Размещено на http://allbest.ru

ВВЕДЕНИЕ

Финансовым кризисам часто предшествуют развитие пузыря на рынке финансовых активов. Поэтому задаче упреждения и сдерживанию роста пузыря отводится большая роль. В этом может помочь количественная оценка пузыря, которая может стать полезным сигналом для участников рынка и его регуляторов. Важность определения активов с пузырь-составляющей в цене состоит и в справедливой оценке резервов банков и различных фондов. Регуляторы должны оценивать резервы по справедливой стоимости, то есть вычитать из номинальной стоимости величину пузыря, чтобы лопнувший пузырь не привёл к панике и массовому изъятию депозитов.

Экономисты изучали явление развития пузыря с давних пор, но только за последние 15 лет к этому исследованию присоединились математики из разных областей науки. За это время фокус сместился с поиска ответа на вопрос, как рождается пузырь, к вопросу, когда это происходит и как выявлять этот момент. Но последний финансовый кризис 2008 года показал, что применение многих существующих на тот момент эконометрических методов не могут дать однозначный ответ о существовании пузыря (Gьrkaynak, 2008).

После этого момента, в результате многочисленных исследований, были созданы несколько видов тестов, позволяющих надёжно выявлять наличие пузыря в цене актива и оценивать время её возникновения. Эти методы были эмпирически тестированы на искусственно созданных пузырях и применялись для исследований рынка акций США. Но на данный момент существует очень мало исследований, которые бы исследовали Российский рынок, и совсем нет работ, посвящённых выявлению недавних пузырей в ценах отдельных акций.

Таким образом, цель работы - исследовать наличие пузырей в ценах акций, входящих в индекс голубых фишек. Для достижения данной цели мы поставили перед собой следующие задачи:

1. Дать теоретическое описание понятию пузырь на рынке акций;

2. Изучить разработанные ранее эмпирические методы тестирования и выбрать наиболее подходящие;

3. Рассмотреть предыдущие исследования Российского рынка акций на наличие пузырей;

4. Протестировать акции индекса голубых фишек на наличие пузырей;

5. Если обнаружен пузырь, то выяснить время её появления и сдутия.

Особенностями этого исследования, которые отличают его от остальных работ, посвящённых подобной тематике, являются:

1. Объектом исследования являются акции, входящие в индекс голубых фишек Московской биржи (RTSSTD), опубликованных для периода с 16 декабря 2015 года по 15 марта 2016 года http://moex.com/a3565 (дата обращения: 02.04.2016);

2. Период исследования включает период с начала 2000 года по март 2016 года;

3. Для тестирования на пузыри используются новейшие методы, которые ещё не были разработаны при написании большинства предыдущих исследований.

Работа имеет следующую структуру: в первой главе приведён обзор теории финансовых пузырей и основных методов их тестирования; во второй главе представлена методология исследования; в третьей главе представлено описание использованных данных и приведены полученные результаты. Основные выводы исследования сформулированы в заключении.

Глава 1. ФИНАНСОВЫЕ ПУЗЫРИ И МЕТОДЫ ТЕСТИРОВАНИЯ НА НАЛИЧИЕ ПУЗЫРЕЙ В ЦЕНАХ АКЦИЙ

1.1 Теория финансовых пузырей

Почти все работы по исследованию наличия пузыря в цене актива начинаются с вывода формулы пузыря, используя формулу доходности владения активом и гипотезу рациональных ожиданий. Доходность акции в период рассчитывается по формуле:

где обозначает цену акции в соответствующий период времени, а - дивиденды в пероиод . Если выразить из этой формулы цену на текущий момент и использовать оператор математического ожидания, основанной на доступной в данный момент информации, получим:

Решим данное уравнение для следующих k периодов:

Чтобы получить единственное решение для , используем допущение, что ожидаемая приведённая стоимость цены акции в далёком будущем равняется нулю (которое также называется условием трансверсальности):



.

Основываясь на данном допущении, можно получить фундаментальную цену акции, которая равняется приведённой стоимости будущих дивидендов:

Если же условие трансверсальности не выполняется, то уравнение (1) имеет множество решений, которые могут быть записаны в виде:

Второе слагаемое в этой формуле называется рациональным пузырём, так как оно выводится из предположения о рациональных ожиданиях Данная работа ограничивается исследованием рациональных пузырей. Кроме рациональных, есть ещё иррациональные пузыри, когда иррациональное поведение инвесторов приводит к возникновению и росту пузырь-составляющей в цене. Поведение таких инвесторов описывается бихевиористской теорией финансов. .

Одно из теоретических выводов пузырей утверждает, что если пузырь и существует, то он никогда не будет отрицательным. Объясняется это условием отсутствия арбитража и невозможностью отрицательных цен При использовании допущения о постоянной ставке дисконтиования.. Из условия отсутствия арбитража следует, что удержание актива с пузырём в цене не может приносить избыточную прибыль, то есть:

Данная формула соответствует формуле (2) при постоянной процентной ставке. Предположим, что пузырь следует стохастическому процессу:

Если в момент t пузыря не существует, то он появится при любой ненулевой реализации z. Если z меньше нуля, то пузырь будет отрицательным и будет расти по модулю согласно выражению (3). Следовательно, в какой-то момент времени цена станет отрицательной, чего быть не может. Диба и Гроссман (Diba, Grossman, 1988b) также показывают, что пузырь не может появиться внезапно. Так, если величина пузыря равна нулю, согласно выражению (4), все возможные реализации z в сумме должны давать ноль, что невозможно, если z не может быть отрицательной величиной. Из всего этого следует, что если в цене и есть пузырь, то он присутствует с самого первого дня торговли активом, и, однажды лопнув, в будущем он не может появиться заново. Казалось бы, приведённые выше выводы показывают, во-первых, бессмысленность определения даты появления пузыря, так как он может появиться только в момент торговли акцией. Во-вторых, отсутствие необходимости в использовании тестов для определения множественных пузырей (multiple bubbles), так как на протяжении времени торговли активом в её цене может развиться только один пузырь. Однако Эванс в своём исследовании (Evans, 1991) разрабатывает вероятностный пузырь, который растёт и периодически лопается до минимальных размеров. Его можно записать в виде:

где , и

принимает значение 1 с вероятностью и 0 с вероятностью ). Данная формулировка пузыря удовлетворяет условию (3), то есть ожидаемый прирост пузыря всегда равен При сравнительно малых значениях пузырь растёт медленно, но как только значение превысит , он начинает расти быстрее, но при этом каждый период пузырь может лопнуть с вероятностью ). В этом случае значение пузыря снижается до минимального положительного значения . Данная формулировка пузыря не противоречит утверждению Дибы и Гроссмана о невозможности внезапного появления пузыря, так как он никогда не лопается до нулевого уровня, а только периодически снижается до минимального значения

1.2 Обзор литературы

А) Ранние тесты на выявление пузыря

Первые тесты на выявление пузырей в ценах акций были разработаны в 80-х годах прошлого века. Первым тестом на выявление пузырей был так называемый тест на границу дисперсии (variance bounds test). Идея данного теста заключается в сравнении дисперсии фактически наблюдаемых цен и дисперсии цен, рассчитанных при помощи модели приведённой стоимости. Данный тест был предложен в работе Шиллера (Shiller, 1981) в 1981 году для оценки реалистичности модели приведённой стоимости. В своём исследовании Шиллер показывает, что, при условии выполнения гипотезы рациональных ожиданий, рассчитанная на основе известных дивидендов ex post цена должна быть не менее волатильна, чем фактически наблюдаемая цена. Это связано с тем, что в формуле расчёта ex post цены содержатся значения ожидаемых дивидендов и ошибок прогноза, а в формуле наблюдаемой цены - только ожидаемые дивиденды. Для расчета ex post цены Шиллер пользуется известными значениями дивидендов за наблюдаемый период времени и терминальной стоимостью акции, в качестве которой использует среднюю цену за период. Он применяет свой метод на индексе S&P с 1871 года по 1980 год Данная выборка будет использоваться многими исследователями в последующих работах. и отмечает, что фактически наблюдаемые значения индекса более волатильны, чем значения, рассчитанные при помощи модели приведённой стоимости. Хотя автор из этого делает вывод только о несправедливости модели приведённой стоимости, в более поздних работах этот результат интерпретируется как присутствие пузырь составляющей в цене.

У расмотренного способа выявления пузырей есть существенные недостатки. Во-первых, он не предполагает возможность проверки статистической значимости результатов. Во-вторых, применение данного метода затруднительно, так как величина дивидендов на бесконечном отрезке времени является неизвестной. А применение терминальной стоимости акции, как отмечает в своей работе Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008), приводит к смещению оценки теста при относительно небольших выборках. Ну и в третьих, как было замечено выше, в общем случае этот тест является тестом на адекватность модели приведённой стоимости. Поэтому нарушение границ дисперсии может свидетельствовать не о наличие пузыря, а о неправильной спецификации модели приведённой стоимости или о неправильности допущений, использованных в её построении.

Эти недостатки были частично учтены в следующем тесте, который был предложен Вестом (West, 1986). Данный способ позволяет статистически тестировать две отдельные гипотезы: о правильной спецификации модели и об отсутствии пузырей. Вест отмечает, что при отсутствии пузыря можно использовать уравнение Эйлера, определяющее условие отсутствия арбитража на рынке, для оценки величины дисконтирования. Функцию, описывающую изменение дивидендов во времени, можно получить, оценив авторегрессионную модель. Если модель окажется адекватной, то цену можно будет представить как некий коэффициент в умноженную на дивиденды. Вест показывает, что в можно рассчитать вручную, используя оценённую ставку дисконтирования и функцию дивидендов. Также в можно получить, оценив регрессию зависимости наблюдаемых цен от дивидендов. Далее тестируется гипотеза о равенстве расчетного и оценённого коэффициента в. Если они равны, делается вывод об отсутствии пузыря в цене акции. Вест использует разработанный тест на той же выборке, что и Шиллер (Shiller, 1981) и получает подтверждение гипотезы о наличии пузыря в ценах акций, входящих в индекс S&P. Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008) в качестве недостатка модели указывает, что в ней будущие дивидендные потоки определяются только прошлыми, хотя на практике инвесторы принимают во внимание и множество других факторов. Он также отмечает, что данный тест будет выявлять только такие пузыри, которые коррелируют с дивидендами, так как в этом случае оцененный коэффициент в будет отличаться от расчётной.

Диба и Гроссман в своей работе (Diba, Grossman, 1988a) предлагают использовать тесты на стационарность временного ряда цен и дивидендов для выявления пузырей. В свою модель они также включают ненаблюдаемую переменную, определяющую фундаментальную цену актива (например, ожидания инвесторов). Они показывают, что если в ценах акций присутствует пузырь, то временной ряд цен не будет стационарным процессом. Также при предположении, что ненаблюдаемая переменная не является более нестационарной, чем дивиденды Например, если дивиденды стационарны в первых разностях, то ненаблюдаемая переменная должна быть стационарной в значении., при отсутствии пузыря цена должна быть такой же уровни стационарности, что и дивиденды Если дивиденды стационарны в первых разностях, цена тоже должна быть стационарной в первых разностях.. А при предположении о стационарности в значениях ненаблюдаемой переменной, при отсутствии пузыря временной ряд дивидендов и котировок акций должен быть коинтегрированными. Стационарность цен и дивидендов авторы проверяют с помощью теста Дики-Фуллера, а коинтегрированность тестируют методом Бхаргавы (Bhargava ratios). Используя эту методику для тестирования на пузыри в той же выборке, что и Шиллер (Shiller, 1981), они не обнаруживают наличия пузырь составляющей в ценах актива.

Модель Дибы и Гроссмана была подвергнута критике разными исследователями. Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008) утверждает, что результат предложенного теста не обязательно указывает на наличие пузыря, а скорее говорит о присутствие чего-то нестационарного в цене актива. Это может быть и пузырь, а может быть и невыполнение предположения о ненаблюдаемой переменной, когда она является более нестационарной, чем дивиденды. Но основное возражение было предложено Эвансом. Он в своём исследовании (Evans, 1991) показывает, что тест Дибы и Гроссмана может уловить только наличие монотонно растущих пузырей, но не справляется с пузырями, которые растут и периодически лопаются до минимальных размеров. Критика Эванса является существенной, так как предложенная модель периодически лопающихся пузырей наиболее приближена к реальности.

Фрут и Обстфельд (Froot, Obstfield, 1989) предложили модель внутреннего пузыря, когда пузырь зависит только от уровня дивидендов. Модель строится в предположении, что логарифм дивидендов () следует процессу случайного блуждания с дрейфом:

Авторы показывают, что в таком случае фундаментальная цена будет линейно зависеть от дивидендов, а пузырь - нелинейно. Следовательно, цена, включающая пузырь составляющую, будет избыточно реагировать на изменение дивидендных выплат. В исследовании разработанная модель тестируется на реальных данных. Фрут и Обстфельд строят регрессию зависимости отношения цены к дивидендам от уровня дивидендов. Обнаружение нелинейной зависимости интерпретируется как наличие внутреннего пузыря. Авторы тестируют данную модель на индексе S&P с 1900 года по 1988 год. В качестве годовых цен они используют январские котировки акций, которые предварительно дефлируют на январский индекс цен производителей (ИЦП), а в качестве значений дивидендов - дивиденды за календарный год, дефлированные на среднегодовое значение индекса потребительских цен (ИПЦ). Результаты исследования показывают наличие существенного пузыря в индексе S&P в конце 1980-х годов. Эмпирическое подтверждение модели получают также Ма и Канас в более поздном исследовании (Ma, Kanas, 2004). Они исследуют более широкую выборку: временной ряд индекса S&P c 1871 года по 1996 год. Их результаты говорят о существовании долгосрочной нелинейной зависимости между ценами и дивидендами. Кроме этого, они сравнивают среднеквадратические ошибки прогноза модели и выясняют, что точность предсказаний цен, полученных моделью внутренних пузырей, существенно выше предсказаний модели случайного блуждания и разработанной на тот момент модели рациональных пузырей.

Но Гюркайнак (Gьrkaynak, 2008) в своей работе указывает на возможный недостаток модели. Он считает, что нелинейная зависимость следует не из-за наличия пузыря, а из-за неучтённых фундаментальных факторов цены. В исследования Акерта и Хантера (Ackert, Hunter, 1999), например, приводится такая же модель, где цена зависит только от фундаментальных факторов. Эти факторы ненаблюдаемы, но известны дивидендные выплаты. Авторы показывают, что эффект дивидендной политики менеджеров на отношение цены к дивидендам идентичен возможному эффекту внутренних пузырей. Таким образом, нелинейную зависимость можно объяснить не наличием внутренних пузырей, а политикой выплаты дивидендов менеджерами компаний.

Все эти вышеперечисленные тесты имеют ряд недостатков, кроме уже упомянутых другими исследователями, которые не позволяют их использовать на Российском рынке. Во-первых, для их использования нужно, чтобы компания выплачивала дивиденды. Во-вторых, требуются длинные временные ряды дивидендов и цен акций с одинаковым периодом. Так как российские компании обычно выплачивают дивиденды раз в год, то и ряд цен также должен быть годовым. Но если использовать годовые цены, то временной ряд для одной российской компании в самом оптимальном случае не превысит 25 наблюдений, что крайне мало для проведения теста.

Б) Тесты на переключения режимов

Холл в своей статье (Hall et al., 1999) модернизирует модель Дибы и Гроссмана и предлагает модель переключения режимов для выявления лопающихся пузырей. Он исследует временной ряд котировок на переход от стационарного состояния к состоянию взрывного роста с помощью расширенного теста Дики-Фуллера (ADF тест) В статье Дибы и Гроссмана тестировалось наличие единичного корня, а не взрывного роста.. Вероятность коррекции пузыря предполагается постоянной во времени и следует процессу Маркова первого порядка, когда вероятность события не зависит от прошлого. Если тест выявляет, что в одном режиме временной ряд нестационарен, а в другом стационарен, авторы делают вывод о смене режима и о наличии пузыря в цене актива. Авторы применяют данный тест для выявления пузырей в сформированных временных рядах по методу эксперимента Монте Карло. Результаты показывают хорошую способность теста определять искусственно сформированные пузыри, но авторы не тестируют данный метод на реальных ценах акций. Вместо этого они исследуют потребительские цены Аргентины периода 1983-1989 гг. на наличие в них рациональных пузырей. Авторы анализируют временные ряды потребительских цен, денежной базы и валютного курса Аргентины. Делается вывод о наличии пузыря, если тест обнаруживает смену режима только во временных рядах потребительских цен. А если смена режима происходит одновременно во всех трёх временных рядах, делается вывод, что рост цен вызван фундаментальными факторами. В итоге они обнаруживают, что гиперинфляция 1989 года была вызвана фундаментальными факторами, а 1988 года - возможным наличием пузыря в потребительских ценах.

Обобщение описанного выше теста предлагается в работе Адама Чека (Check, 2014). Он использует меняющиеся во времени параметры (time-varying parameters) в моделе Холла, чтобы модель позволяла тестировать наличие множественных пузырей с разными темпами роста. Данное обобщение может быть полезным в случае, если, например, во временных рядах присутствует два больших пузыря с высокими темпами роста, и один маленький пузырь с низким темпом роста. Стандартный тест Холла не смог бы выявить третий пузырь, так как он, при сравнении с двумя другими пузырями, был бы больше похож на стационарный процесс. В обобщённом же тесте коэффициенты модели будут разными для трёх пузырей: высокими для первых двух, и низким, но показывающими взрывной рост, для третьего пузыря. Предложенная модель тестируется только на сформированных временных рядах эксперимента Монте Карло, содержащих пузыри по типу Эванса (Evans, 1991). Результаты показывают, что обобщённый тест имеет приблизительно такую же силу при выявлении пузырей Эванса, что и стандартный тест. Этот факт, по нашему мнению, ставит под сомнение сравнительную эффективность обобщённого теста, но для более полной уверенности нужны дальнейшие исследования на реальных данных.

Однако тесты на переключение режимов не рекомендуется использовать для выявления пузырей на Российском рынке, так как для таких тестов требуются длинные временные ряды (Тихонов, Чиркова, 2014, стр. 37). Кроме этого, эти тесты позволяют тестировать только те пузыри, которые уже прошли через этап коррекции. Следовательно, их нельзя использовать для выявления существующих пузырей, что является одной из задач настоящего исследования.

В) Тесты на взрывной рост

Выявлять наличие пузыря, анализируя динамику движения цены, впервые было предложено Сорнеттом (Sornette, 2003). Он предлагает определять пузырь как рост цены актива, когда динамику цены можно описать уравнением так называемого закона лог-периодической силы (log-periodic power law):

В данном уравнении семь параметров: A, B, C, t_c, m, и ; где t_c показывает критический момент, когда пузырь лопается. Если цены акций можно описать данным уравнением с достаточной статистической уверенностью, то это явно будет указывать на нестабильный процесс в цене, то есть на пузырь. В соавторстве с другими исследователями он использует данный метод для выявления пузырей в ценах акций в режиме реального времени (Woodard et al., 2011). Они исследуют тысячи временных рядов для выявления в них пузыря. При выявлении пузыря исследователи составляют отчёт и загружают его на домен http://arxiv.org , где фиксируется дата загрузки файла. Отчёт делается доступным для чтения только по прошествии периода предсказания схлопывания пузыря, чтобы предотвратить спекуляции. В итоге примерно за три года исследования Первый отчёт был опубликован 2 ноября 2009 года в ценах 24-х из 27-и предсказанных акций обнаруживается пузырь, а также в ценах 17-и из 25-и акций происходят заметные коррекции в пределах предсказанного временного окна.

Недостатком данного способа определения пузыря является сложность оценки параметров предложенного уравнения. В уравнении семь параметров, следовательно, для адекватной оценки этих параметров нужны длинные временные ряды, что существенно осложняет её применение на Российском рынке. Кроме этого, данное уравнение описывает процесс развития пузыря, но тогда встаёт вопрос об определении начала этого процесса. Сорнетт в своей работе не предлагает способа определения момента, когда начинает зарождаться пузырь и начинает действовать этот закон лог-периодической силы.

Первый способ выявления момента развития пузыря в цене актива ещё до того, как этот пузырь лопнет Так утверждается в статье Watanabe et al., 2007, предлагается в работе Ватанабе (Watanabe et al., 2007). Он в своём исследовании отталкивается от работы Сорнетта (Sornette, 2003) и предлагает определять пузырь по взрывному росту цены. Ватанабе вводит следующую формулу

и оценивает её параметры методом наименьших квадратов для акций YHOO, SUNW и CSCO в период интернет бума 2000-х годов. Вначале уравнение оценивается для подвыборки наблюдений цен размером Т_i. Затем эта подвыборка временных рядов смещается на одно значение вправо и заново оценивается то же уравнение. Если , автор делает вывод, что цена либо экспоненциально растёт, либо экспоненциально падает. Это даёт основания полагать, что в цене образовался пузырь, так как по мере прохождения времени скорость роста или падения цены увеличивается. Если , то цена следует процессу случайного блуждания, а если - цена сходится к значению

Стоит отметить, что, несмотря на простоту в использовании и способность определять момент появления пузыря, у данного теста есть один недостаток. Дело в том, что если , то цена не будет стационарным процессом, и поэтому нельзя пользоваться обычной t-статистикой для проверки гипотез. Поэтому в данной работе при применении данного теста мы будем пользоваться ADF-статистикой.

В недавних статьях Филлипса (Phillips et al., 2011, 2015) предлагается для тестирования пузырей использовать разработанный им супремум ADF тест (SADF тест) и обобщённый супремум ADF тест (GSADF тест). Первый тест он предлагает использовать для выявления лопающихся единичных пузырей, а второй для множественных пузырей (multiple bubbles). Идея этих тестов базируется на предположении, что взрывной рост цен является показателем наличия пузырь составляющей в цене актива. Тестируется нулевая гипотеза о единичном корне против альтернативной гипотезы о взрывном росте цен. Данный тест является односторонним, то есть рассчитанные статистики сравниваются только с верхними критическими значениями распределения Дики-Фуллера. При SADF тесте простой ADF тест повторяется множество раз на расширяющейся на один период подвыборке основной выборки. При GSADF эта процедура дополняется изменением самой подвыборки, то есть подвыборка смещается на один период вперёд и заново проделывается SADF тест. Филлипс проводит и эмпирическое исследование с помощью разработанного SADF теста (Phillips et al., 2011) и GSADF теста (Phillips et al., 2015). С помощью первого теста он анализирует реальные (дефлированные с помощью индекса потребительских цен) месячные котировки индекса NASDAQ, за период с февраля 1973 года по июнь 2005 года Всего 389 наблюдений.. Применение обычного ADF теста не выявляет наличие пузыря, а примение SADF теста показывает его присутствие в период с середины 1995 года по начало 2001 года на 1%-ном уровне значимости. Методология же GSADF теста применяется для более широкой выборки: Филлипс анализирует индекс S&P для периода с января 1871 года по декабрь 2010 года. Он показывает, что предложенный тест верно определяет все известные исторические случаи взрывного роста и краха, включая период великой депрессии, послевоенный бум 1954-го, чёрный понедельник октября 1987-го года и пузырь доткомов.

Неоспоримым преимуществом предложенных тестов является возможность выявления даты начала пузыря. Начальной датой пузыря предлагается считать тот момент, когда рассчитанная ADF-статистика для последнего включённого наблюдения оказывается выше критического значения, полученного методом Монте Карло. Ещё одним преимуществом является способность выявить эту дату по мере роста пузыря, не дожидаясь его коррекции. Кроме этого, как отмечают Тихонов и Чиркова в своём исследовании (Тихонов, Чиркова, 2014, стр. 37), для проведения SADF теста нет необходимости в использовании длинных временных рядов, и не требуется статистика по дивидендам. Последнее преимущество можно отнести и к GSADF тесту.

Г) Тесты на строгий локальный мартингал

Тест на строгий локальный мартингал является, пожалуй, самым новым тестом на наличие пузыря, который был в полной мере разработан только в начале 2010 года. Данный тест впервые был предложен в работе Джерроу (Jarrow et al, 2011). В статье показывается, что если процесс цены является строгим локальным мартингалом, то можно утверждать о наличии пузыря. При исследовании на мартингал, авторы используют теорему, что процесс является строгим локальным мартингалом если и только если

для всех . Следовательно, задача сводится к исследовании асимптотической волатильности цены: если волатильность цены актива достаточно высока, то можно утверждать о присутствии пузыря. Для экстраполяции функции волатильности на всю положительную ось, предлагается использовать либо параметрические функции, либо метод порождающих пространств Кернела Хилберта (reproducing Kernel Hilbert spaces), при этом последнему отдаётся предпочтение. Разработанная методология используется для тестирования четырёх акций на наличие в их ценах пузыря во время бума доткомов 1998-2001 гг. Авторы используют тиковые данные по ценам акций. Их результаты показывают, что использование разработанного метода может дать однозначный ответ на наличие или отсутствие пузыря в большинстве случаев.

Данный метод используется и в недавней работе Обаяши (Obayashi et al., 2015), посвящённому исследованию жизненных циклов пузырей. Авторы замечают, что разработанный метод иногда даёт ложные сигналы, поэтому они дополняют его использованием скрытой модели Маркова (a Hidden Markov Model) и 5%-го фильтра. Последнее дополнение означает, что фиксируется рождение (конец) пузыря, когда цена растёт (падает) на 5% после получения сигнала о достаточно высокой волатильности цены. Используя данную процедуру для тиковых цен с 5-и минутным интервалом для 3000 акций, авторы выявляют в сумме 13 060 пузырей для периода с 2000 года по 2013 год, что в среднем даёт 4 пузыря на акцию за 13 лет наблюдений.

Отличительной особенностью теста на строгий локальный мартингал является то, что его можно использовать для выявления очень непродолжительных пузырей при наличии тиковых данных по ценам. Например, в работе Проттера (Protter, 2013) с помощью данного метода исследуется наличие пузыря в акции LinkedIn для четырёхдневного Рабочие дни. периода: с 19 по 24 мая 2011 года. Там же проводится исследование цены золота с 25 августа по 1 сентября 2011 года на наличие пузырей с использованием ежесекундных тиковых цен. Но у данной особенности есть и недостатки. Например, при применении данного метода на Российском рынке для выборки с 2000 года возникнут трудности с получением тиковых данных по ценам. Во-первых, тиковых данных такой давности нет в открытом доступе. Во-вторых, на Российском рынке акций 2000-го года существовало малое количество ликвидных акций с достаточным количеством тиковых данных за день, чтобы по ним можно было оценить дневную волатильность.

Д) Исследования Российского рынка

На данный момент существует очень мало исследований Российского рынка акций на наличие пузырей. Это связано с тем, что эконометрический аппарат, позволяющий выявлять пузыри без использования дивидендов и длинных временных рядов, был разработан только в конце 2000-х - начале 2010-х гг. С тех пор было опубликовано два исследования, посвящённых рынку акций, в которых использовались последние предложенные методы тестирования.

В исследовании Тихонова и Чирковой (Тихонов, Чиркова, 2014) тестируется наличие пузыря на Российском рынке акций телекоммуникационных компаний в конце 1990-х годов, когда подобный пузырь был зафиксирован на рынке NASDAQ. Работа основана на использовании метода SADF для выявления взрывного процесса в дневных ценах акций десяти Российских телекоммуникационных компаний и в построенном индексе телекомов. Авторы предварительно дефлируют цены, используя месячные данные по инфляции и предполагая, что дневная инфляция была одинаковой внутри месяца. Результаты проведённого исследования не отвергают гипотезу о наличии пузыря в ценах акций Российских телекоммуникационных компаний и в построенном индексе телекомов.

В работе Чанга и Гупты (Chang, Gupta, 2014) исследуется рынки акций стран БРИКС на наличие множественных пузырей. Авторы для тестирования используют метод GSADF. Их метод основан на тестировании временных рядов отношений цены к дивидендам для выявления в них взрывного поведения В исследовании не указано, какие акции, или какой индекс тестируется. Мы предполагаем, что авторы тестируют индекс РТС. . Чанг и Гупта используют месячные данные для периода с сентября 1997 года по февраль 2013 года. Результаты исследования показывают, что на рынке акций России был пузырь во время ипотечного кризиса, как и в остальных странах БРИКС. Кроме этого, авторы обнаруживают наличие пузыря в середине 2005 года. В 2005 году акции выросли на 83%, и за первые два месяца 2006 года прирост составил 30,5% по сравнению с остальными зарубежными рынками. Этот рост объясняется притоком иностранных инвестиций и нефтедолларов (Chang, Gupta, 2014, p. 10).

Методология отмеченных выше исследований отличается тем, что Тихонов и Чиркова (Тихонов, Чиркова, 2014) исследуют на взрывной рост цены акций, а Чанг и Гупта (Chang, Gupta, 2014) исследуют взрывной рост месячных обратных дивидендных доходностей (цена/дивиденды). На наш взгляд, метод Тихонова и Чирковой более правильный и лучше подходит для Российского рынка. Во-первых, не все Российские компании регулярно выплачивают дивиденды, следовательно, не всегда есть возможность рассчитать обратную дивидендную доходность. Во-вторых, метод Чанга и Гупты (Chang, Gupta, 2014) чрезвычайно чувствителен к изменению дивидендов. Если дивиденды на акцию будут близки к нулю, то месячная обратная дивидендная доходность будет стремиться к бесконечности. Её значение почти не изменится, даже если в течение года цена будет очень волатильной. Следовательно, использование месячных данных по ценам и годовых данных по дивидендам приводит к ещё большей чувствительности к изменению дивидендов. Но использовать данные по дивидендам с большей периодичностью Например, полугодовые, квартальные или месячные. невозможно, так как Российские компании выплачивают дивиденды только раз в год. С учётом названных выше особенностей, мы будем исследовать на взрывной рост только цены акций.

Выводы к первой главе

В данной главе были рассмотрены теория рациональных пузырей, разработанные эмпирические тесты на выявление пузырей и основные работы по выявлению пузырей на Российском рынке акций. Было выявлено, что рыночную цену акции можно разбить на две составляющие: фундаментальную цену и пузырь-составляющую. Пузырь-составляющая не может быть отрицательной и может появиться в цене акции только в момент начала торговли им. Но, как было показано предыдущими исследователями, она долгое время может оставаться чрезвычайно маленькой величиной, а потом внезапно начать расти с ускоряющимся темпом.

На основе обзора литературы, нами было выделено четыре условных вида тестов: ранние тесты, тесты на переключение режимов, тесты на взрывной рост и тесты на строгий локальный мартингал. Было показано, что для достижения цели нашего исследования лучше всего подходят тесты на взрывной рост, а именно три их типа: тест Ватанабе, SADF и GSADF. Обзор исследований Российского рынка акций показал, что на данный момент существует очень мало работ, которые бы исследовали пузыри на этом рынке. На основе обзора данных работ было выявлено и обосновано, что для обнаружения пузыря необходимо исследовать месячные цены акций на взрывной рост.

Глава 2. МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ

На основе обзора литературы была разработана методология тестирования на наличие пузырей в ценах акций, входящих в индекс голубых фишек Московской биржи. Были отобраны три теста, которые бы учитывали специфику российского рынка акций, и на их основе был сформирован сам процесс тестирования. Ниже приводится описание отобранных тестов и подробно излагается процесс тестирования.

Основная идея отобранных тестов состоит в том, что рациональный пузырь в составе цены приводит к её взрывному росту. Следовательно, переход из процесса свободного блуждания к режиму взрывного роста может рассматриваться как свидетельство развития пузыря в цене актива (Homm, Breitung, 2012, p. 229).

2.1 RADF тест

Ватанабе в своей работе (Watanabe et al., 2007) предлагает оценивать следующую модель методом наименьших квадратов:

,

где - рыночная цена акции, - независимые и нормально распределённые ошибки модели, - значение, к которому сводится цена при . Делается вывод о взрывном росте цены и об образовании пузыря, если В статье не приводится статистика, с помощью чего можно тестировать гипотезу В этой работе мы будем тестировать гипотезу против альтернативной с помощью ADF-статистики.

Для наглядности преобразуем формулу (5) и запишем её в виде:



где , . Идея состоит в том, чтобы последовательно оценивать данную модель для разных подвыборок основной выборки с фиксированным числом наблюдений (окно) и вычислять ADF-статистику для каждой из них. Это можно записать в следующем виде:

где показывает долю подвыборки в основной выборке (), и - границы подвыборки выраженные в долях (). В недавней работе Филлипс (Phillips et al., 2015) предлагает устанавливать Далее тестиуется гипотеза об отсутствии пузыря в выборке:

Для этого вычисляется Rolling ADF (RADF) статистика «Чередующаяся» ADF статистика, которая определяется как супремум значение последовательности рассчитанных статистик :

Рассчитанная RADF-статистика сравнивается с критическим значением RADF-статистики, полученным методом Монте Карло с 1000 образцами (replicants). Данный тест является правосторонним тестом, в отличие от обычного теста Дикки-Фуллера на стационарность, поэтому нулевая гипотеза отвергается, если расчетная статистика оказывается выше критического значения. Если нулевая гипотеза отвергается, тогда оценивается начальный и конечный момент пузыря.

Для определения начального и конечного момента пузыря будет использована процедура, предложенная Филлипсом (Phillips et al., 2011). Точкой возникновения пузыря объявляется наблюдение, когда первое его включение в выборку привело к пересечению ADF-статистикой критической линии, рассчитанной методом эксперимента Монте Карло с 1000 образцами для фиксированного числа наблюдений, снизу вверх. Тогда точкой сдутия пузыря будет то хронологическое наблюдение после точки возникновения пузыря, когда первое его включение в выборку привело к пересечению ADF-статистикой критической линии сверху вниз. Филлипс (Phillips et al., 2011) предлагает установить также фильтр для определения пузыря: чтобы идентифицировать период взрывного поведения цены как пузырь, его длина должна первышать величину

.

Таким образом, в качестве основных этапов данного теста можно выделить:

1) Из основной выборки выделяется подвыбока;

2) Для данной подвыборки оценивается регрессия (6) методом наименьших квадратов;

3) Рассчитывается ADF-статистика по формуле (7);

4) Окно сдвигается на одно наблюдение вправо и повторяется процедура (2)-(3);

5) Повторяется процедура (4), пока для всех подвыборок с фиксированным окном не будет рассчитана ADF-статистика;

6) Рассчитывается RADF-статистика по формуле (9);

7) Тестируется гипотеза об отсутствии взрывного роста;

8) Если эта гипотеза отвергается, тогда оценивается начальный и конечный момент пузыря.

Стоит отметить, что недостатком теста является то, что размер окна остаётся фиксированным. Поэтому для более полного анализа также необходимо проделать SADF-тест.

2.2 SADF тест

Этот тест был предложен в работе Филлипса, опубликованном в 2011-ом году (Phillips et al., 2011). В более позднем исследовании Филлипс (Phillips et al., 2015) показывает, что SADF тест предпочтительнее использовать, чем обобщённый SADF, при выявлении единичных пузырей, тем более если они в начале выборки.

В работе Филлипса (Phillips et al., 2011) предлагается оценивать методом наименьших квадратов следующую модель для последовательно расширяющейся подвыборки:

Одним из отличий метода SADF от рассмотренного ранее RADF теста является использование лаговых переменных. Правильный выбор лаговых переменных позволяет избавиться от возможной гетероскедастичности в ошибках модели. Для выбора количества лага в модели будет использован информационный критерий Хеннана-Куинна (Hannan-Quinn information criterion - HQC), при этом значение максимально возможного лага составит пять.

Следующее отличие заключается в фиксировании значения . Таким образом, сначала выбирается начальное окно , которое затем каждый раз расширяется на одно наблюдение вправо, пока не будет оценена модель (10) для всей выборки. Начальное окно будет выбираться по предложенной Филлипсом формуле (Phillips et al., 2015) ADF-статистика будет рассчитываться тем же способом:

Тестируется гипотеза об отсутствии единичного пузыря в выборке, что формально можно записать как:

Для этого используется SADF-статистика:

Если расчётная статистика будет выше критического значения, полученного методом Монте Карло с 1000 образцами, тогда можно начать процедуру выявления момента появления и сдутия пузыря. Эта процедура соответствует процедуре при использовании RADF (Rolling ADF) теста, отличие состоит только в использовании разных подвыборок основной выборки.

Филлипс (Phillips et al., 2015) отмечает, что данный тест верно выявляет первый пузырь в выборке, но может не заметить второй по счёту пузырь если он будет меньшим по размеру. Таким образом, учитывая то что в нашей выборке присутствует бум и кризис второй половины 2000-го года, данный тест нельзя использовать для тестирования пузырей 2010-х годов. SADF тест сможет заметить возможный пузырь этого периода, только если он по размеру не будет уступать пузырю 2008-го года. Следовательно, чтобы выявить возможный пузырь второго десятилетия 2000-х годов необходимо воспользоваться обобщённым SADF тестом.

2.3 GSADF тест

Данный тест является обобщением предыдущих двух тестов и был разработан в недавней работе Филлипса (Phillips et al., 2015). GSADF применяется для выявления множественных пузырей.

При использовании этого теста, для разных подвыборок с меняющимся размером окна и меняющимся начальным моментом оценивается модель (10) таким же способом, как и при SADF тесте, и рассчитывается ADF-статистика согласно формуле (7). Далее тестируется гипотеза об отсутствии множественных пузырей:

Для этого рассчитывается GSADF-статистика и сравнивается с критическим значением теоретической GSADF-статистики, полученной методом Монте Карло с 1000 образцами:

Если нулевая гипотеза отвергается, то проводится процедура идентификации пузыря.

Для определения даты возникновения и сдутия пузыря при методе GSADF Филлипс (Phillips et al., 2015) рекомендует использовать немного отличный метод идентификации, основанный на использовании обратного SADF (Backward SADF - BSADF). Обратный SADF - это SADF, который используется для выборки в обратном хронологическом порядке. Если при SADF первая подвыборка начиналась с первого наблюдения и расширялась в направлении последнего, то при BSADF данная процедура выполняется в точности наоборот (см. рис. 1).

Рисунок 1. Обратный SADF (BSADF)

Таким образом, моментом возникновения пузыря будет то наблюдение, при включении которого расчетная обратная ADF-статистика превысила критическое значение обратной ADF-статистики. А моментом сдутия пузыря будет то наблюдение, когда его включение привело к пересечению расчётной обратной ADF-статистикой критического значения ADF-статистики сверху вниз.

Выводы ко второй главе

Во второй главе были проанализированы методологии тестирования трёх ранее отобранных тестов. Предложенный тест Ватанабе (Watanabe et al., 2007) был дополнен разработанной ADF-статистикой для взрывных процессов (Phillips et al., 2011), что позволило её усовершенствовать для тестирования пузырей и идентификации периода “жизни” пузыря.

Для тестирования гипотезы о единичных пузырях была разобрана методология SADF теста. Было выявлено, что данный тест отлично подходит для тестирования наличия пузыря в предкризисный период 2008-го года, а также для определения момента появления пузыря в цене акции для этого периода. Во второй главе также была рассмотрена методология GSADF теста для выявления множественных пузырей. Данный тест было предложено использовать для определения посткризисных пузырей, для чего была разобрана методология идентификации с использованием обратного SADF теста (метод BSADF).

Глава 3. ТЕСТИРОВАНИЕ ПУЗЫРЕЙ

3.1 Данные

Исследование основано на ежемесячных данных по ценам акций, входящих в индекс голубых фишек (RTSSTD) опубликованных для периода с 16 декабря 2015 года по 15 марта 2016 года http://moex.com/a3565 (дата обращения: 02.04.2016). В это время данный индекс включал 16 акций. Были отобраны 14 обыкновенных акций (Газпром, Алроса, Северсталь, Норильский Никель, Лукойл, Магнит, МТС, Новатэк, Роснефть, Сбербанк, Сургутнефтегаз, Татнефть, Уралкалий, ВТБ) и одна привилегированная акция компании Сургутнефтегаз. В выборку не была включена привилегированная акция компании Транснефть, так как в середине 2000-х годов она не была достаточно ликвидной, и по некоторым месяцам отсутствовали данные по её ценам.

Период наблюдения охватывает период с января 2000 года по март 2016 года для компаний, сделавших первичное размещение акций до начала 2000 года. Временной ряд цен компаний, разместивших акции после 2000 года, охватывает период с момента IPO и до марта 2016 года. Максимальная длина временных рядов цен равна 195 наблюдениям, минимальная - 53, в среднем - 134 наблюдения.

Все месячные данные по ценам были взяты с сайта ФИНАМ http://www.finam.ru/ (дата обращения: 01.04.2016). Все цены представлены в рублях и были предварительно дефлированы к моменту первого наблюдения. Цены акций компаний Магнит, Сбербанк и ВТБ были дефлированы с помощью индекса потребительских цен (ИПЦ), цены акций остальных компаний - с помощью индекса цен производителей (ИЦП). Значения дефляторов ИПЦ и ИЦП были рассчитаны с помощью данных, ежемесячно публикуемых Росстатом http://www.gks.ru/ (дата обращения: 25.04.2016). Данные значение можно увидеть в приложении 1 и 2, соответственно.

Период наблюдения за акцией Сбербанка включает момент дробления акций. Так, в июле 2007 года одна акция Сбербанка была разделена на 1000 акций http://ria.ru/company/20070712/68858057.html (дата обращения: 02.04.2016). Поэтому для периода до июля 2007 года в качестве значений цен нами была использована одна тысячная цены этого периода.

3.2 Результаты

Результаты трёх проведённых тестов можно увидеть в таблице 1 и 2. Гипотеза об отсутствии пузыря тестировалась на 1% уровне значимости. Для этих акций были идентифицированы периоды пузыря, при этом использовался фильтр, что длина пузыря должна превышать логарифм числа наблюдений: .

По итогам этих тестов можно выделить шесть акций, в которых ни один тест не заметил пузыри в течение всего периода наблюдения - это акции компаний Газпром, МТС, Роснефть, Новатэк, Уралкалий и ВТБ. Также можно выделить акции, на присутствие пузыря в цене которых указал только RADF тест. Это обычные акции компаний Северсталь и Сургутнефтегаз. Если проанализировать динамику их цен (см. рис. 2 и 3), можно заметить, что цена акции Северстали очень быстро вернула себе позиции (где-то за 3 месяца) после краха указанного пузыря начала 2015-го года. Следовательно, мы предполагаем, что это был не пузырь, а ложный сигнал RADF теста. Цена же Сургутнефтегаза, наоборот, после краха пузыря вот уже в течение десяти лет не может достигнуть уровня пика конца 2005-го года. Причём эти десять лет компания устойчиво

Таблица 1. RADF тест на наличие пузыря

RADF
Название компании	N	Начало наблюдения	Окно (rw*N)	Нулевая гипотеза ()	Дата возникновения пузыря	Дата сдутия пузыря	Длительность пузыря (мес.)
Алроса	123	Январь 2006	21	Отклоняется	Декабрь 2014	Февраль 2015	3
Северсталь	53	Ноябрь 2011	14	Отклоняется	Декабрь 2014	Март 2015	4
Газпром	130	Май 2006	22	Не отклоняется	-	-	-
НорНикель	174	Январь 2001	25	Отклоняется	Сентябрь 2003*	Март 2004	7
Лукойл	195	Январь 2000	27	Отклоняется	Октябрь 2005	Апрель 2006	7
Магнит	119	Май 2006	21	Отклоняется	Сентябрь 2008	Декабрь 2008	4**
					Февраль 2013	Декабрь 2013	11
МТС	150	Октябрь 2003	24	Не отклоняется	-	-	-
Новатэк	116	Август 2006	21	Не отклоняется	-	-	-
Роснефть	117	Июль 2006	21	Не отклоняется	-	-	-
Сбербанк	195	Январь 2000	27	Отклоняется	Июнь 2005	Март 2007	22
					Октябрь 2008	Апрель 2009	7**
Сургутнефтегаз	195	Январь 2000	27	Отклоняется	Февраль 2006	Июль 2006	6
Сургутнефтегаз (прив.)	195	Январь 2000	27	Отклоняется	Январь 2006	Июль 2006	7
Татнефть	172	Декабрь 2001	25	Отклоняется	Август 2005	Май 2006	10
Уралкалий	101	Ноябрь 2007	19	Не отклоняется	-	-	-
ВТБ	107	Май 2007	20	Не отклоняется	-	-	-

* - Приблизительная дата, для данного периода невозможно рассчитать ADF-статистику и соответствующее критическое значение.

** - Антипузырь.

Источник: рассчёты автора.

Таблица 2. SADF и GSADF тесты на наличие пузыря

	SADF	GSADF
	Нулевая гипотеза	Дата возникн	Дата сдут	Длит пузыря (мес.)	Нулевая гипотеза	Дата возник	Дата студия	Длит пузыр мес.
Алроса	Не отклон	-	-	-	Отклон	Июль 2014	Сент 2014	3
						Ноябрь 2014	Апр 2015	6
Северсталь/ Газпром/ МТС/ Новатэк/ Роснефть	Не отклон	-	-	-	Не отклон	-	-	-
НорНикель	Не отклон	-	-	-	Отклон	Сент 2003*	Март 2004	7
						Сент 2007	Дек 2007	4
						Дек 2014	Март 2015	4
Лукойл	Не отклон	-	-	-	Отклон	Октяб 2005	Апрель 2006	7
Магнит	Не отклон	-	-	-	Отклон	Сент 2008	Ноя 2008	3**
						Март 2013	Февр 2014	12
Сбербанк

Страница:

•  1 
•  2 

курсовая работа "Тестирование финансовых пузырей" скачать

Подобные документы

• Российский рынок акций: анализ и перспективы развития

  История развития финансового рынка России, сущность и виды акций. Фондовый рынок и крупнейшие эмитенты российского рынка акций, рынок акций "второго эшелона". Влияние мирового финансового кризиса на российский рынок, современное состояние рынка акций.
  
  курсовая работа [350,2 K], добавлен 18.04.2010
  

• Российский рынок акций: современное состояние проблемы и перспективы развития

  Место и роль российского рынка акций в экономических отношения. Оценка динамики объема, состава и структуры фондовой системы. Анализ места рыночной концепции ценных бумаг в системе финансовых механизмов. Исследование капитализации компаний России.
  
  курсовая работа [607,8 K], добавлен 16.09.2017
  

• Российский рынок акций

  Понятие и свойства, виды цен и классификация, доходность акций; обыкновенные и привилегированные акции. Фундаментальные факторы развития российского рынка акций, крупнейшие эмитенты рынка. Акции "второго эшелона", современный рынок первичного размещения.
  
  курсовая работа [43,9 K], добавлен 09.11.2009
  

• Методы оценки обыкновенных акций

  Сущность и классификация акций, определение номинальной цены обыкновенных акций. Инвестиции в обыкновенные акции, осуществляемые частным инвестором в условиях формирующегося фондового рынка. Сравнение счетов прибылей и убытков, дисконтирование дивиденда.
  
  контрольная работа [1,4 M], добавлен 27.06.2013
  

• Исследование влияния долгового рынка на конъюнктуру рынка акций

  Юридический и экономический подходы к определению ценной бумаги. Рынок ЦБ как инструмент привлечения денежных средств, его функции, перспективы развития. Факторы, определяющие конъюнктуру российского рынка акций. Размещение долговых активов на РЦБ.
  
  курсовая работа [175,0 K], добавлен 03.05.2016
  

• Финансовые активы как объект инвестирования финансового менеджера

  Виды финансовых активов: их характеристика. Соотношение риска и доходности финансовых активов. Модели оценки акций и облигаций. Стоимость капитала компании. Реструктуризация как инструмент управления ростом компании. Управление структурой капитала.
  
  курсовая работа [186,4 K], добавлен 24.11.2013
  

• Оценка рыночной стоимости 100% пакета акций ОАО "Вертикаль"

  Теоретическое изучение основных методов оценки стоимости бизнеса и подходов компаний к оценке стоимости акций. Выявление и анализ особенностей оценки стоимости обыкновенных акций. Проведение оценки рыночной стоимости 100% пакета акций ОАО "Вертикаль".
  
  дипломная работа [322,7 K], добавлен 04.08.2012
  

• Финансовые инструменты рынка ценных бумаг

  Ценные бумаги как основной вид финансовых инструментов инвестирования. Основные свойства ценных бумаг. Понятие финансового фьючерса. Инвестиционные сертификаты. Основные показатели характеристики акций. Конвертируемые облигации и привилегированные акции.
  
  реферат [18,7 K], добавлен 20.03.2009
  

• Финансовые инвестиции предприятия: виды ценных бумаг и определение их доходности

  Понятие финансовых инвестиций. Определение доходности ценных бумаг. Основные формы финансового инвестирования. Доходность акций, облигаций и векселей. Ценные бумаги как разновидность финансовых инвестиций. Эффективное управление капиталом предприятия.
  
  курсовая работа [42,6 K], добавлен 26.10.2009
  

• Анализ долгосрочной доходности при проведении размещений акций российскими компаниями

  Мотивы и интересы сторон в размещении акций, преимущества и недостатки, процедура проведения. Особенности вторичных размещений акций (SPO). Анализ долгосрочной доходности при проведении размещений акций российскими компаниями, обзор рынка в России.
  
  дипломная работа [2,0 M], добавлен 03.07.2017
  

Другие документы, подобные "Тестирование финансовых пузырей"

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам