Моделирование процессов и объектов в металлургии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

«Моделирование процессов и объектов в металлургии»

1. Основы математического моделирования

Современный металлургический завод - это сложный комплекс производственных цехов, технологически и энергетически тесно связанных между собой для последовательной переработки сырья и полуфабрикатов в чугун, сталь и прокат. Математическое моделирование - практически единственный метод решения научных задач, которые возникают при анализе подобных систем.

При формальном (абстрактном) описании явлений окружающего нас мира выстраивается некоторая система аксиом, которая отражает уровень наших знаний об этом мире. В соответствии с этим математической моделью называют некоторую совокупность объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данной системе аксиом. Математическая модель формулируется в виде формулы, уравнения или системы уравнений, которые могут быть алгебраическими, дифференциальными, интегро-дифференциальными, либо интегральными, но в любом случае она с той или иной степенью приближения и подробности описывает натурный образец, его свойства и поведение. Составляя математическую модель, нужно стремиться оставлять для рассмотрения лишь наиболее существенные параметры, делать математическое описание явления как можно проще. К сожалению, на сегодняшний день далеко не все задачи можно решить абсолютно точно, даже с использованием современной компьютерной техники. Поэтому, перефразируя известное выражение, можно сказать: «Не тот настоящий металлург, который умеет составлять уравнения интересующих его процессов и объектов, а тот, который составляет их так, что они интегрируются».

Математические модели нельзя рассматривать как абсолютные категории, т.к. они дают лишь приближенное представление о поведении сложного процесса. Один и тот же сложный процесс может описываться несколькими математическими моделями, часто не связанными между собой. В каждом конкретном случае вид модели определяется теми задачами, которые предстоит с ее помощью решать. Уровень математической модели соответствует иерархическому уровню системы или подсистемы, которую она описывает. Например, математическая модель может описывать отдельный процесс, происходящий в образце, либо весь комплекс существенных процессов. Она может описывать взаимодействие различных элементов (объектов) в какой либо системе, например взаимодействие агрегатов данного участка, отделения, цеха, и т.д.

Математические модели бывают детерминированными и вероятностными, статическими и динамическими, имитации и оптимизации.

Вероятностной (функциональной, стохастической) называют модель, содержащую вероятностные элементы. Ее получают в результате экспериментальных исследований натурного образца. При этом исследуют лишь реакцию системы на подаваемые на вход возмущения, а результаты обрабатывают методами математической статистики. В противном случае модель называют детерминированной. В принципе можно построить модель преимущественно вероятностного или преимущественно детерминированного характера.

По отображению функционирования рассматриваемого объекта или процесса во времени модели подразделяются на статические (одномоментные) и динамические, воспроизводящие процесс функционирования за ряд последовательных моментов времени.

Модели, предназначенные для имитации работы какого-либо объекта или процесса, называют моделями имитации. Модели, предназначенные для оптимизации системы, называют моделями оптимизации. Основой модели оптимизации служит математическая модель, подобная имитирующей модели.

В настоящее время существует два подхода к построению математических моделей: гносеологический и кибернетический (информационный).

Гносеологический подход дает возможность получить математическое описание процесса на основе теоретического анализа физических процессов, происходящих в исследуемом объекте с учетом конструкций машин и агрегатов и характеристик обрабатываемых материалов. Параметры составленных уравнений определяют либо аналитически, либо экспериментально. Гносеологические модели являются наиболее полными и пригодны в первую очередь для решения задач по выяснению механизма явлений. Эти же модели после аппроксимации точных результатов более простыми зависимостями можно использовать в задачах оптимизации и автоматического управления.

Кибернетический (информационный) подход на основе изучения входных и выходных переменных дает математические модели, которые лишь описывают поведение «оригинала», а не копируют его по физической сущности. Эти модели предназначены только для целей оптимизации и автоматического управления.

Современная форма математического моделирования - компьютерное моделирование. Моделирование производственных процессов на ЭВМ позволяет, не прибегая к дорогостоящему натурному эксперименту оценивать многие характеристики проектируемых производственных процессов, решать задачи, возникающие на стадии разработки, наладки и ввода в эксплуатацию сложного производственного оборудования, а также оценивать эффективность различных технологических методов и вариантов структуры производственных комплексов. Для автоматизации систем управления компьютерное моделирование производственных процессов - пока единственный, практически доступный метод оценки управляющих алгоритмов и структурных схем управления.

В случае компьютерного моделирования математическая модель разрабатывается в виде алгоритма для ЭВМ. Под алгоритмом понимают точное предписание по выполнению некоторого вычислительного процесса, который через конечное число шагов приводит либо к решению задачи, либо к выводу о невозможности решения. Для реализации алгоритма составляется программа на каком-либо из языков программирования.

Когда мы говорим о моделировании процессов и объектов в металлургии, то в большинстве случаев подразумеваем необходимость определения закона функционирования соответствующего объекта, т.е. определения функциональной зависимости параметров объекта или процесса от внешних воздействий. В то же время из курса высшей математики известно, что вид функций, как правило, определяется из решения дифференциальных уравнений. При этом, для того чтобы получить частное решение поставленной задачи (а именно такие интересуют практику), необходимо дополнительно задать краевые условия, идентифицирующие исследуемый объект. Совокупность дифференциальных уравнений и краевых условий получила название краевой задачи. Следует отметить, что краевые задачи, описывающие реально существующие процессы и объекты в металлургии очень сложны и в настоящее время не поддаются аналитическому решению. Поэтому математическое моделирование в данном случае связано с выбором того или иного метода сведения задачи к системе алгебраических уравнений и ее последующему решению с помощью компьютера. Рассмотрению таких методов будет посвящена часть настоящего курса.

Построение современной математической модели подразумевает последовательное выполнение следующих этапов:

1. Постановка задачи. На этом этапе важно понять, для решения какой задачи создается математическая модель. Здесь надо помнить высказывание: «Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением».

2. Изучение системы. Составление содержательного и формализованного описаний. Если предполагается моделировать технологический процесс, то необходимо изучить его теоретические основы и составить уравнения математической модели. При составлении уравнений используют уравнения материального и теплового баланса, сведения из физики, физической химии, теории процессов, теории размерностей, математической статистики, результаты натурных экспериментов и другие сведения.

3. Выбор метода решения задачи. Известны три метода решения модели: логический, аналитический и численный с применением вычислительной машины.

4. Подготовка к решению. Подготовка к решению представляет собой дальнейшую работу по формализации системы. Например, если процесс моделирования предполагается реализовать на ЭВМ, то составляется функциональная блок-схема модели. Здесь же составляется алгоритм, по которому машина осуществит имитацию функционирования системы. Важнейшим этапом подготовки к решению является составление и отладка программы, реализующей на ЭВМ разработанный алгоритм.

5. Решение. Решение задачи получают путем моделировании - воспроизведения и исследования изучаемого объекта или процесса на модели. Решение складывается из двух этапов - предварительного и основного моделирования. При предварительном моделировании проверяют адекватность модели, уточняют модель. При основном моделировании получают решение поставленной задачи. Метод решения задач с помощью моделирования обладает существенным недостатком - решение всегда носит частный характер. Это является следствием того нетождественного сходства свойств и отношений, которое существует между реальным объектом и моделью. Решение носит частный характер и потому, что оно соответствует фиксированным значениям основных параметров объекта и начальных условий.

6. Анализ полученной информации. Последний этап работы с моделью состоит в анализе полученной информации.

Математическая модель, являясь инструментом исследователя, может им в ходе исследований изменяться и совершенствоваться. Очень трудно заранее для сложных систем составить полностью формализованный алгоритм. Однако в ходе исследования получаемых результатов совершенствуется как математическая модель, так и алгоритм решения. При этом целесообразно строить математические модели с иерархической структурой, когда более сложные модели строятся на основе более простых и широта охвата описываемых явлений по мере развития модели постоянно возрастает.

В процессе реализации модели трижды проверяют ее достоверность.

Первая проверка осуществляется после того, как создана логическая блок-схема модели и записаны ее основные уравнения. Здесь выясняют насколько логическая блок-схема и уравнения отражают замысел модели. Для этого смотрят - как каждая функция модели реализуется в блок-схеме, проверяя тем самым полноту схемы. Далее проверяют: а) правильность связей, выясняя, нет ли в схеме непредвиденных связей и нелогичных ветвей; б) ясность и точность описания блоков, входные и выходные величины блоков и подблоков; в) все логические циклы, убеждаясь, что каждый из них имеет вход и выход; г) правильность уравнений, размерности всех величин в уравнениях; д) правильность задания констант, работу датчиков случайных чисел и всех функций.

При второй проверке устанавливают соответствие между процессами, описываемыми программой и логической блок-схемой. Для этого сравнивают каждую операцию, представленную блок-схемой программы, с аналогичной ей операцией в логической блок-схеме.

Третья проверка - это проверка достоверности программы модели. Здесь проверяют отдельные части программы, решая на ЭВМ с их помощью задачи-тесты.

Алгоритмы решения задач с помощью компьютера чаще всего представляют в виде списка расчетных формул и схемы графически представляющей порядок расчета. Эта схема (называемая еще блок-схемой) представляет собой совокупность определенным образом связанных блоков, форма которых определяет их функциональное назначение. В настоящее время блок-схема алгоритма может быть построена с использованием стандартных средств Microsoft Word с использованием позиции меню «Автофигуры».

Начало и конец схемы алгоритма принято изображать в виде блока:

В этот блок линия связи только входит или только выходит. Также используются следующие блоки:

Если на линиях связи между блоками не обозначены стрелки, то по умолчанию принимается, что переход осуществляется сверху вниз и слева направо. Если переход между блоками осуществляется в других направлениях, то это надо обозначать стрелками.

Во все блоки, кроме блоков «начало-конец» и «решение» одна связь входит и одна - выходит. В блок «решение» входит одна связь, а выходят две связи. При этом для выходящих связей необходимо отмечать, в результате какого решения она будет задействована.

Правила составления схем алгоритмов определены единой системой программной документации (ЕСПД).

Ниже приводится пример составления блок-схемы алгоритма расчета.

2. Вычислительный эксперимент

математический моделирование физика

Основные понятия регрессионного анализа. Аналитическое описание данных вычислительного эксперимента применяется как для весьма эффективного сжатия первичной информации, так и для поиска закономерностей в исследуемом процессе. Как правило, вычислительный эксперимент осуществляют на основе регрессионного анализа. При этом вид функции, связывающую переменную y c переменной x, предполагается известным:

.

Задача заключается в нахождении оценок неизвестных параметров в₀, в₁, в₂, … С этой целью на основе теоретических (профессиональных) соображений и рассмотрения графика зависимости y=y(x) выдвигается гипотеза о виде функции, связывающей y и x. При этом функция должна быть линейной относительно параметров в₀, в₁, в₂, …

Оценку параметров в₀, в₁, в₂, … в уравнении регрессии осуществляют методом наименьших квадратов, исходя из требования

,

где k - число различных значений x.

Между переменными y и x может быть нелинейная зависимость. Однако, во многих случаях нелинейная связь может быть преобразована в линейную и к анализу результатов наблюдений могут быть применены излагаемые ниже приемы вычислений.

Изложение линейного регрессионного анализа начнем со случая, когда y является функцией одной переменной x

.

В результате обработки полученных в вычислительном эксперименте данных мы должны получить оценку для теоретической линии регрессии:

Для этого минимизируем сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений y от линии регрессии

Дифференцируя с этой целью правую часть последнего уравнения по b₀ и b₁ и приравнивая обе производные нулю, получим после преобразований систему линейных алгебраических уравнений относительно b₀ и b₁

решение которой имеет вид

;

.

Проверку гипотезы о линейности связи между y и x осуществляют, сопоставляя дисперсию, обусловленную дисперсией y на x, рассчитываемую по формуле

и имеющую число степеней свободы, равное числу независимых переменных (в рассматриваемом случае - единице), с остаточной дисперсией опытных данных вокруг эмпирической линии регрессии

.

Дисперсия- это мера рассеяния случайной величины относительно математического ожидания.

При этом рассчитывают отношение

которое в случае справедливости гипотезы о линейности функции f(x) должно быть равно или больше значения F, найденного из таблиц для заданного уровня значимости б при числе степеней свободы f₁=1 и f₂=k-2.

Если из теоретических соображений или на основе предварительного графического анализа можно предположить, что опытные данные описываются степенной функцией типа или показательной функцией иной другой, которая может быть преобразована к линейному виду относительно переменных, то регрессионный анализ осуществляют по отношению к преобразованным переменным.

Нелинейные выражения преобразуются к линейному виду, как правило, путем логарифмирования. В результате получают соответственно:

Однако использование метода наименьших квадратов применительно к преобразованным переменным позволяет минимизировать сумму квадратов отклонений w, равную

а не исходных значений y.

В случае, когда вид функции, связывающей переменные x и y, точно известен, рекомендуется для получения уточненных оценок параметров в уравнении регрессии делать их оценку с помощью скорректированной суммы квадратов отклонений

где - производная функции w по y, взятая в точке y=y_i.

Дифференцируя это выражение по и и приравнивая обе производные нулю, получим после преобразования



Решая систему уравнений относительно и , найдем соответствующие оценки.

Организация вычислительного эксперимента. При проведении численного эксперимента важную роль играют поиски рациональной последовательности и объема получения данных о параметрах изучаемого объекта. План эксперимента желательно составить так, чтобы получить максимум информации при минимальных затратах средств и времени. Разработанные методы математического планирования экспериментов позволяют достаточно быстро и экономно приблизиться к поставленной цели эксперимента и упростить статистическую обработку результатов измерений. В отличии от традиционных «пассивных» статистических методов, математическое планирование эксперимента является активной процедурой, которая определяет довольно жесткую схему проведения испытаний и анализа полученных данных. Использование методов математического планирования достигает наибольшего эффекта тогда, когда задача поставлена корректно, а отправные данные выбраны рационально, что зависит в первую очередь от квалификации и опыта исследователя.

Рассмотрим случай, когда величина y является линейной функцией m переменных x₁, x₂, …, x_m

Кроме рассмотренных предпосылок регрессионного анализа, здесь появляется еще одна дополнительная предпосылка - требование линейной независимости переменных x₁, x₂, …, x_m.

Оценку параметров осуществляют методом наименьших квадратов, т.е. минимизируя сумму квадратов отклонений вычисленных значений y от гиперплоскости регрессии. В результате, как и в рассмотренном выше случае, для определения оценки параметров получается система линейных уравнений.

Однако в этом случае система уравнений для определения значений коэффициентов уравнения регрессии может получиться достаточно громоздкой, особенно если попытаться учесть взаимное влияние переменных. Поэтому для упрощения решения поставленной задачи целесообразно воспользоваться методами планирования вычислительного эксперимента. При этом физические значения переменных заменяют их кодированными значениями в соответствии с формулой

,

где X_i - кодированное значение переменной x_i.

Нетрудно заметить, что максимальному значению переменной соответствует кодированное значение равное +1, а минимальному - кодированное значение равное -1.

Суть планирования вычислительного эксперимента сводится к определению порядка ввода исходных данных, обеспечивающему, с одной стороны максимальную достоверность получаемой информации и, с другой стороны максимально допустимое сокращение расчетов. С этой целью строится матрица планирования эксперимента, строки которой определяют вводимые значения переменных, а количество строк определяет необходимое число расчетов (сочетаний исходных значений переменных). В матрицу плана подставляются кодированные значения переменных, причем единица не пишется и максимальное значение переменной обозначается «+», а минимальное значение обозначается «-«. Матрица планирования вычислительного эксперимента должна удовлетворять следующим условиям:

1) симметричности, т.е. ;

2) нормировки, т.е. ;

3) ортогональности, т.е. .

Различают два вида планов: план полного факторного эксперимента, учитывающий все взаимодействия переменных (факторов), и план дробного факторного эксперимента, который либо не учитывает взаимодействия факторов, либо учитывает не все возможные взаимодействия.

План полного факторного эксперимента принято обозначать ПФЭ2^N. Здесь цифра 2 говорит о том, что каждая переменная может принимать два значения - максимальное и минимальное, а N соответствует числу переменных. Матрица плана ПФЭ2^N имеет вид

Таблица 1

Номер опыта	X0	X1	X2	X3	…	XN	X1X2	X2X3	X1X3	…	X1X2X3…XN
1	+	-	-	-		-	+	+	+		(-1)N
2	+	+	-	-		-	-	+	-		(-1)N-1
3	+	-	+	-		-	-	-	+		(-1)N-1

Дисперсия экспериментальных точек относительно построенной поверхности регрессии оценивают с помощью выражения

,

где n - число наблюдений;

m - число независимых переменных.

Оценки b₀, b₁, …, b_m нормально коррелированны и имеют дисперсии, оценки которых рассчитываются по равенству

.

Значимость найденных оценок b_i определяют, сопоставляя отношения

с табличным значением t для заданного б при числе степеней свободы f=n-m-1.

Для проверки гипотезы о линейности связи рассчитывают отношение

,

где - дисперсия y, обусловленная регрессией y на x₁, x₂, …, x_m и равная

.

Отношение F сравнивают с табличным значением F_б для заданного б при числе степеней свободы числителя f_p=m и знаменателя f=n-m-1. Если величина отношения равна или больше табличного значения F, то гипотеза о линейности связи не противоречит полученным данным.

3. Численные методы решения стандартных задач

Численное интегрирование.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах отрезка [a, b] может быть вычислен аналитически по формуле Ньютона-Лейбница:

Однако, во многих случаях первообразная функция F(x) не может быть определена или же функция f(x) может быть задана только в узлах некоторой сетки. Поскольку при решении краевых задач математической физики такие ситуации встречаются достаточно часто, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов.

Большинство численных методов вычисления определенных интегралов основаны на том, что в пределах интервала интегрирования априори выбирают точки, обычно равноотстоящие друг от друга, а затем строится полином значения которого точно совпадают со значениями функции в этих точках. В частности, в качестве такого полинома может быть выбран интерполяционный полином Лагранжа, общая форма записи которого имеет вид

,

где - значение функции, описывающей подинтегральное выражение в узле с номером i;

- функция, значение которой равно 1 в узле с номером i, а во всех остальных узлах равно 0. Эта функция может быть записана в виде

.

Считается, что чем больше порядок полинома Лагранжа (больше величина n), тем точнее определяется значение интеграла. Однако на практике, как правило, используют полиномы Лагранжа не выше третьей степени, повышения точности вычислений добиваются за счет увеличения дискретизации области интегрирования.

Среди методов численного интегрирования, основанных на описанных выше принципах наиболее известны формула трапеций (n=1):

.

Приведенные формулы записаны для случая интегрирования в пределах отрезка с границами -1…1. Тем не менее, они обладают достаточной общностью, так как путем замены переменных границы интегрирования всегда можно привести к такому виду.

Повысить точность численного интегрирования можно также за счет оптимизации разбиения области интегрирования на узлы (формулы трапеций, Симпсона и т.п. предполагают равномерное разбиение области интегрирования). Оказывается, что наивысшая точность вычисления достигается в том случае, когда в качестве координат узлов выбираются корни полинома Лежандра.

Полиномом Лежандра называется полином вида

К важнейшим свойствам полиномов Лежандра относятся:

1. ;

2.

где - любой полином степени k, меньшей n;

3. имеет n различных и действительных корней, которые расположены на интервале (-1, 1).

В этом случае формула численного интегрирования называется квадратурной формулой Гаусса. Применение формулы Гаусса позволяет существенно уменьшить число точек интегрирования, необходимое для достижения заданной точности вычислений, сокращая тем самым расход машинного времени при решении сложных задач с помощью компьютера. В нижеприведенной таблице указаны абсциссы точек интегрирования и весовые коэффициенты квадратурной формулы Гаусса.

Таблица 2. Элементы формулы Гаусса

n	1	2	3	4	5	6
i	1	1; 2	1; 3 2	1; 4 2; 3	1; 5 2; 4 3	1; 6 2; 5 3; 4
	0	±0,57735	±0,7746 0	±0,86114 ±0,33998	±0,90618 ±0,53847 0	±0,93247 ±0,66121 ±0,23862
	2	1	0,55556 0,88889	0,34785 0,65215	0,23693 0,47863 0,56889	0,17132 0,36076 0,46791

Изложенный материал, касающийся квадратурной формулы Гаусса также справедлив для интервала интегрирования с границами -1…1.

4. Решение систем линейных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

матрицу из коэффициентов системы, через

столбец из неизвестных, через

столбец свободных членов. Тогда система линейных уравнений кратко может быть записана в виде матричного уравнения

Для нахождения корней этого уравнения достаточно умножить обе его части слева на матрицу , обратную матрице . В результате получим .

Раскрывая это выражение, получаем известную из курса алгебры формулу Крамера для нахождения корней системы линейных уравнений. Однако эта формула применима в основном для ручного счета, когда число уравнений системы не превышает четырех. При использовании этой методики для решения систем с большим числом уравнений и с использованием компьютерной техники точность получаемых результатов может оказаться недостаточной из-за накопления ошибок округления при многочисленном вычислении определителей.

5. Теоретические основы моделирования металлургических процессов и объектов

Во многих практически важных случаях наряду с изменением параметров поля (температурного, силового и т.п.) во времени происходит их существенное изменение также в пространстве. Математическим аппаратом для описания таких объектов, называемых объектами с распределенными параметрами, являются дифференциальные уравнения в частных производных. Общий вид такого уравнения следующий

.

В зависимости от знака дискриминанта D=AC-B² получают один из следующих типов уравнений: эллиптическое (D0), параболическое (D=0), гиперболическое (D0) и смешанное [D не изменяет знак в области, ограниченной кривой F(x,y)=0].

Уравнение эллиптического типа (уравнение Пуассона) имеет следующий вид

.

При F(x,y)=0 имеем частный случай - уравнение Лапласа.

Уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности и диффузии)

описывает, в частности, нестационарное распределение температуры вдоль тонкого однородного стержня.

Уравнение гиперболического типа (волновое уравнение)

описывает, в частности, поперечные колебания струны в каждом из сечений x во времени.

Применимость уравнения соответствующего вида определяется прежде всего физическими свойствами конкретного объекта, а также характером воздействия внешней среды (граничными условиями). В ряде случаев такие уравнения удается получить путем аналитических рассуждений. В качестве примера такого подхода можно взять вывод уравнения теплопроводности. Вследствие же подобия процессов теплопередачи и диффузии, описывающие их уравнения по виду аналогичны уравнениям теплопроводности, что можно видеть из сравнения с уравнением диффузии

,

где С - концентрация вещества;

D - коэффициент диффузии;

f_с - плотность источников вещества, например, количество вещества,

образующегося в результате химических реакций в единице объема в единицу времени.

Уравнение относится к молекулярному переносу в неподвижной среде и справедливо для изотермического процесса и случая, когда диффузия данного компонента не зависит от диффузии других компонентов. В этих условиях зависимость коэффициента диффузии от температуры T, вязкости среды и радиуса диффундирующих молекул r определяется формулой Стокса-Эйнштейна

,

где R и N₀ - газовая постоянная и число Авогадро.

Между количеством тепла q, поступающим в систему, работой и изменением внутренней энергии существует соотношение

,

или для бесконечно малых приращений

.

Эти соотношения и являются выражением первого закона термодинамики, который гласит, что количество тепла, полученное системой, равно увеличению ее внутренней энергии и произведенной ею работы.

При изобарическом процессе (p=const), учитывая, что , из первого закона термодинамики получаем

.

Таким образом, придаваемое системе тепло расходуется на приращение функции U+pV, которая называется энтальпией и определяется тождеством

6. Численное решение краевых задач математической физики методом конечных разностей

Рассмотрение способов построения и основных свойств разностных схем начнем с задачи теплопроводности, возникающей при расчете симметричного нагрева бесконечной пластины толщиной 2. Используя свойство симметрии температурного поля, поместим начало координат y=0 в точку, лежащую в средней плоскости пластины, и выберем в качестве расчетной области G интервал 0y, соответствующий половине толщины пластины. Тогда уравнение теплопроводности, описывающее нагрев пластины, принимает вид

, 0y.

Предполагая, что в начальный момент времени тело является равномерно прогретым до температуры _н, запишем начальное условие

, 0y.

Граничное условие при y=0 является следствием симметрии температурного поля

.

На поверхности пластины будем считать заданным линейное граничное условие III рода, соответствующее постоянной температуре окружающей среды ₀ и постоянному, не зависящему от температуры, коэффициенту теплопередачи

.

Рассмотрим сначала применение метода конечных разностей для решения линейной задачи теплопроводности, предполагая, что теплофизические характеристики тела с, и не зависят от температуры.



Рисунок 1

В этом случае уравнение теплопроводности упрощается и принимает следующий вид

, 0y,

где a=/с - коэффициент температуропроводности.

Выбор этого наиболее простого примера объясняется только тем, что наличие точного аналитического решения позволяет произвести прямую оценку погрешности приближенных численных методов. Вместе с тем, на этом примере можно наглядно продемонстрировать некоторые специфические проблемы, возникающие при реализации метода конечных разностей, и сделать выводы, имеющие общий характер.

Построение разностных схем. Основная идея метода конечных разностей (метода сеток) заключается в том, что непрерывная область изменения пространственной переменной 0y заменяется конечной совокупностью дискретно расположенных узловых точек y₁, y₂, …, y_n, y_n+1. При равномерном расположении этих точек на отрезке [0, ] их координаты равны y_i=(i-1)y при i=1, …, n+1, где расстояние между соседними точками (шаг по координате) y=/n. Аналогичным образом, вместо непрерывного изменения температурного поля во времени, рассматриваются значения температуры в фиксированные моменты времени t_k=kt, k=1, 2, …, где t - интервал между двумя последовательными моментами времени (шаг по времени).

В плоскости (y, t) совокупность узловых точек с координатами (y_i, t_k) образует прямоугольную сетку, изображенную на рис., и расчет температурного поля (y, t) сводится к отысканию сеточной функции , приближенно характеризующей температуру тела в узловых точках. Для иллюстрации на следующем рис. изображены дискретные температурные поля и , соответствующие двум моментам времени t_k и t_k+1.

Рисунок 2

При замене непрерывной функции (y, t) дискретной сеточной функцией необходимо заменить дифференциальное уравнение теплопроводности с соответствующими краевыми условиями системой алгебраических (разностных) уравнений, связывающих значения сеточной функции в соседних узловых точках. Такая система алгебраических уравнений, являющаяся приближенной математической моделью процесса теплопроводности, называется разностной схемой решения исходной краевой задачи. Как будет показано в дальнейшем, переход от исходных дифференциальных соотношений к соответствующей им системе разностных уравнений может быть произведен различными путями. Получающиеся при этом разностные схемы могут значительно отличаться друг от друга в отношении точности и эффективности, т.е. объема вычислений, который необходимо произвести для достижения заданной точности расчета. Некоторые разностные схемы вообще оказываются непригодными для получения удовлетворительного результата. Таким образом, в каждом конкретном случае возникает проблема выбора разностной схемы, наилучшим образом отвечающей исходной постановке задачи.

Разностная схема, конечно, должна быть построена таким образом, чтобы измельчение сетки сопровождалось уменьшением погрешности численного решения задачи. Для того, чтобы выразить это требование более строго, введем количественную характеристику погрешности расчета , выразив ее в каждой точке в виде разности между значением сеточной функции и точным значением температуры (y_i, t_k)

.

Погрешность расчета температуры в k-тый момент времени ^k естественно определить как максимальное значение

,

а общую погрешность , характеризующую качество всего численного решения задачи, как

.

Подчеркивая зависимость погрешности расчета от величины шагов по координате и времени, запишем =(y, t). Тогда для правильно построенной разностной схемы должно выполняться предельное соотношение

.

7. Проекционные методы решения краевых задач математической физики

Используя основные понятия функционального анализа, можно сформулировать постановку краевой задачи следующим образом.

Даны метрические пространства X и Y и оператор А, определенный на множества D_А пространства X с множеством значений пространства Y. Требуется решить уравнение Аx=y^*, где y^* - заданный элемент Y.

Множество X называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов x₁ и x₂ поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число с(x₁, x₂), называемое расстоянием между x₁ и x₂ и удовлетворяющее следующим условиям:

1) с(x₁, x₂)=0 тогда и только тогда, когда x₁=x₂;

2) с(x₁, x₂)= с(x₂, x₁);

3) для любых трех элементов x₁, x₂ и x₃ с(x₁, x₂)? с(x₁, x₃)+ с(x₃, x₂).

На некотором множестве D_А определен оператор А, если каждому элементу ц, принадлежащему D_А, приведен в соответствие по некоторому закону один и только один элемент ш.

Для нахождения приближенного решения краевой задачи разрабатывается алгоритм, который выдает последовательность приближенных решений x_n.

Приближенное решение краевых задач во многих случаях удается получить с применением так называемых прямых методов. По определению прямыми называются такие методы приближенного решения задач теории дифференциальных и интегральных уравнений, которые сводят эти задачи к конечным системам алгебраических уравнений.

К прямым методам приближенного решения краевых задач относятся проекционные методы.

Пусть ц₁, ц₂, …, ц_n, … есть некоторая полная линейно независимая система элементов D_А. Назовем ее координатной системой, а ее элементы - координатными функциями.

Если в пространстве D_А любая последовательность является фундаментальной, то это пространство называется полным. Последовательность элементов метрического пространства называется сходящейся в себе или фундаментальной последовательностью если для любого числа е>0 найдется такое число N_е, что с(x_n,x_m)<е при n,m?N_е.

Если S - непустое множество элементов метрического пространства, то каждое выражение вида ₁₁+₂₂+…+_nn, где ₁, ₂, …,_n действительные числа, а ₁, ₂, …,_nS называется линейной комбинацией. Множество всех линейных комбинаций элементов из S образует векторное пространство.

Непустое множество S={ ц₁, ц₂, …, ц_n} попарно различных векторов линейно зависимо, если существуют действительные числа ₁, ₂, …,_n, не все равные нулю, такие, что

₁₁+₂₂+…+_nn=0.

Если, напротив, это соотношение имеет место только при ₁= ₂= …=_n,=0, то S линейно независимо. Вектор x является линейно зависимым от S, когда он является линейной комбинацией векторов из S, т.е. если xЈ(S).В случае, если xЈ(S), то вектор называется линейно независимым от S.

Будем искать приближенное решение в виде

.

Такой метод решения краевых задач будем называть проекционным.

Элемент x_n входит в область определения оператора А, т.е. при любом натуральном n и любых коэффициентах _i (1in) x_n принадлежит D_A. Критерии, которыми руководствуются при выборе коэффициентов _i, могут быть различными. Поэтому мы имеем дело с различными модификациями проекционного метода.

Многие из этих модификаций являются частными случаями метода моментов или средневзвешенных невязок.

8. Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) завоевал широкое признание как эффективный метод решения краевых задач математической физики.

В основе метода конечных элементов лежит идея замены непрерывной функции ее дискретной моделью. При этом: 1) в области определения Щ фиксируется конечное число точек - глобальных узлов; 2) область Щ приближенно представляется в виде совокупности конечного числа непересекающихся подобластей - конечных элементов, связанных между собой определенным образом в глобальных узлах на их границах; 3) рассматриваемую функцию локально аппроксимируют на каждом конечном элементе непрерывными функциями, однозначно определяемыми значениями функции в глобальных узлах, принадлежащих этому элементу.

Процесс дискретизации области включает: а) разбиение области на конечные элементы; б) нумерацию элементов и узлов.

Разбиение области на элементы сводится к заданию числа, размеров и формы непересекающихся подобластей. При этом используют элементы трех основных типов:

1) одномерные элементы;

2) двумерные элементы (для дискретизации двумерных областей обычно используют два основных семейства элементов - треугольники и четырехугольники);

3) трехмерные элементы (при дискретизации трехмерных областей наиболее часто используют тетраэдр и параллелепипед).

Следует отметить, что наибольшее практическое применение получили симплекс-элементы, к которым относятся линейный одномерный элемент с двумя узлами, линейный треугольник с тремя узлами и линейный тетраэдр с четырьмя узлами. Симплексом в k-мерном пространстве называется выпуклое множество S, определяемое совокупностью k+1 вершин (узлов), не лежащих в одной (k-1)-мерной гиперплоскости. К достоинствам этих элементов следует отнести простоту в теоретическом отношении, возможность аппроксимации границ сложной формы, наличие программ для ЭВМ, позволяющих производить дискретизацию области.

Размеры отдельных элементов могут варьироваться - в областях с высоким градиентом напряжений, температур и т.д. Разбиение в этих областях обычно выбирается мелким, что существенно повышает точность расчетов. Возможность такого варьирования - важное достоинство метода конечных элементов.

При дискретизации области с применением симплекс-элементов необходимо стремиться, чтобы треугольник приближался по форме к равносторонним треугольникам, а тетраэдры - к правильным тетраэдрам. Такое разбиение приводит к более точным результатам.

Проводя нумерацию узлов, следует учитывать, что матрица коэффициентов системы линейных уравнений, к определению корней которой сводится решение краевой задачи (в методе конечных элементов такая матрица называется матрицей жесткости) имеет ленточную структуру. Матрица называется ленточной, если все ненулевые элементы и некоторые нулевые находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали, т.е. a_ik=0 для всех i, k таких, что \i-k\>m, где m<<n. Шириной ленты называется число 2m+1. Все компоненты матрицы вне этой полосы равны нулю.

Поставим задачу: представить интерполяционный полином в виде

,

где Ц_i, Ц_j, Ц_k - узловые значения скалярной величины ц, а N_i, N_j, N_k - так называемые «функции формы». Они также представляют собой линейные полиномы вида

,

однако коэффициенты полиномов подобраны так, чтобы обеспечить выполнение следующего фундаментального требования:

N_i=1 в узле i и нулю в узлах j и k;

N_j=1 в узле j и нулю в узлах i и k;

N_k=1 в узле k и нулю в узлах i и j.

Кроме того, в каждой внутренней точке элемента сумма значений функций формы равна единице.

Условия в узлах элемента запишутся следующим образом:

ц=Ц_i при x=X_i, y=Y_i;

ц=Ц_j при x=X_j, y=Y_j;

ц=Ц_k при x=X_k, y=Y_k.

Подставляя эти условия в (6.1), получаем систему уравнений

Решая эту систему, получаем

и

и

и

Отметим основные свойства рассматриваемого элемента: а) градиенты скалярной величины ц по направлению осей x и y постоянны; б) функция ц линейно изменяется между двумя любыми узлами; в) любая линия, вдоль которой ц принимает постоянные значения, есть прямая, пересекающая две стороны элемента; г) функция ц непрерывна вдоль общей границы двух элементов; д) сумма значений функций формы в каждой внутренней точке элемента равна единице.

Интерполяционный полином для тетраэдра имеет вид:

Для нахождения коэффициентов используем условия в узлах:

9. Постановка и пути решения оптимизационных задач

Основное предназначение математических моделей состоит в том, чтобы помочь специалисту избрать такое воздействие (управление), которое обеспечило бы получение более высокой производительности, минимальных затрат, лучших качественных показателей выпускаемой продукции и т.п., т.е. оптимизировало бы его.

Теория оптимального управления охватывает широчайший круг задач из различных областей человеческой деятельности. Металлургии также присуще многообразие задач теории оптимального управления.

Поиск оптимума - это поиск условий, обеспечивающих минимум или максимум какого-то показателя. Применительно к промышленному производству и, в частности, к технологическим процессам - это нахождение и реализация оптимальных параметров машин и агрегатов, оптимальных режимных параметров - скорости, усилия, температуры и т.д.

Задача решается легко, если показатель ц, который называют целевой функцией, представляется математически зависимым от нескольких переменных x₁, x₂, …, x_n, по которым ц дифференцируема и которыми инженер может управлять, а область определения этих переменных неограниченна. В этом случае пользуются, например, необходимым условием экстремума для определения оптимального набора параметров x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰ решают систему конечных уравнений

Когда подобная система содержит большое число уравнений, то поиск оптимума эффективней вести прямой минимизации функции ц(x₁, x₂, …, x_n).

Подобный класс задач известен и не будет рассматриваться, хотя на практике при оптимизации технологии они могут повстречаться.

Ситуация существенно усложняется, когда область определения параметров управления x₁, x₂, …, x_n ограничена. Кроме того в задачах оптимального управления интересуются максимумом или минимумом целевой функции вне зависимости от того гладкая (дифференцируемая) она или нет. Для определения x₁⁰, x₂⁰, …, x_n⁰ обеспечивающих максимум или минимум ц в этом случае не подходит необходимое условие экстремума.

Обратимся к основной задаче математического программирования - отысканию точки x⁰ выпуклого множества X, в которой выпуклая функция ц(x),определенная на X, достигает минимального значения

Множество X n-мерного евклидова пространства называют выпуклым, если вместе с любыми двумя точками x⁽¹⁾ и x⁽²⁾ ему принадлежит и соединяющий их отрезок.

Функцию ц(x), определенную на выпуклом множестве X, называют выпуклой, если для любых x⁽¹⁾, x⁽²⁾ и всех б, изменяющихся от 0 до 1, выполняется неравенство

Укажем несколько свойств оптимальных решений, которые предстоит найти.

1). Если выпуклы функция ц(x) и множество X, то любая точка x⁰, принадлежащая X, являющаяся точкой локального минимума, будет оптимальной точкой для задачи оптимизации функции ц(x) на множестве X (точкой глобального минимума).

2). Если выпуклы функция ц(x) и множество X, то множество оптимальных точек выпукло.

3). Если ц(x) строго выпукла на выпуклом множестве X и точка x⁰ принадлежащая X оптимальна, т.е.

то для всех x, принадлежащих X и неравных x⁰ будет ц(x)> ц(x⁰) и, значит, точка x⁰ единственна.

Задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной функции от переменных, подчиненным линейным ограничениям. Традиционно выделяют условия неотрицательности переменных, которые часто встречаются в задачах экономического характера и для соблюдения которых стандартные алгоритмы линейного программирования специальным образом подготовлены.

В конечном счете, каждая задача линейного программирования может быть приведена к следующему виду:

Основная задача линейного программирования

Пусть заданы два конечных множества M и N, векторы b[M] и c[N], матрица A[M,N]. Пусть заданы также разбиения M=M₁+M₂ и N=N₁+N₂. Требуется найти вектор x[N], удовлетворяющий условиям

X[N₁]?0[N₁],

a[M₁,N]Чx[N]=b[M₁],

a[M₂,N]Чx[N]=b[M₂]

c[N]Чx[N].

Случай, когда M=M₂ и N=N₁, нас будет интересовать особо. Такая задача будет называться стандартной задачей линейного программирования.

Динамическое программирование рассматривает движение систем и его оптимизацию. Система в динамическом программировании представляется аналитически как вектор состояния x, вектор управления u и заданное правило преобразования T вектора состояния x в процессе движения.

Пусть вектор состояния в исходный момент x⁽⁰⁾. Применив некоторое управление u⁽⁰⁾, по x⁽⁰⁾ и u⁽⁰⁾ с помощью заданного преобразования T (допустим оно дано в виде функции) можно получить вектор x⁽¹⁾=T(x⁽⁰⁾, u⁽⁰⁾). Избрав некоторый вектор управления u⁽¹⁾, по x⁽¹⁾ и u⁽¹⁾ можно подсчитать вектор x⁽²⁾=T(x⁽¹⁾, u⁽¹⁾)=T[T(x⁽⁰⁾, u⁽⁰⁾), u⁽¹⁾] и т.д. Таким образом, можно получить для принятых x⁽⁰⁾ и управлений u⁽⁰, u⁽¹⁾, …, u⁽ⁿ⁾, … дискретное множество векторов x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x⁽ⁿ⁾, …, которое называют многошаговым процессом. Если число шагов ограничено, то процесс называют N-шаговым. Векторы управления u выбирают из множества допустимых управлений _u, обусловленного некоторыми ограничениями. Вектор состояния x также имеет свои ограничения и x_x. Итак, удовлетворяя ограничениям u_u и x_x, можно указать некоторый N-шаговый процесс



Динамическое программирование предполагает, что преобразование T обладает единственностью, т.е. избрание некоторого x⁽⁰⁾ и конкретных управлений u⁽⁰⁾, u⁽¹⁾, …, u^(N-1) определяет единственным образом N-шаговый процесс - последовательность векторов x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾, x⁽²⁾, …, x⁽ⁿ⁾, …, x^(N), подсчитанных по выше приведенным формулам. Одним из главных положений, на котором основывается динамическое программирование и которое вытекает из единственности преобразования T, является независимость последующего движения от предистории, например, движение системы, начиная с вектора состояния x⁽ⁿ⁾ до вектора x^(N), не зависит от истории, которая привела систему в состояние, характеризуемое вектором x^(n-1).

Основы теории оптимального управления. Пусть функционирование объектов во времени описывается системой дифференциальных уравнений

где искомые функции x_i=x_i(t) характеризуют состояние объекта в каждый момент времени t;

f_i - заданные функции указанных аргументов;

u₁=u₁(t), …, u_r=u_r(t) - функции, называемые управлением.

Принято функционирование или работу объекта в соответствии с дифференциальными уравнениями называть движением системы, несмотря на то, что они могут описывать и немеханическое движение. Если уравнения линейные, то говорят о движении линейных систем.

Полагают, что рассматривается движение некоторой системы на отрезке времени t_б?t?t_в при заданных начальных условиях

.

В векторной форме уравнения и начальные условия могут быть записаны в виде

Уравнения и начальные условия - это математическая модель реально существующего движения. В связи с этим будем требовать, чтобы выбор управления u=u(t) осуществлялся из таких соображений, чтобы подстановка его в систему делала ее разрешимой, причем единственным образом, с помощью начальных условий. Вектор функцию u=u(t) называют возможным управлением, если подстановка u=u(t) в дифференциальное уравнение движения делает его на отрезке времени t_б?t?t_в разрешимым, причем единственным образом, с помощью начального условия Возможными управлениями будут дифференцируемые функции, непрерывные функции, кусочно-непрерывные функции.

Задание начальных условий и выбор определенного возможного управления u=u(t) определяют единственным образом непрерывное движение x=x(t), при этом вектор x называют фазовым вектором; компоненты x_i (i=1…n) называют фазовыми координатами; линию с параметрическими уравнениями x₁=x₁(t), …, x_n=x_n(t), представляющую в фазовом пространстве движение системы, называют фазовой траекторией.

Фазовым пространством называют совокупность всех фазовых векторов.

Исследуем частный класс задач: управление системами, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями

,

где a_ik, b_ij - постоянные величины или функции времени t, которые непрерывны и известны.

Если же строчными буквами обозначить матрицы-столбцы, прописными - прямоугольные матрицы, то система принимает вид

.

Система линейных дифференциальных уравнений имеет аналитическое решение, определяемое формулой Коши