1. Алгебраические группы матриц

Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где

- единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из --- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на .

Пусть --- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е. --- структурные константы алгебры . Пусть далее

где . Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть - аннулятор группы в , - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть - смежные классы по . Для каждого выберем многочлен

и положим

Очевидно, , . Получили противоречие.

Пусть --- алгебраическая группа, , --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества

где , замкнуты. Если тоже замкнуто и --- общее поле квазиопределения для , , , то , , квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно, , ), то можно считать, что (см. 7.1.5).

Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах

Определим действие элементов из на рациональные функции из , , полагая

Для каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения .

Имеет место следующее предложение.

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы --- группа. Более точно: если --- аннулятор в , то совпадает с

Здесь вместо можно написать .

Доказательство. Во-первых, и, значит, . Действительно, если , и , то , т. е. . Подпространство многочленов из степени отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех .

Во-вторых, , т. е. для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём с условием . Тогда .

В-третьих, , т. е. для всех , . Действительно, . Предложение доказано.

Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.

Отметим ещё одно полезное предложение.

1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. --- многообразие, --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если --- подгруппа, то она совпадает с .

Доказательство. Множества и тоже густые и плотные, поэтому пересечение непусто (см. п. 8.2).

Если --- полугруппа из , то .

1.3 Компоненты алгебраической группы

Пусть --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы . наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

1.3.1 Теорема. Пусть --- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы по (в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор компоненты связан с аннулятором всей группы следующим образом:

для некоторого , зависящего от

, где --- аннулятор единицы в , --- некоторый многочлен из .

Доказательство. а) Пусть --- общее поле определения всех компонент группы . Пусть , содержат единицу , , --- их независимые общие точки над и , . Имеем специализации

над , откуда , , . Этим доказана единственность компоненты .

б) Очевидно, что отображения

являются гомеоморфизмами пространства . Так как инвариантна относительно них, то --- нормальная подгруппа группы .

в) Пусть . Тогда при фиксированном --- снова все компоненты группы . В частности, , . Этим доказано, что --- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .

г) Если --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, . Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .

д) Для каждого возьмем многочлен

Пусть --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен

Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение

Пусть , . Имеем:

Если , то , если же , , то . В любом случае . Следовательно, . Теорема доказана.

Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).

Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.

Подгруппа алгебраической группы тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .

<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что

Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы всегда лежит в центре .

В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать -порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).

1.4. О -группах

Пусть - поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из , выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в . Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с , некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области . В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.

В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.

Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в ) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для -множеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в уравнениями с коэффициентами из ).

2 Ранг матрицы

Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы размера введенное выше пространство , которое мы будем обозначать теперь символом или просто (в --- вертикальный). Его размерность назовем рангом по столбцам матрицы . Аналогично вводится ранг по строкам матрицы : , где --- подпространство в , натянутое на векторы-строки , (г --- горизонтальный). Другими словами,

- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства величины и определены правильно.

Будем говорить, что матрица получена из при помощи элементарного преобразования типа (I), если для какой-то пары индексов и для . Если же для всех и , , то говорим, что к применено элементарное преобразование типа (II).

Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.

2.2.1 Лемма. Если матрица получена из прямоугольной матрицы путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:

(i)

(ii)

Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда получена из путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).

(i) Так как, очевидно, , то э. п. типа (I) не меняет . Далее, и, следовательно, , так что не меняется и при э. п. типа (II).

(ii) Пусть --- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что

Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство . Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, . Тогда, заменяя в (1) на и все на 0, мы видим, что --- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы , получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу . Так как система кратко записывается в виде , то мы приходим к соотношению

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).

Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками , матрицу можно привести к ступенчатому виду:

с . Согласно лемме так что нам достаточно доказать равенство .

Столбцы матриц и с номерами , отвечающими главным неизвестным линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

связывающего векторы-столбцы , , матрицы (3), получим последовательно: , , , , , а так как , то . Значит, и . Но пространство , порожденное столбцами матрицы , отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из удалением последних нулевых строк. Поэтому . Сопоставление двух неравенств показывает, что (неравенство вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

как и в случае со столбцами, дает последовательно , , , . Откуда . Стало быть,

2.3 Критерий совместности

Ступенчатый вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где --- матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы . Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов матрицы . Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то и , откуда (см. формулировку теоремы 1).

Обратно, если ранги матриц и совпадают и --- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы , то расширенная система будет линейно зависимой, а это означает, что --- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть, система (2) совместна.

3. Линейные отображения. Действия с матрицами