Исследование методов синтеза регуляторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Пензенский государственный университет

Кафедра «Автоматика и телемеханика»

Пояснительная записка

к курсовой работе по дисциплине

«Теория автоматического управления»

на тему: Исследование методов синтеза регуляторов

Выполнил: ст.гр. 13ПН1

Кузнецов Д.Н.

Проверила: к.т.н., доцент

Авдеева О.В.

Пенза, 2016



Пояснительная записка содержит 20 листов формата А4, 14рисунков, 1 приложение, 4 источника.

ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ, УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ, ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ, КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ, АКОР, МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ, ПИД РЕГУЛЯТОР, MATLAB

Цель работы - для заданной системы найти оптимальное управление, которое будет соответствовать некоторым критериям качества.

В результате выполнения курсовой работы найдены коэффициенты регуляторов. Построены ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с различными регуляторами в Matlab. Построены переходные характеристики системы с различными регуляторами. Выполнено моделирование системы в Simulink.



Содержание

1. Описание объекта управления

2. Математическая модель объекта управления

3. Синтез регуляторов

3.1 ПИД регулятор

3.1.1 Краткие теоретические сведения

3.1.2 Определение значения коэффициентов

3.2 Модальное управление

3.2.1 Краткие теоретические сведения

3.2.2 Определение значения коэффициентов

3.3 Метод АКОР

3.3.1 Краткие теоретические сведения

3.3.2 Определение значения коэффициентов

Заключение

Список литературы

Приложения



1. Описание объекта управления

Система регулирования уровня пароводяной смеси в котле

Система регулирования уровня предназначена для стабилизации уровня раздела пароводяной смеси в котле на уровне 1,2 м.

Работа системы (см. рис.). При изменении нагрузки котла изменяется и уровень воды в его барабане. Это изменение воспринимается уровнемером, импульс с которого воздействует на регулятор питания, который воздействуя на исполнительный орган изменяет подачу воды в котел, компенсируя первоначальное изменение уровня. вспомогательный контур регулирования по расходу пара компенсирует возмущения вызванные изменением расхода пара и реализует принцип регулирования по возмущению. Второй внутренний контур регулирования подачи воды образует каскадную схему регулирования подачи с введением дополнительного регулятора расхода воды.

Входной (регулирующей) величиной объекта системы регулирования уровня, является положение задвижки, измеряемое датчиком положения. Выходной (регулируемой) величиной - уровень воды в котле, измеряемый датчиком уровня.



Рисунок 1 - Структурная схема объекта управления

2. Математическая модель объекта управления

Передаточная функция объекта:

Проведем моделирование системы в Simulink'е.

Рисунок 2 - Моделирование системы

Переходная характеристика замкнутой системы имеет следующий вид:

Рисунок 3 - Переходная характеристика замкнутой систем

Так как в системе есть запаздывание мы поменяем модель на аналогичную.

Передаточная функция замкнутой системы равна:

Разложим экспоненту в знаменателе в ряд Тейлора

Получим (ограничимся двумя - тремя членами):

Рисунок 4 - Аппроксимация системы



3. Синтез регуляторов

3.1 ПИД регулятор

3.1.1 Краткие теоретические сведения

Классическая схема управления с единичной отрицательной обратной связью показана на рис.1.

Рисунок 5 - Управление с отрицательной обратной связью

Назначение регулятора системы заключается в коррекции динамических свойств объекта управления с помощью управляющего сигнала u(t) так, чтобы реальный выходной сигнал y(t) как можно меньше отличался от желаемого выходного сигнала g(t). Регулятор вырабатывает управление, используя ошибку регулирования е(t)=g(t)-y(t).

Для оценки динамических свойств системы часто рассматривается реакция на единичное ступенчатое воздействие. Переходный процесс должен отвечать заданным показателям качества, к которым относятся время переходного процесса, перерегулирование и колебательность. Могут быть также использованы интегральные оценки качества переходного процесса.

ПИД-регулятор (пропорционально-интегро-дифференциальный) получили самое широкое распространение при управлении производственными и технологическими процессами. Основное уравнение имеют вид:



, (1)

где -константы, выбираемые в процессе проектирования. С их помощью удаётся обеспечить соизмеримость отдельных слагаемых формулы(1).

Дифференциальная составляющая в формуле(1) позволяет повысить быстродействие регулятора, предсказывая будущее поведение процесса.

Интегральная составляющая в формуле(1) призвана ликвидировать статические ошибки управления, поскольку интеграл даже от малой ошибки может быть значительной величиной, вызывающей реакцию регулятора.

Хотя ПИД-регулятор представляет собой систему второго порядка, его можно успешно применять для управления процессами, имеющими более высокий порядок. Это вызвано возможностью аппроксимации многих систем высокого порядка системами второго порядка.

На практике часто используются упрощённые версии ПИД-регулятора - П-, И-, ПД- и ПИ-регуляторы, описываемые соответственно формулами:

(2)

(3)

(4)

(5)

При большом значении коэффициента усиления П- и И- регуляторы ведут себя как двухпозиционное реле. Существует инженерный подход к синтезу ПИД-регуляторов - методика Зиглера-Николса, которая предполагает следующие шаги:

1) Коэффициенты k_d и k_i устанавливаются равными нулю, а коэффициент k_p увеличивается до тех пор, пока система не потеряет устойчивость.

2) Предельное значение k_p обозначается как k_u, а период автоколебаний как p_u.

3) Значения коэффициентов ПИД-регулятора рассчитываются по формулам:

k_p = 0.6k_u, k_i = 1.2(k_u/p_u), k_d = 3k_up_u /40,

3.1.2 Определение значений коэффициентов ПИД регулятора

Для определения значений коэффициентов ПИД регулятора используем автоматическую настройку. Для автоматической настройки нужно нажать на tune в меню ПИД регулятора и путем настройки времени переходного процесса (settling time) и поведения переходного процесса (transient behavior) настроить желаемый переходной процесс. Также здесь можно здесь можно увидеть характеристики системы до и после изменения переходной характеристики.



Рисунок 6 - Настройка ПИД регулятора

Рисунок 7 - Моделирование ПИД регулятора в Simulink



Рисунок 8 - Переходные характеристики систем без(с) ПИД регулятора(ом)

Как видно из рисунка (8) с помощью ПИД регулятора уменьшились время переходного процесса (в несколько раз), перерегулирование и система стала более устойчивой, а также сильно уменьшилась колебательность системы.

3.2 Модальное управление

3.2.1 Краткие теоретические сведения

Состояние системы - это совокупность таких переменных, знание которых позволяет, при известном входе и известных уравнениях динамики, описать будущее состояние системы и значение ее выхода. Выбор переменных состояния неоднозначен.

Метод пространства состояний достаточно универсален, его можно применять для нелинейных систем многомерных систем. Для начального знакомства с этим подходом ниже рассматриваются линейные одномерные системы (или SISO - Single Input Single Output), уравнения состояний которых имеют следующий общий вид:

(7)

где X(t) - вектор-столбец состояния [n Ч 1]; А - матрица коэффициентов объекта [n Ч n]; В - матрица входа [n Ч 1]; u(t) - сигнал управления; Y - вектор выхода [k Ч 1]; С - матрица выхода [1 Ч n]; D - матрица влияния входа непосредственно на выход системы [n Ч 1] (часто полагают D = 0).

Уравнения состояния SISO - системы в развернутом виде:

Система, описываемая матрицами А и В, является управляемой, если существует такое неограниченное управление u(t), которое может перевести объект из начального состояния X(0) в любое другое состояние X(t).

Для SISO - системы с одним входом и одним выходом вводится понятие матрицы управляемости (размером n Ч n):



Если детерминант этой матрицы отличен от нуля, то система управляема.

Модальное синтез предполагает формирование таких обратных связей по состоянию, при которых обеспечивается заданное расположение полюсов замкнутой системы. Модой называется составляющая решения дифференциального уравнения, соответствующая конкретному полюсу.

Расположение полюсов в основном определяет характер переходного процесса в системе. Обычно рассматриваются такие корневые оценки качества переходного процесса, как степень устойчивости и колебательность.

Для оценки быстродействия системы используется понятие степени устойчивости з, под которой понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (потому что корни, имеющие наименьшую по модулю вещественную часть, дают в переходном процессе наиболее медленно затухающую составляющую).

Время переходного процесса t_п можно приближенно оценить по формуле:

Запас устойчивости системы оценивается колебательностью. Система имеет склонность к колебаниям, если характеристическое уравнение содержит комплексные корни з_1,2= -б ± jв. Колебательность оценивается по формуле:

.

Для объекта, заданного уравнениями состояния (7), управление по состоянию описывается выражением:

(8)

где К - вектор коэффициентов обратной связи.

Таким образом, система, замкнутая регулятором, приводится к виду:

(9)

Этому выражению соответствует рис.12, где g(t) - задающее воздействие.

Рисунок 9 - Система с обратной связью

Основная теорема модального управления гласит, что если линейная динамическая система является управляемой, то линейная обратная связь может быть выбрана таким образом, что матрица (А-ВK) будет иметь желаемый спектр (желаемое расположение корней). При доказательстве этой теоремы используется каноническая форма управляемости матриц A и B.

Аккерманом была предложена формула, позволяющая с помощью преобразования подобия перевести модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, определить искомые коэффициенты К, а затем пересчитать полученное решение применительно к исходной структуре.

Формула Аккермана имеет вид:

где в_i - коэффициенты характеристического полинома матрицы (А-ВK).

Таким образом, задача модального синтеза сводится к выбору желаемых корней характеристического полинома замкнутой системы, при которых обеспечиваются заданные параметры переходного процесса, после чего в соответствии со стандартным алгоритмом рассчитываются коэффициенты обратных связей по состоянию.

3.2.2 Определение значения коэффициентов регулятора

В программном комплексе MatLab для формирования модели в пространстве состояний используется функция ss:

>> w1 = ss(A, B, C, D)

где A,B,C,D - матрицы модели.

Из модели в пространстве состояний можно получить ПФ командой:

>> w2 = tf(w1)

И, наоборот, если уже существует модель, заданная ПФ, то ее можно преобразовать в пространство состояний с помощью команды ss:

>> w=tf([2 2],[3 4 1]);

>> w1=ss(w)



Заметим, что одной и той же ПФ могут, вообще говоря, соответствовать разные модели в пространстве состояний, но всем этим моделям соответствует одна и та же ПФ.

Матрица управляемости может быть построена с помощью функции ctrb, которая может вызываться в одном из вариантов:

>> W = ctrb(A, B)

>> W = ctrb(sys)

>> W = ctrb(sys.A, sys.B)

В пакете MatLab имеется функция akcer, с помощью которой можно обеспечить желаемой расположение полюсов одномерной линейной системы (в соответствии с формулой Аккермана):

>> k= akcer(A,B,P)

где А и В - матрицы системы, Р - вектор, задающий желаемое расположение полюсов системы.

Рассмотрим пример. Пусть система описывается матрицами:

A=[-111.0000 -34.6875 -3.9063 0

32.0000 0 0 0

0 8.0000 0 0

0 0 0.2500 0 ],

B= [4

0

0

0],

C=[ 0 0 0 7.8125],

Желаемые полюса замкнутой системы заданы вектором:

P=[ -2;-3+5*i;-3-5*i;-2]

Рисунок 10 - Схема использования матричных блоков

Рассчитать значение коэффициентов обратных связей можно с помощью команды:

K=acker(A,B,P),

K = -2112 -1585.8 -88.4 -157.2



Рисунок 11 - Полученный переходный процесс в системе с модальным управлением

Из рисунка видим, что как и в случае с ПИД регулятором перерегулирование и время переходного процесса уменьшились, также уменьшилась и колебательность системы. Все эти характеристики напрямую зависят от того какими мы выберем желаемые полюса системы.

3.3 Метод АКОР

(Линейно-квадратичное управление)

3.3.1 Краткие теоретические сведения

Впервые задача аналитического конструирования регуляторов (АКОР) решена А.М. Летовым в1960 г. В зарубежных источниках задача АКОР называется задачей линейно-квадратичного управления, или оптимизации.

Исходная постановка задачи формулируется следующим образом: для объекта управления, движение которого в первом приближении описывается уравнением

(1)

Где A и B - заданные матрицы n*n и n*m соответственно, найти матрицу С размером m*n для уравнения регулятора

(2)

Такую чтобы на асимптотически устойчивых движениях системы, задаваемой уравнениями (1) и (2) , создаваемыми произвольными начальными склонениями , минимизировать интегральный квадратичный критерий

(3)

где Q - заданная положительно определенная матрица размером n*n.

Доказательство единственности и существовании управления (2) осуществляется в рамках теории оптимального управления и нами рассматриваться не будет.

Рассмотрим процедуру АКОР , которая состоит из последующих операций:

1. Составляется векторно-матричное алгебраическое уравнение Риккати

2. Осуществляется его решение, т.е определяются неизвестные коэффициенты матрицы P.

3. Вычисляется матрица С по формуле

Отмети подобие законов управления при модальном и линейно-квадратичном управлении. Однако в первом случае искомая матрица С обеспечивает заранее заданное расположение корней характеристического уравнения, а во втором случае подобная ей матрица обеспечивает минимум интегрального квадратичного критерия (3). Недостатком обоих методов следует считать значительное снижение качества управления при неточной настройке регуляторов, что значительно снижает область их применения. Этот недостаток отсутствует у грубых и робастных систем.

3.3.2 Определение значений коэффициентов регулятора

Для определения коэффициентов регулятора в Matlab'e существует специальная функция

[K,S,e] = lqr(sys,Q,R,N),

Q и R - положительно-определенные матрицы,

Параметр K - искомое значение. Введем следующие команды в Matlab:

W_min=minreal(W_ss); % Минимальная реализация системы

[A,B,C,D]=ssdata(W_min),

Q=C'*C;R=1; % задание критериев оптимальности

Q(1,1)=1;

Q(2,2)=300000;

K1=lqr(W_min,Q,R), % вычисление коэфф регулятора

W4=tf(ss(A-B*K1,B,C,D)), % собираем систему обратно с учетом регулятора

figure(9),step(W4), % строим ее переходную характеристику

figure(10),margin(W4), % устойчивость системы

K1 = 801.4929 408.6147

Получаем такую переходную характеристику:

Рисунок 12 - Переходный процесс в системе с регулятором найденный по методу АКОР

Промоделируем систему с регулятором вычисленному по методу АКОР в Simulink'e

Рисунок 13 - Моделирование регулятора АКОР в Simulink

Получаем аналогичный переходной процесс

Рисунок 14 - Переходный процесс системы с АКОР Simulink



Заключение

В результате выполнения курсовой работы были найдены коэффициенты регуляторов для объекта управления. Построены их переходные процессы. Все три регулятора довольно хорошо улучшают работу системы. Хотя ПИД регулятор универсален, он не всегда может подойти к системе. Модальное и линейно-квадратичное управление в зависимости от задания критерий качества могут вести себя не очень качественно, поэтому надо тщательнее подбирать коэффициенты этих регуляторов.



Список использованной литературы

регулятор синтез мatlab

1. Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплине «Теория автоматического управления», Бураков М.В., Полякова Т.Г., Подзорова А.В. Изд.: СПбГУАП, 2006

2. «Микропроцессорные системы автоматического управления», Бесеркерский В.А. Изд.: «Машиностроение», Ленинград, 1988

3. «Теория систем автоматического управления», Бесеркерский В.А., Попов Е.П. Изд.: «Наука», Москва, 1975

4. Учебное пособие «Основы управления техническими системами»,

О.В. Авдеева, Д.В. Артамонов, А.Д. Семёнов, Пенза, 2015



Приложения

Текст программы (m. файл):

clc,clear all,close all,

tau=0.1; % Задержка в сек

delay=tf(1,1,'ioDelay',tau),% Запаздывание системы

W0=tf(0.00006,[5 0.5 1]), % ПФ системы без запаздывания

W=feedback(W0*delay,1,-1), % ПФ замкнутой системы с запаздыванием

figure(1),step(W), % Переходная характеристика замкнутой системы

figure(2),pzmap(W), % Нули и полюса системы

figure(3),margin(W), % Запас по амплитуде и фазе

% Для разбития системы на две части используем аппроксиматор

Wa=tf(1,[tau^2/2 tau 1]), % Экспонента разлагается в ряд Тейлора

% берем звено второго порядка

W1=feedback(W0,Wa,-1), % Вводим звено в обратную связь

W2=W1*delay, % Получилась аналогичная исходной система,

% но теперь можно рассмотреть части системы

% отдельно

figure(4),step(W2), % строим переходную характеристику этой системы

%% PID регулятор

P=4.63656273431259; % Коэфициенты регулятора(simulink)

I=0.0812918174481218;

D=3.49411563797057;

N=7.40655298899357;

P=tf(P,1);

I=tf(I,[1 0]);

D=D*N/(tf(N,[1 0])+1);

C=P+I+D; % ПФ ПИД регулятора

% Система с ПИД регулятором:

W_pid=delay*feedback(C*W0,Wa,-1),

figure(5),step(W_pid), % Ее переходная характеристика

figure(6),margin(W_pid), % Устойчивость этой системы

%% Модальное управление

W_ss=ss(W1), % Часть системы без задержки

[A,B,C,D]=ssdata(W_ss), % в простанстве состояний

eig(A), % полюса системы

P=[-2;-0.2+0.5*i;-0.2-0.5*i;-1.2];% желаемые полюса системы

K=acker(A,B,P), % вычисляем коэфф регулятора

eig(A-B*K), % проверка

W3=tf(ss(A-B*K,B,C,D)), % собираем систему обратно, но с учетом регулятора

figure(7),step(W3), % Строим переходную характеристику

figure(8),margin(W3), % Устойчивость системы

%% Синтез регулятора методом АКОР (линейно-квадратичное регулирование)

W_min=minreal(W_ss); % Минимальная реализация системы

[A,B,C,D]=ssdata(W_min),

Q=C'*C;R=1; % задание критериев оптимальности

Q(1,1)=1;

Q(2,2)=300000;

K1=lqr(W_min,Q,R), % вычисление коэфф регулятора

W4=tf(ss(A-B*K1,B,C,D)), % собираем систему обратно с учетом регулятора

figure(9),step(W4), % строим ее переходную характеристику

figure(10),margin(W4), % устойчивость системы

Размещено на Allbest.ru