Корреляционный и регрессионный анализ
Построение линейного уравнения парной регрессии, расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации. Определение коэффициентов корреляции и эластичности, индекса корреляции, суть применения критерия Фишера в эконометрике.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 05.05.2010 |
| Размер файла | 141,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Содержание
- 1. Исходные данные 2
- 2. Решение задачи 1 3
- 3. Решение задачи 2 7
- Вывод: 11
- Список использованных источников 12
1. Исходные данные
Задание 1
1. Построить линейное уравнение парной регрессии;
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;
3. Оценить статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).
Задание 2
1. Построить уравнение парной регрессии в виде нелинейной функции: степенной у = ахb, экспоненты у = аеbх, показательной у = abx, любой на выбор;
2. Для оценки параметров модель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;
3. Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции;
4. Значимость определяется по критерию Фишера.
Исходные данные для решения задач приведены в таблице 1.
Таблица 1 - Исходные данные
|
N |
X |
Y |
|
|
1 |
23 |
110 |
|
|
2 |
45 |
125 |
|
|
3 |
34 |
111 |
|
|
4 |
51 |
121 |
|
|
5 |
28 |
109 |
|
|
6 |
62 |
127 |
|
|
7 |
71 |
143 |
|
|
8 |
63 |
121 |
|
|
9 |
70 |
154 |
|
|
10 |
45 |
108 |
|
|
11 |
51 |
136 |
|
|
12 |
27 |
109 |
|
|
13 |
62 |
125 |
|
|
14 |
57 |
110 |
|
|
15 |
63 |
120 |
|
|
16 |
69 |
134 |
|
|
17 |
74 |
131 |
|
|
18 |
35 |
105 |
|
|
19 |
21 |
74 |
|
|
20 |
60 |
120 |
2. Решение задачи 1
Определим линейное уравнение парной регрессии.
Для этого составим и решим следующую систему уравнений:
;
.
;
.
Решая данную систему уравнений получаем:
а=81,232;
b=0,76.
Итого получаем:
Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации
Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.
Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации
|
N |
X |
Y |
X•Y |
X2 |
Y2 |
Y- |
||||
|
1 |
23 |
110 |
2530 |
529 |
12100 |
98,71 |
11,29 |
127,42 |
10,26 |
|
|
2 |
45 |
125 |
5625 |
2025 |
15625 |
115,43 |
9,57 |
91,55 |
7,65 |
|
|
3 |
34 |
111 |
3774 |
1156 |
12321 |
107,07 |
3,93 |
15,43 |
3,54 |
|
|
4 |
51 |
121 |
6171 |
2601 |
14641 |
119,99 |
1,01 |
1,02 |
0,83 |
|
|
5 |
28 |
109 |
3052 |
784 |
11881 |
102,51 |
6,49 |
42,09 |
5,95 |
|
|
6 |
62 |
127 |
7874 |
3844 |
16129 |
128,35 |
-1,35 |
1,83 |
1,06 |
|
|
7 |
71 |
143 |
10153 |
5041 |
20449 |
135,19 |
7,81 |
60,96 |
5,46 |
|
|
8 |
63 |
121 |
7623 |
3969 |
14641 |
129,11 |
-8,11 |
65,80 |
6,70 |
|
|
9 |
70 |
154 |
10780 |
4900 |
23716 |
134,43 |
19,57 |
382,91 |
12,71 |
|
|
10 |
45 |
108 |
4860 |
2025 |
11664 |
115,43 |
-7,43 |
55,23 |
6,88 |
|
|
11 |
51 |
136 |
6936 |
2601 |
18496 |
119,99 |
16,01 |
256,26 |
11,77 |
|
|
13 |
27 |
109 |
2943 |
729 |
11881 |
101,75 |
7,25 |
52,53 |
6,65 |
|
|
13 |
62 |
125 |
7750 |
3844 |
15625 |
128,35 |
-3,35 |
11,24 |
2,68 |
|
|
14 |
57 |
110 |
6270 |
3249 |
12100 |
124,55 |
-14,55 |
211,76 |
13,23 |
|
|
15 |
63 |
120 |
7560 |
3969 |
14400 |
129,11 |
-9,11 |
83,03 |
7,59 |
|
|
16 |
69 |
134 |
9246 |
4761 |
17956 |
133,67 |
0,33 |
0,11 |
0,24 |
|
|
17 |
74 |
131 |
9694 |
5476 |
17161 |
137,47 |
-6,47 |
41,89 |
4,94 |
|
|
18 |
35 |
105 |
3675 |
1225 |
11025 |
107,83 |
-2,83 |
8,02 |
2,70 |
|
|
19 |
21 |
74 |
1554 |
441 |
5476 |
97,19 |
-23,19 |
537,87 |
31,34 |
|
|
20 |
60 |
120 |
7200 |
3600 |
14400 |
126,83 |
-6,83 |
46,68 |
5,69 |
|
|
? |
1011 |
2393 |
125270 |
56769 |
291687 |
2393 |
0 |
2093,62 |
147,90 |
|
|
Ср. |
50,55 |
119,65 |
6263,5 |
2838,45 |
14584,35 |
119,65 |
0 |
104,68 |
7,39 |
На рисунке 1 представим поле корреляции.
Рисунок 1 - Поле корреляции
Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).
Определение коэффициента корреляции
Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:
;
.
Определим коэффициент корреляции:
.
Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи
Определим коэффициент детерминации:
Это значит, что 61% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".
Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Определим F- критерий Фишера:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет Fтаб = 4,45.
Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.
Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента
Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости ?=0,05 составит tтабл=1,743.
Определим стандартные ошибки:
;
;
.
Тогда
;
;
.
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:
, поэтому параметры а, b, и rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
;
.
Получаем доверительные интервалы:
и ;
и .
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.
3. Решение задачи 2
В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т.е.
у = a•bx.
Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии
Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:
ln(у) =ln(а)+ x•ln(b),
Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).
Составим и решим систему уравнений:
;
.
;
.
Решая данную систему уравнений получаем:
А=4,436 следовательно a=84,452;
B= 0,0067 следовательно b=1,0067.
Итого получаем
.
Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации
Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.
Таблица 3 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации
|
N |
X |
Y |
X•Y |
X2 |
Y2 |
Y- |
|||||
|
1 |
23 |
110 |
2530 |
529,00 |
12100 |
98,47 |
11,53 |
132,90 |
201,64 |
10,48 |
|
|
2 |
45 |
125 |
5625 |
2025,00 |
15625 |
114,05 |
10,95 |
119,80 |
0,64 |
8,76 |
|
|
3 |
34 |
111 |
3774 |
1156,00 |
12321 |
105,98 |
5,02 |
25,23 |
174,24 |
4,53 |
|
|
4 |
51 |
121 |
6171 |
2601,00 |
14641 |
118,72 |
2,28 |
5,21 |
10,24 |
1,89 |
|
|
5 |
28 |
109 |
3052 |
784,00 |
11881 |
101,82 |
7,18 |
51,62 |
231,04 |
6,59 |
|
|
6 |
62 |
127 |
7874 |
3844,00 |
16129 |
127,77 |
-0,77 |
0,59 |
7,84 |
0,60 |
|
|
7 |
71 |
143 |
10153 |
5041,00 |
20449 |
135,68 |
7,32 |
53,59 |
353,44 |
5,12 |
|
|
8 |
63 |
121 |
7623 |
3969,00 |
14641 |
128,62 |
-7,62 |
58,09 |
10,24 |
6,30 |
|
|
9 |
70 |
154 |
10780 |
4900,00 |
23716 |
134,78 |
19,22 |
369,54 |
888,04 |
12,48 |
|
|
10 |
45 |
108 |
4860 |
2025,00 |
11664 |
114,05 |
-6,05 |
36,66 |
262,44 |
5,61 |
|
|
11 |
51 |
136 |
6936 |
2601,00 |
18496 |
118,72 |
17,28 |
298,70 |
139,24 |
12,71 |
|
|
12 |
27 |
109 |
2943 |
729,00 |
11881 |
101,14 |
7,86 |
61,82 |
231,04 |
7,21 |
|
|
13 |
62 |
125 |
7750 |
3844,00 |
15625 |
127,77 |
-2,77 |
7,65 |
0,64 |
2,21 |
|
|
14 |
57 |
110 |
6270 |
3249,00 |
12100 |
123,57 |
-13,57 |
184,15 |
201,64 |
12,34 |
|
|
15 |
63 |
120 |
7560 |
3969,00 |
14400 |
128,62 |
-8,62 |
74,33 |
17,64 |
7,18 |
|
|
16 |
69 |
134 |
9246 |
4761,00 |
17956 |
133,88 |
0,12 |
0,01 |
96,04 |
0,09 |
|
|
17 |
74 |
131 |
9694 |
5476,00 |
17161 |
138,43 |
-7,43 |
55,13 |
46,24 |
5,67 |
|
|
18 |
35 |
105 |
3675 |
1225,00 |
11025 |
106,69 |
-1,69 |
2,85 |
368,64 |
1,61 |
|
|
19 |
21 |
74 |
1554 |
441,00 |
5476 |
97,17 |
-23,17 |
536,63 |
2520,04 |
31,30 |
|
|
20 |
60 |
120 |
7200 |
3600,00 |
14400 |
126,07 |
-6,07 |
36,85 |
17,64 |
5,06 |
|
|
? |
1011 |
2393 |
125270 |
56769,00 |
291687 |
2381,97 |
11,03 |
2111,36 |
5778,60 |
147,73 |
|
|
Ср. |
50,55 |
119,65 |
6263,50 |
2838,45 |
14584,35 |
119,10 |
0,55 |
105,57 |
288,93 |
7,39 |
На рисунке 3 представим поле корреляции.
Рисунок 2 - Поле корреляции
Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции
Определим коэффициент эластичности
,
где
,
следовательно при изменении фактора"х" на 1% от своего среднего значения, "у" изменится на 0,334 % от своей средней величины.
Определение индекс корреляции
.
Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи
Определим индекс детерминации:
Это значит, что 63,5% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".
Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Определим F- критерий Фишера:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет Fтаб = 4,45.
Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.
Вывод
В результате проведенного корреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональная зависимость между значениями "х" и "у", то есть: . Данная зависимость обладает максимальным значением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.
Список использованных источников
1. Учебно-методическое пособие к изучению курса "Статистика". Н.Н. Щуренко, Г.В. Девликамиова: Уфа, 2004.- 55с.
2. Эконометрика для начинающих. Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов В.П. Носко: Москва, 2000. - 249с.
3. Эконометрика. И.И. Елисеева: Москва "Финансы и статистика", 2003.- 338с.
4. Общая теория статистики. Н.М. Виноградова, В.Т. Евдокимов, Е.М. Хитарова, Н.И. Яковлева: Москва,1968.- 381с.
Подобные документы
Построение доверительного интервала для коэффициента регрессии. Определение ошибки аппроксимации, индекса корреляции и F-критерия Фишера. Оценка эластичности изменения материалоемкости продукции. Построение линейного уравнения множественной регрессии.
контрольная работа [250,5 K], добавлен 11.04.2015Расчет линейного коэффициента парной и частной корреляции. Статистическая значимость параметров регрессии и корреляции. Анализ корреляционного поля данных. Точность прогноза, расчет ошибки и доверительный интервал. Коэффициент множественной детерминации.
контрольная работа [155,8 K], добавлен 11.12.2010Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о линейной форме связи. Расчет уравнений различных регрессий. Расчет коэффициентов эластичности, корреляции, детерминации и F-критерия Фишера. Расчет прогнозного значения результата и его ошибки.
контрольная работа [681,9 K], добавлен 03.08.2010Определение параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel. Методика расчета показателей парной нелинейной регрессии и корреляции. Вычисление значений линейных коэффициентов множественной детерминации.
контрольная работа [110,4 K], добавлен 28.07.2012Построение поля корреляции. Расчет параметров уравнений парной регрессии. Зависимость средней ожидаемой продолжительности жизни от некоторых факторов. Изучение "критерия Фишера". Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
контрольная работа [173,8 K], добавлен 22.11.2010Построение поля корреляции, расчет уравнений линейной парной регрессии, на основе данных о заработной плате и потребительских расходах в расчете на душу населения. Анализ коэффициента эластичности, имея уравнение регрессии себестоимости единицы продукции.
контрольная работа [817,3 K], добавлен 01.04.2010Построение поля корреляции с формулировкой гипотезы о форме связи. Построение моделей парной регрессии. Оценка тесноты связи с помощью коэффициента (индекса) корреляции. Расчет прогнозного значения результата и доверительного интервала прогноза.
контрольная работа [157,9 K], добавлен 06.08.2010Построение доверительного интервала для коэффициента регрессии в заданной модели. Оценка качества модели по анализу ошибки аппроксимации, индекса корреляции и F-критерия Фишера. Оценка эластичности спроса в зависимости от цены. Уравнение авторегрессии.
контрольная работа [156,8 K], добавлен 28.02.2011Определение методом регрессионного и корреляционного анализа линейных и нелинейных связей между показателями макроэкономического развития. Расчет среднего арифметического по столбцам таблицы. Определение коэффициента корреляции и уравнения регрессии.
контрольная работа [4,2 M], добавлен 14.06.2014Проведение корреляционно-регрессионного анализа в зависимости выплаты труда от производительности труда. Построение поля корреляции, выбор модели уравнения и расчет его параметров. Вычисление средней ошибки аппроксимации и тесноту связи между признаками.
практическая работа [13,1 K], добавлен 09.08.2010
