Двумерная кластеризая по предельному расстоянию. Дискретная математика

17

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО "ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Кафедра «Автоматизированные системы обработки информации и управления»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ

по дисциплине «Дискретная математика»

ДВУМЕРНАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАССТОЯНИЮ

Омск - XXX



Реферат

Отчёт 14с., 1ч., 12рис., 0табл., 3источника, 0прил.

ГРАФ, КЛАСТЕР, МИНИМАЛЬНОЕ ОСТОВНОЕ ДЕРЕВО.

Предметом курсового проекта является кластеризация.

Цель работы - разработка алгоритма кластеризации по предельному расстоянию и построение минимального остовного дерева каждого кластера.

В ходе работы был разработан алгоритм кластеризации.

В результате работы было написан алгоритм, решающий данные задачи.



Введение

Часто бывает полезно и наглядно изображать некоторую ситуацию в виде рисунка, состоящего из точек (вершин) и линий (рёбер), соединяющих некоторые вершины. Такие изображения получили названия графа.

Теория графов получила широкое применение на практике. Она применяется в гражданском строительстве, электротехнике, социологии и экономике и в других областях.

Одной из задач теории графов является кластеризация и построение минимального остовного дерева. Эти задачи часто возникают на практике: при группировке результатов поиска, проектировании компьютерных систем, соединении городов, составлении электрических цепей.

Целью данной работы является разработка алгоритма, выполняющего данные задачи.

Отчет содержит четыре раздела:

- постановка задачи курсового проектирования - это раздел, в котором описывается задача курсового проекта;

- схемы алгоритмов - это раздел, в котором описывается алгоритм и его схема;

- теоретический анализ - теория, необходимая для выполнения поставленной задачи;

- результаты тестирования - это раздел, в котором описываются результаты тестирований на правильность работы разработанного алгоритма.



1 Постановка задачи курсового проектирования

Реализовать алгоритм кластеризации заданного набора точек по предельному расстоянию d. После кластеризации граф каждого кластера редуцировать до минимального остовного дерева.



2 Теоретический анализ

Граф G - это математический объект, состоящий из множества вершин X = {x₁, x₂,..., x_n} и множества ребер A = {a₁, a₂,..., a_k}.

Связный граф -- такой граф, в котором между любой парой вершин существует по крайней мере один путь.

Взвешенный граф -- граф, каждому ребру которого поставлено в соответствие некоторое значение (вес ребра).

Вес ребра -- значение, поставленное в соответствие данному ребру взвешенного графа. Обычно вес -- вещественное число и его можно интерпретировать как «длину» ребра.

Если ребрам графа приданы направления от одной вершины к другой, то такой граф называется ориентированным. Ребра ориентированного графа называются дугами. Если направления ребер не указываются, то граф называется неориентированным (или просто графом).

Подграф исходного графа -- граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) -- это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a_{i j} равно числу ребёр из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Матрица смежности простого графа является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Кластерный анализ -- задача разбиения заданной выборки объектов (ситуаций) на подмножества, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались.

Кластер -- группа элементов, характеризуемых общим свойством.

В данном случае в кластеры объединяются точки, находящиеся на расстоянии меньше предельного d.

Лес -- неориентированный граф без циклов. Компонентами связности леса являются деревья.

Дерево -- это связный граф, не содержащий циклов.

Минимальное остовное дерево (или минимальное покрывающее дерево) в связанном, взвешенном, неориентированном графе -- это остовное дерево, имеющее минимальный возможный вес. Вес дерева -- сумма весов входящих в него рёбер.

В данном курсовом проекте для построения минимального остовного дерева используется алгоритм Краскала. Рёбра графа упорядочиваются в порядке не убывания их весов и последовательно добавляются к графу. Если добавление нового ребра приведёт к образованию цикла, то это ребро пропускается. Подграф данного графа, содержащий все его вершины и найденное множество рёбер, является его остовным лесом минимального веса.



3 Схемы основных алгоритмов

3.1 Пошаговый алгоритм

Шаг 1. Заполнение матрицы весов T.

Шаг 2. Создание матрицы смежности С.

Шаг 2а. Если расстояние между двумя точками s > d, то в матрицу заносится 0, иначе 1.

Шаг 2б. Повторение шага 2 N раз;

Шаг 3. Создание матрицы минимального остовного дерева ТТ;

Шаг 3а. Если tt_ii = 0, tt_jj = 0, то tt_ij = t_ij, tt_ii = k, tt_jj = k, k = k +1, где t_ij - минимальный положительный элемент матрицы T;

Шаг 3б. Если tt_ii = 0, tt_jj ? 0, то tt_ij = t_ij, tt_ii = tt_jj;

Шаг 3д. Если tt_ii ? 0, tt_jj = 0,то tt_ij = t_ij, tt_jj = tt_ii;

Шаг 3е. Если tt_ii ? 0, tt_jj ? 0, tt_ii ? tt_jj ,то tt_ij = t_ij, tt_ii = l, tt_jj = l, где l - наименьшее из tt_ii и tt_jj;

Шаг 3ж. Если tt_ii ? 0, tt_jj ? 0, tt_ii = tt_jj, то t_ij = -1;

Шаг 4. Проверка диагональных элементов матрицы ТT;

Шаг 4б. Если tt_zz = 1, то повторить шаг 4. Иначе m = 0;

Шаг 5. Повторять алгоритм с шага 3 до тех пор, пока m ? 1;

3.2 Схема алгоритма.

Решение данной задачи состоит из нескольких этапов: кластеризации и построения минимального остовного дерева. Схемы этих алгоритмов, изображены на рисунках 2 - 4. Общая схема алгоритма изображена на рисунке 1.



Рисунок 1 - Схема основного алгоритма

Рисунок 2 - Алгоритм кластеризации



Рисунок 3 - Алгоритм построения минимального остовного дерева



Рисунок 4 - Алгоритм построения минимального остовного дерева (продолжение)



4 Результаты тестирования

Было проведено 3 различных эксперимента.

4.1 Тест первый.

Пусть граф содержит 8 вершин, координаты которых заданы случайным образом, а взвешенная матрица Т представлена на рисунке 5. Предельное расстояние d = 5;

Рисунок 5 - Тест первый (часть 1)

Шаг 1. Обнуление матрицы дерева ТТ.

Шаг 2. Составляем матрицу смежности С.

Шаг 2а. Если расстояние между двумя точками s > d, то в матрицу заносится 0, иначе 1.

Шаг 2б. Повторение шага 2 8 раз. Полученная в результате матрица смежности представлена на рисунке 6.



Рисунок 6 - Тест первый (часть 2)

Шаг 3. Составляем матрицу дерева ТТ.

Шаг 3а. Первоначально в матрице на главной диагонали все нули, значит

tt₁₁ = tt₂₂ = ... = tt₈₈ = 0, k = 1;

Шаг 3б. Находим минимальный элемент матрицы Т - t₁₂ = 0,5. Включаем данное ребро в матрицу ТТ и увеличиваем значение счётчика k = k + 1 = 2;

Шаг 3г. Находим следующий минимальный элемент и повторяем все действия из шага 3б. Таким образом перебираем всю матрицу.

Шаг 4. На главной диагонали матрицы ТТ находятся все 1. Полученная матрица представлена на рисунке 7.

Рисунок 7 - Тест первый (часть 3)



4.1 Тест второй.

Результат выполнения алгоритма с 20-ю вершинами, заданными случайными координатами и предельным расстоянием равным 2,5 представлен на рисунке 8.

Рисунок 8 - Тест второй (часть 1)

На данном рисунке видно, что граф был разбит на 8 кластеров. Увеличим предельное расстояние до 3. Из рисунка 9 видно, что количество кластеров сократилось до 4.

Рисунок 9 - Тест первый (часть 2)



Продолжая постепенно увеличивать предельное расстояние, увидим, что в итоге граф будет представлять собой один кластер. Минимальное остовное дерево этого кластера представлено на рисунке 10.

Рисунок 10 - Тест первый (часть 3)

Из этого теста видно, что с увеличением предельного расстояния количество кластеров уменьшается. Минимальное остовное дерево строится верно. Значит, в данном тесте программа работает верно.

4.3 Тест третий

Составим граф из 7 вершин, координаты которых и предельное расстояние представлены на рисунке 11.



Рисунок 11 - Тест второй (часть 1)

Построим данный граф. Остовное дерево данного графа, а так же матрицы смежности, расстояний и остовного дерева представлены на рисунке 12.

Рисунок 12 - Тест второй (часть 2)



Заключение

При рассмотрении данной задачи был изучен один из разделов теории графов кластеризация и построение минимального остовного дерева по алгоритму Краскала.

Результатом курсового проекта является алгоритм, выполняющий необходимые задачи.



Список использованных источников

1 Канева О.Н. Дискретная математика. - Омск: ОмГТУ, 2009. -87с.

2 Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.- М.: Мир, 1978.-433с.

3 Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. - СПб: Питер, 2000. -304с.