Верхні межі відхилень функцій від їх гармонійних інтегралів Пуассона

Робота присвячена дослідженню питань наближення функцій, що задані на всій дійсній осі, за допомогою деяких Л-методів підсумовування рядів Фур'є (зокрема, операторів Абеля-Пуасона) в рівномірній метриці.

Актуальність теми. О.І. Степанцем запропонований новий підхід до класифікації періодичних функцій, в основу якого покладено поняття - похідної. Внаслідок цього були введені множини та - множини відповідно сумовних та неперервних -періодичних функцій.

На теперішній час у галузі теорії апроксимації розроблено багато методів наближення тригонометричними поліномами у просторах періодичних функцій, серед яких існують як і лінійні методи, що побудовані на базі сум Фур'є, так і нелінійні методи. Систематичні розробки в даному напрямку почали проводитися у 80-х роках минулого століття під впливом робіт С.М. Нікольського, В.К. Дзядика, М.Т. Корнійчука, Б. Надя та інших вчених математиків. Сьогодні дослідження, пов'язані із лінійними методами, займають широку область, яка містить ряд постановок задач та глибоких результатів. Серед лінійних слід виділити такі, що визначаються числовими матрицями (методи Фейєра, Валле-Пуссена, Зігмунда, Рогозинського, Ріска, тощо), і такі, що визначаються множиною функцій (методи наближення гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона). Кожен з цих методів став важливою ланкою в галузі теорії апроксимації.

Апроксимативні властивості методу наближення гармонійними інтегралами Пуассона на інших класах диференційовних функцій досліджувались також в роботах К.М. Жигалло і Ю.І. Харкевича.

Мета і завдання дослідження.

Метою дипломної роботи є знаходження асимптотичних рівностей для верхніх меж відхилень операторів Абеля-Пуассона та бігармонійних операторів Пуассона на класах -диференційовних функцій, заданих на всій дійсній осі.

Завданням є оцінити верхні межі наближень функцій на класах їх інтегралами Абеля-Пуассона в рівномірній метриці.

Методи дослідження. В курсовій роботі використовуються загальні методи математичного аналізу в поєднанні з методами, які були розроблені О.І. Степанцем, О.П. Тіманом.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи носять теоретичний характер. Методика їх отримання може бути використана при дослідженні питань теорії наближень періодичних функцій і функцій, заданих на дійсній осі.

1. ЛІНІЙНІ МЕТОДИ ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є

1.1 ПРИКЛАДИ ТРИКУТНИХ ТА ПРЯМОКУТНИХ Л-МЕТОДІВ ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДІВ ФУР'Є

Нехай - - періодична, сумовна за Лебегом функція і

(1.1)

її ряд Фур'є.

,

- коефіцієнти Фур'є розкладу в ряд Фур'є функції .

В галузі теорії апроксимацій виділяють трикутні, прямокутні Л-методи, а також такі методи, що визначаються множиною функцій.

Нехай Л=, - довільна нескінченна трикутна матриця чисел. Кожній функції , виходячи із її розкладу в ряд Фур'є (1.1), поставимо у відповідність послідовність поліномів виду

(1.2)

Таким чином, довільна трикутна матриця Л задає метод побудови поліномів . Кажуть, що матриця Л визначає конкретний метод, Л-метод, підсумовування рядів Фур'є. При кожному фіксованому натуральному оператори є лінійними, тому Л-методи називаються лінійними методами.

Прикладами трикутних Л-методів є методи Фейєра, Валле-Пуссена, Рогозинського, Рісса та інші.

Для методу Фейєра числова матриця має вигляд . В цьому випадку поліноми називаються сумами Фейєра і позначаються . Можна показати, що суми Фейєра мають вигляд .

У випадку, коли отримуємо суми Рогозинського, які згідно формули (1.2), можна представити у вигляді

.

Зауважимо, що елементи матриці Л, котрі визначають певний лінійний метод, взагалі кажучи, є довільними числами. Проте у всіх випадках покладають, що для всіх .

Підставимо коефіцієнти Фур'є функції у співвідношення (1.2), отримаємо

.

Виконавши в останньому виразі деякі елементарні перетворення, знайдемо представлення поліномів у такому виді

.

Означення 1.1. Тригонометричний поліном порядку n вигляду

називається ядром методу .

Зауважимо, що у методі частинних сум Фур'є тригонометричний поліном порядка n

називається ядром Діріхле. Відомо, що ядро Діріхле має такий вигляд:

.

Розглянемо випадок прямокутних Л-методів.

Нехай Л=, - довільна нескінченна прямокутна матриця чисел, . Кожній функції поставимо у відповідність ряд

(1.3)

де - ядро методу :

.

Прикладом даного методу є метод підсумовування рядів Фур'є інтегралами Пуассона або гармонійними інтегралами Пуассона. Цей метод отримаємо із (1.3), поклавши ,

,

де .

У випадку, коли , отримаємо метод підсумовування рядів Фур'є бігармонійними інтегралами Пуассона.

Легко бачити, що при будь-якому фіксованому n оператори (1.3) лінійні, тобто для та виконується рівність

, .

Тому Л-методи називаються лінійними прямокутними методами підсумовування рядів Фур'є.

Розглянемо Л-методи, породжені множиною функцій.

Нехай - - періодична сумовна функція, - її ряд Фур'є вигляду (1.1). Позначимо через Л= множину функцій натурального аргумента k, що залежить від дійсного параметра , який заданий на деякій множині , яка має принаймні одну граничну точку .

Відмітимо, що у випадку, коли числа є елементами прямокутної числової матриці Л=, .

Кожній функції поставимо у відповідність ряд

.

Якщо цей ряд при всіх є рядом Фур'є деякої неперервної функції , то кажуть, що множина функцій Л визначає метод підсумовування рядів Фур'є функції . Відмітимо, що оператор при кожному фіксованому є лінійним, а тому методи, що породжуються множиною функцій називаються лінійними методами.

У випадку, коли , функцію називається бігармонійним інтегралом Пуассона і позначають . Ядро методу називається бігармонійним ядром Пуассона, і має вигляд

, або

.

1.2 ПУДСУМОВУВАННЯ МЕТОДОМ АБЕЛЯ

Нехай - коефіцієнти Фур'є функції . Абелеві середні для і - це функції

(1.4)

Дослідимо границі функцій (1.4) при . Оскільки , то ряди в (1.4) збігаються абсолютно і рівномірно при . Тому і - неперервні функції в точках при .

Абелеві середні парного ряду і непарного ряду мають вигляд

(1.5)

.(1.6)

Вони відповідно називаються ядром Пуассона і спряженим ядром Пуассона.

Співвідношення (1.4) можна подати в такому інтегральному представленні:

 (1.7)

(1.8)

Функції і , задані у вигляді (1.7) і (1.8), часто називаються інтегралом Пуассона і спраженим інтегралом Пуассона від . Таким чином, вирази «абелеві середні ряду » і «інтеграл Пуассона від функції » синоніми.

Визначник

?,

в (1.5) і (1.6) додатній для всіх . Звідси випливає, що

для всіх (1.9)

Отже, - додатнє ядро. При фіксованому його максимум і мінімум розміщені відповідно в точках і . Таким чином,

(1.10)

Іноді зручно користуватися нерівністю

 (1.11)

де - абсолютна стала. Для вона очевидна, так як в цьому випадку і [див. (1.10)] і закріплені між двома додатнім сталими. Для

і (1.11) знову ж таки справедливе. В тому числі, із (1.10) і (1.11) випливають нерівності

, . (1.12)

Ядро додатнє і задовольняє умову

, (1.13)

як це видно із почленного інтегрування ряду (1.5), а також і умову (С) (див.Зигмунд Т.1,- С.144-145) в силу другої нерівності (1.12). Таким чином, всі припущення, які дають змогу вивести теорему Фейєра: В кожній точці , в якій існують границі (якщо навіть обидві вони рівні нескінченності одного знаку), маємо . Частково, в кожній точці неперервності функції . Збіжність рівномірна на кожному відрізку, що складається із точок неперервності функції . Частково, збігаються рівномірно до , якщо всюди неперервна. Якщо для всіх , то ; мають місце, і ми дістаємо наступний результат:

Теорема 1.1. Теорема Фейєра зберігається при заміні середніх ряду на абелеві середні.

Зрозуміло, цей результат випливає з теореми Фейєра і того факту, що з підсумовування слідує підсумовування A для довільного ряду. Але безпосереднє вивчення підсумовування A для рядів Фур'є цікаве з двох причин. По-перше, підсумовування A ряду може мати місце при досить слабких умовах на , ніж підсумовування ; по-друге, підсумовування А рядів Фур'є володіє особливістю, яких нема у - підсумовуванні. Наприклад, ми можемо розглядати границі функції при , що прямують до точки на одиничному колі не тільки по радіанним, але й по недотичним і навіть по довільним шляхам.

Функції і із (1.4) являють собою дійсну і уявну частини функції

,

регулярної при . Таким чином, і - гармонійні функції, тобто в декартових координатах вони задовольняють рівність Лапласа

.

Кожна дійсна гармонійна функція всередині одиничного круга є дійсною частиною деякої регулярної функції. Відповідно, якщо - гармонійна в крузі , то

.

Нехай - неперервна і періодична функція, і нехай - полярні координати точки. Теорема 2 стверджує, що інтеграл Пуассона від прямує рівномірно до при . Іншими словами, інтеграл Пуассона дає у випадку круга розв'язок (єдиний) наступної задачі Діріхле. Нехай дано:

(I) плоска область , обмежена плоскою замкнутою кривою ,

(II) функція , визначена і неперервна для ; потрібно знайти функцію , гармонійну в , неперервну в і яка співпадає з на . У випадку одиничного круга інтеграл Пуассона дає розв'язок загальної задачі Діріхле, де - довільна інтегральна функція.

2. НАБЛИЖЕННЯ -ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ ІНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ-ПУАССОНА

2.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ТА ДЕЯКІ ДОПОМІЖНІ ТРЕРДЖЕННЯ

C - простір -періодичних неперервних функцій з нормою

;

- простір -періодичних вимірних суттєво обмежених функцій з нормою

;

- простір -періодичних сумовних функцій з нормою

.

В 1983 році О.І. Степанцем запропонований новий підхід до класифікації періодичних функцій, в основу якого покладено поняття - похідної (див., наприклад, [1, Гл. III]). Внаслідок цього були введені множини та - множини відповідно сумовних та неперервних - періодичних функцій , які можна подати у вигляді згортки

підсумовування фур'є інтеграл матриця

де , - довільна функція натурального аргументу така, що ряд є рядом Фур'є деякої функції, і - довільне дійсне число. Функцію при цьому позначають і називають - похідною функції . На основі цих множин були введені класи

Відмітимо, що якщо , , то і - - похідна в розумінні Вейля-Надя [2]; якщо і , то ; якщо і , то .

Нехай (див. [1, с. 159, 160]) - множина опуклих донизу неперервних на спадних до нуля функцій ;

,

де - константи, які можуть залежати від .

Для -періодичної сумовної на періоді функції через будемо позначати інтеграл Абеля-Пуассона (див., наприклад, [3]), тобто при

де , , - коефіцієнти Фур'є функції .

В даній роботі вивчається асимптотична поведінка величин

(2.1)

коли і (тут ).

На класах ця задача була розв'язана В.П. Натансоном [4]. На класах та - відповідно О.П. Тіманом [5] та Б. Надем [6]. В роботі [7] розв'язана задача Колмогорова-Нікольського на класах , .

В даній роботі знайдено розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для інтегралу Абеля-Пуассона на класах та при довільному дійсному і .

Покладемо

(2.2)

де - функція визначена і неперервна при всіх ,яка в точках приймає значення . Тоді якщо для функції її перетворення Фур'є вигляду

(2.3)

є сумовним на всій числовій осі, тобто інтеграл

(2.4)

є збіжним, то, повторюючи міркування, наведені в роботі О.І. Степанця [4, с. 183], неважко переконатися в тому, що для в кожній точці має місце рівність

(2.5)

Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що послідовність із множини є звуженнями на множині натуральних чисел деяких додатних неперервних опуклих донизу функцій неперервного аргумента , що прямує до нуля на нескінченності. Множину таких функцій теж будемо позначати через . Отже, надалі,

Множину функцій , для яких , позначимо . Із множини виділимо підмножину (див., напр., [4, с. 160])

де , - функція, обернена до функції , а K - константа, яка може залежати від .

В даній роботі вивчається асимптотична поведінка при величини

(2.6)

Якщо в явному вигляді знайдена функція така, що при

то, наслідуючи О.І. Степанця [4,c. 198], будемо казати, що розв'язана задача Колмогорова-Нікольського для гармонійного інтеграла Пуассона на класі в метриці простору X.

Зауважимо, що задача Колмогорова-Нікольського на класах Соболєва для функцій розв'язана В.П. Натансоном (див. роботу [7]). Точні значення верхніх меж відхилень гармонійних інтегралів Пуассона від функцій з класу , отримано в роботі О.П. Тімана [8]. Розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського на класі , знайдемо у роботі Л.І. Баусова [9]. Зокрема, для класу ним отримана така асимптотична рівність:

(2.7)

Апроксимативні властивості методу наближення гармонійними інтегралами Пуассона на інших класах диференційовних функцій досліджувались також в роботах К.М. Жигалло і Ю.І. Харкевича [10].

Використовуючи інтегральні представлення (2.5), для величини (2.6) знайдемо асимптотичні представлення у виглядів інтегралів від модулів перетворень Фур'є функції . Має місце наступне твердження

Лема 2.1. Якщо для функції , що задана за допомогою співвідношення (2.2), її перетворення Фур'є вигляду (2.3) є сумовним на всій числовій осі, то при справедлива рівність

(2.8)

де величина визначена рівністю (2.4).

Доведення. Оскільки в умовах леми перетворення Фур'є функції , означеної формулою (2.2), є сумовним на всій числовій осі, тобто інтеграл , вигляду (2.4), збіжний, то для має місце рівність (2.5). Враховуючи (2.5), (2.6) та беручи до уваги інваріантність класів відносно зсуву аргумента (див. [3], c. 109), отримуємо

.

(2.9)З іншої сторони, для довільної функції , такої, що , в класі знайдеться функція , для якої . Тому в класі існує функція така, що

(2.10)

Далі, оскільки

, (2.11)

то враховуючи (2.11), будемо мати

(2.12)

де і

Поєднання співвідношень (2.9) та (2.11), (2.12) дозволяє записати при рівність (2.8). Лема доведена.

Означення 2.1. Нехай функція задана на , абсолютно неперервна і . Кажуть, що функція , якщо похідну в тих точках, де вона не існує, можна доозначити так, щоб для деякого існували інтеграли

Надалі домовимося через позначати сталі, взагалі кажучи, не одні і ті ж в різних співвідношеннях.

Теорема 2.1. Нехай і . Тоді для збіжності інтегралу

(2.13)

необхідно і достатньо, щоб збігалися інтеграли

При цьому справедлива оцінка

де - функція, введена наступним чином

(2.14)

Якщо

(2.15)

(2.16)

Теорема 2.2. Функція належить до тоді і лише тоді, коли величина

задовольняє умові

Теорема 2.3. Для того, щоб функція належала до необхідно і достатньо, щоб існувала стала така, щоб при всіх виконувалась нерівність

де - довільна стала, що задовольняє умову .

2.2 ОЦІНКА ВЕРХНІХ МЕЖ НАБЛИЖЕНЬ ФУНКЦІЙ НА КЛАСАХ ЇХ ІНТЕГРАЛАМИ АБЕЛЯ-ПУАССОНА В РІВНОМІРНІЙ МЕТРИЦІ

Теорема 2.4. Нехай , функція опукла вгору або вниз і

(2.17)

Тоді при має місце рівність

(2.18)

де величина означена за допомогою рівності (2.13) і для неї справедлива оцінка

(2.19)

Доведення. Покажемо спочатку сумовність перетворення Фур'є функції . Для цього, згідно теореми 2.1, знайдемо оцінки наступних інтегралів

 (2.20)

(2.21)

Для оцінки першого інтегралу з (2.20) розіб'ємо проміжок на дві частини: та . Оскільки при

то функція опукла доверху при . Тому, враховуючи, що

(2.22)

отримаємо

(2.23)

Нехай

(2.24)

(2.25)

Тоді при

(2.26)

Оцінимо перший інтеграл з правої частини нерівності (2.26). Для цього дослідимо спочатку таку функцію:

(2.27)

З того, що

випливає, що при

(2.28)

Враховуючи (2.28) і те, що

(2.29)

одержимо

(2.30)

Оскільки при згідно з (2.24), (2.27)

(2.31)

то з урахуванням (2.30), отримаємо

Проінтегрувавши перший інтеграл правої частини останньої рівності за частинами, отримаємо

(2.32)

В силу теореми 2.2

Тоді із (2.32), з урахуванням теореми 2.3, одержимо

(2.33)

Оскільки функція опукла і при , то при можливі лише два випадки: або або

Отже,

(2.34)

Враховуючи (2.34), з (2.33) отримаємо

(2.35)

З (2.25) і опуклості функції випливає, що

(2.36)

Таким чином, з співвідношення (2.23), (2.26), (2.35), (2.36) випливає, що

(2.37)

Оцінимо другий інтеграл з (2.20). Оскільки при згідно з (2.2)

(2.38)

Далі, враховуючи, що при :

(2.39)

і при :

можна переконатися, що

(2.40)

Для оцінки першого інтегралу з (2.21) розіб'ємо проміжок на три частини , та . Використовуючи співвідношення (2.2) і (2.22), отримаємо

(2.41)

З співвідношень (2.2), (2.27), (2.30) і (2.34) маємо

(2.42)

З рівності (2.2), враховуючи спадання функції при , отримаємо, що

(2.43)

З співвідношень (2.40)-(2.42) випливає, що

(2.44)

Оцінимо другий інтеграл із (2.21). Якщо функція то має місце нерівність (див., напр. [10])

(2.45)

де згідно з (2.2) . Оскільки

(2.46)

то з урахуванням співвідношень (2.37), (2.40) і (2.46) із (2.45) випливає

(2.47)

Таким чином, в силу теореми 2.1 перетворення Фур'є функції , заданої у вигляді (2.2), сумовне на всій числовій осі. Із нерівностей (2.15) і (2.16) з урахуванням формул (2.14), (2.36), (2.39), (2.44) і (2.48), отримаємо співвідношення (2.19). І, крім того, при :

(2.48)

Для оцінки інтегралу з правої частини рівності (2.48) скористаємося двічі методом інтегрування за частинами. В результаті чого одержимо

Звідси, враховуючи рівності

(2.49)

отримаємо, що при

(2.50)

Оцінимо інтеграл з правої частини нерівності (2.50). Для цього розіб'ємо проміжок на три частини , та і проведемо міркування аналогічні, як і при оцінці інтегралів (2.20). Враховуючи опуклість доверху при функції і нерівність (2.22), отримаємо

(2.51)

Використовуючи (2.2), (2.24) та (2.25), одержимо

(2.52)

З нерівностей (2.31), (2.30) маємо

Інтегруючи перший інтеграл правої частини останньої нерівності за частинами і використовуючи теорему 2.2, отримаємо

(2.53)

З (2.25) і опуклості функції випливає, що

(2.54)

Із (2.52)-(2.53) випливає, що

(2.55)

Використовуючи співвідношення (2.38), отримаємо

Тоді, враховуючи першу нерівність з (2.39) і те, що при :

можна переконатися, що

(2.56)

З співвідношень (2.51), (2.55), (2.56) випливає

Звідси, з урахуванням нерівності (2.50), отримаємо

.

З останньої рівності і співвідношення (2.48) випливає, що має місце рівність (2.18). Теорема 2.4 доведена.

Наслідок 2.1. Якщо функція задовольняє умову (2.17) і , то при має місце асимптотична рівність

(2.57)

Доведення. Відомо (див., наприклад, [11, с. 98]), що якщо , то при будь-якому функція зростає. Тому

(2.58)

Використовуючи правило Лопіталя і те, що , маємо

(2.59)

Оскільки , то . Отже, при

(2.60)

Підставивши (2.58) та (2.60) у (2.18), (2.19), отримаємо (2.57).

Прикладом функцій, які задовольняють умови наслідку 2.1 є

, де , .

Наслідок 2.2. Нехай , функція опукла вгору або вниз,

(2.61)

(2.62)

тоді при має місце асимптотична рівність

(2.63)

Доведення. Якщо функція задовольняє умовам (2.61) і (2.62), то використовуючи правило Лопіталя, маємо

(2.64)

З рівностей (2.59) та (2.54) одержимо

Використовуючи останню оцінку та співвідношення (2.18), (2.19), (2.61) та (2.62), одержимо (2.63).

Відмітимо, що функції , задовольняють умови наслідку 2.2.

Наслідок 2.3. Нехай , функція опукла вниз,

(2.65)

(2.66)

тоді при має місце асимптотична рівність

(2.67)

Дійсно, використовуючи умову (2.65), отримаємо

Підставивши останню рівність у (2.19), враховуючи співвідношення (2.18), (2.65) та (2.66), отримаємо (2.67).

Прикладом функцій, для яких має місце наслідок 2.3, є , де сталі і підібрані так, що функція опукла донизу при .

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ