Основные правила дифференцирования

Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Показательно-степенная функция и ее дифференцирование. Производная обратных функций. Связь между дифференциалом и производной. Теорема об инвариантности дифференциала.

Рубрика Математика
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 05.03.2009
Размер файла 191,4 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Лекция № 1

Основные правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ? v)? = u? ? v?

2) (u?v)? = u?v? + u??v

3), если v ? 0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций:

1)С? = 0; 9)

2)(xm)? = mxm-1; 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Логарифмическое дифференцирование

Дифференцирование многих функций упрощается, если их предварительно прологарифмировать. Для этого поступают следующим образом. Если требуется найти y' из уравнения y=f(x), то можно:

1. Прологарифмировать обе части уравнения (по основанию е) ln y = ln f(x) = j(x).

2. Продифференцировать обе части равенства, считая ln y сложной функцией от переменной x: .

3. Выразить y' = y·j'(x) = f(x)·(lnx)'.

Примеры.

1. y = xa - степенная функция с произвольным показателем.

.

2.

Показательно-степенная функция и ее дифференцирование

Показательно-степенной функцией называется функция вида y = uv, где u=u(x), v=v(x).

Логарифмическое дифференцирование применяется для нахождения производной от показательно-степенной функции.

Примеры

1.

2. .

Таблица производных

Объединим в одну таблицу все основные формулы и правили дифференцирования, выведенные ранее. Всюду будем полагать u=u(x), v=v(x), С=const. Для производных основных элементарных функций будем пользоваться теоремой о производной сложной функции.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

а).

б) .

6. .

7. .

.

8.

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Примеры

1.

2.

3. . Найти y'(-1).

Производная обратных функций

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

т.к. g?(y) ? 0

т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции.

Пример. Найти формулу для производной функции arctg.

Функция arctg является функцией, обратной функции tg, т.е. ее производная может быть найдена следующим образом:

Известно, что

По приведенной выше формуле получаем:

Т.к. то можно записать окончательную формулу для производной арктангенса:

Понятие дифференциала функции. Связь между дифференциалом и производной

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a; b]. Производная этой функции в некоторой точке х0 ? [a; b] определяется равенством

Следовательно, по свойству предела

Умножая все члены полученного равенства на ?x, получим:

?y = f '(x0)·?x + a·?x.

Итак, бесконечно малое приращение ?y дифференцируемой функции y=f(x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое есть (при f '(х0) ? 0) главная часть приращения, линейная относительно ?x, а второе - бесконечно малая величина более высокого порядка, чем ?x. Главную часть приращения функции, т.е. f '(х0)·?x называют дифференциалом функции в точке х0 и обозначают через dy.

Таким образом, если функция y=f(x) имеет производную f '(x) в точке x, то произведение производной f '(x) на приращение ?x аргумента называют дифференциалом функции и обозначают:

dy = f '(x)·?x

(1)

Найдем дифференциал функции y= x. В этом случае y' = (x)' = 1 и, следовательно, dy=dx=?x. Таким образом, дифференциал dxнезависимой переменной xсовпадает с ее приращением ?x. Поэтому формулу (1) мы можем записать так:

dy = f '(x)dx

Но из этого соотношения следует, что . Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

Ранее мы показали, что из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке.

Справедливо и обратное утверждение.

Если для данного значения x приращение функции ?y = f(x+?x) - f(x) можно представить в виде ?y = A·?x + ?, где ? - бесконечно малая величина, удовлетворяющая условию , т.е. если для функции y=f(x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)=А.

Действительно, имеем , и так как при ?x>0, то .

Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.

Примеры. Найти дифференциалы функций:

1.

2. .

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через ? угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение ?x, тогда функция получит приращение ?y = NM1. Значениям x+?x и y+?y на кривой y = f(x) будет соответствовать точка

M1(x+?x; y+?y).

Из ?MNT находим NT=MN·tg ?. Т.к. tg ? = f '(x), а MN = ?x, то NT = f '(x)·?x. Но по определению дифференциала dy=f '(x)·?x, поэтому dy = NT.

Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и ?x, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

Теорема об инвариантности дифференциала

Ранее мы видели, что если u является независимой переменной, то дифференциал функции y=f '(u) имеет вид dy = f '(u)du.

Покажем, что эта форма сохраняется и в том случае, когда u является не независимой переменной, а функцией, т.е. найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть y=f(u), u=g(x) или y = f(g(x)). Тогда по правилу дифференцирования сложной функции:

.

Следовательно, по определению

,

но g'(x)dx= du, поэтому dy= f'(u)du.

Мы доказали следующую теорему.

Теорема. Дифференциал сложной функции y=f(u), для которой u=g(x), имеет тот же вид dy=f'(u)du, какой он имел бы, если бы промежуточный аргумент u был независимой переменной.

Иначе говоря, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример. . Найти dy.

Учитывая свойство инвариантности дифференциала, находим

.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции ?yможно представить в виде суммы ?y=dy+?·?x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых ?x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством ?y?dyили ?y»f'(x0)·?x.

Т.к., по определению, ?y = f(x) - f(x0), то f(x) - f(x0)?f'(x0)·?x.

Откуда

f(x) ? f(x0) + f'(x0)·?x

Примеры:

1. y = x2 - 2x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. ?y), когда x изменяется от 3 до 3,01.

Имеем ?y?dy=f'(x)·?x.

f'(x)=2x - 2 ,f'(3)=4, ?x=0,01.

Поэтому ?y ? 4·0,01 = 0,04.

2. Вычислить приближенно значение функции в точке x = 17.

Пусть x0= 16.

Тогда ?x = x - x0= 17 - 16 = 1,

,

.

Таким образом, .

3. Вычислить ln 0,99.

Будем рассматривать это значение как частное значение функции y=lnx при х=0,99.

Положим x0 = 1. Тогда ?x = - 0,01, f(x0)=0.

, f '(1)=1.Поэтому f(0,99) ? 0 - 0,01 = - 0,01.


Подобные документы

  • Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.

    презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014

  • Обзор таблицы производных элементарных функций. Понятие промежуточного аргумента. Правила дифференцирования сложных функций. Способ изображения траектории точки в виде изменения ее проекций по осям. Дифференцирование параметрически заданной функции.

    контрольная работа [238,1 K], добавлен 11.08.2009

  • Частные случаи производной логарифмической функции. Производная показательной функции, экспоненты, степенной, тригонометрических функций. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Производные обратных тригонометрических функций.

    презентация [332,2 K], добавлен 21.09.2013

  • Пределы функций и их основные свойства, операция предельного перехода, бесконечно малые функции. Производная функции, важнейшие правила дифференцирования, правило Лопиталя. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях, построение графиков.

    методичка [335,2 K], добавлен 18.05.2010

  • Производная функция. Касательная к кривой. Геометрический смысл производной. Производные от элементарных функций. Изучение функций с помощью производной. Максимум и минимум функции. Точки перегиба. Дифференциал.

    статья [122,0 K], добавлен 11.01.2004

  • Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Исследование правил дифференцирования, которые используют при нахождении производных. Определение производной алгебраической суммы конечного числа.

    презентация [175,0 K], добавлен 21.09.2013

  • Методы численного дифференцирования. Вычисление производной, простейшими формулами. Численное дифференцирование, основанное на интерполяции алгебраическими многочленами. Аппроксимация многочленом Лагранжа. Дифференцирование, с использованием интерполяции.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 15.02.2016

  • Сущность предела функции, ее производной и дифференциала. Основные теоремы о пределах и методы их математического вычисления. Производная, ее физический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости, основные правила дифференцирования.

    презентация [128,4 K], добавлен 24.06.2012

  • Определение предела последовательности. Понятие производной и правила дифференцирования. Теоремы Роля, Лангража, правило Лапиталя. Исследования графиков функций. Таблица неопределенных и вычисление определенных интегралов. Функции нескольких переменных.

    презентация [917,8 K], добавлен 17.03.2010

  • Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.

    презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.