Кривые второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Курс геометрии содержит разнообразный материал, однако одним из ее центральных разделов является теория кривых второго порядка. Решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.

Некоторые понятия кривых второго порядка встречаются в физике. Например, по гиперболе движутся альфа-частицы в опыте Резерфорда при рассеивании их ядром атома; по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца, по параболе - тело в однородном поле силы тяжести, брошенное под углом к горизонту.

Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.

Данная курсовая работа предлагается в виде рабочей тетради, где акцентируется внимание на практические задания.

Целью является изучение теории кривых второго порядка.

Объектом исследования явились кривые второго порядка, а также задачи, связанные с ними.

Предметом исследования является изучение теории кривых второго порядка.

Цель исследования обусловила выбор следующих частных задач:

1. отобрать теоретический материал по теме курсовой работы;

2. обобщить и систематизировать материал;

3. рассмотреть основные типы задач и их решение.

Структура курсовой работы следующая. В начале каждой темы рассматривается основной теоретический материал по теории общего уравнения линии второго порядка. Здесь рассматривается приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду, исследование общего уравнения линии второго порядка, а также классификация линий второго порядка.

После каждой темы предлагаются вопросы для самопроверки, а затем упражнения по данной изложенной теме.

После всех изложенных тем предлагается тест с вариантами ответов и ключ к ответам.

Заканчивается данная рабочая тетрадь контрольной работой в два варианта, состоящая из 5 вопросов.

При работе над курсовой работой использовались в качестве основных источников учебники Шипачева В.С., Ильина В. А., Позняка Г.

1. Общее уравнение линии второго порядка

Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.

Определение: Кривой второго порядка называется множество точек М (х; у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)

где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2E и F - любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 + С2 0.

1.1 Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему виду

Лемма 1: Пусть в прямоугольной системе координат Оху задано уравнение (1) и пусть АС - В2 0. Тогда с помощью параллельного сдвига и последующего поворота осей координат уравнение (1) приводится к виду:

А'х''2 + С' у ''2 + F ' = 0, (2)

где А', С ', F ' - некоторые числа; (х''; у '') - координаты точки (х; у) в новой системе координат.

1.2 Инвариантность выражения АС - В2. Классификация линий второго порядка

Коэффициенты А, В и С при старших членах уравнения (1) при параллельном переносе осей координат, как следует из доказательства леммы, не меняются, но они меняются при повороте осей координат. Однако выражение АС - В2 остается неизменным как при переносе, так и при повороте осей, т.е. не зависит от преобразования координат. Действительно, при параллельном переносе этот факт очевиден.

В зависимости от знака величины АС - В2 линии второго порядка разделяются на следующие 3 типа:

1) эллиптический, если АС - В2>0;

2) гиперболический, если АС - В2 < 0;

3) параболический, если АС - В2 =0.

Теорема 1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение кривой второго порядка

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1) (Эллипс);

2) (Мнимый эллипс);

3) а2х2 + с2у2 = 0 (Пара мнимых пересекающихся прямых);

4) (Гипербола);

5) а2х2 - с2у2 = 0 (Пара пересекающихся прямых);

6) y2= 2px (Парабола);

7) у2 - а2 = 0 (Пара параллельных прямых);

8) у2 + а2 = 0 (Пара мнимых параллельных прямых):

9) у2 = 0 (Пара совпавших прямых).

2. Эллипс

Определение: Эллипсом (рис.1) называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2.

Рис.1.

- это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. При a = b фокусы F1 и F2 совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.

Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) - центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Так как на основании равенства а b, то 2а_ длина большой оси симметрии эллипса, 2b - малой оси. Следовательно, числа а и b являются длинами соответственно большой и малой полуосей эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой е, получаем:

.

Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1-- е2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большей оси. В случае окружности b=a и е=0.

Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1; ).

Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид . Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравнений

Полагая = m; = n, приходим к системе

решив которую, найдем m = , n = , откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид

2.1 Гипербола

Определение: Гиперболой (рис.2) называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними -- через 2с.

Рис.2

Уравнение определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) - центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b (см. рис.2) называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид: х2 - у2 = а2.

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой е, получим:

.

Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

(в направлении оси, соединяющей вершины). Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Пример 2. Дано уравнение гиперболы 3х2 - 4у2 = 12. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения ее асимптот.

Решение: Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

или

откуда находим, что действительная полуось а = 2, а мнимая полуось b = v3.

Так как асимптоты гиперболы имеют уравнения у = , фокусы - координаты (-с; 0) и (с; 0) эксцентриситет , а с = = , то для данной гиперболы получаем: координаты фокусов (-v7; 0) и (v7; 0);

Эксцентриситет

Уравнения асимптот у = .

2.2 Директрисы эллипса и гиперболы

Определение: Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. (а - большая полуось, е - эксцентриситет эллипса).

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую -- правой. Так как для эллипса е<1, то (рис.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.3.

Определение: Две прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.

Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид

и .

Первую из них мы условимся называть левой, вторую -- правой.

Так как для гиперболы е >1, то (рис.4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.4.

Теорема 1. Если r - расстояние от произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.

Теорема 2. Если r - расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d - расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы величина постоянная, равная е, это эллипс, если е < 1, и гипербола, если е > 1.

Вопросы для самопроверки

1. Что такое директрисы эллипса и директрисы гиперболы?

2. Каким важным свойством обладают эллипс и гипербола?

2.3 Парабола

Определение: Параболой (рис.5) называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы -- буквой p. Величину р называют параметром параболы.



Рис.5.

у2=2рх - это уравнение называется каноническим уравнением параболы

Уравнение у2=2рх, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Точка О называется вершиной параболы, ось симметрии (ось Ох) - осью параболы. Число р, т.е. параметр параболы, как известно, выражает расстояние от фокуса до директрисы.

Парабола, уравнение которой у2 = -2рх, р > 0, расположена слева от оси ординат (рис.5). Вершина этой параболы совпадает с началом координат, осью симметрии является ось Ох.

Пример 3. Дано уравнение параболы у2 = 6х. Составить уравнение ее директрисы и найти координаты ее фокуса.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы, заключаем, что 2р = 6, откуда р = 3.

Так как фокус параболы имеет координаты (; 0), а директриса - уравнение х =, то для данной параболы получаем: координаты фокуса (; 0) и уравнение директрисы х = .

Тест по теме «Кривые второго порядка»

1. Множество точек М (х; у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют уравнению Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F = 0, называется уравнением:

а) четвертого порядка; б) кривой; в) второго порядка?

2. Какая из предложенных кривых имеет вид: ?

а) Эллипс; б) Мнимый эллипс; в) Гипербола.

3. Центром эллипса называется:

а) центр пересечения осей; б) ось, на которой лежат фокусы; в) центра нет; гипербола эллипс уравнение линия

4. Сопоставьте:

1) у2=9 - 3х2 А) уравнение гиперболы

2) х2 - 9= 3у2 Б) уравнение параболы

3) у2=9х В) уравнение эллипса

5. Какая получится кривая, если эксцентриситет е = 1?

а) Гипербола; б) Парабола; в) Эллипс; г) нет верного ответа.

6. а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. Если а = b указанное уравнение определяет:

а) точку; б) прямую; в) окружность.

7. Какая получится кривая, если она задана уравнением

х2-2ху+у2+4х-6у+1=0?

а) Парабола; б) Эллипс; в) Окружность; г) Гипербола.

Контрольная работа

I вариант

1. Покажите, что уравнение 7х2 + 12у2 = 252 определяет эллипс. Найдите его полуоси, фокусы и эксцентриситет.

2. Составьте уравнение директрисы параболы, если известно, что осью симметрии является ось Ох и что точка пересечения прямых у = 3х и х + у = 4 лежат на параболе.

3. Приведите уравнения параболы у=х2-4х+3 к каноническому виду и определите координаты ее вершины.

4. Составьте уравнение эллипса, проходящего через точки (1; 4) и (7; 2) и симметричного относительно осей Ох и Оу.

5. Постройте эллипс 9х2+25у2=225. Найдите:

а) полуоси;

б) координаты фокусов;

в) эксцентриситет;

г) уравнения директрис.

II вариант

1. Покажите, что уравнение - 7у2 = 126 - 6х2 определяет гиперболу. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения ее асимптот.

2. Привести уравнение кривой 4х2+9у2-32х+18у+ 37 = 0 к каноническому виду.

3. Приведите уравнения параболы х=у2-2у+2 к каноническому виду и определите координаты ее вершины.

4. Составьте уравнения параболы, которая проходит через точку (6; 9), симметрична относительно оси Оу и имеет вершину в начале координат.

5. Постройте гиперболу 16х2-9у2=144. Найдите:

а) действительную и мнимую полуоси;

б) координаты фокусов;

в) эксцентриситет;

г) уравнения директрис.

Ответы на тест:

1. В

2. Б

3. А

4. 1-В, 2-А, 3-Б

5. Б

6. В

7. А

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основные положения, связанные с теорией кривых второго порядка. Как уже отмечалось выше, решение задач, связанных с кривыми второго порядка, иногда вызывают большие затруднения.

Данная рабочая тетрадь предлагает множество практических заданий, также вопросы для самопроверки и упражнения после каждой изученной темы. Также можно проверить себя с помощью теста. В заключении рабочая тетрадь предлагает контрольную работу по изученной теме.

Я считаю, что выполнила поставленные перед собой задачи, а именно:

ь был проведен полный анализ теоретической основы теории кривых второго порядка;

ь материал был подвергнут систематизации и обобщению;

ь были представлены практические задания по данной теме.

В целом можно говорить о том, что поставленная цель, сформулированная как, изучение теории кривых второго порядка была решена.

Литература

1. Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка: учеб. пособие/А.А. Грешилов, Т.И. Белова. - М.: Логос, 2004.-128с.

2. Аналитическая геометрия. Ильин В.А., Позняк Г. - М.: Наука, 1974.

3. Геометрия на профильном уровне обучения: кривые как геометрические места точек/ И. Смирнова, В. Смирнов//Математика (Прилож. к газ. «Первое сентября»/. - 2006.

4. Сборник задач по математике для ВТУЗов(4 части)/ Ефимов А.В., Демидович Б. П. - М.: Наука, 1993.

5. Курс высшей математики для учащихся заочных техникумов и самообразования: учебное пособие/П.Е. Агапов. - М.: Изд-во судостроит. пром.,1961. - 672с.

6. Математика для техникумов на базе средней школы/ И.И. Валуцэ. - М.: Наука: Главная редакция физ.-мат. Литературы, 1980. - 496с.

7. Математический энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. Кол.: С.И Адян, Н.С Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищук, А.П. Юшкевич. - М.: Сов. энциклопедия, 1988. - 847с.

8. Начала высшей математики: Пособие для вузов/ Шипачев В.С. - М.:Дрофа, 2002. -384с.

9. Основы курса высшей математики: учебник для вузов/ В.Л. Матросов.- М.: ВЛАДОС, 2002. - 544с.

10. Сборник задач по аналитической геометрии: учеб. пособие для физ.-мат., инж.-физ. и инж.-тех. спец. вузов/ Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1987. - 496с.

Размещено на Allbest.ru