Поле корреляции. Неколлинеарные факторы, их коэффициенты частной корреляции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

По территориям Южного федерального округа приводятся статистические данные за 2000 год:

Территории федерального округа	Валовой региональный продукт, млрд. руб., Y	Кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млн. руб., X
1. Респ. Адыгея	5,1	60,3
2. Респ. Дагестан	13,0	469,5
3. Респ. Ингушетия	2,0	10,5
4. Кабардино-Балкарская Респ.	10,5	81,7
5. Респ. Калмыкия	2,1	46,4
6. Карачаево-Черкесская Респ.	4,3	96,4
7. Респ. Северная Осетия - Алания	7,6	356,5
8. Краснодарский край1)	109,1	2463,5
9. Ставропольский край	43,4	278,6
10. Астраханская обл.	18,9	321,9
11. Волгоградская обл.	50,0	782,9
12. Ростовская обл. 1)	69,0	1914,0
Итого	156,9	2504,7
Средняя	15,69	250,47
Среднее квадратическое отклонение, ?	16,337	231,56
Дисперсия, D	266,89	53620,74

Предварительный анализ исходных данных выявил наличие двух территорий с аномальными значениями признаков. Эти территории исключены из дальнейшего анализа. Значения показателей в итоговых строках приведены без учёта указанных аномальных единиц.

Задание:

1. Расположите территории по возрастанию фактора X. Сформулируйте рабочую гипотезу о возможной связи Y и X.

2. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о возможной форме и направлении связи.

3. Рассчитайте параметры а1 и а0 парной линейной функции и линейно-логарифмической функции

4. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции (ryx и зylnx) и детерминации (r2yx и з2ylnx), проанализируйте их значения.

Надёжность уравнений в целом оцените через F -критерий Фишера для уровня значимости 0,05.

На основе оценочных характеристик выберите лучшее уравнение регрессии и поясните свой выбор.

7. По лучшему уравнению регрессии рассчитайте теоретические значения результата (), по ним постройте теоретическую линию регрессии и определите среднюю ошибку аппроксимации - е'ср., оцените её величину.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора () составит 1,037 от среднего уровня ().

9. Рассчитайте интегральную и предельную ошибки прогноза (для 0,05), определите доверительный интервал прогноза (; ), а также диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала (), оцените точность выполненного прогноза.

Решение:

Для построения графика расположим территории по возрастанию значений фактора . См. табл.2. Так как график строится в табличном процессоре EXCEL, то в исходной таблице фактор должен находиться на первом месте, а результат - на втором. Из графика может быть сделан вывод о возможной форме связи валового регионального продукта (Y) с кредитами, предоставленными предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам (X). В этом случае для описания зависимости следует построить несколько моделей разного вида и на основе оценочных характеристик выбрать оптимальную форму модели.

Таблица 2

Территории федерального округа	Кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млн. руб.	Валовой региональный продукт, млрд. руб.
А	Х	Y
1. Респ. Ингушетия	10,5	2
2. Респ. Калмыкия	46,4	2,1
3. Респ. Адыгея	60,3	5,1
4. Кабардино-Балкарская Респ.	81,7	10,5
5. Карачаево-Черкесская Респ.	96,4	4,3
6. Ставропольский край	278,6	43,4
7. Астраханская обл.	321,9	18,9
8. Респ. Северная Осетия - Алания	356,5	7,6
9. Респ. Дагестан	469,5	13
10. Волгоградская обл.	782,9	50
Итого, ?	2504,7	156,9
Средняя	250,47	15,69
?	231,56	16,337
Дисперсия, D	53620,74	266,89

Рис. 1

По данным таблицы №2 видно, что с увеличением факторного признака (Х) увеличивается результативный признак (Y).

По характеру расположения точек на поле корреляции (по графику) можно сделать вывод о слабой связи. Так как точки корреляционного поля почти не обнаруживают определенную направленность в своем расположении, можно говорить о наличии очень слабой связи (линейной или нелинейной).

Обычно моделирование начинается в построения уравнения прямой:, отражающей линейную форму зависимости результата Y от фактора X.

Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1. Для расчёта используем значения определителей второго порядка Д, Да0 и Да1 Расчётные процедуры представим в разработочной таблице, в которую, кроме значений Y и X, войдут X2, X*Y, а также их итоговые значения, средние, сигмы и дисперсии для Y и X. См. табл.3.

Таблица 3

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1	10,500	2,000	110,250	21,000	2,921	-0,921	0,848	0,059
2	46,400	2,100	2152,960	97,440	4,831	-2,731	7,459	0,174
3	60,300	5,100	3636,090	307,530	5,571	-0,471	0,222	0,030
4	81,700	10,500	6674,890	857,850	6,709	3,791	14,369	0,242
5	96,400	4,300	9292,960	414,520	7,492	-3,192	10,187	0,203
6	278,600	43,400	77617,960	12091,24	17,187	26,213	687,129	1,671
7	321,900	18,900	103619,610	6083,910	19,491	-0,591	0,349	0,038
8	356,500	7,600	127092,250	2709,400	21,332	-13,732	188,570	0,875
9	469,500	13,000	220430,250	6103,500	27,345	-14,345	205,779	0,914
10	782,900	50,000	612932,410	39145,000	44,022	5,978	35,741	0,381
Итого	2504,700	156,900	1163559,63	67831,390	156,900	0,000	1150,651	4,587
Средняя	250,47	15,690						45,9%
Сигма	231,56	16,337						-
Дисперсия, D	53620,74	266,89						-
Д=	5362074,210	-	-	-	-	-	-	-
Да0=	12665223,41		2,362	-	-	-	-	-
Да1=	285326,470		0,053	-	-	-	-	-

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

10*1163559,63 - 2504,7*2504,7 = 5362074,21

Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле:

156,9*1163559,63 -67831,39*2504,7 =

=12665223,41

Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

10*1163559,63 -156,9*2504,7 = 285326,47.

Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

; .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент регрессии а1 = 0,053 означает, что при увеличении объема кредитов на 1 млн. руб. (от своей средней) объём валового регионального продукта возрастёт на 0,053 млрд. руб. (от своей средней).

Свободный член уравнения а0 =2,362 оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на объём валового регионального продукта.

Построение логарифмической функции предполагает предварительное выполнение процедуры линеаризации исходных переменных. В данном случае, для преобразования нелинейной функции в линейную введём новую переменную , которая линейно связана с результатом. Следовательно, для определения параметров модели будут использованы традиционные расчётные приёмы, основанные на значениях определителей второго порядка. См. расчётную таблицу №4.

Таблица 4

№
А	1	2	3	4	5	6	7	8
1	10,500	2,351	2,000	5,529	4,703	-7,002	9,002	81,028
2	46,400	3,837	2,100	14,725	8,058	6,047	-3,947	15,577
3	60,300	4,099	5,100	16,805	20,907	8,348	-3,248	10,548
4	81,700	4,403	10,500	19,387	46,232	11,015	-0,515	0,265
5	96,400	4,569	4,300	20,871	19,645	12,468	-8,168	66,711
6	278,600	5,630	43,400	31,694	244,332	21,787	21,613	467,122
7	321,900	5,774	18,900	33,342	109,133	23,056	-4,156	17,269
8	356,500	5,876	7,600	34,531	44,660	23,952	-16,352	267,391
9	469,500	6,152	13,000	37,843	79,972	26,370	-13,370	178,754
10	782,900	6,663	50,000	44,396	333,150	30,860	19,140	366,337
Итого	2504,700	49,355	156,900	259,123	910,792	156,900	0,000	1471,001
Средняя	250,47	4,935	15,690
Сигма	231,56	1,246	16,337					-
D	53620,74	1,554	266,89					-
Д=	155,351	-	-	-	-	-	-	-
Да0=	-4295,410		-27,650	-	-	-	-	-
Да1=	1364,183		8,781	-	-	-	-	-

Расчёт определителей второго порядка даёт следующие результаты:

155,351; а0=-4295,41; а1=1364,183.

Отсюда получаем параметры уравнения:

Полученное уравнение имеет вид:.

4. Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции, равный 0,7512, показывает, что выявлена средняя зависимость между объемом кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам и валовым региональным продуктом за год. Коэффициент детерминации, равный 0,564, устанавливает, что вариация объема валового регионального продукта на 56,4% из 100% предопределена вариацией объема кредитов для организаций; роль прочих факторов, влияющих на валовой региональный продукт, определяется в 43,6%, что является большой величиной.

Для оценки тесноты связи рассчитаем также коэффициент:

Данный коэффициент Ylnx=0,6700, показывает, что выявлена средняя по силе зависимость между прологарифмированным объемом кредитов и валовым региональным продуктом. Квадрат этого коэффициента, равный 0,449, устанавливает, что вариация объема валового регионального продукта на 44,9% из 100% предопределена вариацией прологарифмированным объемом кредитов, предоставленных организациям физическим лицам; роль прочих факторов, влияющих на объем валового регионального продукта, определяется в 55,1%, что является большой величиной.

5. Для оценки статистической надёжности выявленной зависимости ВРП от кредитов рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости б=0,05).

В нашем случае, .

Фактическое значение критерия показывает, что факторная вариация результата почти в 10 раз больше остаточной вариации, сформировавшейся под влиянием случайных причин. Очевидно, что подобные различия не могут быть случайными, а являются результатом систематического взаимодействия ВРП и общей суммы кредитов. Для обоснованного вывода сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=10-2=8 и уровне значимости б=0,05 (по приложению 1).

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости ВРП от объемов кредитов и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%.

Для второго уравнения: рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера - Fфактич. и сравним его с табличным значением - Fтабл. По результатам сравнения примем решения по нулевой гипотезе , то есть, либо примем, либо отклоним её с вероятностью допустить ошибку, которая не превысит 5% (или с уровнем значимости б=0,05).

Вывод: сравним полученный результат с табличным значением критерия: при степенях свободы d.f.1=k-1=1 и d.f.2=n-k=10-2=8 и уровне значимости б=0,05 (по приложению 1).

В силу того, что , нулевую гипотезу о статистической незначимости выявленной зависимости ВРП от прологарифмированного объема кредитов и её параметрах можно отклонить с фактической вероятностью допустить ошибку значительно меньшей, чем традиционные 5%

Оценочные показатели позволяют сделать вывод, что линейно-логарифмическая функция описывает изучаемую связь хуже, чем линейная модель: оценка тесноты выявленной связи з=0,6700 (сравните с 0,7512), Fфакт.=6,5 (против 10,4 для линейной модели), то есть возможности использования для прогноза данной модели более ограничены.

Таким образом, можно придти к выводу, что по сравнению с линейной моделью данное уравнение менее пригодно для описания изучаемой связи.

Для линейного уравнения регрессии рассчитаем теоретические значения (они приведены в таблице №3).

Рис. 2

Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации (по данным расчетной таблицы №3):

.

В нашем случае, скорректированная ошибка аппроксимации составляет 45,9%. Она указывает на невысокое качество построенной линейной модели и ограничивает её использование для выполнения точных прогнозных расчётов даже при условии сравнительно небольшого изменения фактора X (относительно его среднего значения ).

Если предположить, что прогнозное значение фактора () составит 1,023 от среднего уровня (), то есть

Xпрогнозн.= 1,037*Хср=1,037*250,47=259,737,

тогда прогнозное значение результата сформируется на уровне:

Yпрогнозн. =-2,362+0,053*259,737=16,1281 (млрд. руб.).

То есть, прирост фактора на 3,7% от своего среднего значения приводит к приросту результата на 2,8 процента от его среднего значения (.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии-и ошибки прогноза положения регрессии -.

То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1. Тогда (млрд. руб.).

Ошибка положения регрессии составит:

=

= = 0,068 (млрд. руб.).

Интегральная ошибка прогноза составит:

= = 12,012 (млрд. руб.).

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,31*12,012 = 27,748 ? 28,0 (млрд. руб.). Табличное значение t-критерия для уровня значимости б=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 10-1-1=8 составит 2,31. (См. табл. приложения 2). Следовательно, ошибка большинства реализаций прогноза не превысит млрд. руб.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

= 16,1 + 28,0 = 44,1 (млрд. руб.).

Нижняя граница доверительного интервала составит:

= 16,1 - 28,0 = -11,9 (млрд. руб.).

Относительная величина различий значений верхней и нижней границ составит:

= раз.

Это означает, что верхняя граница в (-3,7) раз больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза весьма невелика, но его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая. Причиной небольшой точности прогноза является повышенная ошибка аппроксимации. Здесь её значение выходит за границу 5-7% из-за недостаточно высокой типичности линейной регрессии, которая проявляется в присутствии единиц с высокой индивидуальной ошибкой. Если удалить территории с предельно высокой ошибкой, тогда качество линейной модели и точность прогноза по ней заметно повысятся.

Задача 2

Проводится анализ значений социально-экономических показателей по территориям Северо-Западного федерального округа РФ за 2000 год:

Y - Инвестиции 2000 года в основной капитал, млрд. руб.;

X1 - Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.;

X2 - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

X3 -Инвестиции 1999 года в основной капитал, млрд. руб.

Требуется изучить влияние указанных факторов на стоимость валового регионального продукта.

Предварительный анализ исходных данных по 10 территориям выявил одну территорию (г. Санкт-Петербург) с аномальными значениями признаков. Эта единица должна быть исключена из дальнейшего анализа. Значения приводимых показателей рассчитаны без учёта указанной аномальной единицы.

При обработке исходных данных получены следующие значения:

А) - линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений -у: N=9.

	Y	X1	X2	X3
Y	1	0,7813	0,8897	0,9114
X1	0,7813	1	0,7372	0,7959
X2	0,8897	0,7372	1	0,6998
X3	0,9114	0,7959	0,6998	1
Средняя	8,867	0,4652	121,2	4,992
	5,1976	0,1287	48,19	3,183

Б) - коэффициентов частной корреляции

	Y	X1	X2	X3
Y	1	-0,2830	0,8617	0,8729
X1	-0,2830	1	0,4466	0,5185
X2	0,8617	0,4466	1	-0,6838
X3	0,8729	0,5185	-0,6838	1

Задание:

1. По значениям линейных коэффициентов парной и частной корреляции выберите неколлинеарные факторы и рассчитайте для них коэффициенты частной корреляции. Проведите окончательный отбор информативных факторов во множественную регрессионную модель.

2. Выполните расчёт бета коэффициентов и постройте с их помощью уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Проанализируйте с помощью бета коэффициентов силу связи каждого фактора с результатом и выявите сильно и слабо влияющие факторы.

3. По значениям коэффициентов рассчитайте параметры уравнения в естественной форме (a1, a2 и a0). Проанализируйте их значения. Сравнительную оценку силы связи факторов дайте с помощью общих (средних) коэффициентов эластичности -.

4. Оцените тесноту множественной связи с помощью R и R2, а статистическую значимость уравнения и тесноту выявленной связи - через F -критерий Фишера (для уровня значимости 0,05).

5. Рассчитайте прогнозное значение результата, предполагая, что прогнозные значения факторов составят 107,3 процента от их среднего уровня.

6. Основные выводы оформите аналитической запиской.

Решение.

Представленные в условии задачи значения линейных коэффициентов парной корреляции позволяют установить, что инвестиции 2000 г. в основной капитал - Y более тесно связаны инвестициями 1999 года в основной капитал - X3 () и среднегодовой стоимостью основных фондов - X2 (); наименее тесно результат Y связан со среднегодовой численностью занятых в экономике - X1. Поэтому, в силу небольшой информативности фактора X1, предполагаем, что его можно исключить из дальнейшего анализа.

Проверим наши предположения с помощью анализа матрицы коэффициентов частной корреляции. Очевидно, что наиболее тесная связь результата Y с инвестициями 1999 г. в основной капитал (), средняя связь со среднегодовой стоимостью основных фондов в экономике (), и наименее - со среднегодовой численностью занятых в экономике (). Поэтому для уточнения окончательного вывода выполним расчёт серии коэффициентов частной корреляции Y с двумя возможными комбинациями факторных признаков: для Y с X2 и с X3, а также для Y c X1 и X3.

Расчёты частных коэффициентов корреляции выполним по следующим формулам:

Как видим, факторы X2 и X3, действительно, тесно связаны с результатом, а между собой практически взаимодействуют слабее.

Расчёт аналогичных показателей по следующей паре факторов приводит к иным результатам:



В данном случае, межфакторное взаимодействие сравнимо с теснотой связи инвестиций 2000 г. с инвестициями 1999 г. Таким образом, первая из рассмотренных пар факторных признаков (X2 и X3) в большей мере отвечает требованиям, предъявляемым МНК к исходным данным и, в частности, к отсутствию межфакторного взаимодействия. Указанные обстоятельства позволяют использовать X2 и X3 в качестве информативных факторов уравнения множественной регрессии.

При построении двухфакторной регрессионной модели воспользуемся для упрощения расчётов методом стандартизованных переменных. В этом случае, исходное уравнение приобретает вид: . Выполним расчёт коэффициентов, используя значения известных по условию линейных коэффициентов парной корреляции.

;

;

В результате получено уравнение в стандартизованном масштабе:

Параметры данного уравнения представляют собой относительные оценки силы влияния каждого из факторов на результат. При увеличении среднегодовой стоимости основных фондов на одну сигму - (от своей средней) инвестиции 2000 г. в основной капитал увеличатся на 0,494 своей сигмы (); с увеличением инвестиций 1999 г. в основной капитал на результат увеличится на 0,566.Сравнивая коэффициентов, определяем, какой из признаков влияет на результат сильнее, а какой - слабее. В данном случае, увеличение объема инвестиции 2000 г. в основной капитал происходит, прежде всего, под влиянием увеличения инвестиций 1999 г. в основной капитал и в меньшей степени - в результате увеличения средней стоимости основных фондов.

Используя значения коэффициентов, можно рассчитать параметров уравнения в естественной форме:

.

В конечном счёте, имеем уравнение:

.

По значениям коэффициентов регрессии можно судить о том, на какую абсолютную величину изменяется результат при изменении каждого фактора на единицу (от своей средней).

С увеличением стоимости основных фондов на 1 млрд. руб. инвестиции 2000 г. в основной капитал увеличиваются на 0,053 млрд. руб., с увеличением инвестиций 1999 г. в основной капитал на 1 млрд. руб. инвестиции 2000 г. возрастут на 0,924 млрд. руб.

Но так как признаки-факторы измеряются в разных единицах, сравнивать значения их коэффициентов регрессии не следует. Точную оценку силы связи факторов с результатом дают коэффициенты эластичности и в - коэффициенты.

Для сравнительной оценки силы связи выполним расчёт средних коэффициентов эластичности. С их помощью можно определить, на сколько процентов изменяется результат при изменении фактора на 1% (от своего среднего значения). В нашем случае, расчёт показал, что влияние стоимости основных фондов на инвестиции 2000 г. в основной капитал оказалось более сильным по сравнению с влиянием объема инвестиций 1999 г.: с ростом стоимости основных фондов на 1% инвестиции 2000 г. увеличатся на 0,728%, а при увеличении объема инвестиций 1999 г. на 1% инвестиции 2000 г. возрастут на 0,520%. Различия в силе влияния весьма значительны: второй фактор влияет на результат сильнее, чем третий. Поэтому регулирование объема инвестиций 2000 г. через стоимость основных фондов будет более результативным, чем через объем инвестиций 1999 г.

; .

Тесноту выявленной зависимости объема инвестиций 2000 г. в основной капитал от инвестиций 1999 г. и от стоимости основных фондов оценивают множественный коэффициент корреляции и детерминации. Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в - коэффициентов.

 В нашем случае 2-х факторной зависимости расчёт строится следующим образом:

Как показали расчёты, установлена весьма тесная зависимость объема инвестиций 2000 г. в основной капитал от инвестиций 1999 г. и от стоимости основных фондов. Это означает, что 95,5% вариации объема инвестиций 2000 г. определены вариацией данных факторов. Оставшиеся 4,5% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых незначительна.

Оценка статистической значимости или надёжности установленной формы зависимости, её параметров, оценок её силы и тесноты является важным этапом анализа результатов. Для выполнения оценки формулируется нулевая гипотеза, которая рассматривает предположение о случайной природе полученных результатов. То есть, .

Для проверки выдвинутой нулевой гипотезы используется F-критерия Фишера. Его фактическое значение определяется, исходя из соотношения факторной и останочной дисперсий и их степеней свободы: d.f.1=k и d.f.2=n-k-1; где: n -число изучаемых единиц; k - число ограничений, которые накладываются на исходные данные при расчёте данного показателя. Здесь k равно числу факторов уравнения, то есть k=2.

.

В нашем случае, когда рассматривается зависимость результата от двух факторов, расчёт выглядит следующим образом:

.

Фактическое значение критерия показывает, что детерминация, сформированная под воздействием двух изучаемых факторов, почти в 64 раза больше, чем детерминация, связанная с действием прочих причин. Очевидно, что подобное соотношение случайно сформироваться не может, а является результатом влияния существенных, систематических факторов.

Для принятия обоснованного решения Fфактич. сравнивается с Fтабличн., которое формируется случайно и зависит степеней свободы факторной (d.f.1 = k) и остаточной (d.f.2 = n-k-1) дисперсий, а также от уровня значимости б=0,05. В нашем примере, где d.f.1=k= 2 и d.f.2=n-k-1 = 9-2-1=6 при б=0,05 Fтабл = 5,14 (см. табл. приложения 1). В силу того, что Fфактич =63,7 > Fтабл. = 5,14, можно с высокой степенью надёжности отклонить нулевую гипотезу, а в качестве альтернативы - согласиться с утверждением, что проверяемые параметры множественной регрессионной модели неслучайны, что коэффициенты уравнения и показатели тесноты связи не являются случайными величинами.

8. Техническая часть прогнозных расчётов по уравнению множественной регрессии сравнительно проста. Достаточно определить прогнозные значения каждого факторного признака , подставить их в уравнение и выполнить с ними расчёт прогнозного значения результата - . При этом следует помнить, что требования к точности и надёжности прогноза предъявляют к используемой модели повышенные требования. В нашем случае, прогнозное значение каждого из факторов, то есть и , получено на основе средней величины:

.

.

После подстановки в уравнение получаем следующий результат:

(млрд. руб.)

Если стоимость основных фондов составит 130,047 млрд. руб., а инвестиции 1999 г. в основной капитал возрастут до 5,356 млрд. руб., тогда следует ожидать, что инвестиции 2000 г. в основной капитал составят 9,675 млрд. руб., то есть увеличится на 9,1% от своего среднего уровня.

Задача 3

Данные о стоимости экспорта () и импорта () Туниса, млрд. $, приводятся за период с 1990 по 2000 г. В уровнях рядов выявлены линейные тренды:

для экспорта - , а для импорта -

По указанным трендам произведено выравнивание каждого ряда, то есть рассчитаны теоретические значения их уровней: и .

Годы	Экспорт ()	Импорт ()
	М факт.	=	G факт..
1990	3,53	3,53	5,54	5,41
1991	3,70	3,80	5,19	5,76
1992	4,02	4,07	6,43	6,11
1993	3,80	4,34	6,21	6,46
1994	4,66	4,61	6,58	6,81
1995	5,48	4,88	7,90	7,16
1996	5,52	5,16	7,75	7,51
1997	5,56	5,43	7,91	7,86
1998	5,74	5,70	8,35	8,21
1999	5,87	5,97	8,47	8,56
2000	5,85	6,24	8,56	8,91

Предварительная обработка исходной информации привела к следующим результатам:

	Mt	Gt	T
Mt	1	0,9751	0,9445
Gt	0,9751	1	0,9546
t	0,9445	0,9546	1
Итого	53,73	78,89	66
Средняя	4,88	7,17	6,0
	0,908	1,161	3,162

Задание:

1. Для изучения связи рядов рассчитайте отклонения фактических значений каждого ряда от теоретических ( );

2. Для оценки тесноты связи рассчитайте: 1) линейный коэффициент парной корреляции отклонений от линии тренда: ; 2) уровней рядов: и 3) коэффициент частной корреляции уровней: ; поясните их значения, укажите причины различий значений парных коэффициентов корреляции (пп. 1 и 2) и схожести коэффициентов парной корреляции отклонений и частной корреляции уровней (пп. 1 и 3);

3. Постройте уравнение множественной регрессии с участием временной составляющей:

4. Проанализируйте полученные результаты.

Решение.

1. Изучение связи рядов выполним двумя способами, сравним их результаты и выберем из них правильный. Для оценки тесноты связи рядов через величины отклонений от оптимального тренда рассчитаем значения отклонений: и

Таблица 5

Годы					dМ	dG	dM*dG	(dM)2	(dG)2
1990	3,53	3,53	5,54	5,41	0	0,13	0,000	0,000	0,017
1991	3,7	3,8	5,19	5,76	-0,1	-0,57	0,057	0,010	0,325
1992	4,02	4,07	6,43	6,11	-0,05	0,32	-0,016	0,003	0,102
1993	3,8	4,34	6,21	6,46	-0,54	-0,25	0,135	0,292	0,063
1994	4,66	4,61	6,58	6,81	0,05	-0,23	-0,011	0,002	0,053
1995	5,48	4,88	7,9	7,16	0,6	0,74	0,444	0,360	0,548
1996	5,52	5,16	7,75	7,51	0,36	0,24	0,086	0,130	0,058
1997	5,56	5,43	7,91	7,86	0,13	0,05	0,006	0,017	0,002
1998	5,74	5,7	8,35	8,21	0,04	0,14	0,006	0,002	0,020
1999	5,87	5,97	8,47	8,56	-0,1	-0,09	0,009	0,010	0,008
2000	5,85	6,24	8,56	8,91	-0,39	-0,35	0,137	0,152	0,123
Итого	53,73		78,89		0	0,13	0,8525	0,9768	1,3175
Средняя	4,885		7,172		0,000	0,012		0,089	0,120
Сигма	0,908		1,161		0,298	0,346
D	0,824		1,348		0,089	0,120

надежность регрессия уравнение ряд

Выполним расчёт коэффициента корреляции отклонений от трендов через коэффициент регрессии отклонений с1, и . Но для этого предварительно рассчитаем определители второго порядка по уравнению регрессии отклонений: .

В силу того, что свободный член уравнения регрессии отклонений равен нулю, вид уравнения будет отличаться от традиционного:. С изменением отлонений импорта от своего тренда на единицу отклонения экспорта от своего тренда изменятся в том же направлении на 0,6478 части своей единицы. В дальнейшем коэффициент с1 используется для расчёта показателей тесноты связи двух рядов отклонений:

;

Выявлена средняя связь отклонений от трендов, которая означает, что на 56,5% вариация размеров отклонений по импорту детерминирует изменения по экспорту, а на 43,5% вариация размеров отклонений происходит под влиянием прочих факторов.

Второй вариант оценки связи двух рядов основан на традиционной оценке корреляции их уровней:

.

Данный подход к решению задачи предполагает традиционный расчёт определителей уравнения регрессии уровней, нахождение коэффициента регрессии а1 и далее с помощью и расчёт коэффициента корреляции. Информация для расчёта представлена в табл. 2.

Расчёт определителей дал следующие результаты:

Значения параметров регрессии:; , а уравнение имеет вид:

.

Коэффициенты тесноты связи уровней составят:; . Это значит, что в уровнях существует весьма тесная связь, при которой вариации импорта предопределяет 95,1% вариации экспорта.

Таблица 6

Годы
1990	3,53	5,54	12,461	30,692	19,556
1991	3,7	5,19	13,690	26,936	19,203
1992	4,02	6,43	16,160	41,345	25,849
1993	3,8	6,21	14,440	38,564	23,598
1994	4,66	6,58	21,716	43,296	30,663
1995	5,48	7,9	30,030	62,410	43,292
1996	5,52	7,75	30,470	60,063	42,780
1997	5,56	7,91	30,914	62,568	43,980
1998	5,74	8,35	32,948	69,723	47,929
1999	5,87	8,47	34,457	71,741	49,719
2000	5,85	8,56	34,223	73,274	50,076
Итого	53,73	78,89	271,508	580,611	396,644
Средняя	4,885	7,172
Сигма	0,908	1,161
D	0,824	1,348

2.Однако, делать подобный вывод было бы глубоко ошибочно потому, что в уровнях и одного, и другого рядов выявлены устойчивые, статистически значимые линейные тренды. В подобных условиях выявленное взаимодействие уровней не является причинной зависимостью, а представляет собой ложную связь, вызванную наличием трендов схожей линейной формы. В силу того, что оба тренда сформированы под влиянием разного комплекса факторов, схожесть их формы могут создавать иллюзию связи рядов. Подобные соображения позволяют отказаться от результатов изучения связи уровней, содержащих тренд. В подобной ситуации пристального внимания заслуживает связь случайных отклонений от трендов. Именно этот подход позволяет выявить и количественно оценить истинную связь рядов.

В действительности связь рядов существует, оценивается она как тесная; то есть, в ней экспорт на 95,1% детерминирован вариацией импорта.

Фактический F-критерий равен 174. Это больше табличного (F табл.=5,12), что доказывает надёжность и значимость истинной связи рядов.

3. Для формализованного представления подобных зависимостей и использования моделей связи динамических рядов в прогнозных расчётах предлагается построить множественную регрессионную модель связи рядов, включая в неё в качестве обязательной составляющей фактор времени t. Речь идёт о построении модели следующего вида: . В данной задаче в уровнях обоих рядов присутствует линейный тренд. Поэтому включение в модель фактора времени позволит через коэффициент а2 отразить наличие линейного тренда в уровнях обоих рядов. Если в уровнях рядов представлены тренды иной, более сложной формы, тогда уравнение множественной регрессии должно через фактор времени отразить эту более сложную форму трендов.

Истинную силу и направление связи рядов отразит коэффициент регрессии а1 , а тесноту их связи оценит частный коэффициент корреляции: .

Используем для расчёта параметров множественной регрессии матрицу парных коэффициентов корреляции, представленную в исходных данных.

Для построения уравнения в стандартизованном масштабе: рассчитаем значения -коэффициентов:



Получено следующее уравнение: .

Его параметры позволяют сделать вывод о том, что влияния импорта на экспорт почти в пять с половиной раза сильнее, чем влияние систематических факторов, формирующих линейный тренд:

По значениям -коэффициентов рассчитаем параметры множественной регрессии в естественной форме:

;

.

Уравнение имеет вид:. С увеличением импорта на 1 млрд. $ экспорт увеличивается на 0,648 млрд.$; под влиянием комплекса систематических факторов (которые условно обозначили через t) экспорт увеличивается в среднем за год на 0,044 млрд. $.

Оценку тесноты связи рядов, очищенную от влияния комплекса систематических факторов, даёт частный коэффициент корреляции:

; .

Как видим, получены результаты, совпадающие с оценками тесноты связи по отклонениям от лучших трендов, которыми, в данном случае, являются линейные тренды.

Использование динамической модели в прогнозе заключается в подстановке в её правую часть прогнозных значений фактора G и фактора t. То есть,

Размещено на Allbest.ru