Размещено на http://www.allbest.ru/

содержание

• введение
• 1. Линейное уравнение первого и второго порядка
• 1.1 Линейное уравнение первого порядка
• 1.2 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами
• 2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА
• 2.1 Общие свойства линейного уравнения n-го порядка
• 2.2 Однородное линейное уравнение n-го порядка
• 2.3 Неоднородное линейное уравнение n-го порядка
• 2.4 Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами
• 3. Системы линейных уравнений. Общая теория
• 3.1 Системы линейных уравнений
• 3.2 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Заключение
• Библиография
• Приложение
• дифференциальный линейный уравнение однородный


введение

Актуальность этой темы заключается в том, что многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знаний сводятся к следующей задаче: найти функцию ¦, имея некоторые уравнения, в которое кроме этой функции и аргументов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями. Т.е. многие вопросы этих областей знаний решаются с помощью дифференциальных уравнений.

Уравнения, содержащие производные по многим независимым переменным, называются уравнения в частных производных. Уравнения, cодержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Независимую переменную, производная по которой входит в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают буквой x (или буквой t, поскольку во многих случаях роль независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обозначают через y(x).

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде соотношения

Порядок старшей производной, входящей в это уравнение называется порядком уравнения. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Целью данной дипломной работы является подготовка материалов для методического пособия по теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Задачами исследования были: изучение и анализ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами; рассмотрение свойств уравнений первого, второго и n-го порядков и свойств системы линейных уравнений; рассмотрение методов решения линейных однородны и неоднородных дифференциальных уравнений и применение их при решении физических задач, а также систем линейных дифференциальных уравнений..

Предметом исследования работы: являются линейные обыкновенных дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы линейных уравнений.

Объектом исследования работы являются реальные процессы, описываемые данными дифференциальными уравнениями.



1. Линейное уравнение первого и второго порядка

1.1 Линейное уравнение первого порядка

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и её производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

(1.1.1.)

Если, то уравнение называется однородным. Как легко видеть, линейное однородное уравнение

(1.1.2.)

приводится к уравнению с разделяющимися переменными

,

общий интеграл которого имеет вид

(1.1.3)

а общее решение -

(1.1.4)



где. Очевидно, что частное решение уравнения (1.1.2), которое мы потеряли, разделив (1.1.1) на , содержится в формуле (1.1.4) при. Поэтому (1.1.4), где - теперь уже любое вещественное число, является общим решением уравнения (1.1.2).

Из (1.1.4), записывая первообразную в виде определенного интеграла , получим частное решение уравнения (1.1.2), удовлетворяющее начальному условию в виде

(1.1.5)

Заметим, что по самому способу построения формула (1.1.5) является доказательством единственности решения начальной задачи для уравнения (1.1.2), в предложении, что это решение существует. Действительно, подставляя любое решение начальной задачи в уравнение (1.1.2) и проводя последовательно преобразования (1.1.3) - (1.1.5), мы всегда придём к одному и тому же результату - формуле (1.1.5). Чтобы доказать существование решения данной задачи, достаточно путём достаточно путём непосредственной проверки убедится, что для непрерывной функции функция , определённая формулой (1.1.5), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для уравнения (1.1.2). Очевидно, подобные рассуждения можно провести и в случае начальной задачи для уравнения с разделяющимися переменными.

Решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) найдём методом вариации постоянной, который состоит в том, что мы используем специальную замену неизвестной функции



, (1.1.6)

где - функция, подлежащая определению. Подставляя такой вид решения в уравнение, получаем

откуда

.

интегрируя это равенство, найдём

и окончательно

. (1.1.7)

Из полученного выражения следует, общее решение линейного неоднородного уравнения (1.1.1) представляется в виде суммы общего решения (1.1.4) линейного однородного уравнения (1.1.2) и частного решения неоднородного уравнения (1.1.1), в чём легко убедится, подставив второе слагаемое формулы (1.1.7) в неоднородное уравнение (1.1.1).

Решение начальной задачи для уравнения (1.1.1) найдём, определяя из начального условия постоянную С₁ в формуле (1.1.7). При этом в качестве первообразных функций, записанных в (1.1.7) в виде неопределённых интегралов, удобно взять определённые интегралы .

Тогда и

т.е.

(1.1.8)

Таким образом, искомое решение определяется как сумма решения однородного уравнения (1.1.2), удовлетворяющего заданному начальному условию, и решения неоднородного уравнения, удовлетворяющего нулевому начальному условию.

Представление (1.1.8) получено в предложении существования решения. Оно доказывает единственность решения начальной задачи для неоднородного уравнения (1.1.1)

Существование решения начальной задачи для уравнения (1.1.1) при непрерывных функциях и устанавливается непосредственно подстановкой формулы (1.1.8) в уравнение и начальное условие.

Замечание. Единственность решения этой задачи можно установить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерными вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два различных решения начальной задачи и Рассмотрим их разность . Очевидно, функция является решением начальной задачи для соответствующего однородного уравнения с нулевым начальным условием



Отсюда, в силу единственности решения начальной задачи для линейного однородного уравнения, следует, что .

Получим важную оценку роста решения начальной задачи для линейного уравнения. Пусть в уравнении (1.1.1) функции и на рассматриваемом промежутке изменения независимой переменной удовлетворяют условиям

(1.1.9)

Тогда для решения начальной задачи из представления (1.8) для следует оценка

(1.1.10)

В заключении этого пункта укажем некоторые часто встречающиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими подстановками могут быть сведены к линейному уравнению.

Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли.

где , иначе уравнение уже линейное. Введём новую неизвестную функцию тогда уравнение перейдёт в линейное уравнение



общее решение которого даётся формулой (1.1.8).

Более сложное уравнение Риккати

в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно обладает следующим важным свойством: если известно какое-либо частное решение уравнения Риккати, то нахождение его общего решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно, введя новую неизвестную функцию

получим для неё уравнение Бернулли

что доказывает высказанное утверждение.

1.2 Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида



(1.2.1)

Это уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчающих его исследование, а в ряде случаев и решение.

Ознакомимся с основными свойствами линейного уравнения на примере уравнения маятника

, , (1.2.2)

которое является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала случай . В этом случае уравнение называется однородным. Физически это означает, что маятник движется свободно, на него не действуют внешние (вынуждающие) силы,

(1.2.3)

Будем искать решение этого уравнения в виде , где - некоторая неизвестная заранее постоянная. Подставляя искомый вид решения в (1.2.3) и сокращая на , получим

(1.2.4)

Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (1.2.3).

Ему должно удовлетворять для того, чтобы было решением (1.2.3). Решая уравнение (1.2.4), получим



Исследуем разные случаи.

а) . Физически это соответствует достаточно сильному трению (сопротивлению) среды. Оба корня ₁ и ₂ в этом случае действительны, различны и отрицательны, и им отвечают два решения

Рассмотрим начальную задачу.

(1.2.5)

Для любых двух n раз дифференцируемых функций y₁(x), у₂(x) справедливо тождество (С₁ и С₂ - константы)

(С₁у₁(x)+С₂у₂(x))⁽ⁿ⁾ =С₁у₁⁽ⁿ⁾+С₂у₂⁽ⁿ⁾ (1.2.6)

Основываясь на этом тождестве, нетрудно убедиться, что выражение

(1.2.7)

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные (линейная комбинация у₍₁₎ и у₍₂₎ является решением уравнения (1.2.3). Эти постоянные можно однозначно определить из начальных условий (1.2.5). Действительно, подставляя (1.2.7) в (1.2.5), имеем



В силу ₁₂ определитель этой линейной алгебраической системы относительно С₁ и С₂ отличен от нуля. Полученное таким образом решение начальной задачи

, (1.2.8)

не осцилируя, приближается с ростом t к положению равновесия у = 0.

Так как любое наперёд заданное решение уравнения (1.2.3) удовлетворяет некоторому начальному условию (1.2.5), а по заданному начальному условию (1.2.5) однозначно определяется решение (1.2.8), то можно сказать, что в формуле (1.2.7) содержится любое решение (1.2.3). С другой стороны, при любых значениях постоянных формула (1.2.7) даёт некоторое решение уравнения (1.2.3). Таким образом, формула (1.2.7) содержит все решения уравнения (1.2.3) и только решения этого уравнения. Формулу, обладающую таким свойством, мы будем называть общим решением. Формула (1.2.7) представляет собой общее решение уравнения (1.2.3).

б) ² - 4k < 0. Физически это соответствует достаточно слабому трению (сопротивлению) среды. В этом случае ₂ и ₁ являются комплексно сопряжёнными: ₂ = и

где .

Пользуясь тождеством (1.2.6), нетрудно видеть, что у₁ = Rе у₍₁₎, у₂ = Im у₍₁₎ также являются решениями уравнения (1.2.2). Действительно,

откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, получим требуемое. Возьмём линейную комбинацию у₁ и у₂:

(1.2.9)

Нетрудно убедиться, что, как и прежде, С₁ и С₂ однозначно определяются условиями (1.2.5) и, таким образом, (1.2.9) является общим решением уравнения (1.2.3). Заметим, что в рассматриваемом случае в качестве общего решения можно по-прежнему взять (1.2.7), но при этом постоянные С₁ и С₂ будут комплексными.

Решение задачи (1.2.5):

(1.2.10)

описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону . С ростом t это решение также стремится к положению равновесия у = 0.

Если = 0 (сопротивление отсутствует), то получаем периодические колебания с частотой ₀=,

(2.11)



в) ²-4 k = 0. В этом случае описанный способ даёт только одно решение у₍₁₎ = e^t , где = - . Нетрудно, однако, непосредственно проверить, что в этом случае решением является также у₍₂₎ = te^t . Беря линейную комбинацию этих двух решений, можно удовлетворить условиям (1.2.5). Практически ₁ и ₂ не бывают в точности равны, но такое решение описывает математическую абстракцию, соответствующую случаю близких ₁ и _2.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания под действием периодической вынуждающей силы. Они описываются уравнением (1.2.2), где f = А соs t (А, = соnst). Сопоставим этому уравнению следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией z:

(1.2.12)

Подставляя в это уравнение и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим, что ₁, удовлетворяет уравнению (1.2.2), в котором f = А соs t, а - уравнению (1.2.2), в котором f = А sin t. Таким образом, для получения требуемого решения уравнения (1.2.2) нужно найти решение уравнения (1.2.12) и взять его действительную часть.

Решение уравнения (1.2.12) естественно искать в виде

, (1.2.13)

где - неизвестная заранее постоянная. Подставляя (1.2.13) в (1.2.12) и сокращая на е^it , найдём

и, следовательно,

(1.2.14)

(1.2.14) представляет собой частное решение уравнения (1.2.2), в котором f = А соs t, имеющее периодический характер с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Это решение, однако, не удовлетворяет (1.2.5). Добавим к нему линейную комбинацию решения однородного уравнения (1.2.3) (для определённого ² - 4k < 0):

(1.2.15)

Пользуясь (1.2.6), убеждаемся, что это выражение является решением того же неоднородного уравнения (1.2.2), пользуясь произволом выбора С₁ и С₂ можно подобрать их так, чтобы удовлетворить (1.2.5). Действительно, С₁ и С₂ находятся из алгебраической системы уравнений, отличающейся от той, которая была при получении (1.2.10), только неоднократными членами. Решение, удовлетворяющее (1.2.5), имеет вид

а, (1.2.15), таким образом является общим решением неоднородного уравнения (1.2.2), где f = Асоst. Из (1.2.15) видно, что общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму частного решения того же неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

С ростом t в формуле (1.2.16) все члены, кроме первого затухают и остаются только вынужденные колебания ₁.

Обратим внимание на важное явление - так называемое явление резонанса. Решение₁ теряет смысл, если в исходной системе нет трения (= 0) и частота вынуждающей силы равна частоте ₀=, с которой колеблется маятник без воздействия вынуждающей силы в (1.2.14), так как в знаменателе появляется нуль.

Чтобы найти частное решение в этом случае, т.е. частное решение уравнения

у^"+kу = Асоs₀t, (1.2.17)

перейдём снова к комплексной форме

z^"+ kz = Аеⁱ₀^t (1.2.18)

Обратим внимание на то, корни характеристического уравнения равны _1,2 = ± i_0. Попытаемся искать z в виде

(1.2.19)

Подставляя (1.2.19) в (1.2.18), определим a и получим

даёт частное решение уравнения (1.2.17):

(1.2.20)

Так как практически полное отсутствия трения и точное равенство и ₀ не осуществляются, то решение такого типа практически не реализуется. Реализуется (1.2.14), но если частота близка к ₀, а мало, то знаменатель в (1.2.14) мал и амплитуда решения велика. Таким образом, физически явление резонанса состоит в том, что при ~ ₀ и малом наблюдается заметное увеличение амплитуды вынужденных колебаний (1.2.14).

Математически же случаем резонанса будем называть такой случай, когда в (1.2.2) , где S(t) - многочлен, а совпадает с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше уравнении (1.2.18) = i₀, т.е. совпадает с одним из корней характеристического уравнения.

Итак, на примере уравнения второго порядка выявлен ряд характерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, эти закономерности имеют общий характер. Сформулируем их для уравнения порядка и как естественное обобщение того, что наблюдалось для уравнения второго порядка.

Рассмотрим сначала однородное уравнение

(1.2.21)

Сопоставим (1.2.21)его характеристическое уравнение (сравним с (1.2..4)).

ⁿ+^n-1+...+ = 0 (1.2.22)

Это алгебраическое уравнения порядка и имеет корни



Если все _k действительны и различны, то беря линейную комбинацию

где (1.2.23)

можно получит любое решение уравнения (1.2.21), определяя С₁,…,C_n из начальных условий

у(t₀) = y₁⁰, у^ґ(t₀) = у₂⁰,…, у^(n-1)(t₀) = у_n⁰ (1.2.24)

(сравнивая с (1.2.7) и (1.2.5)), т.е. формула (1.2.23) является общим решением уравнения (1.2.21).

Если некоторые _k комплексные, то утверждение 1 остаётся в силе, но определяемые из (1.2.24) константы C_k будут комплексными и решение будет представлено в комплексной форме. Чтобы получить решение в действительной форме, в наборе решений вместо пары решений и , отвечающих двум комплексно сопряжённым корням =piq (так как характеристическое уравнение имеет действительные коэффициенты, то вместе с = p + iq корнем будет также у=p-iq), можно взять пару действительных решений Re y = e^pt соsqt и Im y = е^pt sinqt (сравнивая с (1.2.9)).

Если - кратный корень характеристического уравнения (1.2.22) кратности m, то ему отвечает m решений е^t, te^t,…, t^m-1e ^t (обобщение случая в), где m = 2).

Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее правило:

Пусть характеристическое уравнение (1.2.22) имеет r действительных корней _к кратности m_к, а прочие являются комплексно сопряжёнными вида _l=p_l+iq_l и кратности m_l.



Тогда общее решение уравнения (1.2.21) может быть записано в виде

(1.2.25)

где R(t), Р_l(t),Q(t)-многочлены степени m-1, m-1, m-1 соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти коэффициенты однозначно определяются начальными условиями (2.24).

Точно так же можно, обобщая факты, полученные для уравнения второго порядка, сформулировать правило построения частного и общего решений неоднородного уравнения

₀у⁽ⁿ⁾ + ₁у^(n-1) + … + _nу = S(t)e^t (1.2.26)

где S(t) - многочлен степени s,- постоянная, вообще говоря, комплексная.

Пусть в уравнении (1.2.26) не совпадает ни с одним корнем _k характеристического уравнения (1.2.22) (так называемый нерезонансный случай).

Тогда частное решение уравнения (1.2.26) можно записать в виде

у = Т(t)е^t , (1.2.27)

где Т(t) - многочлен той же степени, что и S(t).

Коэффициенты многочлена Т(t) определяются из алгебраических уравнений, полученных подставкой (1.2.27) в (2.26) и приравниванием членов с одинаковыми степенями t (сравнивая с (1.2.12), (1.2.13); в этом простейшем случае S(t) является константой А, т.е. многочленом нулевой степени, а многочлен Т(t) также является константой: Т =).

Если совпадает с корнем характеристического уравнения , имеющим кратность m (так называемый резонансный случай), то частное решение (1.2.26) следует искать в виде

у = Т(t) t^me^t , (1.2.28)

где Т(t) - многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты Т(t) по-прежнему определяются подстановкой (1.2.28) в уравнение (1.2.26) (сравнивая с (1.2.19), где появляется множитель t в соответствии с кратностью m=1 корня ₀)

Если = + i комплексно, то действительная (соответственно мнимая) часть решения (2.28) является решением уравнения с правой частью S(t)e^t соst (соответственно S(t)e^tsin t).

Общее решение неоднократного уравнения (1.2.26) представляется в виде суммы общего решения (1.2.25) однородного уравнения (1.2.21) и частного решения (1.2.27) или (1.2.28) неоднородного уравнения (1.2.26) (сравнивая с (1.2.15)).



2. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ n-го ПОРЯДКА

2.1 Общие свойства линейного уравнения n-го порядка

Обратимся к уравнению (2.1.1).

Если в рассматриваемой области изменения независимого переменного (x)0, то поделив на (x) и обозначая полученные коэффициенты и правую часть вновь через (x),…, (x), f(x), будем иметь

(2.1.1)

Определение. Уравнение (2.1.1) называется однородным, если , в противном случае - неоднородным. Пусть и непрерывны на некотором интервале X (X может быть как конечным интервалом так и бесконечным, например, ()). Общая теорема существования и единственности гарантирует, что на некотором сегменте , принадлежащем X, существует единственное решение у(х) уравнения (3.1), удовлетворяющее начальному условию

(2.1.2)

Для уравнения (2.1.1) можно доказать более сильное утверждение.

Теорема 1.1. Если , непрерывных на X, то решение начальной задачи (2.1.1), (2.1.2) существует и единственно всюду на X.

Так как начальная задача для уравнения n-го порядка является частным случаем начальной задачи для системы n уравнений первого порядка, то теорему 1.1 можно получить как частный случай аналогичного утверждения для системы линейных уравнений, которая имеет вид

(2.1.3)

а соответствующие начальные условия -

(2.1.4)

Теорема 1.2. Если () непрерывны на X, то решение задачи (2.1.3) и (2.1.4) существует и единственно на X.

Доказательство:

Достаточно доказать, что решение существует и единственно на любом отрезке . Теорема существования и единственности гарантирует решение на некотором отрезке , как уже указывалось выше. Точку можно принять за новую начальную точку и получить решение на большем отрезке > и т.д. Пусть, где, - максимальный полуинтервал, на котором существует единственное решение задачи (2.1.3) и (2.1.4). Возьмём произвольную последовательность . Убедимся, что существует

Пусть

Тогда на любом отрезке справедливо неравенство



.

Введя , получим

,

и, следовательно для любогосправедливо неравенство

,

а тогда справедливо также неравенство

.

Пользуясь этим и учитывая, что , получили

< при и любом m.

Отсюда по критерию Коши делаем вывод о сходимости последовательности к некоторому пределу. Будем считать этот предел значением точке , т.е. положим . Таким образом, интегральная кривая оказывается непрерывно продолженной вплоть до точки . В силу самой системы уравнений (2.1.3) тем же свойством обладают производные. Тогда в случае теорема доказана. Рассмотрим случай . Нетрудно убедиться, что этот случай не реализуется. Действительно, приняв за новую начальную точку, можно продолжить решение на участок , что противоречит .

Итак, , т.е. решение существует и единственно на отрезке, что и требовалось.

Теорема 1.3. (принцип суперпозиции).

Пусть в уравнении (2.1.1) правая часть является линейной комбинацией функций, т.е. , где - постоянные числа, и пусть являются решениями уравнений

. (2.1.5)

Тогда линейная комбинация с теми же коэффициентами, т.е. функция

является решением уравнения (2.1.1).

Значение этого принципа в том, что правую часть уравнения (2.1.1) можно представить как линейную комбинацию более простых элементов и свести решение уравнения к решению нескольких более простых уравнений (2.1.5). С точки зрения физики это означает, что результат сложного внешнего воздействия на некоторый объект, выражаемого функцией , можно представить как суперпозицию результатов отдельных элементарных воздействий.

Доказательство:

Доказательство этой теоремы основано на тождестве, справедливом для k произвольных n раз дифференцируемых функций u₁,…, u_k и следующем непосредственно из свойств дифференцирования

(2.1.6)

Полагая u_i = у_i(x), где у_i(x) - решения уравнений (2.1.5), получим для

,

что и требовалось.

Замечание. Левую часть уравнения (2.1.1) можно рассматривать как оператор Lу, определённый на множестве n раз дифференцируемых функций у. Тогда (2.1.6) означает, что этот оператор - линейный.

Отметим важные частные случаи теоремы 3.3, формулируя их как отдельные утверждения.

Теорема 1.4. Линейная комбинация решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения.

(Это частный случай принципа суперпозиции, когда f_i = f 0).

Замечание. На языке линейной алгебры это можно выразить следующим образом: множество решений однородного уравнения является линейным пространством.

Пусть теперь k = 2, f₁ = f₂, ₁ = 1, ₂ = - 1 и, следовательно f = 0. Таким образом, имеет место

Теорема 1.5. Разность двух решений неоднородного линейного уравнения удовлетворяет однородному уравнению.

В теореме 1.3 _i могут быть и комплексными.

Теорема 1.6. Пусть у₁(x), у₂(x) удовлетворяют уравнениям (2.1.5) (i = 1,2). Тогда z(x) = у₁(x) + iу₂(x) удовлетворяет уравнению

(2.1.7)

Обратно: пусть z(x) = у₁(x) + iу₂(x) удовлетворяет уравнению (2.1.7). Тогда у₁(x), у₂(x) удовлетворяют уравнениям (2.1.5).

Прямая теорема является частным случаем теоремы 1.3 (₁=1, ₂= i). Для получения обратного утверждения надо к левой части (2.1.7) применить тождество (2.1.6), полагая u₁ = у₁, u₂ = y₂, ₁ = 1, ₂ = i, после чего приравнять действительную часть полученного выражения величине f₁, а мнимую часть - величине f₂ согласно правилу сравнения комплексных чисел.

Все перечисленные свойства характерны именно для линейных уравнений и существенно облегчают их исследование и решение.

2.2 Однородное линейное уравнение n-го порядка

Обратимся к изучению уравнения

, (2.2.1)

коэффициенты которого непрерывны на интервале X. Как было показано в предыдущем параграфе, решение начальной задачи существует и единственно на X, чем будем существенно пользоваться ниже.

Определение. Будем говорить, что функции u₁(x), …, u_p(x) линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные С₁, …, С_p не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

(2.2.2)

В противном случае (т.е. если (2.2.2) выполняется только при С₁ = … = С_p = 0) будем говорить, что u₁(x), …, u_p(x) линейно независимы.

Определение. Назовём детерминант

(x)= (2.2.3)

определителем Вронского

Теорема 2.1. Если решения у₁(x), …, у_n(x) уравнения (2.2.1) линейно зависимы на X, то .

В самом деле, согласно (2.2.2) имеем

.

Продифференцировав это тождество (n-1) раз, получим



(2.2.5)

При любом эти соотношения можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно С₁, …, С_n, имеющую нетривиальное решение по условию линейной зависимости функций у_i. Следовательно, определитель системы при любом , т.е. на Х.

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что она справедлива не только для решений уравнения (2.2.1), но для любых (n-1) раз дифференцируемых функций.

Теорема 2.2. Если хотя бы для одного , то решения у₁(x),…, у_n(x) уравнения (2.2.1) линейно зависимы на X.

Доказательство.

Возьмём точку x = x₀ в которой , и составим систему линейных алгебраических уравнений относительно С₁,…, С_n с определением :

(2.2.6)

Так как , то эта система имеет нетривиальное решение С₁, …, С_n. Рассмотрим линейную комбинацию

.

Согласно теореме 1.4 у(x) является решением уравнения (2.2.1), а (2.2.6) означает, что это решение удовлетворяет в точке x₀ нулевым начальным условиям у(х₀) = 0,…, у^(n-1)(x₀) = 0. Так как тривиальное решение уравнения (2.2.1) удовлетворяет, очевидно, тем же начальным условиям, то, в силу теоремы единственности, у(x) (x) 0, т.е., где по настроению не все С₁ равны нулю, а это и означает линейную зависимость у₁(x), …, у_n(x).Что и требовалось.

Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая альтернатива.

Теорема 2.3. Определитель Вронского (x) либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения у₁(x), …, y_n(x) линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке Х, и это означает, что у₁(x), …, y_n(x) линейно независимы.

Ситуацию можно выразить следующей схемой:

(x)=

при любом xХ.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (2.2.1) будем называть любые n линейно независимых решений уравнения (2.2.1)

Теорема 2.4. Линейное однородное уравнение имеет фундаментальную систему решений.

Доказательство.

Действительно, возьмём произвольный отличный от нуля определитель ⁰ с элементами . Определим решения у₁(x), …, у_n(x) уравнения (1.2.1) следующими начальными условиями:

(4.7)

Составим определитель Вронского (x). В силу (2.2.7) (x₀) = ⁰ 0. А тогда, в силу теоремы 1.3, у₁(x), …, у_n(x) линейно независимы.

Замечание. Так как существует бесконечно много определителей, отличных от нуля, для каждого уравнения существует бесконечно много фундаментальных систем решений. Кроме того, линейное невырожденное преобразование

переводит одну фундаментальную систему решений в другую.

Докажем теперь основную теорему данного параграфа.

Теорема 2.5. Если у₁(x), …, у_n(x) - фундаментальная система решений, то любое решение у(x) уравнения (2.2.1) представимо в виде

, (2.2.8)

где С₁, …, С_n - некоторые постоянные.

Доказательство.

Пусть у(х₀) = у₁⁰, …, у^n-1(х₀) = у_n⁰. Определим постоянные С₁, …, С_n линейной системой уравнений с детерминантом, равным (х₀) 0:

(2.2.9)

и построим . Согласно теореме 1.4. (x) является решением уравнения (2.2.1), а (2.2.9) означает, что это решение удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у(x). Тогда, в силу единственности,

.Что и требовалось.

Замечание. Формула (2.2.8), где С₁, …, С_n - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (2.2.1), т.е. (2.2.8) является формулой, содержащей все решения уравнения (2.2.1) и не содержащей ничего, кроме решений. В самом деле, по теореме 1.4 при любых С₁, …, С_n (2.2.8) является решением уравнения (2.2.1), а согласно только что доказанной теореме в (2.2.8) содержится любое решение уравнения (2.2.1).

Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 2.4 и 2.5 означают, что в пространстве решений линейного однородного уравнения (2.2.1) имеется базис из n элементов, т.е. это пространство n-мерное.

2.3 Неоднородное линейное уравнение n-го порядка

Рассмотрим теперь уравнение

(2.3.1)

где непрерывны на интервале X.

Теорема 3.1 Если у₁(x), …, у_n(x) - фундаментальная система решений однородного уравнения (4.1), а (x) - частное решение неоднородного уравнения (2.3.1), то любое решение у(x) неоднородного уравнения (2.3.1) представляется в виде



(2.3.2)

где С₁, …, С_n некоторые постоянные.

Замечание. Теорема справедлива при любом выборе частного решения .

Замечание. Теорему 3.1 можно сформулировать и так: общее решение неоднородного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство.

Рассмотрим разность у(x)-(x). Согласно теореме 2.5 эта разность удовлетворяет однородному уравнению (2.2.1), и, значит, по теореме 1.5

Отсюда и последует (2.3.2).

Таким образом, для построения общего решения неоднородного уравнения нужно помимо фундаментальной системы решений однородного уравнения узнать хотя бы одно частное решение неоднородного уравнения. Покажем сейчас, что зная фундаментальную систему решений, можно найти квадратурой некоторое частное решение (x) неоднородного уравнения.

Зададимся целью построить частное решение (x), удовлетворяющее начальным условиям

у(х₀) = 0, …, у^(n-1)(х₀) = 0. (2.3.3)

С этой целью воспользуемся следующим эвристическим рассуждением. Представим f(x) приближённо как сумму функций (элементарных воздействий), равных f() в промежутке ( - , ) и нулю в остальных точках. Решение у, отвечающее каждому такому элементарному воздействию, имеющее при x = x₀ равные нулю производные до (n-1)-го порядка включительно, является тождественным нулём вплоть до -, но

т.е. у^(n-1)() равно уже не нулю, а f() и , таким образом, далее решение также будет не нулём. В силу принципа суперпозиции достаточно построить решение однородного уравнения (ведь вне ( - , ) правая часть равна нулю), принимающее в точке нулевое значение вместе с производными до(n-2)-го порядка включительно и с производной (n-1)-го порядка, равной единице (обозначим это решение , указывая зависимость от начальной точки, и назовём его импульсной функцией), а затем умножить его на f(). Итак, строится как решение однородного уравнения, удовлетворяющее условиям

(2.3.4)

а решение, отвечающее элементарному воздействию, имеет видf(). Суммируя теперь элементарные воздействия на основании того же принципа суперпозиции и перехода от суммы к интегралу, получим решение, удовлетворяющее условию (2.3.3):



. (2.3.5)

Формула (2.3.5) получена на основании эвристических соображений, но нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что (2.3.5) есть частное решение уравнения (2.3.1). В этой проверке и будет состоять доказательство следующей теоремы:

Теорема 3.2. Выражение (2.3.5), где функция, называемая импульсной функцией, удовлетворяет однородному уравнению (2.2.1) и начальным условиям (2.3.4), является частным решением неоднородного уравнения (2.3.1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям (2.3.3).

Доказательство.

Найдём из (2.3.5) . Предварительно заметим, что так как является параметром, принадлежащим тому же множеству, что и x, то (2.3.4) равносильно записи

Дифференцируя (2.3.5), имеем

=

Возможность дифференцирования под знаком интеграла следует из теоремы о непрерывной зависимости решения системы дифференциальных уравнений от x и начального значения переменной x, т.е. в данном случае от . Подставляя в (2.3.1), получим

так как под интегралом обращается в нуль в силу определения . Таким образом, действительно является решением уравнения (2.3.1) и, кроме того, очевидно, удовлетворяет (2.3.3).

Замечание. В частности, для уравнения первого порядка формула (2.3.5) совпадает с формулой (1.1.8) при у₀ = 0. В импульсной функцией (1.1.8) является множитель , который согласно (1.1.5), удовлетворяет одному уравнению и обращается в единицу при x =

2.4 Линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

Знание фундаментальной системы решений обеспечивает возможность найти любое решение однородного уравнения, а с применением квадратуры - также и решение неоднородного уравнения. Существование фундаментальной системы решений было доказано в теореме 2.4, однако вопрос о её эффективном построении остался открытым.

Пусть в (2.2.1)

а_i = соnst:

у⁽ⁿ⁾ + a₁у^(n-1) + … + а_ny = 0. (2.4.1)

Этот класс уравнений замечателен тем, что для него нахождения фундаментальной системы решений сводится к алгебраическим операциям, а именно к решению алгебраического уравнения n-ой степени.

Сопоставим уравнению (2.4.1) многочлен относительно , называемый характеристическим многочленом уравнения (2.4.1):

M()=ⁿ+a₁^n-1+...+a_n..

Лемма 4.1. Справедлтво тождество

(2.4.2.)

Доказательство.

Это тождество доказывается непосредственным вычислением с использованием формулы Лейбница для дифференцирования произведения. Имеем



e^xf=e^xf

Складывая полученные равенства, умножив их предварительно на соответствующее а_i, приходим к (2.4.2). Что и требовалось.

Замечание. Если ,то (2.4.2) принимает вид

(2.4.3)

Замечание. Тождества (2.4.2) - (2.4.4) можно записать компактнее, если обозначить через D оператор дифференцирования:. Если воспользоваться правилами сложения и умножения операторов, то левую часть уравнения (2.4.1) можно записать в виде

(Dⁿ + a₁D^n-1 + … + a_n)y = M(D)y.

Оператор M(D) называется операторным многочленом. Он имеет ту же структуру, что и характеристический многочлен M().

Введя M(D), можно тождества (2.4.2) - (2.4.4) записать в виде

M(D)e^xf(x)=e^x(2.4.5)

M(D) e^xx^p=e^x (2.4.6)

M(D) e^x=e^xM(). (2.4.7)

Отметим также следующее свойство операторных многочленов, которое понадобится в дальнейшем. Рассмотрим на ряду с M(D) некоторый другой операторный многочлен M(D). Пользуясь правилом сложения и умножения операторов, нетрудно убедиться, что операторные многочлены перемножаются по правилу обычных многочленов:

M(D)N(D) = N(D)M(D) = D^n+s +(a₁+b₁)D^n+s+1 + … +а_nb_n.

Приравнивая M() нулю, получим алгебраическое уравнение n-й степени относительно - так называемое характеристическое уравнение

ⁿ + а₁^n-1 + … + а_n = 0. (2.4.8)

Предположим, что это уравнение имеет корни ₁, …, _l кратностей m₁…, m_l (m₁ + … + m_l = n).

Теорема 4.1.1. Корню _k характеристического уравнения (2.4.8) кратности m_k, отвкчают m_k частных решений вида

(2.4.9)

Решения (2.4.9) , где k=1, ..., l, образуют фундаментальную систему решений уравнения (2.4.1).

Доказательство.

Воспользуемся (2.4.3) или (2.4.6). Если _k является корнем характеристического уравнения кратности m_k, то

M(_k)= M¹ (_k)=…=M^(m_k^{- 1)} (_k)=0

Поэтому правая часть (2.4.3) обращается в нуль для p=0,1,.., m_k-1, а это означает, что x^pe_k^x (p=0,1…, m_k-1) удовлетворяет уравнению (2.4.1), что и требуется .

2. Предположим противное, т.е., что решение (2.4.9) ( k=1,…,l) линейно зависимы. Это означает, что справедливо тождество

R₁ (x) e₁^x +…+ R_l (х) e_l^x = 0 (2.4.10)

через R_j(x) обозначены многочленные степени m_j-1, не все равные нулю. Допустим, что отличным от нуля является R₁ (этого можно добиться соответствующей нумерацией ), а в R₁ старший отличный от нуля член имеет степень p₁(p₁m₁-1), т.е.

R₁(x) = C₁₀ + C₁₁x + … C_1p1 x^p1,

причем С_1р10.

Умножим (6.10) на е^-_l ^Х. Получим

R₁(х) е⁽₁- _l^)х + … + R_l-1 (x) e⁽_l-1- _l^{) х l} + R_l (x) = 0. (2.4.11)

Продифференцируем это тождество на единицу большее число раз, нежели степень p_l = m_l-1 многочлена R_l(x). Предварительно заметим, что для выражения А(x) е^x где = const, А(x)- многочлен, при произвольном k имеет место тождество

,

где В(х) - многочлен той же степени, что и А(x), причем его старший коэффициент равен старшему коэффициенту А(х), помноженному на ^k. Это тождество легко получить либо из ( 2.4.5), полагая M(D)=D^k, =, ?(x)=A(x), либо просто из формулы Лейбница. Итак, дифференцируя (2.4.11) получим

Q₁(x)e⁽₁^- _l^)x+…Q_l-1(x)e ⁽_l-1^- _l^)x =0,

или

Q₁(x)e _l^x+…+Q_l-1(x)e _l-1^x =0, (2.4.12)

где Q₁(x),…, Q_l-1(x)- многочлены той же степени, что R₁,…,R_l-1, причем коэффициент старшего члена Q₁(x) есть C_1pl(1- l)^p_l⁺¹_. Проделывая с (2.4.12) ту же операцию, что и с (2.4.10), и продолжая этот процесс, приходим к тождеству вида

S₁(x)e₁^x=0 или S₁(x)=0, (2.4.13)

причем коэффициент старшего члена S₁(x) есть C_1pl(1- l)^p_l+1…(₁- ₂)^p_l+1 и в силу (2.4.13) он должен равняться нулю, а это противоречит тому, что С _1р1 0, ₁-_l0,… ,₁-₂0. Противоречие приводит к выводу, что решение (2.4.9) линейно независимы, т.е. образуют фундаментальную систему решений, и утверждение 2, таким образом, доказано.

В силу теоремы 4.1 общее решение уравнения 2.4.1 является линейной комбинацией решений (2.4.9) (k-1,…,l). Однако в случае комплексных _k такое представление не всегда удобно. Можно, однако, вместо фундаментальной системы решений (2.4.9) пользоваться другой фундаментальной системой решений, состоящих из действительных функций.

Пусть _k=p_k+iq_k. Тогда двум комплексным решениям вида x^r e_k^X, соответствуют, в силу теоремы 1.6, два действительных решения :

Таким образом, вместо комплексных решений можно построить столько же действительных решений; они образуют другую фундаментальную систему решений, будучи линейно независимы в силу того, что матрица перехода от пары комплексно сопряженных решений к их действительной и мнимой частям имеет вид и имеет отличный от нуля определитель, равный

Беря линейную комбинацию полученных действительных решений, приходим к представлению (1.2.25), которое теперь, таким образом доказана.

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

(2.4.14)

Зная фундаментальную систему решений (2.4.9), можно построить его частное решение по теореме 3.2. Практически это, однако, требует довольно громоздких выкладок, в связи с чем представляет интерес класс , для которого можно построить частное решение, не обращаясь к формуле (2.3.5), а пользуясь чисто алгебраическими операциями.

Теорема 4.2. Пусть многочлен степени s. Пусть не совпадает не с одним корнем _k характеристического уравнения (2.4.8) ( так называемый нерезонансный случай). Тогда существует частное решение уравнения (2.4.14), имеющее вид

, (2.4.15)

где P(x)- многочлен той же степени, что и S(x).

Если не совпадает с корнем характеристического уравнения _k кратности m_k (так называемый резонансный случай), то существует частная решение уравнения (2.4.14), имеющее вид

, (2.4.16)

где Т(x) - многочлен той же степени, что и S(x).

На основании этой теоремы частное решение ищется в указанном виде, где многочлен P(x) или Т(x) записывается с неизвестными коэффициентами. Подставляя в уравнение (2.4.14), сокращая на и приравнивая члены с одинаковыми степенями x, получим систему неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов многочлена Р(x) или Т(x). Эта система будет разрешимой, поскольку существование решения такого вида обеспечена теоремой 4.2.

Доказательство.

Доказательство приведем для резонансного случая (2.4.16), так как (2.4.15) получается их (2.4.16) при m_k =0. Подставим (2.4.16) в (2.4.14) :

(2.4.17)

и убедимся, что отсюда можно определить последовательно коэффициенты многочлена Т(x), начиная с коэффициента при старшей степени x^s. Выделим в многочленах Т(x) и S(x) старшие члены:

Имеем тогда

Распишем первое слагаемое слева, пользуясь формулой (2.4.6) и учитывая, что Получим

(2.4.18)

Заметим, что в выражении стоящем в фигурных скобках, первая слагаемая имеет степень s, а прочие- более низкую. Приравнивая старшие члены и сокращая на будем иметь

Отсюда определиться b₀ через в силу После этого (2.4.18) можно записать в виде

(2.4.19)



где - многочлен в степени не выше s-1, полученный в результате перенесения в право всех членов выражения умноженного на выражение состоящее в фигурных скобках (кроме первого), который теперь известен.

Соотношение (2.4.19) представляет собой уравнение, аналогичное (2.4.17), но степени многочленов и на единицу ниже и. Из (2.4.19) аналогична предыдущему определиться старший коэффициент многочлена , т.е. определяться уже два старших члена многочлена . Продолжая процесс, определим последовательно все члены .

Метод отыскания частного решения, основанный на доказанной теореме, будем называть методом неопределенных коэффициентов.

Итак, для уравнения с постоянными коэффициентами фундаментальная система решений, а в случае правой части вида также и частное решение неоднородного уравнения могут быть построены в эффективной форме путем алгебраических операций. В заключение укажем один специальный класс уравнений с переменными коэффициентами, для которого фундаментальную систему решений также можно построить эффективно. Это так называемое уравнение Эйлера.

(2.4.20)

Непосредственной выкладкой нетрудно убедиться, что заменой независимого переменного уравнение (2.4.20) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами, что и решает вопрос об эффективном построении фундаментальной системы решений.

Для отыскания частного решения неоднородного уравнения Эйлера в случае, если правая часть имеет вид , применим метод неопределенных коэффициентов.



3. Системы линейных уравнений. Общая теория

3.1 Системы линейных уравнений

Обратимся к изучений системы линейных дифференциальных уравнений

(3.1.1)

Система (3.1.1) называется однородной, если _i (x) = 0 (i = 1, …, n) в противном случае - неоднородной. Будем предполагать a_ik(x) и _i(x) непрерывными на интервале X. Как было доказано выше, при этих условиях на Х существует единственное решение системы (3.1.1), удовлетворяющее начальному условию

y_i(x₀) = , i = 1, …, n. (3.1.2)

Для системы уравнений справедливы теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для одного уравнения n-го порядка.

Общие свойства системы линейных уравнений. Обратимся системе (3.1.1). Обозначим через у, и y⁰ столбцы



а через А (х) обозначим (n n) - матрицу с элементами а_ij(х):

Тогда систему (3.1.1) можно записать в виде одного уравнения

y' = A (x) y + f {x), (3.1.3)

точно так же, как и начальные условия

y (x₀) = y⁰. (3.1.4)

Пользуясь правилом умножения 4°, правилом сложения 3° и правилом равенства матриц 2°, нетрудно убедиться в том, что (3.1.3) и (3.1.4) то же самое, что и (3.1.1) и (3.1.2).

В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для дифференцируемых столбцов имеет место тождество, в котором _i - постоянные числа,

(3.1.5)

выражающее свойство линейности оператора y - Ay L[y] на множестве дифференцируемых столбцов.

Здесь и в дальнейшем для нумерации столбцов будем употреблять индекс, заключенный в круглые скобки, оставляя индекс без скобок для обозначения элементов (компонент).

Непосредственным следствием этого тождества является принцип суперпозиции.

Теорема 3.1.1. Пусть в уравнении (3.1.3) f(x) является линейной комбинацией f_(i) (х), т.е.

где _i -- постоянные числа, и пусть y_(i)(x) является решением уравнения y'_(i) = A(x) y_(i) + f_(i).

Тогда линейная комбинация y_(i) (x) с теми же коэффициентами _i, т.е. столбец у (х) = , является решением уравнения (3.1.3).

Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 1.4-1.6.

Однородное уравнение. Рассмотрим более детально однородное уравнение

у ' = А (х) у. (3.1.6)

Пусть имеется п столбцов

Составим из этих столбцов матрицу W(x):



(3.1.7)

Сопоставим уравнению (3.1.6), правая и левая части которого - столбцы, аналогичное уравнение

W = A (x) W, (3.1.8)

правая и левая части которого - матрицы размерности (n n) и в котором неизвестной является матрица W(x).

Теорема 3.1.2. Пусть y₍₁₎, ..., у_(n) есть n решений уравнения (3.1.6). Тогда (n n) - матрица W(x), образованная из них по формуле (3.1.7), является решением матричного уравнения (3.1.8).

Обратно: если W(x) является решением уравнения (3.1.8), то каждый столбец матрицы W(x) является решением уравнения (3.1.6).

Доказательство. Достаточно расписать (3.1.8) и (3.1.6) поэлементно. Действительно, (3.1.8) означает

(3.1.9)

или

(3.1.10)



a (3.1.6) означает

(3.1.11)

Поэтому если у_(j) являются решениями (3.1.6), то каждое у_(j) удовлетворяет (3.1.11), т.е. справедливо (3.1.10) или, что то же, (3.1.9), а значит, и (3.1.8), и наоборот, если справедливо (3.1.8), то и (3.1.10), а это в сопоставлении с (3.1.11) означает, что у_(j) (j = 1, ..., n) является решением уравнения (3.1.6).

Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто.

Теорема 3.1.3. Если W(x) - решение уравнения (3.1.8), то выражение WB является решением уравнения (3.1.6), если В - произвольный постоянный столбец, и решением уравнения (3.1.8), если В - произвольная постоянная (n n) - матрица.

Определение. Будем говорить, что столбцы u_(i), ..., u_(р) линейно зависимы на интервале X, если существуют постоянные C₁, ..., С_р, не все равные нулю, такие, что имеет место тождество

(3.1.12)

Если же (3.1.12) выполняется только при C₁ = ... = С_р = 0, то будем говорить, что u₍₁₎, …, u_(p) линейно независимы.