Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Задача 1

Задача 2

Список литературы



Предпосылки метода наименьших квадратов, методы проверки

Для эффективной оценки по методу наименьших квадратов необходимо, чтобы случайный член удовлетворял четырем условиям.

Первое условие Гаусса-Маркова. Математическое ожидание случайного члена равно нулю

.

Можно предположить, что условие выполняется автоматически за счет наличия свободного члена a, учитывающего влияние факторов, не включенных в модель.

Второе условие Гаусса-Маркова. Теоретическая дисперсия случайного члена постоянна

.

Так как , то

,

т. е. второе условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

.

Если условие не выполняется, то оценка неэффективна и можно получить лучшую оценку с помощью модифицированного метода наименьших квадратов.

Третье условие Гаусса-Маркова. Отдельные значения случайного члена некоррелированы между собой

,

.

Так как , то

,

т. е. третье условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

.

Четвертое условие Гаусса-Маркова. Случайный член распределен независимо от объясняющих переменных

.

.

Так как , то

,

,

,

.

То есть четвертое условие Гаусса-Маркова можно представить в виде

.

Так как

,

то коэффициент b будет несмещенной оценкой в, если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова.

Доказательство:

.

Если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова, то , тогда .

Рассмотрим оценку a

,

,

Так как , то

.

Так как, согласно первому условию Гаусса-Маркова, , то

,

тогда, если выполняется четвертое условие Гаусса-Маркова, то , поэтому

,

т. е. a - несмещенная оценка б при выполнении первого и четвертого условий Гаусса-Маркова.

Таким образом, при выполнении условий Гаусса-Маркова коэффициенты регрессии, определенные по методу наименьших квадратов, являются несмещенными оценками истинных значений. Для оценки эффективности коэффициентов регрессии необходимо определить их дисперсии. Теоретические дисперсии рассчитываются по формулам

,

.

Заметим, что, во-первых, теоретические значения дисперсий коэффициентов регрессии пропорциональны дисперсии случайного члена, т. е. чем больше случайность, тем хуже оценки. Во-вторых, чем больше число наблюдений, тем меньше дисперсия, и тем лучше оценки. В-третьих, чем больше дисперсия x, тем меньше дисперсия коэффициентов регрессии, т. к. в этом случае на y в меньшей степени влияют вариации е.

Однако, на практике значения дисперсии случайного члена неизвестно, поэтому оно оценивается с помощью выборочной дисперсии остатка регрессии . При этом имеет отрицательное смещение

,

следовательно оценка



является несмещенной оценкой дисперсии случайного члена .

Поэтому для оценки теоретических дисперсий коэффициентов регрессии применяются их стандартные ошибки, определяемые по формулам

,

.

Теорема Гаусса-Маркова. Если выполнены условия Гаусса-Маркова, то оценки по методу наименьших квадратов являются наилучшими линейными несмещенными оценками коэффициентов регрессии.



Задача 1

Тема: Корелляционно-регрессионный анализ в эконометрическом моделировании

Оценка параметров уравнения парной регрессии и качества эконометрической модели.

Задание предусматривает выполнение следующих пунктов содержания: определение формы связи, оценка параметров уравнений для различной формы связи, тесноты связи, качества уравнений по средней ошибке аппроксимации, статистической надежности уравнения с помощью F-критерия Фишера, выбор уравнения наиболее адекватно отражающего существующую связь, прогнозирование.

Для построения экономической модели используются данные 2006г.

Условие. Построить уравнение регрессии вида .

Таблица 1

Исходные данные

	Среднедушевые доходы на душу населения, тыс. руб. (х)	Оборот розничной торговли на душу населения, тыс. руб. (у)
1 Республика Башкортостан	107	58,9
2.Республика Марий Эл	59	28,6
3.Республика Мордовия	58	26,4
4. Республика Татарстан	112	56,9
5. Удмуртская республика	75	32,3
6.Чувашская республика	65	28,8
7. Кировская область	69	30,6
8. Нижегородская область	96	52,3
9. Оренбургская область	74	32,6
10.Пензенская область	68	33,9
11. Пермский край	132	65
12.Самарская область	138	82,6
13.Саратовскаяобласть	74	38,4
14.Ульяновская область	74	40,6

Решение

Линеаризация модели

И получаем линейную модель

.

Таблица 2

Расчет параметров уравнения регрессии

	у		2
0,00935	58,9	0,55047	0,00009	59,18	0,08	239,59	0,47
0,01695	28,6	0,48475	0,00029	22,17	41,32	219,67	22,48
0,01724	26,4	0,45517	0,00030	20,75	31,92	289,73	21,40
0,00893	56,9	0,50804	0,00008	61,21	18,54	181,67	7,57
0,01333	32,3	0,43067	0,00018	39,77	55,79	123,69	23,12
0,01538	28,8	0,44308	0,00024	29,79	0,97	213,79	3,42
0,01449	30,6	0,44348	0,00021	34,13	12,44	164,39	11,53
0,01042	52,3	0,54479	0,00011	53,96	2,77	78,83	3,18
0,01351	32,6	0,44054	0,00018	38,89	39,60	117,10	19,30
0,01471	33,9	0,49853	0,00022	33,09	0,66	90,66	2,39
0,00758	65	0,49242	0,00006	67,79	7,78	465,63	4,29
0,00725	82,6	0,59855	0,00005	69,39	174,43	1534,96	15,99
0,01351	38,4	0,51892	0,00018	38,89	0,24	25,21	1,28
0,01351	40,6	0,54865	0,00018	38,89	2,92	7,96	4,21
0,17616	607,9	6,95805	0,00236	607,9	389,45	3752,88	140,63



Рисунок 1. Эмпирические данные и уравнение регрессии

Уравнение регрессии показывает, что при увеличении среднедушевого дохода на душу населения, оборот розничной торговли на душу населения увеличивается нелинейно. Значение оборота розничной торговли на душу населения будет стремится к 22,57 тыс. руб. при росте среднедушевых доходов населения.

Коэффициент детерминации

Индекс корреляции

Критерий Фишера

Средняя ошибка аппроксимации

Прогнозное значение (при значении факторного признака, увеличенного на 10% от среднего значения)

X_p = 85,786 * 110% = 94,36 тыс. руб.

t_крит (n-m-1;б/2) = (12;0,025) = 2,179

тыс. руб.

y(94,36) = -4866,585/94,36 + 104,657 = 53,083 тыс. руб.

53,083 ± 12,681 тыс. руб.

(40,4;65,76)

Прогнозное значение (при значении факторного признака, увеличенного на 10% от среднего значения)

Х_р = 85, 786 * 110% = 94,36 тыс.руб.

t_крит (n-m-1; a/2) = 12;0,025)=2,179

y(94,36) = -4866,585/94,36 + 104,657 = 53,083 тыс.руб.

53,083 ^± 12, 681 тыс.руб.

С вероятностью 95% можно утверждать, что значения оборота розничной торговли на душу населения выйдет за границы от 40,4 тыс.ру. до 65,74 тыс. руб.

Доверительный интервал ожидаемого значения результативного признака:

,

53,083 - 2,179*12,681 ?y(x^* )? 53,083 + 2,179*12,681

40,4? y(x^* )?65,8

Гиперболическое уравнение регрессииимеет вид, детерминации равен 0,8962, следовательно, вариации оборота розничной торговли на душу населения на 89,62% объясняется среднедушевыми доходами. Индекс корреляции больше 0,9, связь между показателями очень сильная прямая, расчетное значение критерия Фишера больше табличного, уравнение значимо, однако ошибка аппроксимации больше 7%, качество модели не очень высокое.



Задача 2

Тема: Временные ряды в эконометрических исследованиях. Моделирование тенденции временного ряда

Таблица 3

Временной ряд

Номер недели	Курс доллара, руб.
17	31,0839
18	31,3777
19	31,3406
20	31,3025
21	32,0487
22	32,3246
23	31,679
24	32,9097
25	32,8517
26	33,321
27	32,622
28	32,3236
29	32,8556
30	32,8811
31	32,891
32	32,9226
33	32,9564

Решение

Построим временной ряд.



Рисунок 2. Временной ряд (курс доллара)

Рассчитываем коэффициент автокорреляции 1 и 2 порядков.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровень. Получаем следующую таблицу:

наименьший квадрат моделирование регрессионный

Таблица 4

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка

t	yt	yt - 1	yt 2	yt - 12	yt*yt - 1
2	31,3777	31,0839	984,56	966,21	975,34
3	31,3406	31,3777	982,23	984,56	983,40
4	31,3025	31,3406	979,85	982,23	981,04
5	32,0487	31,3025	1027,12	979,85	1003,20
6	32,3246	32,0487	1044,88	1027,12	1035,96
7	31,679	32,3246	1003,56	1044,88	1024,01
8	32,9097	31,679	1083,05	1003,56	1042,55
9	32,8517	32,9097	1079,23	1083,05	1081,14
10	33,321	32,8517	1110,29	1079,23	1094,65
11	32,622	33,321	1064,19	1110,29	1087,00
12	32,3236	32,622	1044,82	1064,19	1054,46
13	32,8556	32,3236	1079,49	1044,82	1062,01
14	32,8811	32,8556	1081,17	1079,49	1080,33
15	32,891	32,8811	1081,82	1081,17	1081,49
16	32,9226	32,891	1083,90	1081,82	1082,86
17	32,9564	32,9226	1086,12	1083,90	1085,01
Сумма	518,6078	516,7353	16816,28	16696,36	16754,45
Среднее	32,4130	32,2960	1051,0173	1043,5226	1047,1530

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Коэффициент автокорреляции рассчитывается по этой же формуле, только вместо х берутся значения исходного временного ряда, вместо у - значения временного ряда, сдвинутые на величину лага (в данном случае на 1 период)

Таблица 5

Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка

t	yt	yt - 2	yt 2	yt - 22	yt*yt - 2
3	31,3406	31,0839	982,23	966,21	974,19
4	31,3025	31,3777	979,85	984,56	982,20
5	32,0487	31,3406	1027,12	982,23	1004,43
6	32,3246	31,3025	1044,88	979,85	1011,84
7	31,679	32,0487	1003,56	1027,12	1015,27
8	32,9097	32,3246	1083,05	1044,88	1063,79
9	32,8517	31,679	1079,23	1003,56	1040,71
10	33,321	32,9097	1110,29	1083,05	1096,58
11	32,622	32,8517	1064,19	1079,23	1071,69
12	32,3236	33,321	1044,82	1110,29	1077,05
13	32,8556	32,622	1079,49	1064,19	1071,82
14	32,8811	32,3236	1081,17	1044,82	1062,84
15	32,891	32,8556	1081,82	1079,49	1080,65
16	32,9226	32,8811	1083,90	1081,17	1082,53
17	32,9564	32,891	1086,12	1081,82	1083,97
Сумма	487,2301	483,81	15831,72	15612,46	15719,56
Среднее	32,4820	32,2542	1055,4477	1040,8309	1047,9706

Коэффициент автокорреляции первого порядка выше, в ряду существует тенденция.

Таблица 6

Расчет сезонной компоненты в аддитивной модели ряда

t	yt	Скользящая средняя	Центрированная скользящая средняя	Оценкасезонной компоненты
1	31,0839
2	31,3777	31,2762
3	31,3406	31,5174	31,3968	-0,0562
4	31,3025	31,7541	31,6357	-0,3332
5	32,0487	31,8387	31,7964	0,2523
6	32,3246	32,2405	32,0396	0,2850
7	31,679	32,4413	32,3409	-0,6619
8	32,9097	32,6904	32,5658	0,3439
9	32,8517	32,9261	32,8082	0,0435
10	33,321	32,7796	32,8528	0,4682
11	32,622	32,7806	32,7801	-0,1581
12	32,3236	32,6706	32,7256	-0,4020
13	32,8556	32,7378	32,7042	0,1514
14	32,8811	32,8876	32,8127	0,0684
15	32,891	32,9128	32,9002	-0,0092
16	32,9226
17	32,9564

Таблица 7

Расчет циклической компоненты в аддитивной модели ряда

Показатели	1	2	3	4
1			-0,0562	-0,3332
2	0,2523	0,2850	-0,6619	0,3439
3	0,0435	0,4682	-0,1581	-0,4020
4	0,1514	0,0684	-0,0092
Всего за период	0,4472	0,8216	-0,8853	-0,3913
Средняя оценка сезонной компоненты	0,1491	0,2739	-0,2213	-0,1304
Скорректированная сезонная компонента, Si	0,1313	0,2561	-0,2391	-0,1482

Для данной модели имеем:

0,1491+2739-0,2213-0,1304 = 0,0712

Корректирующий коэффициент: k= 0,0712/4 = 0,0178

Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда и находим уравнение тренда

Таблица 8

Расчет уравнения тренда

t	yt	t2	tyt
1	30,9526	1	30,9526
2	31,1216	4	62,2433
3	31,5797	9	94,7391
4	31,4507	16	125,8029
5	31,9174	25	159,5872
6	32,0685	36	192,4112
7	31,9181	49	223,4268
8	33,0579	64	264,4634
9	32,7204	81	294,4839
10	33,0649	100	330,6494
11	32,8611	121	361,4722
12	32,4718	144	389,6619
13	32,7243	169	425,4163
14	32,6250	196	456,7505
15	33,1301	225	496,9517
16	33,0708	256	529,1332
17	32,8251	289	558,0272
Сумма	549,5604	1785	4996,1726
Среднее	32,3271



Экономический смысл уравнения тренда. Полученное уравнение тренда показывает, что без учета сезонных колебаний курс доллара в среднем увеличивается на 0,1229 руб. в неделю.

Таблица 9

Расчет выровненных значений и ошибок аддитивной модели

t	yt	Si	yt - Si	T	T + Si	E = yt - (T + Si)	E2
1	31,0839	0,1313	30,9526	31,3442	31,4754	-0,3915	0,1533
2	31,3777	0,2561	31,1216	31,4670	31,7231	-0,3454	0,1193
3	31,3406	-0,2391	31,5797	31,5899	31,3508	-0,0102	0,0001
4	31,3025	-0,1482	31,4507	31,7128	31,5645	-0,2620	0,0687
5	32,0487	0,1313	31,9174	31,8356	31,9669	0,0818	0,0067
6	32,3246	0,2561	32,0685	31,9585	32,2146	0,1100	0,0121
7	31,6790	-0,2391	31,9181	32,0814	31,8422	-0,1632	0,0266
8	32,9097	-0,1482	33,0579	32,2042	32,0560	0,8537	0,7288
9	32,8517	0,1313	32,7204	32,3271	32,4584	0,3933	0,1547
10	33,3210	0,2561	33,0649	32,4499	32,7060	0,6150	0,3782
11	32,6220	-0,2391	32,8611	32,5728	32,3337	0,2883	0,0831
12	32,3236	-0,1482	32,4718	32,6957	32,5475	-0,2239	0,0501
13	32,8556	0,1313	32,7243	32,8185	32,9498	-0,0942	0,0089
14	32,8811	0,2561	32,6250	32,9414	33,1975	-0,3164	0,1001
15	32,8910	-0,2391	33,1301	33,0643	32,8252	0,0658	0,0043
16	32,9226	-0,1482	33,0708	33,1871	33,0389	-0,1163	0,0135
17	32,9564	0,1313	32,8251	33,3100	33,4413	-0,4849	0,2351
Сумма							2,1437

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда: T = 31.221 + 0.123t

Получим

T₁₈ = 31,221 + 0,123*18 = 33,433

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₂ = 0,256

Таким образом,

F₁₈ = T₁₈ + S₂ = 33,433 + 0,256 = 33,689

T₁₉ = 31,221 + 0,123*19 = 33,556

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₃ = -0,239

Таким образом,

F₁₉ = T₁₉ + S₃ = 33,556 -0,239 = 33,317

T₂₀ = 31,221 + 0,123*20 = 33,679

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₄ = -0,148

Таким образом,

F₂₀ = T₂₀ + S₄ = 33,679 -0,148 = 33,53

T₂₁ = 31,221 + 0,123*21 = 33,801

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₁ = 0,131

Таким образом,

F₂₁ = T₂₁ + S₁ = 33,801 + 0,131 = 33,933

T₂₁ = 31,221 + 0,123*21 = 33,801

Произведем оценку качества модели. Общая оценка качества модели производится по доле объясненной дисперсии уровня ряда

R² = 1-= 0,742

Следовательно аддитивная модель объясняет 74,2% от общей вариации уровней исходного ряда. То есть аддитивная модель корректно отражает данную тенденцию.

Прогнозное значение по неделям следующего месяца для аддитивной модели можно получить как сумму трендовой и сезонной компонент (у=Т + S), используя уравнение тренда

Т=0,0593t+42,9476

Получим трендовые компоненты:

Т₁₈ =31,221 + 0,123*18= 33,433

Т₁₉ =31,221 + 0,123*19= 33,556

Т₂₀ =31,221 + 0,123*20= 33,679

Т₂₁ =31,221 + 0,123*21= 33,801

Прибавляем к ним сезонные компоненты S₁=0,1313 S₂=0,2561 S₃=0,2391 S₄=0,1482, получим прогнозные значения по неделям следующего месяца:

у₁₈=33,689 - курс доллара на 18 неделю;

у₁₉=33,317 - курс доллара на 19 неделю;

у₂₀=33,530 - курс доллара на 20 неделю;

у₂₁=33,801 - курс доллара на 21 неделю;

Таблица 10

Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели ряда

t	yt	Скользящая средняя	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	31,0839
2	31,3777	31,2762
3	31,3406	31,5174	31,3968	0,9982
4	31,3025	31,7541	31,6357	0,9895
5	32,0487	31,8387	31,7964	1,0079
6	32,3246	32,2405	32,0396	1,0089
7	31,679	32,4413	32,3409	0,9795
8	32,9097	32,6904	32,5658	1,0106
9	32,8517	32,9261	32,8082	1,0013
10	33,321	32,7796	32,8528	1,0143
11	32,622	32,7806	32,7801	0,9952
12	32,3236	32,6706	32,7256	0,9877
13	32,8556	32,7378	32,7042	1,0046
14	32,8811	32,8876	32,8127	1,0021
15	32,891	32,9128	32,9002	0,9997
16	32,9226
17	32,9564

Таблица 11

Расчет циклической компоненты в мультипликативной модели ряда

Показатели	1	2	3	4
1			0,9982	0,9895
2	1,0079	1,0089	0,9795	1,0106
3	1,0013	1,0143	0,9952	0,9877
4	1,0046	1,0021	0,9997
Всего за период	3,0139	3,0252	3,9726	2,9877
Средняя оценка сезонной компоненты	1,0046	1,0084	0,9932	0,9959
Скорректированная сезонная компонента, Si	1,0041	1,0079	0,9926	0,9954

Для данной модели имеем:

1,0046+1,0084+0,9932+0,9959 = 4,0022

Корректирующий коэффициент: k=4,0022/4 = 1,0005

Исключим влияние сезонной компоненты, разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты и находим уравнение тренда



Таблица 12

Расчет уравнения тренда

t	yt	t2	tyt
1	30,9570	1	30,9570
2	31,1325	4	62,2649
3	31,5731	9	94,7193
4	31,4475	16	125,7901
5	31,9179	25	159,5894
6	32,0720	36	192,4318
7	31,9140	49	223,3981
8	33,0622	64	264,4974
9	32,7176	81	294,4584
10	33,0606	100	330,6058
11	32,8640	121	361,5041
12	32,4734	144	389,6803
13	32,7215	169	425,3793
14	32,6241	196	456,7377
15	33,1350	225	497,0250
16	33,0751	256	529,2022
17	32,8219	289	557,9718
Сумма	549,5693	1785	4996,2127
Среднее	32,3276

Таблица 13

Расчет выровненных значений и ошибок аддитивной модели

t	yt	Si	yt/Si	T	TxSi	E = yt / (T x Si)	(yt - T*S)2
1	31,0839	1,0041	30,9570	31,3455	31,4739	0,9876	0,1521
2	31,3777	1,0079	31,1325	31,4682	31,7161	0,9893	0,1145
3	31,3406	0,9926	31,5731	31,5910	31,3584	0,9994	0,0003
4	31,3025	0,9954	31,4475	31,7138	31,5675	0,9916	0,0702
5	32,0487	1,0041	31,9179	31,8365	31,9670	1,0026	0,0067
6	32,3246	1,0079	32,0720	31,9593	32,2110	1,0035	0,0129
7	31,6790	0,9926	31,9140	32,0821	31,8458	0,9948	0,0278
8	32,9097	0,9954	33,0622	32,2048	32,0563	1,0266	0,7283
9	32,8517	1,0041	32,7176	32,3276	32,4601	1,0121	0,1533
10	33,3210	1,0079	33,0606	32,4504	32,7060	1,0188	0,3782
11	32,6220	0,9926	32,8640	32,5731	32,3333	1,0089	0,0834
12	32,3236	0,9954	32,4734	32,6959	32,5451	0,9932	0,0491
13	32,8556	1,0041	32,7215	32,8187	32,9532	0,9970	0,0095
14	32,8811	1,0079	32,6241	32,9414	33,2009	0,9904	0,1023
15	32,8910	0,9926	33,1350	33,0642	32,8207	1,0021	0,0049
16	32,9226	0,9954	33,0751	33,1870	33,0339	0,9966	0,0124
17	32,9564	1,0041	32,8219	33,3097	33,4463	0,9854	0,2400
Сумма							2,1460

Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда:

T = 31,223 + 0,123t

Получим

T₁₈ = 31,223 + 0,123*18 = 33,433

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₂ = 1,0079

Таким образом,

F₁₈ = T₁₈ * S₂ = 33,433 * 1,004 = 33,5667

T₁₉ = 31,223 + 0,123*19 = 33,555

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₃ = 0,9926

Таким образом,

F₁₉ = T₁₉ * S₃ = 33,555 * 0,9926 = 33,3067

T₂₀ = 31,223 + 0,123*20 = 33,678

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₄ = 0,9954

Таким образом,

F₂₀ = T₂₀ * S₄ = 33,678 * 0,9954 = 33,5231

T₂₁ = 31,223 + 0,123*21 = 33,801

Значение сезонного компонента за соответствующий период равно: S₁ = 1,0041

Таким образом,

F₂₁ = T₂₁ + S₁ = 33,801 * 1,0041 = 33,9396



Список литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003

2. Степанов В.Г. Эконометрика. Учебный курс. Московский институт экономики, менеджмента и права. Центр дистанционных образовательных технологий МИЭМП, 2010.

3. Эконометрика./Под ред. И.И Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003

4. Эконометрика/сост. Касьянов В.А. - Екатеринбург: УПИ, 2007.

Размещено на Allbest.ru