Эконометрические исследования математической модели пассажирооборота железнодорожных перевозок от длины дороги

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЭКОНОМЕТРИКА»

Тема работы: «ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПАССАЖИРООБОРОТА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ ПЕРЕВОЗОК ОТ ДЛИНЫ ДОРОГИ»

Содержание

Введение

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

2. Расчет параметров степенной парной регрессии

3. Расчет параметров показательной парной регрессии

4. Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении длины дороги

Выводы

Список рекомендуемой литературы

Введение

В конце прошлого столетия разработаны и широко применяется для решения большого числа практических задач экономики математические модели, в основу которых положены уравнения регрессии. В настоящей курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения пассажирооборота железнодорожных перевозок и длины дорог (всего 16 железных дорог). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются ряд функций регрессии: линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать пассажирооборот железнодорожных перевозок в зависимости от увеличения длины железной дороги.

Целью курсовой работы является освоение и отработка навыков использования основных эконометрических методов, алгоритмизации и программирования в процессе решения прикладной задачи статистического анализа пассажирооборота железнодорожных перевозок от длины дороги (всего дорог 16) за 1997 год.

Основные задачи: рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

Оценить тесноту связи пассажирооборота железнодорожных перевозок и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации.

Выполнить дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий.

Провести сравнительную оценку силы связи фактора (длина дороги) с результатом (пассажирооборот железнодорожных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности.

Оценить с помощью ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии пассажирооборота железнодорожных перевозок от длины дороги.

Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов линейного регрессионного моделирования.

Рассчитать прогнозное значение пассажирооборота железнодорожных перевозок в предположении увеличения значения длины дороги на 10% от ее среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

перевозка железнодорожный регрессия уравнение

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

y_x = a + b · x,

где y_x - результативный признак, характеризующий теоретический пассажирооборот железнодорожных перевозок;

x - фактор (длина железной дороги);

a, b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (пассажирооборот железнодорожных перевозок) y от теоретических y_x будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

n·a + b(x_{1 +} x_{2 +...... +} x₁₆) = y_{1 +} y_{2 +.... +} y₁₆

a(x_{1 +} x_{2 +... +} x₁₆₎ + b(x₁² ₊ x₂² _{+... +} x₁₆²) = y₁x₁₊ y₂x_2+...+ y₁₆x_16.

С учетом обозначений

= (y_{1 +} y_{2 +.... +} y₁₆)/16_; = (x_{1 +} x_{2 +...... +} x₁₆)/16_;

= (y₁x₁₊ y₂x_2+.....+ y₁₆ x₁₆)/16_;

= (x₁² ₊ x₂² _{+...... +} x₁₆)/16; S_x² = - ²

значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ( - )/ S_x² = (72561475,7500- 10622,5000* 5379,5625)/ 4801346,9961= 3,2110

a = - b = 10622,5000- 3,2110* 5379,5625= -6651,2168

На основании исходных данных выполнены расчеты сумм приведенной системы уравнений, теоретических значений функции регрессии, разности функции регрессии и опытных значений, а так же ошибки аппроксимации, которые представлены в таблице 1.

Таблица 1

№
1	10147	20653	209565991	102961609	426546409	25930,6901	5277,6901
2	9177	39063	358481151	84217329	1525917969	22816,0306	16246,9694
3	7167	14188	101685396	51365889	201299344	16361,9424	2173,9424
4	6499	9307	60486193	42237001	86620249	14217,0017	4910,0017
5	6061	12544	76029184	36735721	157351936	12810,5884	-266,5884
6	6031	4105	24757255	36372961	16851025	12714,2587	8609,2587
7	6004	9472	56869888	36048016	89718784	12627,5620	3155,5620
8	5747	13252	72541448	29964676	175615504	10925,7378	2326,2622
9	4846	10212	49487352	23483716	104284944	8909,2366	1302,7634
10	4807	7149	34365243	23107249	51108201	8784,0080	1635,0080
11	4308	10428	44923824	18558864	108743184	7181,7244	3246,2756
12	4203	4757	19993671	17665209	22629049	6844,5706	2087,5706
13	3824	6504	24871296	14622976	42302016	5627,6057	876,3943
14	3407	4547	15491629	11607649	20675209	4288,6232	258,3768
15	3161	3547	11212067	9991921	12581209	3498,7199	48,2801
16	957	232	222024	915849	53824	-3578,3002	3810,3002
17	662	-	-	-	-	-	-
Сумма	86073	169960	1160983612	539856635	3042298856	169960	0
Ср. знач.	5379,5	10622,5	72561475,750	33741039,6	190143678,50	-	-
Sx2, Sy2	4801346	7730617	-	-	-	-	-
Sx, Sy	2191,1976	8792,3929	-	-	-	-	-

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги примет вид:

y_x = -6651,2168+ 3,2110· x

2. Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

y_x = a · x^b

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg y = lga + b lgx.

Обозначим через Y = lg y; X = lgx; C = lga.

Тогда уравнение примет вид:

Y = C + b · X

Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

B=(-)/S_x²= (14,3232-3,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;

C = - b · = 3,8614- 1,9214·3,6836= -3,2163.

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Y = -3,2163+1,9214·X.

Выполнив его потенцирование получим:

y _x = 10^-3,2163x ^1,9214 = 0,0061 x ^1,9214

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично, как и для линейной, сведен в таблицу 2.2

Для расчета параметров С и b использованы соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а, следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными. Тогда

B = (- )/S_x² = (14,3232-3,6836·3,8614)/ 0,0516=1,9214;

C = - b · = 3,8614- 1,9214·3,6836= -3,2163.

Следовательно, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид: Y = -3,2163+1,9214·X.

Выполнив его потенцирование получим:

y _x = 10^-3,2163x ^1,9214 = 0,0061 x ^1,9214

Таблица 2.

№
1	4,0063	4,3150	17,2873	16,0507	18,6191	30307,6141	-9654,6141	93211573,1
2	3,9627	4,5918	18,1958	15,7030	21,0843	24986,6144	14076,3856	198144632,4
3	3,8553	4,1519	16,0071	14,8636	17,2384	15538,8431	-1350,8431	1824777,0
4	3,8128	3,9688	15,1325	14,5378	15,7515	12875,8645	-3568,8645	12736793,8
5	3,7825	4,0984	15,5025	14,3076	16,7972	11260,3895	1283,6105	1647655,93
6	3,7804	3,6133	13,6597	14,2913	13,0560	11153,5435	-7048,5435	49681965,1
7	3,7784	3,9764	15,0247	14,2766	15,8121	11057,7998	-1585,7998	2514761,0
8	3,7383	4,1223	15,4103	13,9749	16,9932	9258,7277	3993,2723	15946223,8
9	3,6854	4,0091	14,7751	13,5821	16,0730	7326,0141	2885,9859	8328914,3
10	3,6819	3,8542	14,1908	13,5562	14,8552	7213,1503	-64,1503	4115,25
11	3,6343	4,0182	14,6033	13,2080	16,1459	5843,4454	4584,5546	21018140,8
12	3,6236	3,6773	13,3250	13,1302	13,5228	5572,8660	-815,8660	665637,31
13	3,5825	3,8132	13,6608	12,8344	14,5403	4647,5185	1856,4815	3446523,4
14	3,5324	3,6577	12,9204	12,4777	13,3790	3722,8085	824,1915	679291,6
15	3,4998	3,5499	12,4239	12,2488	12,6015	3223,5426	323,4574	104624,70
16	2,9809	2,3655	7,0513	5,9618	5,5955	324,5569	-92,5569	8566,7707
17	-	-	-	-	-	-	-	-
Сумма	58,9376	61,7831	229,1706	215,0048	242,0650	164313,2987	5646,7013	409964196,8
Ср. знач.	3,6836	3,8614	14,3232	13,4378	15,1291	-	-	25622762,3
Sx2, SY2	0,0516	0,2183	-	-	-	-	-	-
Sx, SY	0,2272	0,4672	-	-	-	-	-	-

Подставляя в данное уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение y_x. Эти значения приведены в таблице 2.2.

3. Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

y _x = a·b^x

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим выражение:

lg y =lga + x lgb.

Для определения параметров все вычисления, как и ранее, сведем в таблицу 2.3.

При этом в таблице приведены переменные

Y = lg y, C = lga, B = lgb.

Тогда получим линейное уравнение регрессии в новых переменных

Y = С + B x.

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B=(- )/ S_x² = (21612,2138- 3,8614*5379,5625)/ 4801346,9961=0,00017;

C = - B = 3,8614- 0,00017*5379,5625=2,9210.

Таким образом, получено уравнение

Y = 2,9210+ 0,0002x

или после потенцирования

y_x = 10^2,9210 10 ^0,00017x = 833,6812 (1,0004) ^x.

Таблица 3

№
1	10147	4,3150	43784,13	102961609	18,6191	49528,2	-28875,21	83377761
2	9177	4,5918	42138,63	84217329	21,0843	33518,47	5544,53	30741798
3	7167	4,1519	29756,81	51365889	17,2384	14924,8	-736,87	542974
4	6499	3,9688	25793,29	42237001	15,7515	11406,05	-2099,06	4406041
5	6061	4,0984	24840,62	36735721	16,7972	9562,414	2981,59	8889854
6	6031	3,6133	21791,89	36372961	13,0560	9447,636	-5342,64	28543761
7	6004	3,9764	23874,55	36048016	15,8121	9345,514	126,49	15998,569
8	5474	4,1223	22565,36	29964676	16,9932	7550,095	5701,90	32511716
9	4846	4,0091	19428,15	23483716	16,0730	5863,676	4348,32	18907916
10	4807	3,8542	18527,35	23107249	14,8552	5772,345	1376,65	1895177
11	4308	4,0182	17310,41	18558864	16,1459	4721,942	5706,06	32559088
12	4203	3,6773	15455,83	17665209	13,5228	4526,529	230,47	53116,52
13	3824	3,8132	14581,60	14622976	14,5403	3886,076	2617,92	6853524,
14	3407	3,6577	12461,86	11607649	13,3790	3285,59	1261,40	1591135,
15	3161	3,5499	11221,11	9991921	12,6015	2975,846	571,15	326216,8
16	957	2,3655	2263,772	915849	5,5955	1225,527	-993,53	987096,8
17	-	-	-	-	-	-	-	-
Сумма	86073	61,7831	345795,4	539856635	242,065	177540	-7580,81	10026030
Ср. знач.	5379,5625	3,8614	21612,21	33741039	15,1291	-	-	62662689
Sx2, SY2	4801346,9	0,2183	-	-	-	-	-	-
Sx, SY	2191,1976	0,4672	-	-	-	-	-	-

На рисунке приведены графики функций регрессии и значения опытных данных.

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на 2 части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную.

?(y_i - )² = ?(y_xi - )² + ?(y_i - y_xi)²,

Где ?(y_i - )² - общая сумма квадратов отклонений;

?(y_xi - )² - объясненная (факторная) сумма квадратов;

?(y_i - y_xi)² - остаточная сумма квадратов.

Рисунок 1. Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессии

Таблица 4

№	yi	yi-?	(yi-?)2	yxi	yxi-?	(yxi-?)2	yi-yxi	(yi-yxi)2
1	2065	10030,5	100610930	25930,69	15308,19	234340683,2	-5277,690	27854012,4
2	3906	28440,50	808862040	22816,03	12193,53	148682188,4	16246,96	263964014
3	1418	3565,50	12712790	16361,94	5739,442	32941199,21	-2173,94	4726025,61
4	9307	-1315,50	1730540,2	14217,0	3594,501	12920442,20	-4910,00	24108116,3
5	1254	1921,50	3692162,2	12810,58	2188,088	4787730,9189	-266,5884	71069,3839
6	4105	-6517,50	42477806,	12714,25	2091,758	4375454,6357	-8609,258	74119336,0
7	9472	-1150,500	1323650,2	12627,5	2005,062	4020273,7652	-3155,562	9957571,75
8	1325	2629,5	6914270,2	10925,73	303,2378	91953,1558	2326,262	5411495,88
9	1021	-410,5000	168510,250	8909,23	-1713,263	2935271,4660	1302,76	1697192,46
10	7149	-3473,50	12065202,2	8784,00	-1838,492	3380052,7358	-1635,00	2673251,24
11	1042	-194,5000	37830,2500	7181,72	-3440,77	11838936,43	3246,27	10538304
12	4757	-5865,5	34404090	6844,57	-3777,92	14272750,68	-2087,57	4357950,93
13	6504	-4118,50	16962042,2	5627,60	-4994,89	24948969,11	876,3943	768066,9768
14	4547	-6075,50	36911700	4288,62	-6333,8	40117995,04	258,3768	66758,5597
15	3547	-7075,50	50062700,2	3498,71	-7123,78	50748243,03	48,2801	2330,9689
16	232	-10390	107962490	-3578,3	-14200,8	201662725,9	3810,30	14518387,5
17	-	-	-	-	-	-	-	-
?		-	123689875	169960	-	792064870	-	444833885

На основании выполненных расчетов имеем

1236898756,0000 = 792064870,0339+444833885,9661, а, следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раз, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: y_x = -6651,2168+ 3,5321 ·x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет (см. таблицу 5).

Таблица 5

№	yi	yi -	(yi - )2	yxi	yxi -	(yxi -)2	yi - yxi	(yi - yxi)2
1	20653	10030,5	100610930,2	29188,8	18566,3	344710494,4	-8535	72861260,31
2	39063	28440,5	808862040,2	25762,7	15140,2	229227331,7	13300	176896508,0
3	14188	3565,50	12712790,25	18663,25	8040,75	64653794,60	-4475	20027937,16
4	9307	-1315,5	1730540,2500	16303,8	5681,32	32277436,8	-6996	48955539,2
5	12544	1921,50	3692162,2500	14756,7	4134,26	17092179,6	-2212	4896346,3801
6	4105	-6517,5	42477806,2500	14650,8	4028,30	16227251,62	-10545	111214030,4
7	9472	-1150,50	1323650,2500	14555,4	3932,93	15468016,41	-5083	25841361,4
8	13252	2629,50	6914270,2500	12683,4	2060,93	4247445,8512	568	323268,1519
9	10212	-410,50	168510,2500	10465,2	-157,21	24717,5168	-253	64151,7437
10	7149	-3473,5	12065202,2500	10327,5	-294,96	87006,9996	-3178	10103056,2
11	10428	-194,50	37830,2500	8565,0	-2057,4	4233229,8425	1862	3470699,8155
12	4757	-5865,5	34404090,2500	8194,1	-2428,3	5896887,0168	-3437,1	11813995,4
13	6504	-4118,5	16962042,2500	6855,4	-3767,0	14190379,81	-351,4	123543,7765
14	4547	-6075,5	36911700,2500	5382,6	-5239,8	27456476,29	-835,6	698239,4343
15	3547	-7075,5	50062700,2500	4513,7	-6108,7	37317271,74	-966,7	934535,1106
16	232	-10390	107962490,2	-3271,0	-13893	193029579,14	3503,0	12271068,7285
17	-	-	-	-	-	-	-	-
?	1699	-	1236898756,00	-	-	1006139499	-	500495541,4

Из таблицы следует

1236898756,0000? 1006139499,5488+ 500495541,4743, т.е.

?(y_i - )² ? ?(y_xi - )² + ?(y_i - y_xi)²

Оценка тесноты связи расходов на железнодорожные перевозки и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

r_{xy =} b(S_x/S_y) = M_xy/(S_x \ S_y) = ( - )/ S_xS_y.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах: -1 ? r_xy ? 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ? r_xy ? 1, и, наоборот, при b<0, -1 ? r_xy ? 0.

Используя первое выражение для r_xy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_{xy =} b(S_x/S_y) = 3,2110 (2191,1976/8792,3929) = 0,8002.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением длины дороги пассажирооборот железнодорожных перевозок увеличивается.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента r_xy², который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю дисперсии (разброса) пассажирооборота железнодорожных перевозок y, объясняемую зависимостью от длины дороги x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 - r_xy² характеризует долю дисперсии пассажирооборота железнодорожных перевозок y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

r_yx² = (0,8002)² = 0,6403.

Следовательно, изменение результата (пассажирооборот железнодорожных перевозок) на 64,0% объясняется изменением фактора (длины дороги).

В отличие от линейной регрессии нелинейная регрессия характеризуется не коэффициентом корреляции, а индексом корреляции R_xy и индексом детерминации R_xy²:

R_xy = (1 - (S_ост²/S_y²)^1/2,

S_ост² = ((y₁ - y_x1)² + (y₂ - y_x2)² +....+ (y₇ - y_x16)²)/ n;

S_y² = ((y₁ - )² + (y₂ - )² +....+ (y₇ - )²)/ n.

Величина данного показателя находится в пределах 0 ? R_xy ? 1, причем чем она ближе к единице, тем теснее связь между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги, тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги при степенной модели показывают, что она несколько лучше линейной модели.

Аналогичная оценка для показательной функции регрессии находится на уровне линейной, несколько хуже степенной.

Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии.

Из приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение пассажирооборота железнодорожных перевозок y (результативный признак) отличается от теоретических y_x, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака, (y - y_x) для каждого опыта представляет собою ошибку аппроксимации функции, связывающей пассажирооборот и длину дороги. В данном случае число таких опытов равно шестнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а их абсолютные значения разности опытного и теоретического результативного признака отнесенные к опытному, выраженные в процентах, то есть:

А_{i =}¦(y_i-y_xi)/y_i|100%.

Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации - средняя арифметическая А_i:

А = (А₁ + А₂ + …..+ А₁₆) / 16.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функцией связи между пассажирооборотом железнодорожных перевозок и длиной дороги:

А = 545,51/ 16 = 34,09 %.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 35,29 % и для показательной функций А = 63,36 %.

Их анализ говорит, что ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.

Сравнительная оценка силы связи длины дороги с расходом с помощью среднего коэффициента эластичности.

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится пассажирооборот железнодорожных перевозок y от своей средней величины при изменении длины дороги x на 1% от своего среднего значения. Он может быть вычислен по формуле:

Э = y' (x)· / yЇ.

С учетом приведенной формулы средний коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

y_x = -6651,2168+ 3,2110* x

примет вид:

Э = y' (x)· / yЇ= b· / (a + b) = 3,2110· 5379,5625/ (-6651,2168+ 3,2110· 5379,5625) = 1,626.

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии y _x = 0,0006 x ^1,9214 вычисляется по соотношению:

Э = y' (x)· / yЇ= a·b·x^b¬1·(x/a·x^b) = b = 1,9214.

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии y_x = 833,7334 (1,0004) ^x равен 1,45.

Таким образом, исходя из разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% длины, например Западно-Сибирской дороги, приводит к увеличению на (1,626-1,45)% пассажирооборота. При этом, по линейной модели это увеличение составляет 0,63%, по степенной функции регрессии - 1,9214 %, а по показательной функции регрессии - 1,45 %.

Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования.

Оценка статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H₀, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияние на результат y, то есть длина железной дороги не оказывает влияния на пассажирооборот. Альтернативная гипотеза H₁ будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

F_факт = S_факт² / S_ост²,

где S_факт² - фактическая выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_факт² = ((y _x1 - )² + (y _x2 - )² +....+ (y _x16 - )²)/ 1;

S_ост² - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_ост² = ((y₁ - y_x1)² + (y₂ - y_x2)² +....+ (y₁₇ - y_x16)²)/ n - 2;

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H₀ необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное F_табл значений F-критерия Фишера - это максимальное величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б, который примем равным 0,05.

Если F_табл < F_факт, то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если F_табл > F_факт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая не значимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б = 0,05 и степенях свободы к₁ = 1, к₂ = 14 получаем F_табл = 4,63. Выполнив расчет получим F_факт = 24,93

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что F_табл < F_факт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии.

4. Расчет прогнозного значения расходов на железнодорожные перевозки по линейной модели при увеличении длины дороги

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу следует рассчитать прогнозное значение пассажирооборота, если прогнозное значение длины железной дороги увеличиться на 10% от ее среднего значения. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости равном 0,05.

Если прогнозное значение длины дороги составит:

x_p = 1,1· = 1,1· 5379,56 = 5917,52,

то прогнозное точечное значение пассажирооборота можно вычислить по соотношению:

y_p = -6651,2168+ 3,2110·x_p=-6651,2168+ 3,2110·5917,52= 12349,94.

Для определения доверительного прогноза пассажирооборота необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

m_yp=S_ост·(1+1/17+(x_p - )²/((x₁ - )² +(x₂ - )²+...+(x₁₆ -)²))^1/2 = 31773849·(1+1/17+(5917,52- 5379,5625)²/((10147-5379,5625)² + (9177 - 5379,5625)² +...…+ (957- 5379,5625)²))^1/2 = 2316313,5921.

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

?_yp = t_табл · m_yp = 2,2086· 2316313,5921= 5115810,1995.

Здесь t_табл табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n-2= 14 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза пассажирооборота железнодорожного транспорта при прогнозируемом увеличении длины дороги на 10% можно вычислить по формулам:

y_xpmin = y_xp - ?_yp = 12349,94- 5115810,1995= -5103460,2595;

y_{xpmax =} y_xp + ?_yp = 12349,94+ 5115810,1995= 5128160,1395.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95), она достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,005.

Реализация решенных задач на компьютере.

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel. Реализацию осуществим на компьютере с применением встроенной статистической функции ЛИНЕЙН. Она позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

Y_x = a + b · x.

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

значение коэффициента b	значение коэффициента а
Среднеквадратическое откл. b	среднеквадратическое.	откл а
коэффициент детерминации	среднеквадратическое	откл y
F-статистика	число степеней свободы
регрессионная сумма квадрат.	остаточная сумма квадратов

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1. Подготовку исходных данных.

2. Выделение области пустых ячеек 5 x 2 для вывода результатов регрессионной статистики.

3. Активизировать Мастер функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ.

4. В окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН. Далее щелкнуть по кнопке ОК;

5. Заполнить аргументы функции.

6.В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу «F2», а затем нажать на комбинацию клавишей «CTRL» + «SHIFT» + «ENTER».

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели расходов на железнодорожные перевозки в зависимости от длины 17 дорог по статистическим данным РФ.

Значение коэффициента b 3,2109891	Значение коэффициента a -6651,217
Среднеквадр. отклонение b 0,643122	Среднеквадр. отклонение а 3735,7053
Коэффициент детерминации 0,6403635	Среднеквадр. отклонение y 5636,8297
F - статистика 24,9282	Число степеней свободы 145
Регрессионная сумма квадратов 792064870	Остаточная сумма квадратов 444833886

Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанных в курсовой работе алгоритмов (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

Выводы

1. В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели пассажирооборота железнодорожных перевозок в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения пассажирооборота железнодорожных перевозок и длинами 16 дорог, расположенных на территории РФ. Для обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

2. Выполнена оценка тесноты связи пассажирооборота и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между пассажирооборотом и длинами дорог показывают, что степенная модель несколько лучше линейной модели и показательной модели.

3. Проведена оценка с помощью ошибки аппроксимации качества уравнений регрессии пассажирооборота. Их анализ говорит, что ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.

4. Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (длины дороги) с результатом (пассажирооборот железнодорожных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% длины дороги приводит к увеличению на (1,626-1,45)% пассажирооборота железнодорожных перевозок. При этом, по линейной модели это увеличение составляет 0,63%, по степенной функции регрессии - 1,9214 %, а по показательной функции регрессии - 1,45%.

5. Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что F_табл < F_факт, а, следовательно, необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

6. Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95), она достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,005.

7. Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанных в курсовой работе алгоритмов (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

Список рекомендуемой литературы

1. Ковалев В.И. Организация вагонопотоков на сети железных дорог России. С-Пб: Информационный центр «Выбор», 2012. - 144с.

2. Кузнецов А.П. Методологические основы управления грузовыми перевозками в транспортных системах. - ВИНИТИ РАН, 2009 - 276 с.

3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011. - 368 с.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. - 311 с.

5. Эконометрика: Учебник /Под ред. И.И. Елисеевой. - М: Финансы и статистика, 2009. - 344 с.

Размещено на Allbest.ru