Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський національний університет імені Івана Франка

Кафедра економічної кібернетики

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Оптимізаційні методи і моделі»

на тему: «Оптимізація випуску продукції підприємством за критерієм собівартості»

Студента групи ЕКК-21

Чебикіна Антона Федоровича

Керівник

професор, доктор економічних наук

Вовк Володимир Михайлович

м. Львів - 2018 рік

Реферат

Метою курсової роботи є моделювання випуску керамічних плиток та отримання мінімальної собівартості з використанням економіко-математичного моделювання.

Завданням цього дослідження є вивчення теоретичних та практичних засад щодо моделювання випуску керамічних плиток.

Об'єктом курсової роботи є підприємства, які спеціалізується на виробництві керамічних плиток.

Предметом курсової роботи є моделювання та виробництво керамічних плиток.

Завдання цього дослідження є моделювання випуску керамічних плиток для отримання мінімальної собівартості.

Для аналізу виробничого підприємства та його ефективності використовують методи оптимізації, а саме: симлекс-метод, графічний метод розв'язування задач лінійного програмування, метод Фогеля для побудови початкового базисного плану транспортної задачі, метод потенціалів знаходження розв'язку транспортної задачі.

Ключові слова: економічна постановка, економіко - математична модель, мінімальна собівартість, оптимізаційна модель, цільова функція, графічний метод, ітерація симплекс - методу, многокутник розв'язків, базисний план, розв'язковий елемент, транспортна задача.

Вступ

Оптимізація випуску продукції з метою отримання мінімальної собівартості для будь-якого підприємства є актуальним питанням. Саме економіко-математичне моделювання дозволяє розрахувати можливі шляхи вирішення цього завдання з мінімальними витратами ресурсів та часу.

Існують численні методи зниження витрат, серед яких в умовах нестабільної економіки на особливу увагу заслуговує метод оптимізації, можливості якого при плануванні виробничих витрат підприємства визначають актуальність даної курсової роботи.

Метою курсової роботи є мінімізація собівартості від виробництва продукції з використанням економіко-математичного моделювання.

Завданням даного дослідження є вивчення теоретичних та практичних засад щодо оптимізації підприємства.

Предметом курсової роботи є виробництво керамічних плиток.

Об'єктом курсової роботи є підприємства, які спеціалізується на виготовленні керамічних плиток різних видів.

Для аналізу виробництва підприємства та його ефективності використовують методи оптимізації, а саме: симплекс-метод, графічний метод та транспортна задача. За допомогою економіко-математичних методик можливо оцінити оптимальне використання ресурсів підприємства.

собівартість керамічний плитка мінімальний

1. Склад, види та характеристики керамічних плиток

1.1 Склад керамічної плитки та її виробництво

В якості сировини для виробництва керамічної плитки використовуються суміші різних матеріалів:

1. Глинисті матеріали, які забезпечують пластичність вологої маси, необхідну для формування заготовок плитки;

2. Кварцову сировину - в основному кварцовий пісок, який виконує структурну функцію, необхідну для того щоб обмежити і контролювати зміну розмірів виробу, яка неминуча при сушінні і випалі;

3. Матеріали, що містять польові шпати, завдяки яким при випалюванні досягається потрібна в'язкість.

Процес виробництва починається в кар'єрах, де видобуваються вихідні складові. Використовувані типи глини повинні мати строго певний хімічний склад, в подальшому це багато в чому визначає властивості матеріалу і його поведінку при пресуванні і випалюванні. Глина надходить на фабрику, де складується в спеціальні контейнери.

Глина змішується з іншими компонентами в строго розрахованій пропорції, надходить на ділянку попереднього перемелювання до певного розміру і проходить такі операції: подрібнення, змішування, зволоження. Приготування керамічної маси в залежності від властивостей вихідної сировини і виду продукції, що виготовляється здійснюється:

а) напівсухим способом (пресуванням з порошкоподібної маси - глину спочатку подрібнюють і підсушують, потім подрібнюють і подають на формування);

б) пластичним способом (з тістоподібної маси за допомогою теплової обробки - під тиском глину подрібнюють, потім направляють в глинозмішувач, де вона перемішується з добавками до отримання однорідної пластичної маси);

в) вологим способом (вихідні матеріали подрібнюють і змішують з великою кількістю води (до 60%) до отримання однорідної маси, далі вже рідка суміш надходить в спеціальні резервуари).

Для виготовлення тіла плитки сировинні матеріали ретельно подрібнюються і перемішуються для отримання абсолютно однорідної маси для наступного формування.

Для формування виробів застосовується два методи - пресування і екструзія.

При пресуванні порошкоподібна маса стискається пресом в двох напрямках, під високим тиском відбувається переміщення і часткова деформація гранул, завдяки чому навіть необпалена плитка володіє відповідною щільністю і міцністю.

При екструзії клінкерна плитка виготовляється з тістоподібної маси і формується при продавлюванні через спеціальний отвір екструдера, що мають форму майбутнього профілю. Від методу сухого пресування екструзія відрізняється тим, що в виробничому процесі існує так звана «рідка фаза», коли в'язка маса видавлюється з певної форми під тиском і потім обрізається. Клінкерна плитка, виготовлена ??методом екструзії, може бути сильно стиснута пресом, до того ж опуклою або увігнутою.

Обов'язковою проміжною операцією технологічного процесу виробництва керамічних виробів є сушка. Сушка виконує важливу роль, так як на цьому етапі з вироби видаляється вода, яка була необхідна для формування. Умови сушіння мають вкрай важливе значення для забезпечення цілісності виробів, тому процес слід ретельно контролювати, щоб уникнути утворення деформацій, розтріскування і інших дефектів. У виробництві керамічної плитки на сьогоднішній день найбільш поширеними є сушильні установки з сушінням гарячим повітрям Така установка забезпечує вихід на поверхню виробу вологи, її подальше випаровування і видалення. Швидкодія установки забезпечується хорошим теплообміном, ефективною вентиляцією і відносно високою температурою повітря, при яких проводиться осушення. Якщо ж сирець, який має високу вологість, відразу після формування піддати випалу, то він дає тріщини. Далі, в процесі сушіння і остаточного високотемпературного випалу проходить пропорційне зменшення плитки в лінійних розмірах, саме це якраз і пояснює наявність калібрів, що привласнюються плитці - по суті, позначення її фактичного розміру. Викликано це тим, що неможливо з точністю до міліметра передбачити це зменшення в процесі випалу, воно залежить від безлічі факторів. Тому в подальшому, на заключному етапі, плитка сортується згідно з фактичним розміром (калібру), який в свою чергу має невеликі допуски, згідно з нормами ISO.

Наступним етапом виробництва керамічної плитки є нанесення глазурі. Глазур - склоподібне захисно-декоративне покриття на кераміці, що закріплюється випаленням. Глазур являє собою суміш різних мінералів і з'єднань (фрити, пісок, різні оксиди, фарбувальні пігменти, які наносяться на поверхню виробу і розплавляються). Глазурі бувають різного виду, кольорові або не кольорові, матові і глянсові, навіть прозорі. Колір глазурі досягається за рахунок додавання солей і оксидів металів. Плитка може бути глазурованою і неглазурованої. У глазурованої плитки верхній, порівняно тонкий шар має склоподібну структуру, тобто поверхня плитки відрізняється від її заснування і забезпечує зоровий ефект, а також ряд властивостей, таких як водонепроникність, твердість і т. д.. Таким чином, у складі глазурованої плитки є два шари з різною структурою: глазур на поверхні і підстава, розташована нижче. Неглазурована плитка, навпаки, має однорідну структуру по всій товщині. На сьогоднішній день існує кілька десятків способів нанесення глазурі на поверхню керамічної плитки. Глазур може наноситися у вигляді гранул, пастоподібної маси або розпорошеної маси. Технологічно емаль наноситься за допомогою машини - великого круглого барабана, довжина кола, якого в кілька разів більше довжини плитки. Барабан, прокочуючись, завдає рідку емаль і оскільки довжина його окружності набагато перевищує довжину плитки, то за один оборот обробляється 3-4 плитки. Момент нанесення може відбуватися по-різному: до випалу, після випалу і навіть під час випалу. Для додання плитці більш естетичного вигляду процес глазурування може застосовуватися спільно з нанесенням різних зображень. Нерідко використовується осьовий зсув барабана, для того, щоб зробити велику кількість плитки з неповторним малюнком, при цьому зберігаючи обраний дизайн і колір серії.

За допомогою випалу плитка, набуває механічних характеристик, які роблять її придатною для різного використання. Такі характеристики є наслідком хімічних реакцій і фізичних змін, які відбуваються як в самій плитці, так і в глазурі (в разі глазурованої плитки). Випал проводиться в печах безперервної дії, які являють собою тунель, по якому плитка переміщається на спеціальних транспортерах, піддаючись при цьому попередньою нагрівання, в результаті якого випаровується волога, далі плитка обпалюється при температурі в залежності від типу виробу від 900 до 1250 °С і більше. Характерною властивістю глин є їх здатність перетворюватися при випалюванні в камнеподібну масу. Для кожного типу плитки (а іноді і для кожної колекції) розробляється індивідуальний температурний режим. Відрізняється і максимальна температура випалу для різних матеріалів. У плитки подвійного випалення - близько 950 ° С, у однократного випалу - до 1180 ° С, у керамограніта - до 1300 ° С. Після перебування протягом певного часу на ділянці випалу плитка переміщається далі по тунелю, послідовно охолоджуючись до температури, яка забезпечує їй безпечне вивантаження з печі. Після охолодження плитка набуває структуру з високою механічною міцністю.

Перш ніж попасти на ділянку упаковки і далі на склад, плитка ретельно сортується. Цей процес покликаний забезпечити вирішення трьох завдань: 1) відбракувати дефектні вироби; 2) відокремити плитки першого сорту від плиток більш низьких сортів; 3) згрупувати плитки кожного сорту в торгові партії з точки зору розмірності (калібр) і кольоровості (тон). Порядок сортування може бути наступним: після виходу з печі плитка приходить на ділянку дефектоскопічного контролю і калібрування, і потім візуального контролю тональності. Випробування на ділянці дефектоскопії полягають в тому, що кожна плитка потрапляє на так звані рейки, розташовані по краях плитки і по центру прокочується ролик, що впливає на плитку з певним навантаженням. Якщо плитка має дефект, то вона не витримує навантаження і ламається, автоматично не 1потрапляючи на подальші випробування. Дефекти емалевої поверхні перевіряються візуально, одночасно з визначенням тональності плитки. Далі плитка сортується по партіях, упаковується, маркується та потрапляє на склад готової продукції.

1.2 Види керамічних плиток

Кожен етап виробництва для різних видів плиток має свої особливості, які і визначають в подальшому характеристики одержуваного матеріалу. Виділяють такі основні види керамічних плиток:

Бікоттура - мальована керамічна плитка, призначена для облицювання стін усередині приміщень. Емаль додає плитці блиск і дозволяє відобразити малюнок будь-якого дизайну, а також захищає керамічне тіло плитки від проникнення вологи. Тіло плитки виходить шляхом пресування зволоженою маси з червоної глини під тиском в спеціальних формах з наступним випалюванням при температурі до 1040 ° С. Весь цикл виробництва цього типу плитки відбувається за два процеси:

Перший процес - це створення основи плитки. Для створення основи обпалюється тільки підстава плитки, випал проводиться при невисоких температурах. В результаті виходить високопористий черепок (з показником водопоглинання до 10%), не зазнає усадки і не вимагає в подальшому сортування плитки за розмірами (калібрування). Після закінчення виробничого циклу плитка проходить контроль планіметричних параметрів і лінійних розмірів. У разі невідповідності плитки заданим параметрам, вона автоматично знімається з конвеєра і йде на переробку.

Для закріплення емалі, на основу наноситься глазур і відбувається вторинний випал, що характеризується ще більш низькою температурою (700-900 єС). До другої фази випалення - фазі нанесення емалі - допускається тільки попередньо відібрана якісна плитка. Загальний сенс поетапного випалу - забезпечення необхідної міцності «бісквіта» (необхідні високі температури), і збереження кольору бажаної яскравості і насиченості (при низьких температурах фарбувальні пігменти практично не вигоряють). Товщина «печива» становить 5-7 мм, вона поступається по міцності іншим видам плитки і має інтер'єрне застосування. Емаль, що покриває плитку подвійного випалу, буває глянсовою або матовою і не володіє високою поверхневою міцністю, оскільки не передбачається, що ця плитка, використовувана в основному на стінах, піддаватиметься механічним і абразивним навантаженням (по ній не ходитимуть). Виняток становлять деякі серії плитки, рекомендовані виробниками і як підлогові. Оскільки процес нанесення емалі ніяк не впливає на геометрію плитки, ці параметри після закінчення виробництва вже не контролюються, плитка перевіряється на наявність дефектів поверхні. Основні формати виробництва плитки: 20х20 см, 20х25 см, 25х33,3 см. Зовні бікоттури можна відрізнити по: відносно невеликій товщині; червоно-коричневої глиняній основі; невеликій вазі; глянсовою блискучою емалі.

Монокоттура - це емальована керамічна плитка, призначена як для облицювання стін, так і для укладання плитки на підлогу. Деякі її види є морозостійкими і, відповідно, дозволяють застосовувати дану серію зовні і всередині приміщень. Весь цикл виготовлення монокоттури відбувається за один процес випалу. Спеціально приготовлена ??суміш, що складається з різних сортів глини з додаванням інших натуральних компонентів, перемішується в спеціальних ємностях і одночасно зволожується. Потім вона підсушується і перемелюється у величезних вертикальних барабанах практично до стану суспензії, і під тиском подається в прес-форму. Розмір пресованих плиток на цьому етапі перевищує номінальний розмір приблизно на 7-10%, тобто керамічна плитка, що має розмір по каталогу 30х30 см, має поки що розмір приблизно 33х33 см. Все це відбувається тому, що в процесі остаточного випалу і сушіння плитка звужується , пропорційно зменшуючись в лінійних розмірах. Далі керамічна плитка направляється в спеціальну камеру остаточного підсушування і на ділянку, де на ще не обпалену плитку наноситься емаль, яка після випалу захищає структуру плитки і надає задуманий спочатку колір і дизайн плитки. Після нанесення емалі плитка направляється в піч завдовжки до 100 м. Поступово нагріваючись там до температури 1200 ° С і потім плавно остигаючи, керамічна плитка проходить той самий одинарний випал, в результаті якого основа стає виключно твердою і на ній закріплюється емаль, утворюючи з плиткою міцне єдине ціле. Після виходу з печі плитка направляється на ділянку дефектоскопного і візуального контролю тональності і калібрування, після чого сортується по партіях, упаковується, маркується та відправляється на склад готової продукції.

Монопороза - окремий вид плитки одинарного випалу, проводиться за технологією пресування і подальшого одинарного одночасного випалення тіла плитки і нанесеної глазурі. При виробництві монопорози використовується глина з високим вмістом карбонатів. Це виріб є високопористим і володіє великим показником водопоглинання - до 15%. Товщина основи становить 12 мм, тому що міцність такої плитки менше, ніж у монокоттури. Технологія виробництва монопорози дає можливість виготовляти великі плити. Так як при виробництві використовується біла суміш, це дозволяє наносити тонкий шар світлої емалі. Це дуже вигідно, тому що, наприклад, бікоттура, що має червону основу вимагає товстого шару світлого покриття. Тому найбільш поширеними є забарвлення, що імітують мармур. Поверхня плитки прикрашають як традиційним способом - нанесенням малюнка на виріб, так і за допомогою різання під водою під великим тиском на спеціальному обладнанні, таким чином можна отримувати гарний збірний декор, використовуючи в тому числі і шматочки натурального каменю. Така плитка менш щільна, ніж монокоттура, і застосовувати її можна тільки для внутрішньої обробки приміщень.

Керамічний граніт профарбований по всій масі - це неемальована керамічна плитка одинарного випалу, що виготовляється зі світлих сортів глини. Суміш, з якої виготовляють грес, складається з глин декількох сортів, кварцового піску, польового шпату і фарбувальних пігментів (окису металів) - натуральних компонентів, які на відміну від природного каменя, не служать джерелом підвищеного радіоактивного фону і є безпечним для здоров'я матеріалом. Фази виробництва керамічного граніту схожі з монокоттурою. Суміш пресується, підсушується, а потім обпалюється при дуже високих температурах. При цьому вихідний матеріал спікається і утворює моноліт. Завдяки цьому керамограніт володіє високими технічними характеристиками, такими як: низький показник водопоглинання - менше 0,05%, стійкість до хімічних впливів, підвищена стійкість до стирання, міцність при ударах, міцність при вигинах, стійкість до перепаду температур, чіткість малюнка і кольору, забарвлення вироби не змінюється під впливом зовнішніх факторів. За типом поверхні керамічний граніт поділяють на кілька основних видів:

а. Матовий - плитку з такою поверхнею після виходу з печі не обробляють додатково, тому вона має природний вигляд.

б. Полірований - необроблену поверхню греса рівно зрізають, а потім освітлюють. В результаті плитка стає блискучою. Після полірування на виріб наноситься суміш, яка закриває мікропори і робить поверхню менш сприйнятливою до забруднення. Однак така плитка має кілька недоліків (якщо на неї потрапляє вода, вона стає дуже слизькою, до того ж її дуже легко подряпати, тому за полірованим гресом потрібно стежити особливо ретельно і чистити спеціальними неабразивними рідкими миючими засобами).

в. Напівполірований керамограніт - отримують за допомогою зрізання меншого верхнього шару греса за технологією поверхневого шліфування (для цього використовують спеціальні шліфувальні камені). Зазвичай таким чином обробляють нерівну плитку, в результаті виходить ефектне поєднання полірованих і матових ділянок. Поверхня напівполірованого керамічного граніту легше очищається від забруднень.

1.3 Основні характеристики керамічної плитки

Керамічна плитка - це дуже міцний матеріал. Якщо плитка правильно укладена, то межа її міцності в 10-20 разів перевершує аналогічну межу для цементу або залізобетону. Високий показник твердості дозволяє керамічній плитці не гнутися і не деформуватися навіть при дуже високих навантаженнях. І чим вона товстіша, тим вище цей показник. Склоподібну поверхню керамічної плитки захищає керамічну плитку від впливу води. Цей матеріал має властивості вогнестійкості, завдяки чому плитку можна використовувати для облицювання печей. Вона не горить, захищає облицьовану поверхню, а при нагріванні не виділяє отруйних речовин. Плитка не піддається руйнуванню при зіткненні з хімічними речовинами. При зіткненні з керамічною плиткою не виникає розряду статичної електрики, як це буває з синтетичними поверхнями, тобто плитка - діелектрик. Керамічна плитка виготовлена ??з натуральних природних компонентів і безпечна для навколишнього середовища. Керамічна плитка швидко вбирає і проводить тепло, тобто має високу теплопровідність. Це один із самих гігієнічних матеріалів, його дуже легко підтримувати в чистоті.

Розглянемо основні характеристики керамічної плитки:

Зносостійкість - одне з найважливіших якостей плитки для підлоги, яке характеризує стійкість плитки до стирання і здатність зберігати зовнішній вигляд без змін. Дослідники американського Інституту Фарфору і емалі, які проводять аналіз, тестування і дослідження керамічних матеріалів, розробили класифікацію плитки за ступенем стирання. Скорочено вона називається PEI і використовується для того щоб правильно підбирати плитку певної групи зносостійкості в залежності від типу приміщень, в яких вона буде укладена. Якщо покласти на підлогу плитку невідповідною групи, вона дуже швидко витреться, втратить міцність, покриється подряпинами, а глазур втратить блиск. Класифікація PEI включає в себе п'ять груп: PEI I - плитка цієї групи передбачає легку ступінь експлуатації без впливу абразивних частинок. PEI II плитка цієї групи передбачає експлуатацію з невеликим наявністю абразивних частинок. PEI III - плитка третьої групи укладається в будь-яких житлових приміщеннях і в невеликих офісах, які не мають прямого входу з вулиці. PEI IV - плитка цієї групи має більш високі характеристики міцності, ніж плитка попередньої групи, і тому підходить для будь-яких житлових кімнат, а також для покриття сходів, холу, коридорів. PEI V - Плитка п'ятої групи є найбільш міцною і стійкою до стирання з глазурованих плиток. Тому тільки її застосовують як в приватних, так і громадських інтер'єрах з прохідністю вище середнього.

Водопоглинання - відношення маси води, поглиненої зразком при його повному зануренні у воду, до маси сухої речовини. Ставлення виражається у відсотках. Водопоглинання глазурованих керамічних плиток для підлоги не повинно перевищувати 3% (стандарт EN 176 Bl), для настінних плиток водопоглинання має становити не менше 10% (стандарт EN 159 BIII). Показник водопоглинання плитки грає важливу роль при облицюванні басейнів. Для цього необхідно використовувати тільки спеціальну плитку, як наприклад, керамограніт, клінкер, порцеляновий плитка.

Морозостійкість - здатність плитки чинити опір перепадів температури. Водопоглинання і морозостійкість взаємопов'язані характеристики, безпосередньо залежать від пористості плитки. Європейськими методиками перевірки обумовлено, що 25 циклів заморожування / розморожування при температурі від - 15С є до + 15С є досить для того, щоб встановити факт наявності або відсутності стійкості. Стійкість керамічної плитки обумовлюється двома параметрами: наявністю і кількістю часу. Плитка подвійного випалу досить пориста і, отже, не морозостійка. А плитка одинарного випалу з водопоглинанням менше 3% вважається морозостійкої. Керамограніт на відміну від керамічної плитки має самий мінімальний рівень водопоглинання - менше 0,05%, що характеризується відсутністю пір і мікротріщин на поверхні і протистоїть проникненню води всередину.

Розтріскування - це поява тонких тріщин в емалевому покритті. Це відбувається з неякісною або неправильно підібраною плиткою під дією перепадів температур. Такий дефект іноді присутній на плитках до укладання. Якщо буде доведено, що при виготовленні плитки була порушена норма «опірності розтріскування», дефект вважається виробничим браком. Коли плитка розтріскується через деякий час після укладання, причиною може служити неправильна укладка плитки: використання поганого розчину або клею, занадто товстий або тонкий шар цих матеріалів.

Опір ковзанню - це характеристика, яка визначає здатність поверхні перешкоджати ковзанню предмета, що знаходиться на ній. Вона виражається коефіцієнтом тертя, який найчастіше вимірюється німецьким методом норми DIN. Результат випробування виражається в розмірі кута нахилу підлоги, при якому предмет починає ковзати. Опір до ковзання є основною вимогою до безпеки житлових і промислових приміщень, а також для зовнішніх підлогових покриттів. У лазнях, саунах і басейнах зазвичай укладають ребристу плитку з жолобками.

Хімічна стійкість - характеристика емалі плитки, що відображає її здатність витримувати контакт з хімічними речовинами при кімнатній температурі. Під хімічними речовинами маються на увазі кислоти, солі, а також побутова хімія, добавки для басейну і продукти домашнього вжитку. Плитка повинна чинити опір агресивному або механічному впливу цих речовин, зазнаючи зовнішніх змін. Згідно з нормою EN 122 виділяються наступні класи плитки по стійкості до агресивних середовищ: Клас AA - при проведенні випробувань плитка повністю зберегла зовнішній вигляд, Клас A - зовнішній вигляд змінився незначно, Клас B - виявлені значні зміни зовнішнього вигляду, Клас C - сталася часткова втрата зовнішнього вигляду, Клас D - первісний вигляд абсолютно втрачено.

Тон і калібр плитки. Тон - колірна насиченість плитки, яка може трохи не збігатися з заявленим кольором. Він позначається на упаковці цифрою або буквою. Калібр - фактичний розмір плитки, який іноді на пару міліметрів відрізняється від номінального. Калібр вказано на упаковці поряд з номінальним розміром. Невеликі розбіжності в розмірах часто трапляються при виробництві плиток з дуже щільною основою. При виготовленні плитка сортується по партіях одного розміру з допуском різниці, встановленої нормативами. Перед укладанням плитку слід перевірити на наявність розбіжностей із зазначеними на упаковці.

Опір на вигин - це характеристика, яка визначає, яке граничне значення статичного навантаження, прикладеної до трьох точок однієї керамічної плитки, вона здатна витримати без руйнування. Опір вигину тим вище, чим нижче водопоглинання плитки. Керамограніт володіє дуже високим опором на вигин, а пориста плитка - нижчим.

Межа міцності - рівень можливого навантаження, яку повинна витримувати плитка. Він прямо залежить від її товщини. Здатність протистояти навантаженням особливо важлива характеристика плитки для підлоги. Такі навантаження, як вага людини або меблів, плиткове покриття повинне витримувати легко і не ламатися.

Поверхнева твердість - це характеристика, що виражає здатність поверхні бути стійкою до появи подряпин і пошкоджень. Відповідно до норми стандартів EN101 плитка класифікується за шкалою від 1 до 10 відповідно зростаючої твердості мінералів, які використовуються для проведення тесту. Подряпини чітко проглядаються на блискучій поверхні плитки, на матовому ж вони менш помітні.

Стійкість до перепадів температур - це здатність поверхні емалі не зазнавати видимих змін внаслідок різкою зміною температури шляхом послідовних циклів занурення в воду кімнатної температури і подальшого переміщення в піч з температурою понад 105 ° C.

2. Формулювання завдання

2.1 Економічна постановка

Приватне підприємство «Keramika» виробляє на чотирьох цехах відповідно такі види керамічних плиток: бікоттуру, монокоттуру, монопорозу та грес, використовуючи для цього три види ресурсу: глинисті матеріали, кварцову сировину та матеріали, що містять польові шпати. Норми витрат ресурсів на одиницю кожної продукції (в умовних одиницях) наведено в Таблиці 2.1:

Таблиця 2.1 Норма витрат на одиницю продукції

Ресурс	Норма витрат на одиницю продукції, ум. од., за видами продукції	Запас ресурсу
	Бікоттура	Монокоттура	Монопороза	Грес
Глинисті матеріали	6	12	6	10	550
Кварцова сировина	4	14	6	10	610
Матеріали, що містять польові шпати	8	6	4	4	210

Відома ціна одиниці продукції кожного виду керамічних плиток: для бікоттури - 6 ум. од., для монокоттури - 10 ум. од., для монопорози - 8 ум. од. і для гресу - 10 ум. од..

Визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду в умовах обмеженості ресурсів, який дає підприємству найнижчу собівартість.

2.2 Економіко-математична модель

Задача визначення оптимального плану виробництва виникає тоді, коли необхідно визначити план випуску 4-х видів продукції за умови найкращого способу використання її наявних ресурсів. У процесі виробництва задіяно 3 види ресурсів. При цьому потрібно, щоб собівартість продукції була мінімальною.Пряма задача:

Введемо систему позначень:

- індекc ресурсу, ;

- індекс виду продукції, ;

- норми витрат -го ресурсу на виробництво одиниці продукціі -го виду;

- запас ресурсу -го виду;

- собівартість реалізації продукції -го виду;

- кількість продукції -го виду, яку планують виробляти.

Запишемо економіко-математичну модель задачі.

Цільова функція мінімізації собівартості виробництва:

Обмеження на запаси ресурсу підприємства:

Конкретна модель задачі виглядає так:

Цільова функція:

Оскільки наше підприємство «Keramika» обмежене нормою витрат на одиницю продукції кожного виду та має певний запас ресурсів, то справедлива така система обмежень:

За допомогою симплекс-методу визначемо, які види продукції доцільно виробляти підприємству “Keramika”, для мінімізації собівартості.

3. Виконання розрахунків

3.1 Симплекс

Наведемо симплекс-таблицю, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі. Визначимо мінімальне значення цільової функції за таких обмежень:

Для побудови першого базисного плану, систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних(перехід до канонічної форми). Вводимо базисну змінну до першої нерівності. У другій нерівності вводимо базисну змінну та в третій нерівності вводимо базисну змінну . Оскільки у нерівностях знак , базисні змінні будуть зі знаком

Отримуємо систему рівнянь:

Розширена матриця системи обмежень-рівностей даної задачі подана у Таблиці 2:

Таблиця 3.2 Розширена матриця обмежень

6	12	6	10	-1	0	0	550
4	14	6	10	0	-1	0	610
8	6	4	4	0	0	-1	210

Оскільки в системі є одинична матриця, то в якості базисних змінних приймаємо X = (5,6,7,8).

Виражаємо базисні змінні через інші:

Підставимо їх в цільову функцію:

Виконуємо перетворення симплексної таблиці методом Жордана-Гаусса у Таблиці 3:

Таблиця 3.3 Коефіціенти нової симплексної таблиці

Базис	B
	60	-2	2	0	0	1	-1	0
	61	0.4	1.4	0.6	1	0	-0.1	0
	34	-6.4	-0.4	-1.6	0	0	-0.4	1
	-610	2	-4	2	0	0	1	0

Представимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці 3.4:

Таблиця 3.4 Розрахунок кожного елемента

B
60	-2	2	0	0	0	-1	0
61	0.4	1.4	0.6	0	0	-0.1	0
34	-6.4	-0.4	-1.6	0	0	-0.4	0

Виразимо базисні змінні через інші:

Підставимо їх в цільову функцію:

або

При обчисленнях значення Fc = 610 тимчасово не враховуємо.

Матриця коефіцієнтів цієї системи рівнянь має вигляд (Таблиця 3.5):

Таблиця 3.5 Матриця коефіцієнтів

-2	2	0	0	1	-1	0
0.4	1.4	0.6	1	0	-0.1	0
-6.4	-0.4	-1.6	0	0	-0.4	1

Базисні змінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і притому з одиничним коефіцієнтом.Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних:

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X0 = (0,0,0,61,60,0,34)

Базисне рішення називається допустимим, якщо воно невід'ємне.

Таблиця 3.6

Базис	B
	60	-2	2	0	0	1	-1	0
	61	0.4	1.4	0.6	1	0	-0.1	0
	34	-6.4	-0.4	-1.6	0	0	-0.4	1
	0	2	44	-2	0	0	-1	0

Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.

Ітерація №0.

1. Перевірка критерію оптимальності.

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться додатні коефіцієнти.

2. Визначення нової базисної змінної.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінної , так як це найбільший коефіцієнт.

3. Визначення нової вільної змінної.

Обчислимо значення по рядках як частка від ділення:

і з них виберемо найменше:

Отже, 1-ий рядок є ведучим.

Розв'язний елемент дорівнює (2) і знаходиться на перетині ведучого стовпця і ведучого рядка.

Таблиця 3.7

Базис	B
	60	-2	2	0	0	1	-1	0	30
	61	0.4	1.4	0.6	1	0	-0.1	0	43.571
	34	-6.4	-0.4	-1.6	0	0	-0.4	1	-
	0	-2	4	-2	0	0	-1	0	0

4. Перерахунок симплекс-таблиці.

Формуємо наступну частину симплексної таблиці. Замість змінної в план 1 увійде змінна .

Рядок, відповідний змінній в плані 1, отриман в результаті поділу всіх елементів рядка плану 0 на розв'язний елемент РЕ = 2. На місці розв'язного елемента отримуємо 1. В інших клітинах стовпця записуємо нулі.

Таким чином, в новому плані 1 заповнені рядок і стовпець . Всі інші елементи нового плану 1, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Для цього вибираємо зі старого плану чотири числа, які розташовані в вершинах прямокутника і завжди включають розв'язний елемент РЕ.

НЕ = СТЕ - (А * В) / РЕ

СТЕ - елемент старого плану, РЕ - розв'язний елемент (2), А і В - елементи старого плану, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.

Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді Таблиці 3.8

Таблиця 3.8

B
60 : 2	-2:2	2:2	0:2	0:2	1:2	-1:2	0:2
61-(60*1.4):2	0.4-(-2* 1.4):2	1.4-(2*1.4):2	0.6-(0*1.4):2	1-(0*1.4):2	0-(1*1.4):2	-0.1-(-1* 1.4):2	0-(0* 1.4):2
34-(60* -0.4):2	-6.4-(-2* -0.4):2	-0.4-(2* -0.4):2	-1.6-(0* -0.4):2	0-(0* -0.4):2	0-(1* -0.4):2	-0.4-(-1* -0.4):2	1-(0* -0.4):2
0-(60*4):2	-2-(-2* 4):2	4-(2*4):2	-2-(0*4):2	0-(0*4):2	0-(1*4):2	1-(-1* 4):2	0-(0* 4):2

Отримуємо нову симплекс-таблицю:

Таблиця 3.9

Базис	B
	30	-1	1	0	0	0.5	-0.5	0
	19	1.8	0	0.6	1	-0.7	0.6	0
	46	-6.8	0	-1.6	0	0.2	-0.6	1
	-120	2	0	-2	0	-2	1	0

Ітерація №1.

1. Перевірка критерію оптимальності.

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться додатні коефіцієнти.

2. Визначення нової базисної змінної.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінній , так як це найбільший коефіцієнт.

3. Визначення нової вільної змінної.

Обчислимо значення по рядках як частка від ділення:

і з них виберемо найменше:

Отже, 3-й рядок є ведучим.

Розв'язний елемент дорівнює (1.8) і знаходиться на перетині ведучого стовпця і ведучою рядка.

Таблиця 3.10

Базис	B
	30	-1	1	0	0	0.5	-0.5	0	-
	19	1.8	0	0.6	1	-0.7	0.6	0	10.556
	46	-6.8	0	-1.6	0	0.2	-0.6	1	-
	-120	2	0	-2	0	-2	1	0	0

4. Перерахунок симплекс-таблиці.

Формуємо наступну частину симплексної таблиці. Замість змінної в план 2 увійде змінна .

Рядок, відповідний змінній в плані 2, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка плану 1 на розв'язний елемент РЕ = 1.8. На місці розв'язного елемента отримуємо 1. В інших клітинках стовпця записуємо нулі.

Таким чином, в новому плані 2 заповнені рядок і стовпець . Всі інші елементи нового плану 2, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Отримуємо нову симплекс-таблицю:

Таблиця 3.11

Базис	B
	40.556	0	1	0.333	0.556	0.111	-0.167	0
	10.556	1	0	0.333	0.556	-0.389	0.333	0
	117.778	0	0	0.667	3.778	-2.444	1.667	1
	-141.111	0	0	-2.667	-1.111	-1.222	0.333	0

Ітерація №2.

1. Перевірка критерію оптимальності.

Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться додатні коефіцієнти.

2. Визначення нової базисної змінної.

В якості ведучого виберемо стовпець, відповідний змінної , так як це найбільший коефіцієнт.

3. Визначення нової вільної змінної.

Обчислимо значення по рядках як частка від ділення:

і з них виберемо найменше:

Отже, 2-ий рядок є ведучим.

Розв'язний елемент дорівнює (0.333) і знаходиться на перетині ведучого стовпця і ведучого рядка.

Таблиця 3.12

Базис	B
	40.556	0	1	0.333	0.556	0.111	-0.167	0	-
	10.556	1	0	0.333	0.556	-0.389	0.333	0	31.667
	117.778	0	0	0.667	3.778	-2.444	1.667	1	70.667
	-141.111	0	0	-2.667	-1.111	-1.222	0.333	0	0

4. Перерахунок симплекс-таблиці.

Формуємо наступну частину симплексної таблиці. Замість змінної в план 3 увійде змінна .

Рядок, відповідний змінній в плані 3, отриманий в результаті поділу всіх елементів рядка плану 2 на розв'язний елемент РЕ = 0.333. На місці розв'язного елемента отримуємо 1. В інших клітинках стовпця записуємо нулі.

Таким чином, в новому плані 3 заповнені рядок і стовпець . Всі інші елементи нового плану 3, включаючи елементи індексного рядка, визначаються за правилом прямокутника.

Отримуємо нову симплекс-таблицю:

Таблиця 3.13

Базис	B
	45.883	0.5	1	0.5	0.833	-0.083	0	0
	31.667	3	0	1	1.667	-1.167	1	0
	65	-5	0	-1	1	-0.5	0	1
	-151.667	-1	0	-3	-1.667	-0.833	0	0

1. Перевірка критерію оптимальності.

Серед значень індексного рядка немає позитивних. Тому ця таблиця визначає оптимальний план завдання.

Остаточний варіант симплекс-таблиці:

Таблиця 3.14

Базис	B
	45.883	0.5	1	0.5	0.833	-0.083	0	0
	31.667	3	0	1	1.667	-1.167	1	0
	65	-5	0	-1	1	-0.5	0	1
	-151.667	-1	0	-3	-1.667	-0.833	0	0

Перевірка критерію оптимальності. Поточний опорний план неоптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться від'ємні коефіцієнти.

Оптимальний план можна записати так:

3

Аналіз оптимального плану.

В оптимальний план увійшла додаткова змінна . Отже, при реалізації такого плану є недовикористані ресурси 2-го виду в кількості 31.667.

В оптимальний план увійшла додаткова змінна . Отже, при реалізації такого плану є недовикористані ресурси 3-го виду в кількості 65.

Значення 0 в стовпці означає, що використання - вигідно.

Значення -1.667 в стовпці означає, що тіньова ціна (двоїста оцінка) дорівнює = -1.667.

Значення 0 в стовпці означає, що використання - вигідно.

Значення 0 в стовпці означає, що використання - вигідно.

3.2 Графічний

Знайдемо максимальне значення цільвої фунції , при такій системі обмежень:

Крок №1. Побудуємо область допустимих значень, тобто роз'яжемо графічно систему нерівностей. Для цього побудуємо кожну пряму і визначимо напівплощини, які задані нерівностями(півплощини позначені штрихом). (Рис.1).



Рис.1. Область допустимих значень

Крок №2.Знайдемо границі області допустимих значень (Рис.2). Перетин півплощин - це область, координати точок (А,В,С,D) якої задовольняють умови нерівностей системи обмежень задачі.



Рис.2. Границі області допустимих значень

Крок №3. Розглянемо цільову функцію задачі та побудуємо пряму, яка відповідає значенню функції .

Вектор-градієнт, записаний із коефіцієнтів цільової функції, показує напрям максимізації .

Початок вектора - точка з координатами (0;0), кінець - точка з координатами (6;10). Рухаємо пряму паралельно до вектора-градієнта. Оскільки нас цікавить максимальне значення цільвої функції, рухаємо пряму до першого торкання позначеної області. На графіку (Рис.3) ця пряма позначена пунктирною лінією.



Рис.3. Максимальне значення цільової функції

Пряма перетинає область допустимих значень в точці A. Так як точка A отримана в результаті перетину прямих (1) і (5), то її координати задовольняють рівнянням цих прямих:

Вирішивши систему рівнянь, отримаємо:

Звідки знайдемо мінімальне значення цільової функції:

3.3 Транспортна задача

Підприємство «Keramika» має три завода, середнє виробництво яких за день становить: першого- 380шт, другого- 390шт, третього- 350шт.

Підприємство забезпечує плитками три магазина: на перший потрібно доставляти- 400шт, на другий- 365шт, на третій -355шт.

Математична модель транспортної задачі:

F = ??cijxij, (1)

при умовах:

?xij = ai, i = 1,2,…, m, (2)

?xij = bj, j = 1,2,…, n, (3)

xij ? 0

Обмеження по запасам:

x11 + x12 + x13 ? 380 (для 1 заводу)

x21 + x22 + x23 ? 390 (для 2 заводу)

x31 + x32 + x33 ? 350 (для 3 заводу)

Обмеження по потребам:

x11 + x21 + x31 = 400 (для 1-го магазина)

x12 + x22 + x32 = 365 (для 2-го магазина)

x13 + x23 + x33 = 355 (для 3-го магазина)

Цільова функція:

10x11 + 8x12 + 12x13 + 15x21 + 14x22 + 15x23 + 20x31 + 16x32 + 18x33 > min

Вартість доставки одиниці вантажу з кожного пункту відправлення у відповідні пункти призначення задана матрицею тарифів (Таблиця 3.15):

Таблиця 3.15 Матриця тарифів

	B1	B2	B3	Запаси
A1	10	8	12	380
A2	15	14	15	390
A3	20	16	18	350
Потреби	400	365	355

Перевіримо необхідну і достатню умову розв'язання задачі.

?a = 380 + 390 + 350 = 1120

?b = 400 + 365 + 355 = 1120

Умова балансу дотримується. Запаси рівні потребам. Отже, модель транспортної задачі є закритою.

Занесемо початковы дані в розподільну таблицю (Таблиця 3.16).

Таблиця 3.16 Розподільна таблиця

	B1	B2	B3	Запаси
A1	10	8	12	380
A2	15	14	15	390
A3	20	16	18	350
Потреби	400	365	355

Етап I. Пошук першого опорного плану.

1. Використовуючи метод Фогеля, побудуємо перший опорний план транспортної задачі. Для кожного рядка і стовпчика таблиці умов знайдемо різниці між двома мінімальними тарифами, записаними в даній ладі або стовпці, і помістимо їх у відповідному додатковому стовпці або рядку.

Даний метод полягає в наступному:

1. На кожній ітерації знаходять різниці між двома найменшими тарифами у всіх рядках і стовпцях, записуючи їх в додаткові стовпець і рядок таблиці;

2. Знаходять максимальну різницю і заповнюють клітину з мінімальною вартістю в рядку (стовпці), якій відповідає дана різниця.

Знаходимо різниці по рядках.

Знаходимо різниці по стовпцях.

Обчисливши всі різниці, бачимо, що найбільша з них відповідає стовпцю (2). У цьому стовпцю мінімальний тариф записаний в клітинці, що знаходиться на перетині рядка (1) і стовпця (2).

Таблиця 3.17

	B1	B2	B3	Запаси
A1	10	8	12	380
A2	15	14	15	390
A3	20	16	18	350
Потреби	400	365	355

Шуканий елемент дорівнює c12=8. Для цього елемента запаси рівні 380, потреби - 365. Оскільки мінімальним є 365, то вилучаємо його.

x12 = min(380,365) = 365.

Знаходимо різниці по рядках. Знаходимо різниці по стовпцях.

Обчисливши всі різниці, бачимо, що найбільша з них відповідає стовпцю (1). У цьому стовпці мінімальний тариф записаний в клітинці, що знаходиться на перетині рядка (1) і стовпця (1).

Таблиця 3.18 Побудова базисного плану методом Фогеля. Крок №2

	B1	B2	B3	Запаси
A1	10	8	12	15
A2	15	14	15	390
A3	20	16	18	350
Потреби	400	[-]	355

Шуканий елемент дорівнює c11=10. Для цього елемента запаси рівні 15, потреби - 400. Оскільки мінімальним є 15, то вилучаємо його.
x11 = min(15,400) = 15.

Знаходимо різниці по рядках. Знаходимо різниці по стовпцях.

Обчисливши всі різниці, бачимо, що найбільша з них відповідає стовпцю (1). У цьому стовпцю мінімальний тариф записаний в клітинці, що знаходиться на перетині рядка (2) і стовпця (1).

Таблиця 3.19 Побудова базисного плану методом Фогеля. Крок №3

	B1	B2	B3	Запаси
A1	10	8	12	[-]
A2	15	14	15	390
A3	20	16	18	350
Потреби	385	[-]	355

Шуканий елемент дорівнює c21=15. Для цього елемента запаси рівні 390, потреби - 385. Оскільки мінімальним є 385, то вилучаємо його.
x21 = min(390,385) = 385.

Знаходимо різниці по рядках. Знаходимо різниці по стовпцях.

Обчисливши всі різниці, бачимо, що найбільша з них відповідає стовпцю (3). У цьому стовпці мінімальний тариф записаний в клітинці, що знаходиться на перетині рядка (2) і стовпя (3).

Таблиця 3.20 Побудова базисного плану методом Фогеля. Крок №4

	B1	B2	В3	Запаси
A1	10	8	12	[-]
A2	15	14	15	5
A3	20	16	18	350
Потреби	[-]	[-]	355

Шуканий елемент дорівнює c23=15. Для цього елемента запаси рівні 5, потреби - 355. Оскільки мінімальним є 5, то вилучаємо його.

x23 = min(5,355) = 5.

Знаходимо різниці по рядках. Знаходимо різниці по стовпцях.

Обчисливши всі різниці, бачимо, що найбільша з них відповідає рядку (3). У цьому рядку мінімальний тариф записаний в клітинці, що знаходиться на перетині рядка (3) і стовпця (3).

Таблиця 3.21 Побудова базисного плану методом Фогеля. Крок №5

	B1	B2	В3	Запаси
A1	10	8	12	[-]
A2	15	14	15	[-]
A3	20	16	18	350
Потреби	[-]	[-]	350

Шуканий елемент дорівнює c33=18. Для цього елемента запаси рівні 350, потреби - 350. Оскільки мінімальним є 350, то вилучаємо його.

x33 = min(350,350) = 350.

Зведемо всі обчислення в одну таблицю.

Таблиця 3.22 Базисний план

	B1	B2	В3	Запаси
A1	10[15]	8[365]	12	380
A2	15[385]	14	15[5]	390
A3	20	16	18[350]	350
Потреби	400	365	355

В результаті отримано перший опорний план, який є допустимим, оскільки всі плитки з заводів підприємства «Plitka» вивезені, потреба магазинів задоволена, а план відповідає системі обмежень транспортної задачі. Значення цільової функції для цього опорного плану дорівнює:

F(x) = 10*15 + 8*365 + 15*385 + 15*5 + 18*350 = 15220

Аналіз оптимального плану.

З 1-го заводу необхідно вантаж направити в 1-й магазин 15 плиток,в 2-й магазин 365 плиток.

З 2-го заводу необхідно вантаж направити в 1-й магазин 385 плиток, в 3-й магазин 5 плиток.

З 3-го заводу необхідно весь вантаж направити в 3-й магазин.

Висновки

В курсовій роботі розглянуто види та процес виробленя керамічних плиток , змодельовано випуск керамічних плиток виробничим підприємством «Keramika».

За допомогою симплекс-методу було знайдено оптимальний план виробництва з мінімальною собівартістю бікоттури, монокоттури, монопорози та гресу. Для отримання мінімальної собівартості в 458 ум. од. від реалізації продукції підприємству «Keramika» потрібно виробляти 0 біокоттурних та 45 монокоттурних керамічних плиток.

Постановка транспортної задачі дала змогу за мінімальних витрат на перевезення доставити керамічні плитки до магазинів збуту.

Отже, за допомогою економіко-математичних методів вдалося визначити оптимальний план випуску керамічних плиток, для досягнення мінімальної собівартості.

Список використаних джерел

1. Вовк В. М. Оптимізаційні методи й моделі / В. М. Вовк, Л. М. Зомчак. - Львів: ЛНУ імені Івана Франка, 2014. - 360 с.

2. Дацко М.В. Дослідження операцій в економіці. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів / М.В. Дацко, М.М.Карбовник. - Львів: «ПАІС», 2009. - 288 с.

3. Кожанова Є.П. Економічний аналіз: навч. посіб. / Є.П. Кожанова, І.П.Отенко - X.: ВД «ІНЖЕК». - 2003. - 208 с.

4. Бандурка А.М. Фінансово-економічний аналіз: Підручник // А.М.Бандурка, І.М.Черв'яків, О.В.Посилкіна // Харків: Університет внутрішніх справ. - 2001 - 344с.

5. Прус Н.В. Можливості застосування багатокритеріальної оптимізації при плануванні витрат промислового підприємства // Вісник Хмельницького національного економічного університету, 2009, №3. - Т.1. - с.219 - 22

Размещено на Allbest.ru