Все алгебраические объекты имеют абстрактную природу, их невозможно ни изобразить, ни визуализировать каким либо другим образом. Поэтому одной из важнейших задач алгебры является задача представления, заключающаяся в построении объектов иной природы, изоморфных данным алгебраическим структурам.

Примерами могут служить:

· Теорема Кэли о вложимости произвольной группы в некоторую симметрическую группу, результат об изоморфизме алгебры линейных операторов n-мерного векторного пространства и алгебры матриц nn над тем же полем;

· Теорема Стоуна об изоморфизме конечной булевой алгебры и решетки всех подмножеств некоторого конечного множества;

Одной из рассматриваемых идей о представлениях является представление алгебраических систем сечениями пучков: А. Гротендик(1960г), Р. Пирс(1967г), Дж. Ламбек(1971г), К. Хофман(1972г), К. Малви(1979г) и другие занимались представлениями колец. Первые работы по представлению дистрибутивных решеток появились в конце 60х годов. Различным типам пучковых представлений посвящены работы Корниша, Войкулеску, Георгеску и других.

Данная работа посвящена построению функциональных пучков Ламбека и Корниша для ограниченных дистрибутивных решеток. В работе вводятся основные определения, необходимые для реализации этих представлений и доказаны теоремы об изоморфизме данных функциональных представлений ограниченным дистрибутивным решеткам.

1. Основные определения

Def1. Алгебраическая система называется решеткой, если выполняются:

аксиомы идемпотентности

; ;

аксиомы коммутативности

аксиомы ассоциативности

законы поглощения

;

Решетка называется дистрибутивной, если

Решетка называется ограниченной, если в существуют 0 и 1, нейтральные элементы по сложению (+) и умножению () соответственно.

В дальнейшем будут рассматриваться только ограниченные дистрибутивные решетки.

Пример 1. Легко проверить, что следующие объекты являются ограниченными дистрибутивными решетками:

Def2. Непустое подмножество дистрибутивной решетки называется идеалом решетки , если

Идеал дистрибутивной решетки называется собственным, если .

Собственный идеал дистрибутивной решетки называется простым, если .

Для любого идеала множество называется 0-компонентой идеала .

Пример 2. Простым идеалом решетки (пример 1, рисунок 2) является решетка (рис. 3):

0-компонентой идеала в решетке является множество

Def3. Бинарное отношение ~ в решетке называется конгруэнцией, если выполняются свойства:

1) ~ является отношением рефлексивности, симметричности и транзитивности;

2) ~ сохраняет операции:

Множество всех классов конгруэнтности с операциями образует решетку, называемую фактор-решеткой решетки по конгруэнции ~.

Доказательство. Операции и определяются через представителей классов, и необходимо показать их корректность, т.е. независимость результатов от выбора представителей. Это вытекает в силу гомоморфности

операции и ассоциативны, т.к. ассоциативны операции в , также сохраняются идемпотентность, коммутативность, законы поглощения и дистрибутивности. Классы [0] и [1] будут нейтральными элементами относительно и соответственно. Предложение доказано.

Пример 3. Конгруэнции на решетках.

1) Конгруэнция Ламбека ().

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

называется конгруэнцией Ламбека по простому идеалу решетки .

Теорема Отношение конгруэнция на решетке

Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения очевидны. Пусть и , т.е. и для некоторых . В силу простоты идеала найдется такой элемент , что элемент не лежит в . Из равенства в силу определения решетки следует и учитывая, что , получаем, что , что доказывает транзитивность отношения .

Докажем сохранение операций. Пусть , , что означает для подходящих , а для некоторого . Из первого равенства получаем , а из второго . Почленно сложив равенства, получим , т.е. . Умножим на , а на и получим , откуда или .

2) Конгруэнция Корниша ().

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

называется конгруэнцией Корниша по простому идеалу решетки .

Теорема Отношение конгруэнция на решетке

Доказательство. Рефлексивность и симметричность очевидны. Покажем транзитивность. Пусть и . Это значит, по определению конгруэнции Корниша, что и для некоторых . Прибавив к первому равенству получим

.

Осталось показать, что и . Это следует из определения : , для некоторых . Рассмотрим выражение .

Для рассуждения аналогичны.

Докажем сохранение операций.

Сложение: Пусть для некоторых . Требуется доказать, что . По определению конгруэнции: .

Складывая эти равенства, получаем:

,

Где . Тем самым, сохранение операции сложения доказано.

Умножение: Умножая равенства , получаем:

,

откуда очевидно, что операция умножения также сохраняется при этой конгруэнции.

Для некоторого простого идеала решетки и отношение

также определяет конгруэнцию Корниша.

Доказательство

· - очевидно.

: Пусть для некоторого простого идеала решетки и выполняется отношение , где для некоторых . Тогда , где по определению простого идеала. Или, .

Прибавляя к равенству получим: , что означает выполнимость .

В качестве иллюстрации рассмотрим фактор-решетки и (решетка из примера 2):

1.2 Топологическое пространство

Def4. Пусть дано множество X. Система его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то

.

2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .

3. .

Пара называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.

Пример 4. Обозначим через множество всех простых идеалов решетки . Для любого идеала решетки положим

и покажем, что является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида .

Множество пусто, а . Пусть - идеалы решетки . Тогда

={

.

Таким образом, на введена топология, названная топологией Стоуна-Зарисского. Топологическое пространство с топологией Стоуна-Зарисского называется простым спектром решетки .

Иллюстрация простого спектра для решетки (Пример1, Рис.1):

Пусть дано множество X. Семейство множеств называется покрытием X, если

Если C -- покрытие множества X, то любое подмножество , также являющееся покрытием X, называется подпокрытием.

Компактное пространство -- это топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

компактное пространство с базисом открытых множеств .

Доказательство Пусть для произвольного семейства идеалов . Тогда и идеал не лежит ни в одном идеале из . Это возможно лишь в случае, когда . Получим, что , значит, , для некоторых , , из семейства . Поскольку идеал содержит 1, то , что означает компактность простого спектра.

Def5. Пусть и -- два топологических пространства. Функция называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также f и f ^{? 1} непрерывны, то есть прообраз любого открытого множества при этих отображениях открыт.

Гомеоморфизм называется локальным, если каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфно отображающейся на некоторое открытое подмножество пространства .

1.3 Функциональный пучок

Def6. Тройка называется пучком решеток, если выполняются следующие условия:

1) топологические пространства;

2) локальный гомеоморфизм;

3) Для каждой точки множество является решеткой;

4) Решеточные операции непрерывны;

5) Отображения , ставящие каждой точке соответственно ноль и единицу решетки , непрерывны;

Через обозначен полный прообраз точки при отображении , которое называется проекцией.

Решетка называется слоем пучка в точке .

Пространство является объединением своих слоев , причем для различных слои и считаются непересекающимися, хотя и могут быть изоморфными. Такое объединение называется дизъюнктивным и обозначается .

Пространства и называются накрывающим и базисным пространствами соответственно.

Пусть - пучок полуколец над , и - подпространство в . Сечением пучка над называется такое непрерывное отображение , что - тождественное отображение множества . Сечение над открытым подмножеством называется локальным, а сечение, определенное над всем пространством - глобальным.

Поточечная сумма и произведение двух сечений над снова являются сечениями над т.е. для любого множества множество всех сечений над является решеткой. В случае рассмотрения сечений над всем базисным пространством , говорят о глобальных сечениях, которые в совокупности образуют решетку глобальных сечений пучка над .

Def7. Функциональным (пучковым) представлением решетки называется полукольцевой гомоморфизм

решетки в решетку глобальных сечений некоторого пучка решеток над топологическим пространством . Представление называется точным, полным или изоморфным, если соответственно мономорфизм, эпиморфизм или изоморфизм.

Образ элемента обозначается . Пусть - произвольное пучковое представление решетки и - точка базисного пространства. Каждому элементу соответствует глобальное сечение , которое принимает значение в точке .

Отображение , ставящее в соответствие элементу элемент , является гомоморфизмом.

Если все являются эпиморфизмами, то каждый слой пучка будет гомоморфным образом решетки , а поэтому - фактор-решеткой решетки . В этом случае представление решетки называется факторным.

Пусть - факторное представление решетки в пучке . Для любого слой изоморфен , где - конгруэнция на , «склеивающая» элементы, имеющие одинаковые образы при эпиморфизме . Зафиксируем произвольную пару элементов из .

Сравнимость равносильна тому факту, что глобальные сечения и совпадают в точке , следовательно и совпадают на некоторой открытой окрестности точки , то есть множество открыто в .

Доказательство. Если и - сечения, определенные над открытыми множествами и , то открытым будет . Поскольку открытое отображение, то открыто, а это множество всех точек в , в которых совпадают и .

Семейство конгруэнций () на решетке , индексированное точками топологического пространства , называется открытым семейством, если для любых множество открыто в .

Пример 5. Функциональные пучки Ламбека и Корниша

· Для решетки (Рис1) построим (Рис.6).

Для каждого построим фактор решетки по конгруэнциям Ламбека(Рис.7) и Корниша(Рис.8), для конгруэнций Корниша найдем 0-компоненты идеалов.

Рис.7: Решетки конгруэнций Ламбека по простым идеалам ()

Рис.8: Решетки конгруэнций Корниша по простым идеалам ().

Построим пучки:

· Для решетки (Рис.2):

Рис.12: Решетки конгруэнций Ламбека по простым идеалам ()

Рис.13: Решетки конгруэнций Корниша по простым идеалам ().

2. Функциональные представления дистрибутивных решеток

Рассматривая пример 5, можно заметить, что построенные пучки не только гомоморфны, а изоморфны исходным решеткам. Следующие теоремы покажут, что для представленных конгруэнций этот факт верен для любой ограниченной дистрибутивной решетки.

2.1 Теоремы об изоморфизме

Лемма1. Конгруэнции образуют открытое семейство.

Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в .

Пусть , тогда и для некоторого . Если - произвольный простой идеал из , то , и поэтому . Поскольку вместе с произвольной своей точкой содержит некоторую ее окрестность, то открыто.

Лемма2. Конгруэнции образуют открытое семейство.

Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в .

Пусть , тогда и для некоторых . Если - произвольный простой идеал из , то , и поэтому . Поскольку вместе с произвольной своей точкой содержит некоторую ее окрестность, то открыто.

Теорема1. Ограниченная дистрибутивная решетка L изоморфна полукольцу глобальных сечений пучка на Spec L.

Доказательство. Рассмотрим отображение f, которое элементу ставит в соответствие глобальное сечение , такое, что , где класс элемента l в фактор-полукольце .

Пусть для произвольных . Это означает, что для каждого выполняется для подходящего .

Из покрытия в силу компактности спектра выберем конечное подпокрытие. Тогда , откуда получаем, что сумма идеалов совпадает с . Для некоторых получаем .

Из следует для каждого Просуммировав эти равенства, получим , или , что доказывает точность представления f.

Покажем его полноту. Пусть произвольное глобальное сечение пучка . В силу факторности пучка сечение в каждой точке совпадает с некоторым сечением вида . По свойствам пучка эти сечения совпадают на некоторой базисной окрестности точки , а компактность простого спектра позволяет выбрать элементы так, что на и . Для любых на множестве .

Тот факт, что можно показать так:

· ) ,

откуда .

)

Покажем, что справедливо равенство .

Рассмотрим множество и идеал уравнитель элементов . Если пересекается с , то равенство верно. Предположим, что . Максимальный идеал , содержащий и не пересекающийся с прост.

Доказательство: Возьмем P - максимальный идеал, содержащий и не пересекающийся с и . Тогда

,

откуда .

Таким образом, , что означает несравнимость и по конгруэнции , поэтому . Но тогда , и получено противоречие после предположения, что . Значит, равенство справедливо.

Поскольку , то для некоторых имеем . Пусть . Покажем, что . Равенство влечет за собой , и, просуммировав обе части по i, получаем

.

Таким образом, на для любого , и следовательно, во всех точках . Теорема доказана.

Теорема2. Ограниченная дистрибутивная решетка L изоморфна полукольцу глобальных сечений пучка на Spec L.

Доказательство. Рассмотрим отображение f, которое элементу ставит в соответствие глобальное сечение , такое, что , где класс элемента l в фактор-решетке .

Пусть для произвольных . Это означает, что для каждого выполняется для подходящих , откуда для некоторых .

Домножим равенство на :

для выбранного .

Из покрытия в силу компактности спектра выберем конечное подпокрытие. Тогда , откуда получаем, что сумма идеалов совпадает с . Для некоторых получаем .

Из следует для каждого Просуммировав эти равенства, получим , или , что доказывает точность представления f.

Покажем его полноту. Пусть произвольное глобальное сечение пучка .

В силу факторности пучка сечение в каждой точке совпадает с некоторым сечением вида . По свойствам пучка эти сечения совпадают на некоторой базисной окрестности точки , а компактность простого спектра позволяет выбрать элементы так, что на и . Для любых на множестве , то есть:

: ;(1)

: ;(2)

Рассмотрим замкнутое множество . Очевидно, что .

Для каждого найдется такой , что . Тогда для каждого . Это доказывает включение: .

Действительно, , для которого .

По свойству замкнутых множеств - замкнуто и, как подмножество компактного пространства, компактно, а значит, обладает конечным покрытием.

Следовательно, в каждом из равенств (1) и (2) можно ограничиться конечным числом идеалов. Тогда:

Откуда:

Пусть. Покажем, что :

Равенство () для ограниченной дистрибутивной решетки доказывается так:

Таким образом, на для любого , и следовательно, во всех точках . Теорема доказана.

2.2 Свойства пучковых представлений

Из примера 5 видно, что для некоторых решеток функциональные пучки совпадают, для других различны. Для некоторых решеток семейства конгруэнций представлены цепями.

· Дистрибутивные решетки, для которых функциональные пучки Корниша и Ламбека совпадают

Def8. В ограниченной решетке элемент называется дополнением элемента , если и . Пусть , тогда элемент называется относительным дополнением элемента в интервале , если

Def9. Ограниченная решетка, в которой каждый элемент имеет дополнение, называется решеткой с дополнениями. Решеткой с относительными дополнениями называется решетка, в которой каждый элемент имеет относительное дополнение в любом содержащем его интервале.

В статье Е.М. Вечтомова «Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток» доказано, что для любой дистрибутивной решетки с 0: обобщенно булева решетка для каждого простого идеала в

В примере 5: обобщенно булева для каждого , не является обобщенно булевой (на интервале для элемента нет дополнения) для некоторых , что подтверждается на иллюстрациях.

· Дистрибутивные решетки, для которых семейства конгруэнций Ламбека и Корниша представляют собой цепи

Def10. Решетка называется нормальной, если

Решетка, обладающая двойственным свойством - конормальна.

Решетка вполне конормальна, если

Решетка строго нормальна, если

В статье Е.М. Вечтомова «Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями» доказано, что для любой ограниченной дистрибутивной решетки :

цепь для каждого вполне конормальна.

цепь для каждого строго нормальна.

Литература

1. Вечтомов Е.М. Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Матем. заметки. - 1993. Т. 53, вып. 2. - С. 15-24.

2. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями // Фундам. и прикл. матем. - 1996. - 2, N 1. C. 93-102.

3. Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец. М.: Мос. пед. гос. ун-т, 1993.

4. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

5. Ламбек И. Кольца и модули. - М.: Мир, 1971.

6. Общая алгебра. Т. 2. // Под ред. Л.А.Скорнякова - М.: Наука, 1991.

7. Чермных В.В. Полукольца. Киров: Изд-во ВГПУ, 1997.

8. Чермных В.В. Представление положительных полуколец сечениями // УМН. - 1992. - 47, N 5. C. 193-194.