Типовая задача оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

кафедра экономико-математических методов и моделей

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Экономико-математические методы и прикладные модели

факультет менеджмент и маркетинг

специальность менеджмент организации

студентки 3-го курса группы

личное дело №

преподаватель:

к.э.н., профессор

Гармаш Александр Николаевич

МОСКВА 2010

Задача 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка - "Лимонад" и "Тоник". Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л "Лимонада" требуется 0,02 час работы оборудования, а для производства 1 л "Тоника" - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л "Лимонада" и "Тоника" соответственно. Ежедневно в распоряжении Фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,1 ден. ед. за 1 л "Лимонада" и 0,3 ден. ед. за 1 л "Тоника". Сколько продукции каждого вида следует производит ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной работы?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

Составим ЭММ задачи:

В рамках заданных ограничений фирма должна принять решение о том, какое количество каждого вида напитков следует выпускать. Пусть x1 -- число литров Лимонада, производимое за день. Пусть x2 -- число литров Тоника, производимое за день.

Определение цели и ограничений. Цель состоит в максимизации ежедневного дохода. Пусть F(x) = 0,1x1 + 0,3x2 (max) -- ежедневный доход, ден. ед. Он максимизируется в рамках ограничений на количество часов работы оборудования и наличие специального ингредиента. Это целевая функция задачи -- количественное соотношение, которое подлежит оптимизации.

Существуют следующие ограничения на производственный процесс:

Время работы оборудования. Для производства х1 литров Лимонада и х2 литров Тоника требуется: (0,02 х1 + 0,04 х2) часов работы оборудования ежедневно. Максимальное время работы оборудования в день составляет 24 ч, следовательно, объем производства должен быть таким, чтобы число затраченных часов работы оборудования было меньше либо равно 24 ч ежедневно. Таким образом,

0,02 х1 + 0,04 х2Ј 24 ч/день.

Специальный ингредиент. Производство х1 литров Лимонада и х2 литров Тоника требует (0,01 х1 + 0,04 х2) кг ингредиента ежедневно. Максимальный расход ингредиента составляет 16 кг в день, следовательно, объем производства должен быть таким, чтобы требуемое количество специального ингредиента составляло не более 16 кг в день. Таким образом,

0,01 х1 + 0,04 х2 Ј 16 кг/день.

Окончательная формулировка задачи линейного программирования имеет следующий вид:

F(x) = 0,1x1 + 0,3x2 (max)

0,02 х1 + 0,04 х2 ? 24

0,01 х1 + 0,04 х2 ? 16

х1, х2 ? 0

Ограничения задачи можно изобразить графически.

Время работы оборудования:

0,02 х1 + 0,04 х2 ? 24 ч/день.

Проведем прямую

0,02 х1 + 0,04 х2 = 24

Простейшим способом нанесения прямой на график является нахождение точек пересечения данной прямой с осями координат х1 и х2. Подставив х1 = 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х1 = 0, х2 = 600. Подставив х2= 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х2 = 0 х1 = 1200. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Для определения области, которую следует заштриховать, подставим х1= 0 и х2 = 0 в неравенство: 0,02 х1 + 0,04 х2 ? 24

Специальный ингредиент: 0,01 х1 + 0,04 х2 ? 16

Проведем прямую: 0,01 х1 + 0,04 х2 = 16

Таким же образом, подставив х1 = 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х1 = 0, х2 = 400. Подставив х2= 0 в уравнение и рассчитав значение х1, получим, что при х2 = 0 х1 = 1600. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Для определения области, которую следует заштриховать, подставим х1= 0 и х2 = 0 в неравенство: 0,01 х1 + 0,04 х2 ? 16



Область, отмеченная серым цветом -- это допустимое множество, которое содержит все возможные сочетания объемов производства, удовлетворяющие данным ограничениям. Координаты любой точки, принадлежащей допустимому множеству, являются возможным сочетанием объемов производства двух видов напитков, выпускаемых фирмой.

Решим систему уравнений

0,02х₁ + 0,04 х₂ = 24 (1)

0,01х₁ + 0,04 х₂ = 16 (2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1): 0,01 х1 = 8.

Тогда х1 = 800 л в день. Подставив найденное значение х1 в уравнение (2), найдем х2:

0,01 * 800 + 0,04 х2 = 16.

х2 = 200 л в день.

Следовательно,

max F(х_1,х₂) = 0,1* 800 + 0,3 * 200 = 140 (ден. ед.)

Ответ: Максимальная ежедневная прибыль от реализации продукции составит 140 ден.ед. при производстве 800 л "Лимонада" и 200 л "Тоника". Если решать задачу на минимум, то компания прибыли не получит и при производстве продукции понесет убытки.

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд Сырье 1 Сырье 2 Оборудование	3 20 10 0	6 15 15 3	4 20 20 5	2000 15000 7400 1500
Цена изделия	6	10	9

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Экономико-математическая модель

Обозначим через х_1, х_2, х₃ нормы расхода ресурсов на одно изделие каждого вида соответственно.

Целевая функция - это математическая запись критерия оптимальности, т.е. выражение, которое необходимо максимизировать:

max f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃

Ограничения по ресурсам:

3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃2000

20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃15000

10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃7400

3 х₂ +5 х₃1500

х_1,2,30

Для того, чтобы найти оптимальный план воспользуемся "Поиском решения" в надстройках Microsoft Excel.



Рис.1 Ввод исходных данных

Рис.2 Ввод зависимости для целевой функции, шаг 1

Рис.3 Ввод зависимости для целевой функции, шаг 2



Рис.4 Введение зависимости для ограничений

Рис.5 Поиск решений

Рис.6 Введение параметров поиска решений



Рис.7 результаты поиска решений

Предприятие может получить максимальную выручку от реализации готовой продукции в 4110 ед. при выпуске 520 единиц продукции I вида и 110 единиц продукции III вида. При этом трудовые ресурсы и сырье второго вида будут использованы полностью, тогда как из 15 000 единиц сырья первого вида будет использовано только 12 600 единиц, а из 1500 единиц оборудования будет задействовано только 550 единиц.

Рис.8 Отчет по результатам

В отчете мы видим, что оптимальные значения переменных х₁ = 520, х ₂ = 0, х ₃ = 110, значение целевой функции 4110 ед., а также левые части ограничений.

()* = (520;0;110)

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Переменные. Исходная задача содержит 4 ограничения: труд, сырье 1, сырье 2, оборудование. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в исходной задаче. Следовательно, в двойственной задаче 4 неизвестных:

y₁ - двойственная оценка ресурса "Труд" или "цена" труда

y₂ - двойственная оценка ресурса "Сырье 1" или "цена" сырья 1

y₃ - двойственная оценка ресурса "Сырье 2" или "цена" сырья 2

y₄ - двойственная оценка ресурса "Оборудования" или "цена"

оборудования

Целевая функция двойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи:

min g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄

Необходимо найти такие "цены" (y_i) на ресурсы чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

Ограничения. Число ограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходной задаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче будет 3 ограничения.

В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть ограничений определяет стоимость ресурсов, затраченных на производство единицы продукции. Каждое ограничение соответствует определенной норме использования ресурса на единицу продукции:

3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ 6;

6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄10;

4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄9.

Найдем оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности. Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности

= 0,

Тогда

y₁(3 х₁+ 6 х₂+4 х₃ - 2000) = 0;

y₂(20 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ - 15000) = 0;

y₃(10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃ - 7400) = 0;

y₄(3 х₂ + 5 х₃ - 1500) = 0.

()* = (520;0;110)

Подставим оптимальные значения вектора в полученное выражение

y₁(3*520+ 6*0+4*110 - 2000) = 0;

y₂(20*520 + 15*0 + 20*110 - 15000) = 0;

y₃(10*520 + 15*0 + 20 *110 - 7400) = 0;

y₄(3 *0 + 5*110 - 1500) = 0.

Или

y₁(2 000- 2 000) = 0;

y₂ (12 600 - 15 000) = 0, т.к. 12 600 < 15 000, то y₂ = 0;

y₃ (7400-7400) = 0;

y₄ (550-1500) = 0, т.к. 550 < 1500, то y₄ = 0.

Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы двойственности

, если >0, то

В нашей задаче х₁=520 > 0 и х₃ = 110 > 0, поэтому первое и третье ограничения двойственной задачи обращаются в равенства

х₁(3 y₁ + 20 y₂ +10 y₃ - 6) = 0;

х₂(6 y₁ + 15 y₂ + 15 y₃ + 3 y₄ - 10) = 0;

х₃ (4 y₁ + 20 y₂ + 20 y₃ + 5 y₄ -9) = 0.

Решая систему уравнений

3*у₁ + 20*у₂+10у₃ - 6 =0

у₂ = 0

4*у₁ + 20*у₂ + 20 у₃ + 5*у₄-9=0

у₄ = 0,

получим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0.

Необходимо проверить выполнение первой теоремы двойственности

g(y) = 2000 y₁+15000 y₂+7400 y₃+1500 y₄ = 2 000*1,5 + 7400*0,15 = 4 110

f(x) = 6 х₁ + 10 х₂ + 9 х₃ = 6*520+9*110 = 4 110.

Это означает, что оптимальный план двойственности определен верно.

Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду "Поиск решения" - "Отчет по устойчивости" в Excel (рис. 9).

Рис. 9 Отчет устойчивости

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Максимальная прибыль от реализации продукции составит 4110 ден. ед., при производстве 520 штук изделий первого вида и 110 штук изделий третьего вида. Продукцию второго вида производить не выгодно, т.к. на их изготовление затрачивается большое количество ресурсов 1-го и 3-го типа, которое является дефицитными.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

Проверим как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:

3*520 + 6*0 + 4*110 = 2000

20*520 + 15*0 + 20*110 = 12600< 15000- сырье имеет остаток

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400

0*520 + 3*0 + 5*110 = 550< 1500 - сырье имеет остаток

Первый и третий тип ресурса полностью используются в оптимальном плане, являются дефицитными и сдерживающими рост целевой функции. Сырье второго и четвертого типа недоиспользованы на 2400 и 950 единиц соответственно, поэтому имеет нулевую двойственную оценку. Оно не влияет на план выпуска продукции (y2 = 0, y4 = 0).

· Определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24ед.

В данной задаче определяем чувствительность решения к изменению запасов ресурса "труд". Так как запас ресурса "труд" изменился на 24 единицы, то теперь он составляет 2024 единицы. Из теоремы об оценках известно, что колебание величины приводит к увеличению или уменьшению f(). Оно определяется:

f() =

=24

=24*1,5=36

f(x)^*= 4110 + 36 = 4146 (ед.)

Из расчетов видно, что если мы увеличим запасы ресурса первого вида на 24 единицы, то выручка возрастет на 36 единиц, т.е. общая выручка составит после изменения ресурсов 4146 единиц.

При этом структура плана не изменилась - изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, т.к. цены на них не изменились.

y₁ = 1,5 3 х₁ + 6 х₂ + 4 х₃2000 + 24

у₂=0 20 х₁ + 15 х₂ +20 х₃ ?15000

y₃ = 0,15 10 х₁ + 15 х₂ + 20 х₃7400

y₄ = 0 0 х₁ + 3 х₂ + 5 х₃1500

Решим систему уравнений:

3 х₁ + 4 х₃ = 2024

10 х₁ + 20 х₃ = 7400,

откуда х₁ = 544,

х₃ = .

Таким образом, новый оптимальный план

() = (544; 0; 98).

= 24 * 6 = 144

т.е. при увеличении запаса ресурса первого вида выручка увеличится на 144 ед.

· Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

8 y₁ + 4 y₂ + 20 y₃ + 6 y₄=11

подставим у₁ = 1,5, у₂ = 0, у₃ = 0,15, у₄ = 0

8*1,5 + 4*0 + 20*0,15 + 6*0 = 11

12+3=11

15=11, т.к. 15>11,

то включение в план изделия четвертого вида нецелесообразно

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий

задача оптимизация графический двойственность

Задачи 3.1-3.10. Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Таблица1

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аi j	Конечный продукт Y
	1	2	3
1	0,1	0,1	0,2	160
2	0,1	0,2	0,3	180
3	0,1	0,2	0,3	170

Решение:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

Матрица А

	0,1	0,1	0,2
A =	0,1	0,2	0,3
	0,1	0,2	0,3

Для определения общего (валового) выпуска всех видов продукции воспользуемся моделью Леонтьева в виде: Х = *У

Определяем матрицу разность

Разница между единичной матрицей Е и матрицей А

	0,9	-0,1	-0,2
Е - А =	-0,1	0,8	-0,3
	-0,1	-0,2	0,7

С помощью функции =МОБР Мастера функций MS Excel найдем обратную матрицу: В =



Рис. 10 Обратная матрица

Поскольку матрица В неотрицательно обратима, значит мы можем найти матрицу - столбец объемов валовой продукции Х в соответствии с моделью Леонтьева. С помощью функции =МУМНОЖ Мастера функций MS Excel найдем Х как произведение В и У.

Рис. 11 Определение матрицы Х

Делаем вывод, что матрица А (матрица коэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор .

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Распределение продукции между предприятиями на внутреннее потребление определяется из соотношения:

x11 = 0,1*314,5 =31,45

x12 = 0,1*416,8 =41,69

x13 = 0,2*406,9 =81,38

x21 = 0,1*314,5 =31,45

x22 = 0,2*416,8 =83,38

x23 = 0,3*406,9 =122,07

x31 = 0,1*314,5 =31,45

x32 = 0,2*416,8 =83,38

x33 = 0,3*406,9 =122,07

Рассчитаем условно чистую продукцию:

Z1 = 314,5 - 31,5 - 31,5 - 31,5 = 220,2

Z2 = 416,8 - 41,7 - 83,4 - 83,4 = 206,4

Z3 = 406,9 - 81,4 - 122,1 - 122,1 = 81,4

Условно чистая продукция - это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляет каждая отрасль.

В итоге плановая модель - баланс производства и распределения продукции предприятия будет иметь следующий вид

Таблица 2 Баланс производства и распределения продукции

Производящие предприятия	Потребляющие предприятия	Конечный продукт Y	Валовый продукт Х
	1	2	3
1	31,45	41,69	81,38	160	314,52
2	31,45	83,38	122,07	180	416,91
3	31,45	83,38	122,07	170	406,91
Условно чистая продукция	220,17	208,46	81,39	510
Валовый продукт	314,52	416,91	406,91		1138,34

Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

Задачи 4.1-4.10. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Номер варианта	Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)
10	33	35	40	41	45	47	45	51	53

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3)Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

1) Так как наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, то необходимо убедиться в отсутствии аномальных данных. Для диагностики аномальных наблюдений воспользуемся методом Ирвина и вычислим величину.

; где ,

Если рассчитанная величина превышает табличное значение, то уровень считается аномальным.

Таблица 3

Расчетная таблица для применения метода Ирвина

	t	Y
	1	33	-4	16	-10,33	106,78	-
	2	35	-3	9	-8,33	69,44	2	0,04
	3	40	-2	4	-3,33	11,11	5	0,11
	4	41	-1	1	-2,33	5,44	1	0,02
	5	45	0	0	1,67	2,78	4	0,09
	6	47	1	1	3,67	13,44	2	0,04
	7	45	2	4	1,67	2,78	2	0,04
	8	51	3	9	7,67	58,78	6	0,13
	9	53	4	16	9,67	93,44	2	0,04
сумма	45	390	0	60	0,00	364,00
среднее	5	43,33

Табличное значение критерия Ирвина =1,5

В нашем случае все полученные данные не превышают табличные значения , т.е. аномальных наблюдений нет.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК (- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel.

Рис.12 Регрессионный анализ данных

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 4 и 5.

Таблица 4

Результаты регрессионного анализа

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	31,33	1,18	26,60
t	2,40	0,21	11,47

Во втором столбце таблицы 4 содержатся коэффициенты уравнения регрессии a₀, a₁, в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости (спрос на кредитные ресурсы) от t_t (время) имеет вид Y_t = 31,33+2,40t (рис. 13).

Таблица 5

Вывод остатков

Рис. 13 График подбора

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона по формуле:

, используются данные табл. 6.

Таблица 6

Расчетная таблица для применения d-критерия Дарбина-Уотсона

Наблюдение
1	-0,73	0,538	-	-	-
2	-1,13	1,284	-0,40	-0,73	0,54
3	1,47	2,151	2,60	-1,13	1,28
4	0,07	0,004	-1,40	1,47	2,15
5	1,67	2,778	1,60	0,07	0,00
6	1,27	1,604	-0,40	1,67	2,78
7	-3,13	9,818	-4,40	1,27	1,60
8	0,47	0,218	3,60	-3,13	9,82
9	0,07	0,004	-0,40	0,47	0,22
Сумма	0	18,40			18,40

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от 0 до d₁ (рис. 14). Свойство независимости не выполняется, уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этому критерию неадекватна.



Рис. 14 Анализ независимости с помощью критерия Дарбина - Уотсона

2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) - 1, 96 - (16n-29)/90]

Количество поворотных точек равно 6 (рис.15).

Рис. 15 График остатков

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS - критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

- минимальный уровень ряда остатков,

- среднеквадратическое отклонение,

,

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляется по формуле:

, где

Таблица 7

Расчет относительной ошибки аппроксимации

	t	Y	Предсказанное Y
	1	33	33,73	-0,73	0,02
	2	35	36,13	-1,13	0,03
	3	40	38,53	1,47	0,04
	4	41	40,93	0,07	0,00
	5	45	43,33	1,67	0,04
	6	47	45,73	1,27	0,03
	7	45	48,13	-3,13	0,07
	8	51	50,53	0,47	0,01
	9	53	52,93	0,07	0,00
Сумма	45	390			0,23
Среднее	5	43,33



Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.

5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Линейная модель

Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 16) t = 1,12

Рис. 16 Распределение Стьюдента

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал.

Примем значение уровня значимости , следовательно, доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

, где

,

.

Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (табл. 8).

Таблица 8

Таблица прогноза по линейной модели

n +k	U (k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10	U(1) =2,24	55,53	Прогноз + U(1)	57,58	53,09
11	U(2) =2,37	57,73	Прогноз - U(2)	60,11	55,36

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Рис.17 График по линейной модели.

Литература

Гармаш А.Н., Гусарова О.М., Орлова И.В., Якушев А.А. Экономико-математические методы и прикладные модели: Компьютерный практикум и руководство к выполнению лабораторной работы по теме "Оптимизационные экономико-математические модели. Методы получения оптимальных решений" -М.: ВЗФЭИ, 2002.

Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.

Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач - М.: ВЗФЭИ. Вузовский учебник, 2004.

Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е изд. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 1999.

Половников В.А., Орлова И.В., Гармаш А.Н. Экономико-математические методы и прикладные модели: Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002.

Копр по ЭММ, http://62.117.66.200/repository/{1962E801-3231-4BB1-BE75-6D0AF7088CFB}/main3.htm

Размещено на Allbest.ru