Дослідження проблеми комплексних чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Дипломна робота

Дослідження проблеми комплексних чисел

Зміст

1. Введення

2. Комплексні числа (вибрані задачі)

2.1. Комплексні числа в алгебраїчній формі

2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел

2.4. Додаток теорії комплексних чисел до рішення рівнянь 3-й і 4-й ступеня

2.5. Комплексні числа й параметри

3. Висновок

4. Список літератури

1. Введення

У програмі математики шкільного курсу теорія чисел уводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто на множині дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже в 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння при негативному дискримінанті. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь із негативного числа має сенс.

Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, полягає в тім, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числові системи, про рішення широкого класу задач як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівнянь будь-якого ступеня й об рішення задач із параметрами.

У даній дипломній роботі розглянуте рішення 82-х задач.

У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведені рішення задач із комплексними числами в алгебраїчній формі, визначаються операції додавання, вирахування, множення, ділення, операція сполучення для комплексних чисел в алгебраїчній формі, ступінь мнимої одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило добування квадратного кореня з комплексного числа.

У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді крапок або векторів комплексної площини.

У третій частині розглянуті дії над комплексними числами в тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра й добування кореня з комплексного числа.

Четверта частина присвячена рішенню рівнянь 3-й і 4-й ступенів.

При рішенні задач останньої частини «Комплексні числа й параметри» використовуються й закріплюються відомості, наведені в попередніх частинах. Серія задач глави присвячена визначенню сімейств ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ потрібно вирішити рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє одночасно ряду умов. Особливістю рішення задач цього розділу є відомість багатьох з них до рішення рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних з параметром.

Особливістю викладу матеріалу кожної частини є первісне уведення теоретичних основ, а в наслідку практичне їхнє застосування при рішенні задач.

Наприкінці дипломної роботи представлений список використовуваної літератури. У більшості з них досить докладно й доступно викладений теоретичний матеріал, розглянуті рішення деяких задач і дані практичні завдання для самостійного рішення. Особливу увагу хочеться звернути на такі джерела, як:

1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексні числа і їхні додатки: Навчальний посібник. Матеріал навчального посібника викладений у вигляді лекційних і практичних занять.

2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом І.М. Вибрані задачі й теореми елементарної математики. Арифметика й алгебра. Книга містить 320 задач, що ставляться до алгебри, арифметиці й теорії чисел. За своїм характером ці задачі значно відрізняються від стандартних шкільних задач.

2. Комплексні числа (вибрані задачі)

2.1 Комплексні числа в алгебраїчній формі

Рішення багатьох задач математики, фізики зводиться до рішення алгебраїчних рівнянь, тобто рівнянь виду

,

де a0 , a1 , ..., an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним з найважливіших питань у математику. Наприклад, дійсних корінь не має квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння

.

Для того щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити множину дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння

.

Позначимо цей корінь через . Таким чином, по визначенню

, або ,

отже, .

Символ називається мнимою одиницею. З його допомогою й за допомогою пари дійсних чисел і складається вираження виду

.

Отримане вираження назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і мниму частини.

Отже, комплексними числами називаються вираження виду

,

де й - дійсні числа, а - деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа , а число - його мнимою частиною. Для їхнього позначення використовуються символи

, .

Комплексні числа виду є дійсними числами й, отже, множина комплексних чисел містить у собі множина дійсних чисел.

Комплексні числа виду називаються чисто мнимими. Два комплексних числа виду й називаються рівними, якщо рівні їх дійсні й мнимі частини, тобто якщо виконуються рівності

, .

Алгебраїчний запис комплексних чисел дозволяє робити операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число виду

.

Добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число виду

.

1. Комутативний закон додавання:

.

2. Асоціативний (сполучний) закон додавання:

.

3. Комутативний закон множення:

.

4. Асоціативний закон множення:

.

5. Дистрибутивний (розподільний) закон множення щодо додавання:

.

6. .

7. .

8. .

9. Будь-якому комплексному числу відповідає протилежне комплексне число таке, що .

10. Усякому комплексному числу відмінному від нуля, відповідає зворотне комплексне число таке, що .

Ступеня мнимої одиниці.

Якщо натуральний показник ступеня m при діленні на 4 дає в остачі r, тобто якщо , де n - натуральне число, то

;

при цьому

Комплексне число називається сполученим комплексному числу , якщо

.

Властивості операції сполучення.

1.

2. Для будь-якого дійсного числа a справедлива рівність

3. Для будь-якого дійсного числа b справедлива рівність

Наслідок з 5.

4. Сума й добуток двох комплексно сполучених чисел є дійсними числами.

Наслідок з 7.

Модулем комплексного числа називається дійсне число виду

.

8. Теорема про сполучений корінь.

Якщо число є коренем рівняння

 (1)

с дійсним коефіцієнтами a0 , a1 , …, an , те число також є коренем рівняння (1).

Добування квадратного кореня з комплексного числа . Нехай

,

де x і y - дійсні числа. Зводячи обидві частини цієї рівності у квадрат, одержуємо

.

Що рівносильне системі

Вирішуючи цю систему, одержуємо:

; .

Таким чином, добування кореня квадратного з комплексного числа здійснюється по формулі

.

У дужках перед мнимою одиницею береться знак плюс, якщо , і знак мінус, якщо .

Задача 1

Знайдіть комплексних корінь рівняння , якщо:

а) ; б) ; в) .

Рішення

а) .

Тому що , те це рівняння можна записати у вигляді або . Звідси, розкладаючи ліву частину на множники, одержуємо , звідки , .

б) .

З огляду на, що , перетворимо це рівняння:

, , , звідки , .

в) .

Перетворимо , , , звідки , .

Відповідь: а) ; б) ; в) .

Задача 2

Знайдіть x і y, для яких .

Рішення

Одержимо й вирішимо систему двох рівнянь:

Відповідь: .

Задача 3

Вирішите рівняння щодо дійсних змінних x і y.

Рішення

Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду , одержуємо рівняння рівносильне даному: . Тому що два комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні й мнимі частини, приходимо до системи:

Відповідь: .

Задача 4

При яких дійсних значеннях x і y комплексні числа й будуть протилежними?

Рішення

Комплексні числа й будуть протилежними, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .

Задача 5

При яких дійсних значеннях x і y комплексні числа й будуть рівними?

Рішення

Комплексні числа й будуть рівними, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .

Задача 6. Вирішите рівняння щодо дійсних змінних x і y.

Рішення

Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Привівши його до виду , одержуємо рівняння рівносильне даному: . Тому що два комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли рівні їх дійсні й мнимі частини, приходимо до системи:

Відповідь: .

Задача 7

Вирішите в множині комплексних чисел рівняння .

Рішення

Тому що , тоді коріння перебувають по формулі

( ).

Звідси, , .

Відповідь: .

Задача 8.

Вирішите рівняння

.

Рішення

Перепишемо рівняння у вигляді .

Думаючи , одержимо рівняння , що має корінь . Тому ліву частину цього рівняння можна представити у вигляді добутку двочлена й квадратного тричлена.

Для знаходження коефіцієнтів квадратного тричлена застосуємо схему Горнера:

	1	1	2	- 4
1	1	2	4	0

Отже, одержуємо рівняння .

Квадратний тричлен має коріння

й .

Отже, вихідне рівняння має коріння:

, , .

Відповідь: ; .

Задача 9

Вирішите рівняння

.

Рішення

Корінь даного рівняння перебувають по формулах

, ,

де й - числа, що задовольняють умові . Звідси . Нехай , тоді , тобто . Два комплексних числа рівні, отже, рівні їх дійсні й мнимі частини:

Знаходимо два рішення цієї системи: , . Таким чином,

рішеннями вихідного рівняння є числа , і

, тобто , .

Відповідь: ; .

Задача 10. Зробіть дії з комплексними числами в алгебраїчній формі:

а) ; б) ; в) .

Рішення

а)

б)

в)

Відповідь: а) ; б) ; в) .

Задача 11. Зробіть наступні дії над комплексними числами:

а) ; б) ; в) ; г) .

Рішення

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

Задача 12. Запишіть комплексне число у вигляді

Рішення

Маємо

Відповідь: .

Задача 13

Знайдіть значення функції при .

Рішення

Підставимо значення x у функцію:

.

Обчислимо другий доданок:

.

Обчислимо перший доданок:

.

Таким чином, .

Відповідь: .

Задача 14

Обчислите ; ; ; .

Рішення

За допомогою формули:

Легко одержуємо:

;

;

;

.

Відповідь: ; ; ; .

Задача 15

Виконаєте зазначені дії:

.

Рішення

Обчислимо значення дробу

.

Отже,

Відповідь: .

Задача 16.

Вирішите рівняння .

Рішення

По формулі

, знаходимо:

.

Помітимо, що знайдені в цій задачі коріння є сполученими: і . Знайдемо суму й добуток цих корінь: , . Число 4 - це другий коефіцієнт рівняння , узятий із протилежним знаком, а число 13 - вільний член, тобто в цьому випадку справедлива теорема Виета. Вона справедлива для будь-якого квадратного рівняння: якщо й - корінь рівняння , де , .

Відповідь: .

Задача 17.

Складіть наведене квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, що має корінь .

Рішення

Другий корінь рівняння є числом, сполученим з даним коренем , тобто . По теоремі Виета знаходимо

; ,

де число 2 - це другий коефіцієнт рівняння, узятий із протилежним знаком, а число 5 - вільний член. Таким чином, одержуємо рівняння

.

Відповідь: .

Задача 18

Дано числа ; . Знайдіть:

а) ; б) .

Рішення

а) , тоді

б) , тоді

Відповідь: а) ; б) .

Задача 19.

Знаючи, що коренем рівняння є число , знайдіть всі коріння даного рівняння.

Рішення

Оскільки всі коефіцієнти даного рівняння - дійсні числа, то на підставі теореми про сполучений корінь, робимо висновок, що число також є коренем даного рівняння.

Нехай - невідомий корінь рівняння , тоді , де

, одержуємо .

Розділимо обидві частини останньої рівності на , одержимо .

Отже, .

Відповідь: ; .

Задача 20

Знайдіть всі комплексні числа, кожне з яких сполучене зі своїм квадратом.

Рішення

Нехай - шукане комплексне число, де x і y - дійсні числа. Тоді число , сполучене числу , дорівнює .

За умовою задачі маємо: , тобто .

Перетворивши це рівняння, одержимо: .

Два комплексних числа рівні тоді й тільки тоді, коли рівні відповідно їх дійсні й мнимі частини. Отже, останнє рівняння рівносильне наступній системі рівнянь із дійсними змінними x і y:

Можливі два випадки:

1) .

Тоді система рівносильна системі:

що

має наступні рішення:

; .

2) . Тоді система рівносильна системі , що має два рішення: і .

Отже, шуканих чисел чотири: ; ; , з них два числа й - дійсні, а два інших і - комплексно сполучені.

Відповідь: ; ; .

Задача 21.

Відомо, що , . Знайдіть:

а) ; б) .

Рішення

а) ,

б) .

Відповідь: а) ; б) .

Задача 22

При яких дійсних значеннях x і y комплексні числа й будуть сполученими?

Рішення

Комплексні числа й будуть комплексно сполученими, якщо виконуються умови:

Відповідь: ; .

Задача 23.

Доведіть тотожність .

Рішення

Нехай , , .

Тоді ,

,

,

Звідси легко треба доказувана тотожність.

Задача 24.

Доведіть, що якщо число є чисто мнимим, те .

Рішення

За умовою , де b - дійсне число, тоді , , .

Тотожність доведена.

Задача 25.

Нехай . Доведіть, що .

Рішення

Оскільки , те

Тотожність доведена.

Задача 26.

Вирішите рівняння .

Рішення

Нехай . Тоді дане рівняння запишеться у вигляді , звідки . Комплексне число дорівнює нулю, тоді й тільки тоді, коли його дійсна й мнима частини дорівнюють нулю; тому для знаходження невідомих x і y одержимо систему:

Із другого рівняння цієї системи знаходимо: x=0 і y=0. При x=0 перше рівняння системи запишеться у вигляді або . Звідси знаходимо або . Таким чином, числа , , є рішеннями даного рівняння.

При y=0 для знаходження x одержуємо рівняння . Звідси треба, що x=0, і тим самим .

Відповідь: ; ; .

Задача 27

Вирішити систему рівнянь:

Рішення

Думаючи , маємо

отже, і .

Після перетворень дана система приймає вид

Рішення отриманої системи є пари й . Таким чином, вихідна система має два рішення й .

Відповідь: ; .

Задача 28.

Доведіть, що якщо , те .

Рішення

Припустимо, що існує таке комплексне число , , для якого виконане нерівність . Тоді , або .

Оскільки

те й - дійсні числа. Тому з останньої нерівності одержимо нерівність: .

Отже, .

Отримане протиріччя доводить твердження.

Задача 29.

Вирішите рівняння .

Рішення

По формулах корінь квадратного рівняння маємо:

.

Витягаючи корінь квадратний із числа , одержуємо .

Отже,

;

.

Відповідь: ; .

Задача 30.

Витягніть квадратний корінь із комплексного числа .

Рішення

Нехай , де .

По формулі

У такий спосіб .

Відповідь: .

Задача 31.

Вирішите рівняння: .

Рішення

Маємо , ,

.

Одержуємо

Витягнемо квадратний корінь із комплексного числа по формулах:

; ;

Тому що , Тоді

Отже, , тоді

Де й

Можна зробити перевірку за теоремою Виета:

и.

Відповідь: ; .

Задача 32.

Нехай , . При яких дійсних значеннях a і b виконується умова ?

Рішення

Знаходимо

.

Використовуючи умову рівності двох комплексних чисел, одержуємо систему

Відповідь: .

2.2 Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Уведемо на площині прямокутну систему координат xOy і поставимо у відповідності кожному комплексному числу крапку площини з координатами (a; b). Отримана відповідність між всіма комплексними числами й всіма крапками площини взаємно однозначно: кожному комплексному числу відповідає одна крапка площини з координатами (a; b), і обернено, кожній крапці площини з координатами (a; b) відповідає єдине комплексне число (див. мал. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 1

Таким чином, z одночасно позначають і комплексне число, і крапку, що зображує це комплексне число.

Комплексне число називається комплексною координатою крапки (a; b).

Оскільки при зазначеній відповідності дійсні числа зображуються крапками осі абсцис, то вісь Ox називається дійсною віссю. Вісь Oy, на якій лежать чисто уявні числа , називається мнимою віссю. Площина, крапки якої зображують комплексні числа, називається комплексною площиною.

Комплексне число може також зображуватися вектором з координатами a і b, що йде з початку координат у крапку (a; b) (див. мал. 1). По визначенню модуля комплексного числа

,

модуль комплексного числа дорівнює довжині вектора .

Задача 33

Зобразите на комплексній площині (мал. 2), що випливають комплексні числа:

Рішення

Даним комплексним числам відповідають крапки комплексної площини.

Покажемо їх.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 2

Задача 34

Знайдіть комплексну координату середини відрізка AB, якщо комплексні координати його кінців рівні й відповідно.

Рішення

Позначимо середину відрізка AB через O1. Тоді

.

З огляду на, що комплексна координата вектора дорівнює , одержимо .

Відповідь: .

Задача 35

Зобразите графічно множину всіх крапок комплексної площини, для яких виконуються дані умови:

а) , б) , в) , г) , д) ,

е) , ж) , з) , і) , к) .

Рішення

а) . З рівностей і , одержуємо: .

Множина крапок - пряма (мал. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 3.

б) . , . Отже, .

Множина крапок - верхня щодо осі OX напівплощина, включаючи пряму (мал. 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 4.

в) . З рівностей і , одержуємо: .

Множина крапок - пряма (мал. 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 5.

г) , , і . Отже, .

Множина крапок - ліва відносно прямій напівплощина, включаючи пряму (мал. 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 6.

д) . , тому .

Множина крапок - пряма . (мал. 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 7.

е) Якщо , те умови й означають, що й . Множина крапок - частина площини, обмежена знизу прямій , праворуч , крім зазначених прямих (мал. 8).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 8.

ж) Якщо , те, і умова означає, що , тобто . Множина крапок - пряма (мал. 9).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 9.

з) Якщо , те при умова, що сума відмінна від нуля, маємо , тому . Отже, , звідки одержуємо рівняння:

, або .

Перетворимо його

.

Таким чином, множина крапок - це окружність із центром у крапці O радіуса , у якої «виколота» крапка (мал. 10).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 10.

и) ; за умовою , отже, .

Множина крапок - окружність із центром на початку координат радіуса 1.

к) За умовою , тому , тобто , , , . Остання умова означає, що або , або . У першому випадки одержуємо рівняння осі Ox, у в другому випадки крапку . З огляду на, що , тобто що дійсна частина комплексного числа ненегативна.

Доходимо висновку: шукана множина крапок - позитивна піввісь Ox з початком у крапці .

Задача 36.

Зобразите на площині XOY множина, всіх крапок , що задовольняють умові:

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

Рішення

а) . Для кожного число дорівнює відстані між крапкою й крапкою . Тому заданій умові задовольняють ті й тільки ті крапки, які лежать на окружності радіуса 1 із центром у крапці (мал. 11).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 11.

б) . Для кожного число дорівнює відстані між крапкою й початком координат. Тому умові задовольняють ті й тільки ті крапки, які лежать усередині кільця, обмеженого двома концентричними окружностями із центром на початку координат і радіусами й відповідно (мал. 12).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 12.

в) . З визначення головного аргументу комплексного числа треба, що множина крапок z, що задовольняють даному співвідношенню, є відкритим променем Oz (рис 13), що утворить кут з позитивним напрямком осі Ох.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 13.

г) . Нехай . Тоді дане співвідношення перепишеться у вигляді або .

Звідси знаходимо: , тобто .

Таким чином, , і, отже, вихідному співвідношенню задовольняють тільки ті комплексні числа, для яких . Такі крапки заповнюють всю верхню напівплощину (мал. 14). Ця відповідь можна одержати з геометричних міркувань, з огляду на, що вісь OX є перпендикуляр до відрізка, що з'єднує крапки й , відновлений з його середини.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 14.

д) Шукана множина крапок є перетинання кільця, обмеженого окружностями радіусів 1 і 2 із центром у крапці , і другого квадранта (мал. 15).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 15.

Задача 37.

Доведіть, що відстань між крапками й дорівнює .

Рішення

Тому що , а це й

є, як відомо з геометрії, формула відстані між двома крапками й .

Задача 38

Доведіть, що якщо крапка не збігається із крапкою , то рівність задає рівняння прямої, перпендикулярної відрізку, що з'єднує крапки й , і минаючої через його середину.

Рішення

Всі крапки , що задовольняють рівності , рівновіддалені від крапок і й тому, як це відомо з геометрії, лежать на прямій, перпендикулярної відрізку, що з'єднує крапки й , і минаючої через його середину. Обернено, всі крапки цій прямій, мабуть, задовольняють рівності , отже, ця рівність є рівнянням зазначеної вище прямої.

Задача 39. Укажіть, де на площині розташовані крапки, що відповідають комплексним числам , для яких .

Рішення

Представимо вираження у вигляді різниці двох комплексних чисел: . Тоді стає ясно, що рівність є рівнянням окружності із центром у крапці й радіусом 2.

Нерівності задовольняють внутрішні крапки зазначеного кола разом із крапками, що лежать на окружності , тоді нерівності відповідає зовнішність кола радіуса 1 концентричному першому.

Тому що нас цікавлять крапки, що задовольняють одночасно двом умовам: , тому шукана область є перетинанням двох знайдених областей і являє собою кільце, що містить крапки зовнішньої обмежуючої окружності. Тому що ліва нерівність є строгим, крапки внутрішньої обмежуючої окружності не входить в отриману область (мал. 16).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 16.

Задача 40.

Укажіть, де на площині розташовані крапки, що відповідають комплексним числам, що задовольняють умові: .

Рішення

Рівність є рівняння прямій l, перпендикулярної відрізку AB (A (0;0) і B (0;2)) і минаючої через середину, тобто пряма l паралельна осі Ox і проходить через крапку (0;1). Тому що з рівностей , , треба рівність , а виходить, , тобто .

Тому цій рівності задовольняють крапки напівплощини, що лежать нижче прямій l не входить у зазначену область, тому що дана нерівність строге (мал. 17).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 17.

Задача 41.

Зобразите на площині комплексні числа , що задовольняють умові: .

Рішення

. Отже, . Таким чином, , , те

, , .

Цим числам відповідають три крапки: A ( ), B ( ) і C ( ). Вони розташовані на одиничній окружності й ділять її на три рівні частини (мал. 18).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 18.

Задача 42.

Зобразите на площині комплексні числа , що задовольняють умові: .

Рішення

, виходить, і .

Одержали дві крапки: B ( ) і C ( ) (мал. 19).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 19.

Задача 43.

Зобразите множину крапок комплексної площини, що задовольняють умові: .

Рішення

Дана нерівність рівносильна виконанню двох умов: і . Якщо , де x і y - дійсні числа, то одержуємо наступні нерівності: , , , , . Шукана область лежить поза колом із центром у крапці (-2; 0) радіуси 2, включаючи границю кола й крім крапки (2; 0) (мал. 20).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 20.

Задача 44

Зобразите множину крапок комплексної площини, що задовольняють умові: .

Рішення

Дана нерівність рівносильна виконанню двох умов:

и. Якщо покласти, то одержуємо наступні нерівності:

.

Перетворимо його

,

, ,

Одержуємо .

Шукана область - коло із центром у крапці (0; 2) радіуса 2, включаючи границю кола й крім крапки (0; 1) (мал. 21).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 21.

Задача 45

Зобразите множину крапок комплексної площини, що задовольняють умові: .

Рішення

Покладемо .

Тоді

, .

Нерівність при рівносильне нерівності або . Остання нерівність задає коло із центром у крапці (0; 0,5) і радіусом 0,5 включаючи границю кола. Внаслідок обмеження крапка (0; 0) не належить заданій множині (мал. 22).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 22

Задача 46.

Зобразите на комплексній площині множина крапок, що задовольняють нерівностям: .

Рішення

Представимо число як . Тоді

;

.

За умовою, , звідки

; ;

.

Ліва частина подвійної нерівності задає область, що лежить поза колом із центром у крапці K(-0,5; 0,5) і радіусом 1. права частина задає коло із центром у крапці K і радіусом 2. У кожному випадку границя не включається в задану множину. Шукана множина крапок зображена на мал. 23.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал.23.

Задача 47

Із всіх чисел , що задовольняють умові , знайдіть такі, що приймає найменше значення.

Рішення

I спосіб.

Нехай . Тоді .

Рівняння задає на комплексній площині окружність із центром у крапці O(0; 0) і радіусом 5. З геометричної точки зору величина являє собою суму відстаней від крапки, що відповідає комплексному числу , до крапок A(7; 0) B(0; 7), що відповідають числами 7 і 7i. З мал. 24 видно, що окружність із центром в O і радіусом 5 перетинає відрізок AB у двох крапках P і Q. Ці крапки й будуть відповідати тим комплексним числам, для яких величина приймає найменше значення.

Дійсно, для крапок P і Q значення дорівнює довжині відрізка AB, а для будь-якої крапки N окружності, відмінної від P і Q, у силу нерівності трикутника справедливе співвідношення AN+BN>AB.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 24.

Знайдемо координати крапок P і Q. Ці крапки лежать на прямій AB, що задається рівнянням . Вирішимо систему

Тому що , те перейдемо до системи

Рівняння має коріння 3 і 4, тому рішеннями системи є пари (3; 4) і (4; 3). Таким чином, крапкам P і Q відповідають числа й .

II спосіб. Нехай . Тоді (див. I спосіб);

.

Знайдемо пари (x; y), для яких досягається мінімум функції за умови . Оскільки функція приймає не негативне значення при всіх припустимих x і y, замість мінімуму функції ц можна розглядати мінімум функції

.

Перетворимо останнє вираження до виду

,

тому що

, те,

звідки .

Зробимо заміну й знайдемо значення t, для яких досягається мінімум функції або , або після заміни - ті значення p, при яких мінімальне вираження .

Досліджуємо функцію за допомогою похідної. Маємо ; , якщо , тобто якщо , а . Остання рівність виконується при .

Неважко переконатися в тім, що якщо , те, тобто убуває, а якщо , те, тобто зростає. При функція приймає найменше значення.

Значенню відповідає , при . Звідси, з огляду на співвідношення , знаходимо , або , і одержуємо остаточну відповідь.

Відповідь: і .

Зауваження. Звичайно, II спосіб більше трудомісткий, але разом з тим і більше універсальний. Зокрема, якби на відрізку AB не найшлося ні однієї крапки, що задовольняє заданому в умові рівності, то рішення I способом було б взагалі неможливо.

Задача 48

Зобразите множину крапок комплексної площини, що задовольняють умові: .

Рішення

Представимо у вигляді й перетворимо заданий дріб:

.

Мнима частина дробу дорівнює .

Нерівність рівносильна системі

Нерівність перепишемо у вигляді . Це співвідношення задає коло із центром у крапці (1; 1) і радіусом 1. Крапка (1;0) належить колу, однак її координати не задовольняють другій умові системи. Отримана множина зображена на мал. 25.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 25.

Задача 49

Серед комплексних чисел , що задовольняють умові: , знайдіть число з найменшим модулем.

Рішення

Скористаємося геометричним змістом модуля комплексного числа. Як відомо, для комплексних чисел і w величина дорівнює відстані між крапками комплексної площини, що відповідають числами й w. Крапки, що відповідають числам , для яких виконується рівність , рівновіддалені від крапок (0; 0) і (0; 2) комплексної площини, а, отже, утворять пряму . Серед крапок прямій найменш вилученої від початку координат є крапка (0; 1). Вона відповідає числу - числу з найменшим модулем, що задовольняє заданому рівнянню.

Відповідь: .

Задача 50

Нехай M - множина крапок комплексної площини таких, що ; K - множина крапок комплексної площини виду , де . Знайдіть відстань між фігурами M і K.

Рішення

I спосіб.

Нехай ; тоді , звідки

. Множина крапок M комплексної площини, що задовольняють даній умові, є окружність із центром у крапці O1 (0; ) і радіусом 0,5.

За умовою, , тобто . Думаючи , маємо й .

Множина K крапок комплексної площини, що задовольняють цій умові, є окружність із центром у крапці O2 (- ; 0) і радіусом 0,5. Тому що окружності M і K не мають загальних крапок, то відстанню між ними (мал. 26) є довжина відрізка PN лінії центрів, тобто

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 26.

Відповідь: 1.

Зауваження. Геометричне обґрунтування того, що довжина відрізка PN є відстань між даними фігурами, досить просто. Дійсно, візьмемо на окружностях K і M такі крапки N1 і P1 відповідно (мал. 27), що , . Для ламаної O1P1N1O2 і прямій O1O2 виконується нерівність O1P1+ P1N1+ N1O2 > O1P+ PN+ NO2. Віднімаючи з обох частин нерівності суму радіусів, одержуємо P1N1 > PN.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 27.

II спосіб.

Запишемо нерівності . Таким чином, . Це значить, що відстань від крапок фігури M до крапки O1 (0; ) постійно й дорівнює 0,5. фігура M - окружність із центром у крапці O1 і радіусом 0,5. Умова означає, що множина K отримана поворотом крапок множини M на кут навколо початку координат, тобто являє собою окружність із центром у крапці O2 (- ; 0) і радіусом 0,5. Подальші міркування такі ж, як при рішенні I способом.

Задача 51

Знайдіть найбільший модуль комплексного числа , що задовольняє умові .

Рішення

Тому що , а . Це коло із центром у крапці A (3; 4) і радіусом .

Оскільки OA= 5, , маємо . Серед крапок кола існує крапка , для якої . Це крапка перетинання границі кола й продовження відрізка OA.

Відповідь: 6.

Задача 52

Вирішите систему рівнянь

Рішення

Тому що , те . Це множина - серединний перпендикуляр до відрізка AB, де A (0; 2), B (0; 4) - крапки, що відповідають числам і . Рівняння цього перпендикуляра є . Із другого рівняння системи маємо . Нехай , тоді . Тому що для кожної із шуканих крапок, те ; . коріннями цього рівняння є числа 2 і - 4. системі рівнянь задовольняють 2 числа: і .

Відповідь: ; .

Задача 53

Зобразите на комплексній площині множина крапок, що задовольняють умові .

Рішення

Нехай , тоді й, виходить,

, . Вихідна нерівність перепишеться так: . Остання нерівність можна замінити системою двох умов: і , або й .

Шукана множина зображена на мал. 28. Відзначимо, що границя множини (пряма ) належить йому за винятком крапки (0; 0).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 28.

Задача 53

Множина крапок комплексної площини визначається умова . У яких межах змінюється .

Рішення

Множина крапок, задана умовою , визначається на комплексній площині коло із центром у крапці й радіусом 1. таке коло в системі координат xOy задається нерівністю .

Нехай , тоді , , . Задача зводитися до визначення границь, у яких може змінюватися співвідношення за умови . Питання може бути сформульований так: при яких значеннях система

має хоча б одне рішення?

Остання система рівносильна наступної:

або

Ця система має рішення тоді, коли має рішення квадратна нерівність . Тому що коефіцієнт при позитивний, то воно має рішення, якщо дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині ненегативний. Маємо

.

при .

Відповідь: .

2.3 Тригонометрична форма комплексних чисел

Нехай вектор задається на комплексній площині числом .

Позначимо через ц кут між позитивною піввіссю Ox і вектором (кут ц уважається позитивним, якщо він відлічується проти годинникової стрілки, і негативним у противному випадку).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 29

Позначимо довжину вектора через r. Тоді . Позначимо також

.

Тоді

.

Запис відмінного від нуля комплексного числа z у вигляді

(2)

називається тригонометричною формою комплексного числа z. Число r називається модулем комплексного числа z, а число ? називається аргументом цього комплексного числа й позначається Arg z.

Тригонометрична форма запису комплексного числа - (формула Ейлера) - показова форма запису комплексного числа:

.

У комплексного числа z є нескінченно багато аргументів: якщо ?0 - який-небудь аргумент числа z, те всі інші можна знайти по формулі

.

Для комплексного числа аргумент і тригонометрична форма не визначаються.

Таким чином, аргументом відмінного від нуля комплексного числа є будь-яке рішення системи рівнянь:

(3)

Значення ц аргументу комплексного числа z, що задовольняє нерівностям , називається головним і позначається arg z.

Аргументи Arg z і arg z зв'язані рівністю

, (4)

де

Формула (5), є наслідком системи (3), тому всі аргументи комплексного числа задовольняють рівності (5), але не всі рішення ц рівняння (5) є аргументами числа z.

Головне значення аргументу відмінного від нуля комплексного числа перебувати по формулах:

Формули множення й ділення комплексних чисел у тригонометричній формі мають такий вигляд:

. (6)

. (7)

При піднесенні в натуральний ступінь комплексного числа використовується формула Муавра:

. (8)

При добуванні кореня з комплексного числа використовується формула:

, (9)

де k=0, 1, 2, ..., n-1.

Задача 54

Обчислите , де .

Рішення

Представимо рішення даного вираження в показовій формі запису комплексного числа: .

Якщо , то .

Тоді , . Тому , тоді й , де .

Відповідь: , при .

Задача 55

Запишіть комплексні числа в тригонометричній формі:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) .

Рішення

Тому що тригонометрична форма комплексного числа має вигляд , тоді:

а) У комплексному числі : .

Тоді

,

Тому

б) , де ,

в) , де ,

г) , де ,

д) , де ,

е) .

ж) , а , те .

Тому

Відповідь: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56

Знайдіть тригонометричну форму комплексного числа

.

Рішення

Нехай , .

Тоді , , .

Оскільки й , , те, а

.

Отже, , тому

, де .

Відповідь: , де .

Задача 57.

Використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, зробіть зазначені дії: .

Рішення

Представимо числа й у тригонометричній формі.

1) , де тоді

Знаходимо значення головного аргументу :

Підставимо значення й у вираження , одержимо

2) , де тоді

Тоді

3) Знайдемо частку

Далі, застосовуючи формулу (9) одержимо:

Думаючи k=0, 1, 2, одержимо три різних значення шуканого кореня:

Якщо , то

якщо , то

якщо , то .

Відповідь: :

:

: .

Задача 58

Нехай , , , - різні комплексні числа й . Доведіть, що

а) число є дійсним позитивним числом;

б) має місце рівність:

.

Рішення

а) Представимо дані комплексні числа в тригонометричній формі:

, , , , тому що .

Припустимо, що . Тоді

.

Останнє вираження є позитивним числом, тому що під знаками синусів коштують числа з інтервалу .

б) Маємо

тому що число речовинне й позитивно. Дійсно, якщо a і b - комплексні числа й речовинне й більше нуля, те .

Крім того,

отже, потрібна рівність доведена.

Задача 59

Запишіть в алгебраїчній формі число .

Рішення

Представимо число в тригонометричній формі, а потім знайдемо його алгебраїчну форму. Маємо . Для одержуємо систему:

Звідси треба рівність:

.

Застосовуючи формулу Муавра:

,

Одержуємо

Знайдено тригонометричну форму заданого числа.

Запишемо тепер це число в алгебраїчній формі:

.

Відповідь: .

Задача 60.

Знайдіть суму , ,

.

Рішення

Розглянемо суму

Застосовуючи формулу Муавра, знайдемо

.

Ця сума являє собою суму n членів геометричної прогресії зі знаменником і першим членом .

Застосовуючи формулу для суми членів такої прогресії, маємо

Виділяючи мниму частину в останнім вираженні, знаходимо

Отже, .

Виділяючи дійсну частину, одержуємо також наступну формулу:

, , .

Відповідь: .

Знайдіть суму:Задача 61

а) ; б) .

Рішення

По формулі Ньютона для піднесення в ступінь маємо

По формулі Муавра знаходимо:

.

Дорівнюючи речовинні й мнимі частини отриманих виражень для , маємо:

и.

Ці формули в компактному виді можна записати так:

,

, де - ціла частина числа a.

Відповідь: ; .

Задача 62

Знайдіть всі , для яких .

Рішення

Оскільки , те, застосовуючи формулу

,

Для добування корінь, одержуємо

,

Отже, , ,

, .

Крапки, що відповідають числам , розташовані у вершинах квадрата, уписаного в окружність радіуса 2 із центром у крапці (0;0) (мал. 30).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 30.

Відповідь: , ,

, .

Задача 63

Вирішите рівняння , .

Рішення

За умовою ; тому дане рівняння не має кореня , і, виходить, воно рівносильне рівнянню .

Для того щоб число z було коренем даного рівняння, потрібно, щоб число було коренем п-й ступеня із числа 1.

Звідси містимо, що вихідне рівняння має корінь , певних з рівностей

,

Таким чином,

,

т. е. ,

Відповідь: .

Задача 64

Вирішите в множині комплексних чисел рівняння .

Рішення

Тому що число не є коренем даного рівняння, то при дане рівняння рівносильне рівнянню

, тобто рівнянню .

Всіх корінь цього рівняння виходять із формули (див. задачу 62):

,

,

,

,

.

Відповідь:

; ; ; ; .

Задача 65

Зобразите на комплексній площині множина крапок, що задовольняють нерівностям: . ( 2-й спосіб рішення задачі 45)

Рішення

Нехай .

Тоді

.

Комплексним числам, що мають однакові модулі, відповідають крапки площини, що лежать на окружності із центром на початку координат, тому нерівності задовольняють всі крапки відкритого кільця, обмеженого окружностями із загальним центром на початку координат і радіусами й (мал. 31). Нехай деяка крапка комплексної площини відповідає числу w0. Число , має модуль, у раз менший модуля w0, аргумент, на більший аргументу w0. З геометричної точки зору крапку, що відповідає w1, можна одержати, використовуючи гомотетию із центром на початку координат і коефіцієнтом , а також поворот відносно початку координат на кут проти годинникової стрілки. У результаті застосування цих двох перетворень до крапок кільця (мал. 31) останнє перейде в кільце, обмежене окружностями з тим же центром і радіусами 1 і 2 (мал. 32).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 31.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 32.

Перетворення реалізується за допомогою паралельного переносу на вектор . Переносячи кільце із центром у крапці на зазначений вектор, одержимо кільце такого ж розміру із центром у крапці (мал. 22).

Запропонований спосіб, що використовує ідею геометричних перетворень площини, напевно, менш зручний в описі, але досить витончений і ефективний.

Задача 66

Знайдіть , якщо .

Рішення

Нехай , тоді й . Вихідна рівність прийме вид . З умови рівності двох комплексних чисел одержимо , , звідки , . Таким чином, .

Запишемо число z у тригонометричній формі:

,

де , .

Відповідно до формули Муавра, знаходимо

.

Відповідь: - 64.

Задача 67

Для комплексного числа знайдіть всі комплексні числа , такі, що , а .

Рішення

Представимо число в тригонометричній формі:

.

Звідси , .

Для числа одержимо , може бути дорівнює або .

У першому випадку , у другому

.

Відповідь: , .

Задача 68

Знайдіть суму таких чисел , що . Укажіть одне з таких чисел.

Рішення

Помітимо, що вже із самого формулювання задачі можна зрозуміти, що сума корінь рівняння можна знайти без обчислення самих корінь. Дійсно, сума корінь рівняння є коефіцієнт при , узятий із протилежним знаком (узагальнена теорема Виета), тобто .

Приведемо й інше можливе обґрунтування. Нехай - корінь рівняння. Тоді також є його коренем, оскільки , і сума всіх корінь дорівнює нулю.

Припустимо й таке рішення. Представивши праву частину вихідного рівняння в тригонометричній формі, одержимо

. Звідси

, де .

Далі обчислюємо суму чотирьох корінь, що дорівнює нулю.

Відповідь: ;

- одне з таких чисел.

2.4 Додаток теорії комплексних чисел до рішення рівнянь

3- і 4-й ступеня

Розглянемо рішення кубічного рівняння

(1)

на конкретному прикладі.

Приклад 1.

Вирішите рівняння

.

Рішення

Приведемо спочатку наше рівняння до рівняння, що не містить квадрат невідомої (таке рівняння називається наведеним), тобто до рівняння виду:

,

для чого зробимо підстановку:

Одержимо рівняння:

.

Розкривши дужки й привівши подібні члени, приходимо до рівняння:

,

де , і

Перехід до наведеного кубічного рівняння можна здійснити за допомогою схеми Горнера, розклавши багаточлен по ступенях двочлена )

Для корінь кубічного рівняння

(2)

є так звана формула Кардано, хоча вірніше було б її називати формулою дель Ферро - Тартальи - Кардано.

Уперше наведене кубічне рівняння

вирішив професор Болонского університету Сципион дель Ферро наприкінці XV століття. Потім в 1535 році ті ж формули були виведені Ніколо Тартальей. Нарешті, в 1545 році рішення рівняння (1) було викладено в книзі Джероламо Кардано "Ars Magna" ("Велике мистецтво").

Формули Кардано мають вигляд:

,

де - значення радикала

Практично коріння перебувають простіше.

Нехай - одне (кожне) значення радикала u. Тоді два інших значення можна знайти в такий спосіб:

;

де e1 і e2 - значення кореня кубічного з 1 , тобто

Якщо обчислити то одержимо:

; .

Дійсно,

Аналогічно доводиться рівність .

Підставляючи отримані значення й у формулу

,

знаходимо практичні формули:

;

;

.

У нашім випадку:

Таким чином, покладемо . Тоді

отже,

, , .

З останніх рівностей, з огляду на, що одержуємо:

, , .

Відповідь: ; ; .

Для наведеного кубічного рівняння

(3)

дискримінант обчислюється по формулі:

.

При цьому:

а) якщо , те рівняння (3) має один дійсний і два комплексно сполучених корені;

б) якщо , те рівняння (3) має три дійсний корені, два з яких рівні;

в) якщо , те рівняння (3) має три різних дійсних корені.

Таким чином, у кожному разі рівняння (3) з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.

Розглянемо рішення рівняння 4-й ступеня методом Феррари на конкретному прикладі.

Приклад 2

Вирішите рівняння

Рішення

Залишимо в лівій частині рівняння члени, що містять і :

.

Доповнимо ліву частину отриманого рівняння до повного квадрата:

,

або

(1)

Уведемо в повний квадрат лівої частини рівності (1) параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (1) одержимо:

(2)

Підберемо значення параметра r таким чином, щоб дискримінант правої частини рівності (2) звернувся в нуль (тобто щоб у правій частині рівності (2) також вийшов повний квадрат).

Дискримінант D дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:

;

.

Зокрема, , якщо .

Підставивши значення в рівність (2), одержимо:

,

або

.

Звідки,

,

,

або .

Отже,

; ;

;

Відповідь: ; ; ;

Задача 69

Вирішите рівняння .

Рішення

Дане рівняння - наведене. Тут , . Отже,

.

Для добування кубічного кореня з комплексного числа

представимо його в тригонометричній формі:

,

тому

де

При одержуємо:

.

Виходить,

,

тому .

Отже,

, , .

Відповідь: 2; ; .

Задача 70

Вирішите рівняння .

Рішення

Поклавши , одержуємо наведене рівняння щодо невідомої змінної y:

.

По формулах Кардано:

.

Легко бачити, що .

Отже, число є одним зі значень кубічного

кореня з комплексного числа (той же результат виходить, якщо застосувати формулу добування кореня n-й ступеня з комплексного числа).

Таким чином, , , тоді

, .

Отже, ,

,

.

Звідси знаходимо корінь квадратного рівняння:

,

,

.

Відповідь: ; ;

.

Задача 71

Не вирішуючи наступні рівняння, визначите характер корінь кожного їх їх:

а) ;

б) ;

в) .

Рішення

а) .

Дискримінант , тобто , те рівняння має один дійсний і два комплексно сполучених корені.

б) .

Переходячи до наведеного кубічного рівняння, одержуємо:

(б*).

Звідки дискримінант , тобто , те рівняння (б*), а, виходить, і (б) має три різних корені.

в) .

Переходячи до наведеного кубічного рівняння, одержуємо: (в*). Звідси , , те рівняння (в*), а, виходить, і рівняння (в) має один дійсний і два комплексно сполучених корені.

Відповідь: а) один дійсний і два комплексно сполучених корені; б) три різних корені; в) один дійсний і два комплексно сполучених корені.

Задача 72

Вирішите рівняння: а) ;

б) .

Рішення

а) .Переходячи до наведеного кубічного рівняння за допомогою підстановки , одержимо рівняння:

, де , .

Знаючи, що:

;

;

.

По формулах Кардано:

Таким чином, одержуємо , виходить, , , .

Отже, ; ; .

Звідки, , , .

б) .

Переходити до наведеного кубічного рівняння не потрібно, тому що вихідне рівняння саме є наведеним, причому , .

Таким чином, одержуємо: , .

Тоді , , , .

Отже, , .

Відповідь: а) , , ;

б) , .

Задача 73. Вирішите рівняння: а) ;

б) .

Рішення.

а) Перетворимо рівняння (а) по методу Феррари: ,

,

. (а*)

Уведемо в повний квадрат лівої частини рівності параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (а*) знаходимо:

,

(а**).

Тепер підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант

правої частини рівності (а**) звернувся в нуль.

Дискримінант D дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли число r є коренем рівняння:

;

;

.

Зокрема, , якщо .

Підставивши знайдене значення в рівність (а*), одержимо:

, або .

Звідки, ,

,

або .

Отже, ; ; ; .

б) .

Перетворимо це рівняння по методу Феррари:

,

,

. (б*)

Уведемо в повний квадрат лівої частини рівності параметр r:

Звідки з урахуванням рівності (б*) знаходимо:

(а**).

Підберемо таке значення параметра r, щоб дискримінант квадратного тричлена в правій частині рівності (а**) звернувся в нуль.

Легко бачити, що дискримінант D дорівнює нулю, якщо . отже, підставивши значення в рівність (б**), одержимо:

;

.

Звідки, ,

або .

Отже,

; ; ; .

Відповідь: а) ; .

б) ; 3; 1.

2.5 Комплексні числа й параметри

«Параметр (від гречок. - що відмірює) величина, значення якої служать для розрізнення елементів деякої множини між собою.

Наприклад, рівняння , де а > 0, х R, y R, задає множина всіх концентричних окружностей, із центром (2; 1) радіуси а (мал. 33).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

112

1

Мал. 33.

Якщо а = 1, то одержимо окружність 1), якщо а = 2, те - окружність 2) і т.д.

Цікаво й наступне визначення параметра «Невідомі величини, значення яких задаємо ми самі, називаються параметрами».

Нехай, наприклад, потрібно вирішити рівняння

.

Навряд чи легко ми впораємося із цим рівнянням, якщо будемо вирішувати відносно x, уважаючи a параметром.

Краще спочатку вважати х параметром і вирішувати квадратне відносно а рівняння , а потім поміняти x і a ролями.

Одержимо Залишається вирішити два рівняння

що праці вже не складе.

Перш, ніж перейти до рішення задач, що містять комплексні числа й параметр, сформулюємо визначення основних понять, пов'язаних з рівняннями (нерівностями) з параметром.

Визначення 1. Нехай дана рівність зі змінними x і a: . Якщо ставиться задача для кожного дійсного значення, а вирішити це рівняння відносно x, то рівняння називається рівнянням зі змінної x і параметром a.

Параметр звичайно позначається першими буквами латинського алфавіту: а, b, з, d ...

Змінна, щодо якої вирішується рівняння останніми буквами латинського алфавіту: x, в, z, t, і, v.

Визначення 2. Під областю визначення рівняння з параметром а будемо розуміти всі такі системи значень х и а, при яких має сенс.

Іноді область визначення рівняння встановлюється досить легко, а іноді в явному виді це зробити важко. Тоді обмежуємося тільки системою нерівностей, множина рішень якої і є областю визначення рівняння.

Визначення З. Під рішенням рівняння c параметром a будемо розуміти систему значень x і a області визначення рівняння, що обертає його у вірну числову рівність.

Визначення 4. Вирішити рівняння з параметром a - це значить, для кожного дійсного значення a знайти всі рішення даного рівняння або встановити, що їх немає.

Визначення 5. Рівняння й рівносильні при фіксованому значенні а = а0, якщо рівняння без параметра й рівносильні.

Визначення 6. Рівняння є наслідком рівняння при деякому значенні a=а0, якщо множина рішень рівняння втримується серед множини рішень рівняння .

Задача 74

Визначите сімейство ліній у комплексній площині, заданих рівняннями:

а) ; б) .

Рішення

а) . О.О.У.:

,

Вирішуємо рівняння (1).

1) Нехай : одержимо рівняння осі абсцис, крім початку координат.

2) : , .

Це сімейство концентричних окружностей із центром у крапці

 радіуса .

б) .

Нехай ,

тоді . І.

1) Якщо , те підлоги сподіваємося сімейство із двох прямих з рівняннями й .

2) Якщо , те - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями

з вершинами в крапках , і асимптотами й .

3) Якщо , те - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями

з вершинами в крапках , і асимптотами й .

Відповідь: а) 1. Якщо , то - рівняння осі абсцис, крім крапки .

2. Якщо , то - сімейство концентричних окружностей із центром у крапці радіуса .

б) 1. Якщо , то - сімейство із двох прямих з рівняннями й .

2. Якщо , то - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями

з вершинами в крапках , і асимптотами й .

3. Якщо , то - сімейство рівносторонніх гіпербол з рівняннями

з вершинами в крапках , і асимптотами й .

Задача 75

При яких значеннях n вірна рівність .

Рішення

Тригонометричними формами запису комплексних чисел і , є

й .

Піднесемо до степеня n, одержимо

й .

Тоді:

Відповідь:

Задача 76

При якому значенні d рівнянням задана вісь ординат у комплексній площині, крім початку координат?

Рішення

О.О.У.:

Нехай .

Тоді

.

.

, .

Якщо , то одержимо рівняння .

Відповідь: .

Задача 77

Серед всіх комплексних чисел z таких, що , де , є рівно одне число, аргумент якого дорівнює . Знайдіть це число.