Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Распределение инвестиций между предприятиями: «Золотая скрепка», «Буренка», «DeJaVu», «Konditer

Введение

линейный динамический программирование планирование

Расширенное применение математических методов в последнее десятилетие обусловлено в первую очередь с распространением персональных компьютеров и их широким применением в экономической практике. Применение математических методов в единстве с экономическим анализом открывает новые возможности для экономической науки и практики.

Исследование операций в экономике - это научная дисциплина, целью которой является количественное обоснование принимаемых решений.

При решении курсовой работы будем применять линейное программирование и динамическое программирование. С помощью линейного программирования найдем прибыль каждого предприятия при разных объемах инвестирования и план производства.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Инвестиции - это долгосрочные вложения капитала с целью получения прибыли.

Общей задачей линейного программирования называется задача нахождения max (min) значения целевой функции.

А с помощью динамического программирования произведем распределение финансовых средств между предприятиями для получения максимальной прибыли. Для этого воспользуемся обратной схемой Беллмана.

1. Постановка задачи

Целью данной курсовой работы является определение оптимального плана распределения финансовых средств между предприятиями. Для каждого предприятия инвестирование будет выполняться в восемь шагов по 1 миллиону рублей.

Задача курсовой работы состоит в определении оптимального плана распределения финансовых средств между следующими предприятиями:

1. Предприятие по производству картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»;

2. Предприятие по производству кисломолочных изделий ОАО «Бурёнка»;

3. Предприятие по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»;

4. Предприятие по производству кондитерских изделий ООО «Konditer».

Для решения курсовой работы будем применять линейное программирование и динамическое программирование. Линейное программирование применяется при производственном планировании. Динамическое же программирование применяется при распределении финансовых средств.

При решении данной курсовой работы используем Excel и MathCad.

1.1 Предприятие по производству картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»

Предприятие ООО «Золотая скрепка» производит следующие 4 вида продукции:

· Блокнот;

· Стикеры;

· Тетрадь;

· Альбом;

Для изготовления каждой продукции используются следующие виды сырья:

· Бумага;

· Клей;

· Металлические скобы;

· Краска;

· Наклейка;

Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья представлены в следующей таблице:

Таблица №1. Нормы расхода сырья для ООО «Золотая скрепка»

№	Вид сырья	Затраты на выпускаемую продукцию	Запас сырья	Цена сырья, руб.
		Блокнот	Стикеры	Тетрадь	Альбом
1	Бумага (м2)	1	1,5	2,4	2,8	70000	1,5
2	Клей (л.)	0,005	0,04	0,002	0,004	200	32
3	Металлические скобы (шт.)	1	0	2	2	1000	0,01
4	Краска (л.)	0,008	0,035	0,002	0,001	200	35
5	Наклейка (шт.)	2	0	1	1	400	2
	Себестоимость	5,95	4,76	5,75	6,38
	Прибыль	1,19	0,95	1,15	1,28

Ограничения на объем производимой продукции представлены в следующей таблице:

Таблица №2. Минимальный и максимальный объем выпуска продукции для ООО «Золотая скрепка»

Виды продукции	Минимальный объем выпуска продукции, d	Максимальный объем выпуска продукции, D
Блокнот	20000	200000
Стикеры	900	4000000
Тетрадь	1000	50000
Альбом	1000	800000

1.2 Предприятие по производству кисломолочных изделий ОАО «Бурёнка»

Предприятие производит следующие 4 вида продукции:

· Молоко;

· Йогурт;

· Сырки глазированные;

· Творожная масса;

Для изготовления каждой продукции используются следующие виды сырья:

· Молоко обезжиренное;

· Молоко сухое;

· Творог;

· Сахар-песок;

· Фруктовое желе;

Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья представлены в следующей таблице:

Таблица №3. Нормы расхода сырья для ОАО «Бурёнка»

№	Вид сырья	Затраты на выпускаемую продукцию	Запас сырья	Цена сырья, руб.
		Молоко	Йогурт	Сырки глазированные	Творожная масса
1	Молоко обезжиренное (л.)	0,25	0,01	0,003	0,007	15	30
2	Молоко сухое (кг.)	0,009	0,005	0,005	0,01	10	20
3	Творог (кг.)	0	0,03	0,02	0,45	50	30
4	Сахар-песок (кг.)	0,005	0,015	0,01	0,02	25	40
5	Фруктовое желе (л.)	0	0,015	0,015	0,02	31	90
	Себестоимость	7,88	3,25	2,54	16,51
	Прибыль	1,65	0,68	0,53	3,47

Ограничения на объем производимой продукции представлены в следующей таблице:

Таблица №4. Минимальный и максимальный объем выпуска продукции для ОАО «Бурёнка»

Виды продукции	Минимальный объем выпуска продукции, d	Максимальный объем выпуска продукции, D
Молоко	50	199000
Йогурт	150	195000
Сырки глазированные	200	1200000
Творожная масса	100	190000

1.3 Предприятие по производству по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»

3. Предприятие специализируется на производстве следующих 4 видов продукции:

· Конфеты;

· Шоколад;

· Масло шоколадное;

· Горячий шоколад;

Для изготовления каждой продукции используются следующие виды сырья:

· Какао;

· Молоко сухое;

· Сахар;

· Масло;

· Ароматизатор;

Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья представлены в следующей таблице:

Таблица №5. Нормы расхода сырья для ЗАО «DeJaVu»

№	Вид сырья	Затраты на выпускаемую продукцию	Запас сырья	Цена сырья, руб.
		Конфеты	Шоколад	Масло шоколадное	Горячий шоколад
1	Какао (кг.)	0,005	0,03	0,15	0,02	50	200,00
2	Молоко сухое (кг.)	0,001	0,02	0,02	0,005	25	35,00
3	Сахар (кг.)	0,03	0,06	0,05	0,06	50	39,00
4	Масло (л.)	0,003	0,04	0,3	0,005	25	27,00
5	Ароматизатор (кг.)	0,002	0,02	0,05	0,1	31	10,00
	Себестоимость	2,31	10,32	41,25	7,65
	Прибыль	0,51	2,27	9,08	1,68

Ограничения на объем производимой продукции представлены в следующей таблице:

Таблица №6. Минимальный и максимальный объем выпуска продукции для ЗАО «DeJaVu»

Виды продукции	Минимальный объем выпуска продукции, d	Максимальный объем выпуска продукции, D
Конфеты	150	90000
Шоколад	220	60000
Масло шоколадное	200	55000
Горячий шоколад	400	700000

1.4 Предприятие по производству кондитерских изделий ООО «Konditer»

Предприятие производит следующие 4 вида продукции:

· Кекс кондитерский;

· Рулет кондитерский;

· Печенье упаковочное;

· Мини-рулетики упаковочные;

Для изготовления каждой продукции используются следующие виды сырья:

· Какао;

· Шоколад;

· Сахар;

· Молоко сухое;

· Джем фруктовый;

Нормы расхода сырья на производство единицы продукции каждого вида вместе с данными о себестоимости, прибыли, цены и запасах сырья представлены в следующей таблице:

Таблица №7. Нормы расхода сырья для ООО «Konditer»

№	Вид сырья	Затраты на выпускаемую продукцию	Запас сырья	Цена сырья, руб.
		Кекс кондитерский	Рулет кондитерский	Печенье упаковочное	Мини-рулетики упаковочные
1	Какао (кг.)	0,05	0,07	0,02	0,03	12	80,00 р.
2	Шоколад (кг.)	0,02	0,05	0,01	0,1	10	110,00 р.
3	Сахар (кг.)	0,03	0,06	0,01	0,02	11	38,00 р.
4	Молоко сухое (кг.)	0,005	0,002	0,01	0,002	5	25,00 р.
5	Джем фруктовый (л.)	0,01	0,015	0,003	0,02	9	85,00 р.
	Себестоимость	8,32 р.	14,71 р.	3,59 р.	15,91 р.
	Прибыль	1,83 р.	3,24 р.	0,79 р.	3,50 р.

Ограничения на объем производимой продукции представлены в следующей таблице:

Таблица №8. Минимальный и максимальный объем выпуска продукции для ООО «Konditer»

Виды продукции	Минимальный объем выпуска продукции, d	Максимальный объем выпуска продукции, D
Кекс кондитерский	50	170000
Рулет кондитерский	150	90000
Печенье упаковочное	200	1200000
Мини-рулетики упаковочные	100	150000

2. Математическая модель оптимального планирования производства

Линейное программирование - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.

Задача линейного программирования, как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях,

- целевая функция

при условиях:

где - ограничения на ресурсы;

- ограничения на объем инвестиций;

- обязательства предприятия по поставкам;

- условие неотрицательности переменных.

В зависимости от объёма выделяемых финансовых средств получим значения прибыли Z.

Условные обозначения:

- прибыль от реализации единицы продукции каждого вида;

- объем закупаемых ресурсов;

- складские запасы ресурсов;

- план производства продукции каждого вида;

- цены на ресурсы;

- нормы затрат ресурсов для производства единицы продукции каждого вида;

- минимальный объем выпуска продукции;

- максимальный объем выпуска продукции;

- объём собственных финансов предприятия;

- объём инвестиций, выделяемых предприятием-инвестором;

- количество видов продукции;

- количество видов сырья;

- номер предприятия;

3. Решение задачи планирования производства методом линейного программирования

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. Изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.

К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

· задача о смесях (планирование состава продукции);

· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами);

· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:

· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;

· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;

· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;

· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

4. Расчеты в MathCad

4.1 Предприятие по производству картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»

На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:

Таблица №9. Количество производимой продукции для ООО «Золотая скрепка»

	„K„Ђ„|„y„‰„u„ѓ„„„r„Ђ „Ѓ„‚„Ђ„y„x„r„Ђ„t„y„}„Ђ„z „Ѓ„‚„Ђ„t„…„{„€„y„y
Q млн р.	Блокнот	Стикеры	Тетрадь	Альбом
0	20000	900	1000	28227
1	20000	900	1000	184893
2	20000	900	1000	341559
3	20000	900	1000	498225
4	20000	900	1000	654892
5	32399	900	1000	800000
6	200000	900	1482	800000
7	200000	152494	50000	800000
8	200000	362799	50000	800000

Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых ресурсах:

Таблица №10. Количество закупаемым ресурсов для ООО «Золотая скрепка»

	„H„p„{„…„Ѓ„p„u„}„Ќ„u „‚„u„ѓ„…„‚„ѓ„Ќ
Q млн р.	Бумага	Клей	Скобы	Краска	Наклейка
0	32787,161	50,910	77455,115	21,728	68827,558
1	471452,366	677,575	390787,404	178,394	225493,702
2	910117,570	1304,239	704119,693	335,060	382159,846
3	1348782,775	1930,904	1017451,982	491,726	538825,991
4	1787447,979	2557,569	1330784,271	648,392	695492,135
5	2206149,412	3199,997	1633399,412	892,695	865398,824
6	2374908,082	4038,965	1801965,068	2234,465	1201082,534
7	2718741,325	10199,769	1899000,000	7637,298	1249600,000
8	3034198,738	18611,966	1899000	14997,971	1249600

Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:

Таблица №11. Прибыль ООО «Золотая скрепка»

Прибыль
Q млн р.	ООО «Золотая скрепка»
0	61 936,27 р.
1	262 468,94 р.
2	463 001,60 р.
3	663 534,27 р.
4	864 066,93 р.
5	1 064 560,30 р.
6	1 264 559,91 р.
7	1 464 369,51 р.
8	1 664 159,20 р.

4.2 Предприятие по производству кисломолочных изделий ОАО «Бурёнка»

На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:

Таблица №12. Количество производимой продукции для ОАО «Бурёнка»

	„K„Ђ„|„y„‰„u„ѓ„„„r„Ђ „Ѓ„‚„Ђ„y„x„r„Ђ„t„y„}„Ђ„z „Ѓ„‚„Ђ„t„…„{„€„y„y
Q млн р.	Молоко	Йогурт	Сырки глазированные	Творожная масса
0	50	150	200	1487
1	50	150	200	62056
2	50	150	200	122625
3	50	150	200	183195
4	112696	150	200	190000
5	199000	98588	200	190000
6	199000	195000	270539	190000
7	199000	195000	664240	190000
8	199000	195000	1057940	190000

Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых ресурсах:

Таблица №13. Количество закупаемым ресурсов для ОАО «Бурёнка»

	„H„p„{„…„Ѓ„p„u„}„Ќ„u „‚„u„ѓ„…„‚„ѓ„Ќ
Q млн р.	Молоко обезжиренное	Молоко сухое	Творог	Сахар-песок	Фруктовое желе
0	10,009	7,07	627,654	9,24	3,99
1	433,995	612,764	27883,862	1220,627	1215,377
2	857,98	1218,457	55140,07	2432,014	2426,764
3	19195,043	1281,151	82396,279	3643,401	3638,151
4	29491,101	2906,014	85458,5	4342,73	3774,25
5	52051,483	4174,942	88411,942	6250,825	5250,825
6	53826,618	6008,697	96710,787	10400,394	10752,091
7	55007,72	7977,201	104584,803	14337,402	16657,602
8	56188,823	9945,705	112458,819	18274,409	22563,114

Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:

Таблица №14. Прибыль ОАО «Бурёнка»

Прибыль
Q млн р.	ОАО «Бурёнка»
0	3 721,45 р.
1	157 927,06 р.
2	308 762,00 р.
3	378 861,26 р.
4	448 821,14 р.
5	500 063,37 р.
6	549 178,95 р.
7	594 816,54 р.
8	640 454,12 р.

4.3 Предприятие по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»

На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:

Таблица №15. Количество производимой продукции для ЗАО «DeJaVu»

	„K„Ђ„|„y„‰„u„ѓ„„„r„Ђ „Ѓ„‚„Ђ„y„x„r„Ђ„t„y„}„Ђ„z „Ѓ„‚„Ђ„t„…„{„€„y„y
Q млн р.	Конфеты	Шоколад	Масло шоколадное	Горячий шоколад
0	4694	220	200	400
1	90000	220	19673	400
2	90000	220	43915	400
3	90000	52815	55000	400
4	90000	60000	55000	121426
5	90000	60000	55000	252145
6	90000	60000	55000	382864
7	90000	60000	55000	505000
8	90000	60000	55000	644302

Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых ресурсах:

Таблица №16. Количество закупаемым ресурсов для ЗАО «DeJaVu»

	„H„p„{„…„Ѓ„p„u„}„Ќ„u „‚„u„ѓ„…„‚„ѓ„Ќ
Q млн р.	Какао	Молоко сухое	Сахар	Масло	Ароматизатор
0	53,071	6,094	173,023	69,882	53,788
1	3400,635	480,871	3705,871	6167,87	1198,078
2	7036,999	965,72	4918	13440,597	2410,2
3	10277,462	2239,308	8627,924	18862,974	4016,308
4	12913,536	2988,134	16320,608	19762,134	16262,68
5	15527,915	3641,729	24163,745	20415,729	29334,575
6	18142,294	4295,324	32006,882	21069,324	42406,471
7	20585	4906	39335	21980	54620
8	23371,052	5602,513	47693,157	22376,513	68550,261

Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:

Таблица №17. Прибыль ЗАО «DeJaVu»

Прибыль
Q млн р.	ЗАО «DeJaVu»
0	5 381,39 р.
1	225 707,38 р.
2	445 828,59 р.
3	665 862,97 р.
4	885 497,02 р.
5	1 105 104,86 р.
6	1 324 712,71 р.
7	1 529 900,00 р.
8	1 763 928,39 р.

4.4 Предприятие по производству кондитерских изделий ООО «Konditer»

На основании своих расчётов в среде MathCad сформируем таблицу с количеством производимой продукции на каждом этапе инвестиционного процесса:

Таблица №18. Количество производимой продукции для ООО «Konditer»

	„K„Ђ„|„y„‰„u„ѓ„„„r„Ђ „Ѓ„‚„Ђ„y„x„r„Ђ„t„y„}„Ђ„z „Ѓ„‚„Ђ„t„…„{„€„y„y
Q млн р.	Кекс кондитерский	Рулет кондитерский	Печенье упаковочное	Мини рулетики упаковочные
0	50	1403	200	100
1	50	69269	200	100
2	50	90000	200	43671
3	50	90000	200	106406
4	36417	90000	200	149999
5	155607	90000	200	149999
6	170000	90000	235607	149999
7	170000	90000	503344	149999
8	170000	90000	771082	149999

Также мы можем сформировать таблицу с данными о закупаемых ресурсах:

Таблица №19. Количество закупаемым ресурсов для ООО «Konditer»

	„H„p„{„…„Ѓ„p„u„}„Ќ„u „‚„u„ѓ„…„‚„ѓ„Ќ
Q млн р.	Какао	Шоколад	Сахар	Молоко сухое	Джем фруктовый
0	95,754	73,182	78,718	0,257	15,154
1	4846,348	3466,463	4150,655	135,989	1033,139
2	7604,65	8860,168	6265,934	264,593	2215,534
3	9486,708	15133,693	7520,639	390,064	3470,239
4	12612,894	20220,358	9483,536	659,089	4705,779
5	18572,369	22604,148	13059,222	1255,037	5897,674
6	24000,145	25246,072	15845,072	3681,072	6747,822
7	29354,897	27923,448	18522,448	6358,448	7551,035
8	34709,649	30600,825	21199,825	9035,825	8354,247

Так же, на основании своих расчётов в среде MathCad мы можем сформировать таблицу с данными о прибыли на каждом этапе:

Таблица №20. Прибыль ООО «Konditer»

Прибыль
Q млн р.	ООО «Konditer»
0	5 417,26 р.
1	225 031,89 р.
2	444 700,36 р.
3	664 273,76 р.
4	883 402,72 р.
5	1 101 519,52 р.
6	1 313 829,71 р.
7	1 525 342,43 р.
8	1 736 855,15 р.

Итак, благодаря методу линейного программирования, мы имеем данные о количестве производимой продукции, закупаемых ресурсах и прибыли на каждом шагу инвестиции каждого предприятия, которые являются для них оптимальными.

5. Оптимальное распределение инвестиций методом динамического программирования

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин «динамическое» в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.

Модели динамического программирования могут применяться, например, при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении дефицитных капиталовложений между возможными новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.

Самый простой способ решения задачи - полный перебор всех вариантов. Когда количество вариантов невелико, этот способ вполне приемлем. Однако на практике задачи с небольшим числом вариантов встречаются весьма редко, поэтому полный перебор, как правило, неприемлем из-за чрезмерных затрат вычислительных ресурсов. Поэтому в таких случаях на помощь приходит динамическое программирование.

Динамическое программирование часто помогает решить задачу, переборный алгоритм для которой потребовал бы очень много времени. Этот метод использует идею пошаговой оптимизации. В этой идее есть принципиальная тонкость: каждый шаг оптимизируется не сам по себе, а с «оглядкой на будущее», на последствия принимаемого «шагового» решения. Оно должно обеспечить максимальный выигрыш не на данном конкретном шаге, а на всей совокупности шагов, входящих в операцию.

Метод динамического программирования может применяться только для определенного класса задач. Эти задачи должны удовлетворять таким требованиям:

· задача оптимизации интерпретируется как n-шаговый процесс управления;

· целевая функция равна сумме целевых функций каждого шага;

· выбор управления на k-м шаге зависит только от состояния системы к этому шагу, не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

· состояние s_k после k-го шага управления зависит только от предшествующего состояния s_k-1 и управления x_k (отсутствие последействия);

· на каждом шаге управление X_k зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние s_k - от конечного числа параметров.

В основе решения всех задач динамического программирования лежит «принцип оптимальности» Беллмана, который выглядит следующим образом:

каково бы ни было состояние системы S в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный.

Этот принцип впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 г. Беллманом четко были сформулированы и условия, при которых принцип верен. Основное требование - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Общая постановка классической задачи распределения инвестиций.

Рассмотрим общую постановку динамической задачи распределения инвестиций.

Для развития выделены капитальные вложения в размере S. Имеется n объектов вложений, по каждому из которых известна ожидаемая прибыль fi(x), получаемая от вложения определенной суммы средств. Необходимо распределить капитальные вложения между n объектами (предприятиями, проектами) таким образом, чтобы получить максимально возможную суммарную прибыль.

Для составления математической модели исходим из предположений:

· прибыль от каждого предприятия (проекта) не зависит от вложения средств в другие предприятия;

· прибыль от каждого предприятия (проекта) выражается в одних условных единицах;

· суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия (проекта).

Данная постановка является упрощенной моделью реального процесса распределения инвестиций, и в «чистом» виде не встречается, так как не учитывает некоторые факторы, а именно:

· наличие «неформальных» критериев, т.е. тех, которые невозможно измерить количественно (например, согласованность проекта с общей стратегией предприятия, его социальный, либо экологический характер и т.д.), в связи с чем проекты могут иметь различный приоритет;

· уровень риска проектов;

· другие факторы.

В связи с необходимостью учета уровня риска при формировании инвестиционного портфеля появилось стохастическое динамическое программирование, которое имеет дело с вероятностными величинами. Оно нашло применение в различных областях, среди которых одной из наиболее широко исследуемых является управление рисковыми финансовыми инвестициями.

Принцип оптимальности и уравнения Беллмана

Принцип оптимальности. Каково бы ни было состояние s системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Основное требование, при котором принцип верен - процесс управления должен быть без обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Таким образом, решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Уравнения Беллмана.

Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть - показатель эффективности k - ого шага при всевозможных управлениях . Выделяют обратную и прямую схемы Беллмана.

Схема нахождения оптимального решения по обратной схеме.

На каждом шаге любого состояния системы s_k-1 решение нужно выбирать «с оглядкой», так как этот выбор влияет на последующее состояние s_k и дальнейший процесс управления, зависящий от s_k. Это следует из принципа оптимальности.

Но есть один шаг, последний, который можно для любого состояния планировать локально оптимально, исходя только из соображений этого шага.

Рассмотрим n-й шаг: s_n-1 - состояние системы к началу n-го шага, - конечное состояние, - управление на n-м шаге, - целевая функция (выигрыш) n-го шага.

Показатель эффективности n - ого шага

Агрегированный показатель эффективности (n-1) - ого шага

.

Агрегированный показатель эффективности первого шага

.

В результате будут найдены следующие последовательности значений:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Схема нахождения оптимального решения по прямой схеме.

Показатель эффективности первого шага

Агрегированный показатель эффективности второго шага

.

Агрегированный показатель эффективности k - ого шага

.

Агрегированный показатель эффективности всего процесса управления

(n-ого шага)

Таким образом, в результате решения последовательно определяются следующие значения и :

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Общая схема применения метода ДП

Построение модели ДП и применение метода ДП решения сводится к следующим моментам:

1. Выбирают способ деления процесса управления на шаги.

2. Определяют параметры состояния s_k и переменные управления на каждом шаге.

3. Записывают уравнения состояний.

4. Вводят целевые функции k-го шага и суммарную целевую функцию.

5. Вводят в рассмотрение условные максимумы (минимумы) и условное оптимальное управление на k-м шаге: (в случае использования обратной схемы Беллмана);

6. Записывают основные для вычислительной схемы ДП уравнения Беллмана для и .

7. Решают последовательно уравнения Беллмана (условная оптимизация) и получают две последовательности функций: и .

8. После выполнения условной оптимизации получают оптимальное решение для конкретного начального состояния s₀:

a) и по цепочке

б) оптимальное управление: .

6. Решение задачи динамического программирования

Прибыли предприятий при различных объемах выделенных финансовых средств, представлены в следующей таблице:

Таблица №21. Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных средств

Таблица значений эффективности в зависимости от вложенных средств
Q	Z1	Z2	Z3	Z4
0	0,00 р.	0,00 р.	0,00 р.	0,00 р.
1	200 532,67 р.	200 532,67 р.	220 325,99 р.	220 325,99 р.
2	401 065,33 р.	401 065,33 р.	440 447,20 р.	440 447,20 р.
3	601 597,99 р.	601 597,99 р.	660 481,58 р.	660 481,58 р.
4	802 130,66 р.	802 130,66 р.	880 115,63 р.	880 115,63 р.
5	1 002 624,03 р.	1 002 624,03 р.	1 099 723,47 р.	1 099 764,68 р.
6	1 202 623,64 р.	1 202 623,64 р.	1 319 331,31 р.	1 319 398,73 р.
7	1 402 433,23 р.	1 402 433,23 р.	1 524 518,61 р.	1 539 006,57 р.
8	1 602 222,93 р.	1 602 222,93 р.	1 758 547,00 р.	1 758 614,41 р.

Для нахождения дополнительной прибыли нужно посчитать разность между прибылью предприятий при выделенных средствах и прибылью при нулевом финансировании.

Таблица №22. Дополнительный доход предприятия в зависимости от объема выделенных средств

Дополнительный доход
Q	F1	F2	F3	F4
0	0,00 р.	0,00 р.	0,00 р.	0,00 р.
1	200 532,67 р.	154 205,61 р.	220 325,99 р.	219 614,63 р.
2	401 065,33 р.	305 040,55 р.	440 447,20 р.	439 283,10 р.
3	601 597,99 р.	375 139,81 р.	660 481,58 р.	658 856,50 р.
4	802 130,66 р.	445 099,69 р.	880 115,63 р.	877 985,45 р.
5	1 002 624,03 р.	496 341,93 р.	1 099 723,47 р.	1 096 102,26 р.
6	1 202 623,64 р.	545 457,50 р.	1 319 331,31 р.	1 308 412,45 р.
7	1 402 433,23 р.	591 095,09 р.	1 524 518,61 р.	1 519 925,16 р.
8	1 602 222,93 р.	636 732,67 р.	1 758 547,00 р.	1 731 437,88 р.

Найдем показатели эффективности деятельности предприятий в зависимости от объема выделенных средств, с помощью обратной схемы Беллмана:

Показатель эффективности Z₁ равен дополнительному доходу предприятия: Z₁(Q)=max{f₁(X)}, т.е.:

Z₁^*(0) = 0

Z₁^*(1000000) = 200532,67

Z₁^*(2000000) = 401065,33

Z₁^*(3000000) = 601597,99

Z₁^*(4000000) = 802130,66

Z₁^*(5000000) = 1002624,03

Z₁^*(6000000) = 1202623,64

Z₁^*(7000000) = 1402433,23

Z₁^*(8000000) = 1602222,93

Показатель эффективности Z₂ является объединением показателей эффективности двух предприятий, т.е.:

Z₂^*(0) = 0

Z₂^*(1000000) = max {0,00+200532,67; 154205,61+0,00} =200532,67

Z₂^*(2000000) = max {0,00+401065,33; 154205,61+200532,67; 305040,55+0,00} = 401065,33

Z₂^*(3000000) = max {0,00+601597,99; 154205,61+401065,33; 305040,55+200532,67; 375139,81+0,00} = 601597,99

Z₂^*(4000000) = max {0,00+802130,66; 154205,61+601597,99; 305040,55+401065,33; 375139,81+200532,67; 445099,69+0,00} = 802130,66

Z₂^*(5000000) = max {0,00+1002624,03; 154205,61+802130,66; 305040,55+601597,99; 375139,81+401065,33; 445099,69+200532,67; 496941,93+0,00} = 1002624,03

Z₂^*(6000000) = max {0,00+1202623,64; 154205,61+1002624,03; 305040,55+802130,66; 375139,81+601597,99; 445099,69+401065,33; 496941,93+200532,67; 545457,50+0,00} = 1202623,64

Z₂^*(7000000) = max {0,00+1402433,23; 154205,61+1202623,64; 305040,55+1002624,03; 375139,81+802130,66; 445099,69+601597,99; 496941,93+401065,33; 545457,50+200532,67; 591095,09+0,00} = 1402433,23

Z₂^*(8000000) = max {0,00+1602222,93; 154205,61+1402433,23; 305040,55+1202623,64; 375139,81+1002624,03; 445099,69+802130,66; 496941,93+601597,99; 545457,50+401065,33; 591095,09+200532,67; 635732,67+0,00} = 1602222,93

Показатель эффективности Z₃ является объединением показателей эффективности двух предприятий, т.е.:

Z₃^*(0) = 0

Z₃^*(1000000) = max {0,00+200532,67; 220325,99+0,00} = 220325,99

Z₃^*(2000000) = max {0,00+401065,33; 220325,99+200532,67; 440447,20+0,00} = 440447,20

Z₃^*(3000000) = max {0,00+601597,99; 220325,99+401065,33; 440447,20+200532,67; 660481,58+0,00} = 660481,58

Z₃^*(4000000) = max {0,00+802130,66; 220325,99+601597,99; 440447,20+401065,33; 660481,58+200532,67; 880115,63+0,00} = 880115,63

Z₃^*(5000000) = max {0,00+1002624,03; 220325,99+802130,66; 440447,20+601597,99; 660481,58+401065,33; 880115,63+200532,67; 1099723,47+0,00} = 1099723,47

Z₃^*(6000000) = max {0,00+1202623,64; 220325,99+1002624,03; 440447,20+802130,66; 660481,58+601597,99; 880115,63+401065,33; 1099723,47+200532,67; 1319331,31+0,00} = 1319331,31

Z₃^*(7000000) = max {0,00+1402433,23; 220325,99+1202623,64; 440447,20+1002624,03; 660481,58+802130,66; 880115,63+601597,99; 1099723,47+401065,33; 1319331,31+200532,67; 1524518,61+0,00} = 1524518,61

Z₃^*(8000000) = max {0,00+1602222,93; 220325,99+1402433,23; 440447,20+1202623,64; 660481,58+1002624,03; 880115,63+802130,66; 1099723,47+601597,99; 1319331,31+401065,33; 1524518,61+200532,67; 1758547,00+0,00} = 1758547,00

Показатель эффективности Z₄ является объединением показателей эффективности двух предприятий, т.е.:

Z₄^*(0) = 0

Z₄^*(1000000) = max {0,00+220325,99; 219614,63+0,00} = 220325,99

Z₄^*(2000000) = max {0,00+440447,20; 219614,63+220325,99; 439283,10+0,00} = 440447,20

Z₄^*(3000000) = max {0,00+660481,58; 219614,63+440447,20; 439283,10+220325,99; 658856,50+0,00} = 660481,58

Z₄^*(4000000) = max {0,00+880115,63; 219614,63+660481,58; 439283,10+440447,20; 658856,50+220325,99; 877985,45+0,00} = 880115,63

Z₄^*(5000000) = max {0,00+1099723,47; 219614,63+880115,63; 439283,10+660481,58; 658856,50+440447,20; 877985,45+220325,99; 1096102,26+0,00} = 1099764,68

Z₃^*(6000000) = max {0,00+1319331,31; 219614,63+1099723,47; 439283,10+880115,63; 658856,50+660481,58; 877985,45+440447,20; 1096102,26+220325,99; 1308412,45+0,00} = 1319398,73

Z₄^*(7000000) = max {0,00+1524518,61; 219614,63+1319331,31; 439283,10+1099723,47; 658856,50+880115,63; 877985,45+660481,58; 1096102,26+440447,20; 1308412,45+220325,99; 1519925,16+0,00} = 1539006,57

Z₄^*(8000000) = max {0,00+1758547,00; 219614,63+1524518,61; 439283,10+1319331,31; 658856,50+1099723,47; 877985,45+880115,63; 1096102,26+660481,58; 1308412,45+440447,20; 1519925,16+220325,99; 1731437,88+0,00} = 1758614,41

Найденные объединенные показатели эффективности деятельности предприятий в зависимости от объема выделенных средств представлены в следующей таблице:

Таблица №23. Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных средств

Таблица значений эффективности в зависимости от вложенных средств
Q	ООО «Золотая скрепка»	ОАО «Бурёнка»	ЗАО «DeJaVu»	ООО «Konditer»
0	0,00 р.	0,00 р.	0,00 р.	0,00 р.
1	200 532,67 р.	200 532,67 р.	220 325,99 р.	220 325,99 р.
2	401 065,33 р.	401 065,33 р.	440 447,20 р.	440 447,20 р.
3	601 597,99 р.	601 597,99 р.	660 481,58 р.	660 481,58 р.
4	802 130,66 р.	802 130,66 р.	880 115,63 р.	880 115,63 р.
5	1 002 624,03 р.	1 002 624,03 р.	1 099 723,47 р.	1 099 764,68 р.
6	1 202 623,64 р.	1 202 623,64 р.	1 319 331,31 р.	1 319 398,73 р.
7	1 402 433,23 р.	1 402 433,23 р.	1 524 518,61 р.	1 539 006,57 р.
8	1 602 222,93 р.	1 602 222,93 р.	1 758 547,00 р.	1 758 614,41 р.

Максимальная прибыль среди всех предприятий в зависимости от объема выделенных средств равно: Z_max = 1758614,41 рублей.

В результате прохождения всех шагов от первого к последнему шагу определяется оптимальное значение целевой функции. Чтобы найти оптимальную стратегию управления, т.е. найти значение, необходимо снова пройти всю последовательность шагов от последнего к первому.

При помощи обратной схемы Беллмана получим следующее:

Z4*(8000000)= F4 (2000000)+ Z3(6000000); X4=2000000
Z3*(6000000)= F3(6000000)+ Z2(0); X3=6000000
Z2*(0)=f2 (0)+ Z1(0); X2=0
Z1*(0)=f1 (0); X1=0

С помощью обратной схемы Беллмана получили оптимальное распределение финансовых средств между предприятиями. Таким образом, предприятию по производству кондитерских изделий ООО «Konditer» будут выделены инвестиции в размере 2000000,00 рублей, предприятию по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu» 6000000,00 рублей, а остальным двум предприятиям: предприятию по производству картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка» и предприятию по производству кисломолочных изделий ОАО «Бурёнка» будут выделены инвестиции в размере 0,00 рублей каждому.

При таком распределении инвестиций между предприятиями показатель эффективности предприятий будет: Z_max = 1758614,41 рублей.

Оптимальный план распределения инвестиций между предприятиями представлен в следующей таблице:

Таблица №24. Оптимальный план распределения инвестиций между предприятиями

Объем выделенных ресурсов, руб.
ООО «Золотая скрепка»	ОАО «Бурёнка»	ЗАО «DeJaVu»	ООО «Konditer»
0	0	6000000	2000000

Равномерное распределение инвестиций

Предположим равномерное распределение финансовых средств между предприятиями. Исходя из того что, финансовые средства составляют 8000000,00 рублей, а предприятий всего 4, получается всем по 2000000,00 рублей.

Равномерное распределение инвестиций представлено в следующей таблице:

Таблица №25. Прибыль предприятий при равномерном распределении финансовых средств между предприятиями

Объем выделенных средств, Q, руб	Прибыли предприятий, руб.
	ООО «Золотая скрепка»	ОАО «Бурёнка»	ЗАО «DeJaVu»	ООО «Konditer»
2000000	401 065,33 р.	305 040,55 р.	440 447,20 р.	439 283,10 р.

При равномерном распределении финансовых средств между предприятиями максимальный доход составит 1585836,18 рублей, а при оптимальном распределении - 3077945,73 рублей. Получается, что если инвестиции распределить равномерно, прибыль будет на 1492109,55 рублей меньше чем при оптимальном распределении, т.е. на 48,48%.

Заключение

Целью курсовой работы являлось определение оптимального плана распределения финансовых средств в размере 8000000,00 рублей между предприятиями для получения максимальной прибыли.

В курсовой работы рассмотрены следующие 4 предприятия, производящие различные продукции:

1. Предприятие по производству картонажно-полиграфических изделий ООО «Золотая скрепка»;

2. Предприятие по производству кисломолочных изделий ОАО «Бурёнка»;

3. Предприятие по производству шоколадных изделий ЗАО «DeJaVu»;

4. Предприятие по производству кондитерских изделий ООО «Konditer».

Для решения курсовой работы применялись линейное программирование и динамическое программирование. С помощью линейного программирования была получена прибыль каждого предприятия при разных объемах инвестирования и план производства. Максимальная прибыль в зависимости от объема выделенных средств равно: Z_max = 1758614,41 рублей.

А с помощью динамического программирования произведено распределение финансовых средств между предприятиями. Для этого воспользовались обратной схемой Беллмана. После выполнения всех шагов решения задачи динамического программирования был определен оптимальный план распределения финансовых средств:

Таблица №24. Оптимальный план распределения инвестиций между предприятиями

Объем выделенных ресурсов, руб.
ООО «Золотая скрепка»	ОАО «Бурёнка»	ЗАО «DeJaVu»	ООО «Konditer»
0	0	6000000	2000000

Также было рассмотрено равномерное распределение финансовых средств между предприятиями:

Таблица №25. Прибыль предприятий при равномерном распределении финансовых средств между предприятиями

Объем выделенных средств, Q, руб	Прибыли предприятий, руб.
	ООО «Золотая скрепка»	ОАО «Бурёнка»	ЗАО «DeJaVu»	ООО «Konditer»
2000000	401 065,33 р.	305 040,55 р.	440 447,20 р.	439 283,10 р.

Сравнительный анализ

При равномерном распределении финансовых средств между предприятиями максимальный доход составил 3077945,73 рублей, что на 1492109,55 рублей меньше чем при оптимальном распределении, т.е. на 48,48%.

Список использованных источников

1. Матяева И.Н. «Исследование операций в экономике». Москва, 2009.

2. Бартенев С.А. «Исследование операций в экономике». Учебное пособие для вузов. Москва, 2012.

Размещено на Allbest.ru