,667333	66,975333
	1,518713	0,931283	3,327158	38,874862
	2,306489	0,867289	11,069980	1511,254918

2. Рассчитаем параметры уравнения , используя готовые уравнения.

Небольшие расхождения в расчете параметров разными методами объясняются ошибками округления.

Подставим полученные значения (возьмем значения полученные в Microsoft Excel, как наиболее точные. см. далее ) в уравнение регрессии .

Коэффициент парной линейной регрессии показывает, что при увеличении фактора - «затраты на рекламу» на 1 единицу (1 млн. руб.), результат - «средняя прибыль» увеличится, в среднем на 1,180332 млн. руб.

Далее подставляя значения фактора в уравнение регрессии, рассчитаем теоретические значения , занесем их в последний столбик таблицы 22.

2) Рассмотрим решение данной задачи в Microsoft Excel.

Первое. В новой книге Microsoft Excel внесем исходные данные (рис 1).

Рисунок 1.

Далее нажимаем кнопку Сервис и в открывшейся панели нажимаем кнопку Анализ данных.

В панели Анализ данных нажимаем Регрессия:

В панели регрессия вводим входной интервал , выделяя столбик, содержащий данные результативного признака, и входной интервал , выделяя столбик, содержащий данные фактора. Ответ можно поместить на новом рабочем листе, в новой рабочей книге, или на листе, содержащем условия выбирая выходной интервал, для чего указываем графа-клетку начала размещения ответа (рис 2).

Рисунок 2.

Нажимаем ОК. Появится таблица, содержащая результаты регрессионного анализа (рис 3).



Рисунок 3.

Параметр в данной таблице находится на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Y-пересечение», параметр - на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Переменная Х1».

2.4.1.2 Парная линейная корреляция

Простейшим методом определения наличия и формы взаимосвязи является построения корреляционной таблицы и графика «корреляционное поле».

Корреляционная таблица - таблица, в которой записываются частоты сочетаний результативного и факторного показателей. В настоящее время корреляционная таблица не используется для вычисления уравнения связи.

Пример 8. Имеются данные о себестоимости единицы продукции (руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) (табл. 23).

Таблица 23.

	210	210	220	200	240	200	210	220	210	220	240	200
	30	50	50	40	70	30	40	70	30	60	60	30

Составим корреляционную таблицу (табл. 24).

Таблица 24.

y x	200	210	220	240	Итого
30	2	2			4
240	1	1			2
50		1	1		2
60			1	1	2
70			1	1	2
Итого	3	4	3	2	12

По корреляционной таблице можно сделать следующие выводы. Если и распложены по возрастанию, то расположение частот около диагонали таблицы слева вниз направо говорит о прямой форме связи, если по диагонали вверх направо, то связь обратная. Если частоты находятся равномерно по всей таблицы - связь слабая.

Корреляционное поле (графический метод изучения взаимосвязей) - точечный график, характеризующий единицу наблюдения по двум признакам. Факторный признак откладывается по оси абсцисс, результативный признак по оси ординат.

По данным примера 8 построим корреляционное поле (рис. 4).

Рисунок 4

Анализ корреляционного поля показывает, что имеется прямая связь.

Если связь между признаками обратная, то корреляционное поле будет иметь примерно такой вид (рис. 5).

Рисунок 5

Если корреляционное поле имеет следующий вид (рис. 6) можно сделать вывод об отсутствии выраженной взаимосвязи.

Рисунок 6

Корреляционная таблица и корреляционное поле показывают лишь наличие, отсутствие и направление связи. Но они не дают представления о тесноте, интенсивности связи между признаками.

Тесноту связи в парной линейной модели определяют, рассчитывая линейный коэффициент парной корреляции или просто коэффициент корреляции. Существуют формулы расчета:

 (38)

или (39)

где: - коэффициент регрессии;

- среднее квадратическое значение факторного признака;

- среднее квадратическое значение результативного признака;

(40)

где - сумма квадратов отклонений обусловленная влиянием фактора ;

- общая сумма квадратов отклонений признака .

Коэффициент корреляции также можно рассчитать через значение признаков в стандартизованном масштабе:

(41)

где: - значения признаков в стандартизованном масштабе.

(42)

(43)

Коэффициент корреляции может принимать значения от до . В статистике говорят, что если значения коэффициента парной корреляции:

меньше 0,3 (-0,3) ? связь положительная (отрицательная) слабая;

от 0,3 до 0,7 (от -0,3 до -0,7) ? связь положительная (отрицательная) средняя;

свыше 0,7 (-0,7) связь положительная (отрицательная) сильная;

равен 1 (-1) связь функциональная положительная (отрицательная);

равен 0 - связь отсутствует.

Другой показатель тесноты связи - коэффициент парной детерминации. Он показывает часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием включенного в парную модель фактора. Коэффициент парной детерминации рассчитывают, возводя в квадрат коэффициент парной корреляции или по формуле:

(44)

Коэффициент парной детерминации позволяет определять тесноту связи не только в линейных, но и в нелинейных моделях.

Коэффициент парной детерминации может принимать значения от до .

Пример 9. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятий сферы торговли (табл. 25).

Таблица 25.

№
1	37,80	0,30
2	38,00	0,50
3	39,00	0,70
4	37,50	0,80
5	39,50	0,90
6	36,80	1,10
7	40,00	1,30
8	40,10	1,60
9	40,00	1,70
10	39,00	2,20
11	38,00	2,50
12	41,00	2,60
13	41,60	2,70
14	41,00	3,00
15	41,90	3,20
Сумма	591,20	25,10
В среднем	39,413333	1,673333
	1,518713	0,931283

Рассчитать коэффициент парной линейной корреляции и коэффициент парной линейной регрессии .

Решение.

1) Так, как из примера 7 известно, что уравнение регрессии используем формулу:

Коэффициент парной корреляции показывает, что между исследуемыми признаками существует тесная положительная связь.

Возведя коэффициент корреляции в квадрат, получим коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации показывает, что 52% от всей вариации результативного признака обусловлено влиянием включенного в модель фактора, а 48% вариации вызвано влиянием всех остальных, не исследуемых в данной модели факторами.

2) Рассмотрим решение данной задачи в Microsoft Excel.

В новой книге Microsoft Excel внесем исходные данные (рис 7).

Далее нажимаем кнопку Сервис и в открывшийся панели нажимаем кнопку Анализ данных

В панели Анализ данных нажимаем корреляция:

В панели корреляция вводим входной интервал, выделяя все столбики, содержащий и данные результативного признака и данные фактора. Ответ можно поместить на новом рабочем листе, в новой рабочей книге, или на листе, содержащем условия выбирая выходной интервал, для чего указываем графа-клетку начала размещения ответа (рис. 7).

Рисунок 7.

Нажимаем ОК.

Появится таблица парных линейных коэффициентов корреляции (рис. 8).

Рисунок 8.

На пересечении столбца 1 и столбца 2 и будет искомый коэффициент парной линейной корреляции.

2.4.1.3 Оценка надежности уравнения парной линейной регрессии, его параметров и коэффициента парной линейной корреляции

Результаты корреляционно-регрессионного анализа необходимо проверить, проведя оценку существенности, как уравнения регрессии, так и его параметров и коэффициента корреляции.

Оценка существенности уравнения регрессии в целом проводится с помощью критерия Фишера - F-критерия.

При этом исходят из представления, что если между изучаемыми признаками и есть связь и уравнение парной линейной регрессии эту связь отражает, то вариация результативного признака , обусловленная влиянием факторного признака (факторная вариация) должна быть в несколько раз больше, чем вариация результативного признака, вызванная всеми другими факторами (остаточная вариация).

Для этого вначале проводят исследование дисперсии.

Общую сумму квадратов отклонений раскладывают на две части - «факторную» и «остаточную».

(45)

где: - общая сумма квадратов отклонений;

- факторная сумма квадратов отклонений;

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Разделив каждую сумму квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы ( для общей суммы, для факторной и для остаточной) получим дисперсию на одну степень свободы - .

(46)

(47)

(48)

Для расчета F-критерия сопоставим факторную и остаточную дисперсию;

(49)

Также F-критерий можно рассчитать по формуле:

(50)

Оценку существенности уравнения регрессии проводят, сравнивая полученное значение F-критерия () с табличным значением (), которое берут из таблиц критических значений F-отношений при определенном уровне значимости, как правило: или , и числе свободы: , (таблицы Снедекора-Фишера - приложение 2).

Если то уравнение регрессии значимо, если меньше незначимо.

Значимость параметров уравнения и коэффициента корреляции проверяют при помощи критерия Стьюдента - t-критерия.

Критерий Стьюдента для коэффициента регрессии рассчитывается как;

(51)

где; - коэффициент регрессии.

- стандартная ошибка коэффициента регрессии, рассчитывается как:

(52)

Учитывая, что

(53)

Критерий Стьюдента для параметра рассчитывается как;

(54)

где: - свободный член уравнения регрессии.

- стандартная ошибка параметра , рассчитывается как:

(55)

или (56)

Критерий Стьюдента для коэффициента корреляции рассчитывается как;

(57)

или (58)

где: - коэффициент парной линейной корреляции.

- стандартная ошибка коэффициента корреляции, рассчитывается как:

(59)

Кроме того, для парной линейной регрессии верно, что:

(60)

Полученные фактические значения критерия Стьюдента сравнивают с табличными значениями при определенном уровне значимости , или , и числе степеней свободы (приложение 1), где - число единиц наблюдения, - число параметров уравнения регрессии. Если фактическое значение больше табличного соответствующий коэффициент статистически значим.

Пример 10. По данным примера 7 и примера 9 провести оценку существенности полученного уравнения регрессии , его параметров , и коэффициента корреляции .

Решение.

1. Оценка статистической значимости функции регрессии проводится при помощи критерия Фишера - F-критерия.

Рассчитаем для парной линейной регрессии . Расчет проведем по формуле:



Далее фактическое значение необходимо сравнить с табличным значением. Табличное значение берется из таблиц значения Фишера при разных уровнях значимости (приложение 2). При и числе степеней свободы , , . Так как , можно сказать, что уравнение регрессии статистически значимо.

2. Оценка статистической значимости параметров уравнения регрессии и коэффициента парной линейной корреляции проводится при помощи критерия Стьюдента - t-критерия.

Для расчета критерия Стьюдента составим таблицу 26.

Таблица 26

№
1	37,80	0,30	0,09	37,792344	0,000059	1,886044
2	38,00	0,50	0,25	38,028410	0,000807	1,376710
3	39,00	0,70	0,49	38,264476	0,540996	0,947377
4	37,50	0,80	0,64	38,382510	0,778824	0,762711
5	39,50	0,90	0,81	38,500543	0,998914	0,598044
6	36,80	1,10	1,21	38,736609	3,750454	0,328711
7	40,00	1,30	1,69	38,972676	1,055395	0,139378
8	40,10	1,60	2,56	39,326775	0,597877	0,005378
9	40,00	1,70	2,89	39,444808	0,308238	0,000711
10	39,00	2,20	4,84	40,034974	1,071171	0,277378
11	38,00	2,50	6,25	40,389074	5,707675	0,683378
12	41,00	2,60	6,76	40,507107	0,242944	0,858712
13	41,60	2,70	7,29	40,625140	0,950352	1,054045
14	41,00	3,00	9,00	40,979240	0,000431	1,760045
15	41,90	3,20	10,24	41,215306	0,468806	2,330712
Сумма	591,20	25,10	55,01	591,199992	16,472942	13,009333
В среднем		1,673333

Фактически критерий Стьюдента для коэффициента регрессии рассчитывается как;

.

Значение стандартных ошибок , можно взять из результатов регрессионного анализа в Microsoft Excel - рисунок 3, столбец - стандартная ошибка.

Фактический критерий Стьюдента для свободного члена уравнение регрессии рассчитывается как:

.

.

Фактически критерий Стьюдента для коэффициента корреляции рассчитывается как;

Также верно, что

Полученные фактические критерии Стьюдента с табличным значением (приложение 1) при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Если фактические значения t-критерия превышают табличные можно принять, что соответствующее расчетное значение статистически значимо.

Для данного примера табличное значение, при и составит . Все фактические значения t-критерия превышают табличные. Можно сделать вывод о статистической значимости параметров уравнения регрессии и коэффициента парной линейной корреляции для парной линейной регрессии выраженной уравнением .

2) Расчет фактического критерия Фишера и критерия Стьюдента в Microsoft Excel.

Фактические значения критериев Фишера и Стьюдента представлены в итоговой таблице, содержащей результаты регрессионного анализа - пример 7, рис. 3.

Критерий Фишера расчетный обозначен в столбике F дисперсионного анализа, t-критерии для параметров уравнения в столбике t-статистика.

2.4.1.4 Парная нелинейная регрессия

Естественно, что кроме линейных взаимосвязей между явлениями природы, и тем более общественного мира существуют связи нелинейные. Соответственно изучать нелинейные связи при помощи линейной регрессии было бы не верно, для этого необходимо использовать нелинейные регрессии.

Но использование нелинейных регрессий связанно следующим ограничением - так как, параметры уравнения регрессии находят при помощи МНК, решая систему нормальных уравнений, а этот метод позволяет оценивать параметры или линейных уравнений или уравнений приводимых к линейному виду, то выбор нелинейных регрессий ограничен - должна существовать возможность линеаризации данных функций.