Основы эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.) от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретация коэффициента регрессии.

2. Вычислите остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S²; построить график остатков.

3. Проверить выполнение предпосылок МНК.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (б = 0,05)/

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения с помощью F-критерия Фишера (б = 0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости б = 0,1, если прогнозное значение фактора Х составить 80% от его максимального значения.

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

- гиперболической;

- степенной;

- показательной.

Привести графики построенных уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

продукция капиталовложение экономический аппроксимация



Исходные данные

Х	17	22	10	7	12	21	14	7	20	3
Y	26	27	22	19	21	26	20	15	30	13

Решение:

Для решения воспользуемся пакетом анализа данных MS Excel.

Результаты расчетов

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9256
R-квадрат	0,8567
Нормированный R-квадрат	0,8388
Стандартная ошибка	2,1783
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	226,939	226,939	47,826	0,000
Остаток	8	37,961	4,745
Итого	9	264,9

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	11,782	1,617	7,285	0,000	8,053	15,511
Х	0,761	0,110	6,916	0,000	0,507	1,014

Наблюдение	Предсказанное У	Остатки
1	14,064	-1,064
2	17,107	1,893
3	17,107	-2,107
4	19,389	2,611
5	20,911	0,089
6	22,433	-2,433
7	24,715	1,285
8	26,997	3,003
9	27,758	-1,758
10	28,519	-1,519

Рис.1

Уравнение линейной регрессии имеет вид

у = 11,782 + 0,761х

Показатели уравнения регрессии говорят о том, что независимая величина выпуска продукции составляет 11,782 млн.руб. и он увеличивается на 0,761 млн.руб. при увеличении величины капиталовложений на 1 млн.руб.

Остаточная сумма квадратов = 37,961

Дисперсия остатков S² = остаточная сумма квадратов / n = 37,961 / 10 = 3,796

Исследования остатков е_i предполагают проверку наличия следующих пяти предпосылок МНК:

1) случайный характер остатков. С этой целью строится график отклонения остатков от теоретических значений признака. Если на графике получена горизонтальная полоса, то остатки представляют собой случайные величины и применение МНК оправдано. В других случаях необходимо применить либо другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии до тех пор, пока остатки не будут случайными величинами.

В данном случае график остатков представляет из себя горизонтальную полосу, т.е. остатки равномерно распределены вокруг "нулевой" линии.

2) нулевая средняя величина остатков, т.е. е = (у_х - у_х.расч) = 0, не зависящая от х_i. Это выполнимо для линейных моделей и моделей, нелинейных относительно включаемых переменных. С этой целью наряду с изложенным графиком зависимости остатков е_i от теоретических значений результативного признака ух строится график зависимости случайных остатков е_i от факторов, включенных в регрессию хi . Если остатки на графике расположены в виде горизонтальной полосы, то они независимы от значений xj. Если же график показывает наличие зависимости е_i и хj то модель неадекватна. Причины неадекватности могут быть разные.

В данном случае сумма остатков = 0, т.е. это условие выполняется.

3. Гомоскедастичность - дисперсия каждого отклонения е_i одинакова для всех значений хj. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции.

Данное условие логично проверять при большом количестве данных в совокупности.

4. Отсутствие автокорреляции остатков. Значения остатков е_i распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Отсутствие автокорреляции остаточных величин обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

Проверить наличие автокорреляции можно по коэффициенту Дарбина-Уотсона.

d = = 2,613



Расчетное значение d может попадать в один из 5 интервалов:

0 - d₁ - есть положительная автокорреляция остатков

d₁ - d₂ - зона неопределенности

d₂ - (4-d₂) - автокорреляция остатков отсутствует

(4-d₂) - (4-d₁) - зона неопределенности

(4-d₁) - 4 - есть отрицательная автокорреляция остатков.

В качестве критических табличных уровней при n=10, двух объясняющих факторах при уровне значимости в 5% возьмем величины d₁= 0,70 d₂=1,64

Расчетное значение попадает в интервал (4-d₂) - (4-d₁), т.е. в зону неопределенности. В данном случае нельзя ни подтвердить, ни опровергнуть наличие автокорреляции остатков.

5. Остатки подчиняются нормальному распределению.

Соответствие остаточного ряда нормальному распределению можно проверить при помощи RS-критерия:

, где , S = 2,054

E_макс = 3,003

Е_мин = - 2,433

RS = 2,647

Критические границы R / S-критерия для числа наблюдений n = 10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)1 = 2,67 и (R/S)2 = 3,69.

Расчетное значение находится почти на нижней границе, но все таки ниже него.

Таким образом, можно сказать, что выполняются четыре из пяти предпосылок МНК.

В тех случаях, когда все пять предпосылок выполняются, оценки, полученные по МНК и методу максимального правдоподобия, совпадают между собой. Если распределение случайных остатков е_i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель, изменить ее спецификацию, добавить (исключить) некоторые факторы, преобразовать исходные данные, что в конечном итоге позволяет получить оценки коэффициентов регрессии aj, которые обладают свойством несмещаемости, имеют меньшее значение дисперсии остатков, и в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента рассчитаны в ходе анализа данных.

t_a = 7,285

t_b = 6,916

Критическое (табличное) значение составляет 2,3. Поскольку оба расчетных значения больше табличного, то можно сказать, что оба уравнения регрессии статистически значимы.

Коэффициент детерминации R² = 0,8567

Коэффициент эластичности Э = = = 0,462

Расчетное значение F-критерия Фишера F = (n - 2) = 47,826

Табличное значение составляет 5,32. Поскольку расчетное значение больше табличного, то можно сделать вывод, что уравнение регрессии в целом статистически значимо.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

*100% = 8,4%



Качество модели можно оценить как недостаточно высокое, поскольку величина средней относительной ошибка больше 5%.

Максимальное значение фактора Х = 22.

Если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения, то Х_прогн = 22 * 0,8 = 17,6

Расчетное значение показателя У = 11,782 + 0,761 * 17,6 = 25,18

График фактических и расчетных значений

Рис.2

Для построения гиперболической функции преобразуем

у = а + b/х - линеаризуется при замене Х = 1/x.

Расчетные данные

Регрессионная статистика
Множественный R	0,8199
R-квадрат	0,6723
Нормированный R-квадрат	0,6314
Стандартная ошибка	3,2940
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	178,096	178,096	16,414	0,004
Остаток	8	86,804	10,851
Итого	9	264,900



	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	27,383	1,708	16,034	0,000	23,445	31,321
Х1 = 1 / Х	-50,970	12,581	-4,051	0,004	-79,981	-21,958

Наблюдение	Предсказанное У	Остатки
1	10,393	2,607
2	20,101	-1,101
3	20,101	-5,101
4	22,286	-0,286
5	23,135	-2,135
6	23,742	-3,742
7	24,385	1,615
8	24,834	5,166
9	24,956	1,044
10	25,066	1,934

Уравнение гиперболической модели имеет вид

у = 27,383 - 50,97 / х

Коэффициент детерминации R² = 1 - = 0,6723

Коэффициент эластичности Э = = = 0,163

Средняя относительная ошибка Еотн = 19,03

График фактических данных и расчетных по гиперболической модели.

Рис.3



Уравнение степенной модели имеет вид

Уравнение степенной модели имеет вид у = ах^b.

Для построения этой модели проведем линеаризацию переменных путем логарифмирования обеих частей уравнения: lg у = lg a + b lg x

Обозначим Y= lg у, Х= lg x, A= lg a.

Результаты анализа

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9356
R-квадрат	0,8753
Нормированный R-квадрат	0,8597
Стандартная ошибка	0,0433
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	0,105	0,105	56,138	0,000
Остаток	8	0,015	0,002
Итого	9	0,120

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	0,9103	0,0573	15,8824	0,0000	0,7781	1,0425
lgX	0,3938	0,0526	7,4926	0,0001	0,2726	0,5150

Наблюдение	Предсказанное lgY	Остатки	Устеп
1	1,098	0,016	12,5
2	1,243	0,036	17,5
3	1,243	-0,067	17,5
4	1,304	0,038	20,1
5	1,335	-0,013	21,6
6	1,362	-0,061	23,0
7	1,395	0,020	24,8
8	1,423	0,054	26,5
9	1,431	-0,016	27,0
10	1,439	-0,008	27,5



Уравнение линейной модели имеет вид

у = 0,9103 + 0,3938*х

Переходим к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения, получим уравнение степенной модели регрессии.

у = 10^0,9103 *х^0,3938= 8,134 *х^0,3938

Коэффициент детерминации = 0,862

Коэффициент эластичности Э = b = 0,3938

Средняя относительная ошибка Еотн = 68,45%

График фактических и расчетных данных по степенной модели

Рис.4

Уравнение показательной модели имеет вид у = ab^x.

Для построения этой кривой произведем линеаризацию переменных при логарифмировании обеих частей уравнения: lg у = lg а + х*lg b

Обозначим Y= lg у, В= lg b, A=lg a.

Результаты анализа



Регрессионная статистика
Множественный R	0,9176
R-квадрат	0,8420
Нормированный R-квадрат	0,8222
Стандартная ошибка	0,0488
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	0,101	0,101	42,626	0,000
Остаток	8	0,019	0,002
Итого	9	0,120

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	1,1135	0,0362	30,7644	0,0000	1,0300	1,1970
Х	0,0161	0,0025	6,5289	0,0002	0,0104	0,0218

Линейная функция имеет вид

у = 1,1135 + 0,0161х

Переходим к исходным переменным

Y=10^1,1135(10^0,0161)^х

у =12,9871,038^х

Наблюдение	Предсказанное lgY	Остатки	Упоказательная
1	1,162	-0,048	14,512
2	1,226	0,053	16,827
3	1,226	-0,050	16,827
4	1,274	0,068	18,804
5	1,306	0,016	20,248
6	1,339	-0,038	21,804
7	1,387	0,028	24,365
8	1,435	0,042	27,226
9	1,451	-0,036	28,253
10	1,467	-0,036	29,318

Коэффициент детерминации R² = 0,8294

Коэффициент эластичности Э = х_ср * ln(b) = 13,3 * ln (1,038) = 0,469

Средняя относительная ошибка Еотн = 67,83%

График фактических данных и расчетных по показательной модели

Рис.5

Для сравнения моделей построим таблицу

Показатель	Линейная	Гиперболическая	Степенная	Показательная
Коэф.детерминации	0,8567	0,6723	0,8753	0,842
К-т эластичности	0,462	0,163	0,3938	0,469
Средняя относительная ошибка	8,4	19,03	68,45	67,83

Наибольшие коэффициенты детерминации у линейной, степенной и показательной функций. Максимальный - у степенной. Однако у данной модели максимальное значение средней относительной ошибки. Можно сделать вывод, что наилучшим образом зависимость между величиной выпуска и величиной капиталовложений описывает линейная функция.



Список литературы

Эконометрика: Учебник / И.И.Елисеева, С.В. Курышева, Т.В.Костеева и др.; Под ред.И.И.Елисеевой. - 2-к изд., перераб. и доп.. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 576 с.:ил.

Елисеева И.И. ПРАКТИКУМ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ г. Москва "Финансы и статистика" 2003.-192 с.;

Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И.Елисеевой. - М.:Финансы и статистика, 2001. - 344 с.

Доугерти, К. Введение в эконометрику / К.Доугерти - М.:ИНФРА-М, 1997 г.

Размещено на Allbest.ru