Переложим вывод одномерного полюсного метода Ньютона на векторную основу. Касательную к кривой в точке () зададим условием ортогональности текущего вектора этой прямой и ее нормального вектора, в качестве которого можно взять вектор . Уравнение прямой, проходящей через полюс и связанную с уже известным приближением точку (), получим из условия коллинеарности текущего вектора этой прямой и ее направляющего вектора . Таким образом, точку пересечения двух прямых, проекцию которой на ось абсцисс считаем новым приближением , находим из совокупности условий

(3.5.1)

Первое из этих условий означает равенство нулю скалярного произведения (n,u), второе -- пропорциональность соответствующих координат векторов v и l или, иначе, равенство нулю составленного из них определителя. Следовательно, искомое приближение есть первая компонента вектора, служащего решением линейной системы

(3.5.2)

(вторая компонента -- ордината точки пересечения указанных прямых -- после вычисления значения может дать информацию об отклонении от функции в точке ее локальной аффинной модели, каковой является проведенная в точке касательная). Ясно, что получаемое из системы (3.5.2) значение тождественно его.

Рассмотренный векторный подход к построению одномерного полюсного метода Ньютона служит ключом для его распространения на двумерный случай на основе таких же геометрических, но уже пространственных соображений.

Пусть требуется найти приближенное решение двумерной нелинейной системы в предположении непрерывной дифференцируемости входящих в нее функций f(x, у) и g(x, у) в некоторой области G, содержащей искомое решение х* =(х*; у*) и приближения к нему k = 0,1,2,....

Будем считать, что уже найдено k-е приближение к решению х* и нужно получить правило перехода к (k+1)-му приближению. В сделанном предположении о гладкости функций f(x, у) и g(x, у) можно провести касательные плоскости в точке () определяемым ими поверхностям

z = f(x,y) и z = g(x,y). (3.5.3)

Эти плоскости задаются текущими векторами

и нормалями

соответственно, т.е. аналогично первому из условий (3.5.1) должно быть

иначе,

. (3.5.4)

Пересечение двух касательных плоскостей, т.е. образ, определяемый уравнениями (3.5.4), есть прямая в трехмерном пространстве, общая точка которой с координатной плоскостью Оху является ньютоновским приближением к решению х* сиcтемы. Наша цель -- построить третью плоскость, пересечение которой с упомянутой прямой (линией пересечения касательных плоскостей) давало бы точку в пространстве R3 такую, проекция которой на плоскость Оху могла бы оказаться ближе к х*, чем .

Чтобы осуществить поставленную цель, зафиксируем в R3 две несовпадающие между собой и с точки -- полюсы и . Через указанные три точки можно провести единственную плоскость (которая здесь играет роль прямой, проходящей через полюс и точку (хк; 0) в одномерной ситуации). Взяв текущую точку М(х; у; z) и образовав текущий вектор этой третьей плоскости, можно задать ее условием компланарности трех векторов- и (что служит аналогом второго из условий (3.5.1)).

Запишем совокупность всех трех описанных средствами векторной алгебры плоскостей в координатной форме. Имеем:

Первые две координаты вектора (x;y;z), служащего решением полученной системы уравнений, считаем искомым приближением ().Введя поправки

, (3.5.5)

эту систему превращаем в систему уравнений относительно неизвестных и z:

 (3.5.6)

Для исключения вспомогательной переменной z из линейной системы (3.5.6) выразим ее из третьего уравнения. Обозначив

, , (3.5.7)

раскрываем фигурирующий в (3.5.6) определитель по элементам первой строки:

Отсюда находим выражение

(3.5.8)

подставляя которое в первые два уравнения системы (3.5.6), приходим к двумерной линейной системе

 (3.5.9)

Фактически эта система вместе с обозначениями (3.5.7) и определяет двумерный полюсный метод Ньютона для нелинейной системы. Надя их нее поправки , в соответствии с равенствами (3.5.5) получаем очередное приближение :

, .

Дельнейшее преобразование полюсного метода Ньютона, т. е. переход от размерности 2 к произвольной размерности, совершаем формально на основе предыдущего построения.

Пусть задана нелинейная система, функции (образующими вектор ) в точке , можно описать матрично-векторным уравнением

, (3.5.10)

где - n-мерный вектор, каждой компонентой которого служит вспомогательная переменная , входящая в уравнения гиперповерхностей .

Зададим n полюсов (i=1,2,…,n) так, чтобы они не принадлежали одной гиперплоскости пространства . Через все эти полюсы и точку (), определяемую известным приближением к решению системы, проводим гиперплоскость, уравнение которой аналогично двумерному случаю задаем условием равенство нулю определителя (n+1) порядка:

. (3.5.11)

Векторно-матричное уравнение (3.5.10) и скалярное уравнение (3.5.11), в принципе, уже определяют векторный n-полюсный метод Ньютона для построения приближенной к решению системы. Чтобы записать соответствующую линейную систему относительно поправок

(3.5.12)

(аналогичную схеме (3.5.9) двумерного случая), введем следующие обозначения. Положим

, ,

и образуем квадратную (n+1)-мерную матрицу следующей структуры:

.

Тогда на основе (3.5.10), (3.5.11) имеем (n+1)-мерную систему уравнений относительно неизвестных :

(3.5.13)

Как и в двумерном случае, из второго уравнения этой системы выражаем вспомогательную неизвестную :

(3.5.14)

где , а есть алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы (что через соответствующие миноры этой матрицы можно представить так: , ).

Заменив в (3.5.13) все компоненты вектора z найденным их значением (3.5.14), приходим к следующему линейному векторно матричному уравнению относительно вектора-поправки :

, (3.5.15)

Где

. (3.5.16)

Уравнение (3.5.15) вместе со связью (3.5.12), согласно которой

, (3.5.17)

является неявной формой п -полюсного метода Ньютона для уравнения (2.1а).

Совокупности формул (3.5.15)-(3.5.17) можно придать другой вид:

, (3.5.18)

который удобно трактовать как явный метод Ньютона со своеобразной коррекцией матриц Якоби путем прибавления к ним формирующихся по заданному правилу матриц . Как и в одномерном случае, для ускорения сходимости последовательности приближений полюсы целесообразно изменять в такт с изменением значений функций, и в самом простом случае есть смысл фиксировать матрицу С, а вектор брать равным или -

4. Численный пример

М-функция.

function nwt = newton(x,y,e,F0,F1,dF0x,dF0y,dF1x,dF1y)

for i = 1:1000000

F=[F0(x,y); F1(x,y)];

dF=[dF0x(x,y) dF0y(x,y); dF1x(x,y) dF1y(x,y)];

Z = [x;y] - dF^(-1)*F;

b = sqrt((x-Z(1))^2+(y-Z(2))^2);

if b > e

x = Z(1);

y = Z(2);

else break;

end

end

disp('Количество итераций'); disp(i);

nwt = Z;

Функция в качестве входных параметров принимает начальное приближение (), функцию (), частные производные функции и точность e.

Пятая строка находит новую точку приближения. Шестая строка вычисляет норму между текущим и следующим приближением. Строки восемь и девять запоминают точку начального приближения.

Процесс нужно продолжать до тех пор пока . Если , процесс завершить и получим решение .

Теперь напишем скрипт который покажет работу нашей М-функции.

Найдем решение заданной системы нелинейных уравнений

при начальном приближении x=0, y=-1, с точностью до 0.001:

Скрипт.

% Решить систему уравненийу методом Ньютона

% sin(x+y)-1.6x

% x^2+y^2-1

% Введём функцию F(x)(систему функций)

F0 = inline('sin(x+y)-1.6*x');

F1 = inline('x^2+y^2-1');

disp(F0); disp(F1);

% Их производны

dF0x = inline('cos(x+y)-1.6');

dF0y = inline('cos(x+y)');

dF1x = inline('2*x+0*y');

dF1y = inline('0*x+2*y');

disp(dF0x); disp(dF0y);

disp(dF1x); disp(dF1y);

% Начальное приближение

x=0; y=-1; e=0.000000001;

% Значение функций

root = newton(x,y,e,F0,F1,dF0x,dF0y,dF1x,dF1y);

disp('Решение системы');

disp(root);

После выполнения программы получим следующее:

>>

Inline function:

F0(x,y) = sin(x+y)-1.6*x

Inline function:

F1(x,y) = x^2+y^2-1

Inline function:

dF0x(x,y) = cos(x+y)-1.6

Inline function:

dF0y(x,y) = cos(x+y)

Inline function:

dF1x(x,y) = 2*x+0*y

Inline function:

dF1y(x,y) = 0*x+2*y

Количество итераций

5

Решение системы

-0.6163

-0.7875

Полученное решение совпадает с рассчитанным.

Список используемой литературы