Линейное и нелинейное программирование

Допустимое базисное оптимальное решение:

X = (2, 4, 7, 0, 0, 5)

F = -14

2.1.7 Решение двойственной задачи

Прямая задача:

Двойственная задача:

Приводим к каноническому виду:

y₁, y₃ - базисные переменные, y₂, y₄, y₅, y₆ - свободные переменные

F' = Ф' = 14

X = (2,4,7,0,0,5)

F= -F' = -14

2.2 Задача целочисленного линейного программирования

Решить ЗЦЛП, при условии целочисленности всех переменных, входящих в задачу, методом ветвей и границ и методом отсекающих плоскостей (методом Гомори).

2.2.2 Метод Гомори

x₃, x₄ - базисные переменные, x₁, x₂ - свободные переменные

X = (19/10, 12/5, 0, 0)

F = -F' = 31/5

Составляем неравенство Гомори:

X = (2, 2, 1, 0)

F = -F' = 6

2.2.3 Метод ветвей и границ

Решение задачи методом полного перебора составляет 6*2⁵=192 вычисленных выражения. Решение задачи методом Баллаша составляет 3*6+(2⁵-3)=47 вычисленных выражений. Итого снижение трудоемкости вычислений по отношению к решению задачи методом полного перебора составляет .

3 Нелинейное программирование

3.1 Задача поиска глобального экстремума функции

3.1.1 Постановка задачи поиска глобального экстремума функции

Необходимо написать программа для поиска экстремума функции. Задание состоит в следующем: 1) найти точку глобального экстремума функции f(X) методом поиска по координатной сетке с постоянным шагом; 2) найти точку глобального экстремума функции f(X) методом случайного поиска; 3)сравнить результаты вычислений.

3.1.2 Метод поиска по координатной сетке с постоянным шагом и метод случайного поиска. Сравнение результатов вычислений

Метод поиска глобального минимума, называемый методом поиска по координатной сетке, является надежным, но применим только для задач малой размерности (n<4). Неправильный выбор начального шага сетки может привести к тому, что в действительности один из локальных минимумов может быть принят как глобальный. Из всех значений целевой функции, вычисленных в узлах координатной сетки, выбирается минимальное. Результат: число испытаний 905, f(X^*) = -2.500, X^*=(-0.500; 2.000)

Метод случайного поиска характеризуется намеренным введением элемента случайности в алгоритм поиска. Этот метод предполагает наличие генератора случайных чисел, обращаясь к которому, в любой нужный момент времени можно получить реализацию случайного вектора с заданным законом распределения. Результат: число испытаний 299, f(X^*) = -2.469, X^*=(-0.677; 2.173).

Расчет в системе MathCAD: f(X^*) = -2.500, X^*=(-0.500; 2.000)

Как видим, метод случайного поиска сократил число испытаний на 66%, при этом относительная погрешность составляет 1%. Т.е. мы достигли значительного сокращения вычислений с небольшой относительной погрешностью.

3.2 Задача одномерной оптимизации функции

Задание для нахождения одномерного локального экстремума функции (одномерная оптимизация) состоит в том, чтобы выполнить поиск минимума заданной функции методом дихотомии (3-4 итерации), уточнить интервал поиска методом Фибоначчи (3 итерации) и завершить поиск методом кубической аппроксимации.

3.2.2 Метод дихотомии

Итерация 1

Итерация 2

Итерация 3

Итерация 4

После четырех итераций получим:

3.2.3 Метод Фибоначчи

Итерация 1

Итерация 2

Итерация 3

Итерация 4

Поиск окончен. Длина интервала:

3.2.4 Метод кубической аппроксимации

3.3 Задача многомерной оптимизации функции

3.3.1 Постановка задачи многомерной оптимизации функции

Минимизировать функцию, применяя следующие методы: нулевого порядка - Хука-Дживса, первого порядка - наискорейшего спуска (Коши), второго порядка - Ньютона, и провести сравнительный анализ методов оптимизации по количеству итераций, необходимых для поиска экстремума при фиксированной точности и начальных координатах поиска X⁽⁰⁾=[-1,-1]^T.

3.3.2 Метод Хука - Дживса

Итерация 1

1 Исследующий поиск

2 Поиск по образцу

Итерация 2

1 Исследующий поиск

2 Поиск по образцу

Итерация 3

1 Исследующий поиск

2 Поиск по образцу

Поиск завершен

3.3.3 Метод наискорейшего спуска (метод Коши)

Итерация 1. Счет итераций k = 0

Итерация 2. Счет итераций k = 1

Поиск завершен

3.3.4 Метод Ньютона

3.3.5 Сравнение результатов вычислений

Метод Хука-Дживса сходится за три итерации, при этом происходит вычисление значения функции в 13 точках, всего 38 вычислений. Метод наискорейшего спуска (метод Коши) сходится за одну итерацию, 9 вычислений. Метод Ньютона сходится за одну итерация, 9 вычислений. Методы Коши и Ньютона в данном случае сходятся за одну итерацию, поскольку функция представляет собой функцию для сферы (линии уровня - концентрические окружности) и направление, противоположное градиенту функции, направлено на точку минимума. Из этого можно сделать вывод, что в случае функций такого вида использование метода Хука-Дживса нерационально.

Заключение

Процесс проектирования информационных систем, реализующих новую информационную технологию, непрерывно совершенствуется. В центре внимания инженеров-системотехников оказываются все более сложные системы, что затрудняет использование физических моделей и повышает значимость математических моделей и машинного моделирования систем. Машинное моделирование стало эффективным инструментом исследования и проектирования сложных систем. Актуальность математических моделей непрерывно возрастает из-за их гибкости, адекватности реальным процессам, невысокой стоимости реализации на базе современных ПЭВМ. Все большие возможности предоставляются пользователю, т. е. специалисту по моделированию систем средствами вычислительной техники. Особенно эффективно применение моделирования на ранних этапах проектирования автоматизированных систем, когда цена ошибочных решений наиболее значительна.

Современные вычислительные средства позволили существенно увеличить сложность используемых моделей при изучении систем, появилась возможность построения комбинированных, аналитико-имитационных моделей, учитывающих все многообразие факторов, имеющих место в реальных системах, т. е. использованию моделей, более адекватных исследуемым явлениям.

Библиографический список

1 Лященко И.Н. Линейное и нелинейное программирования / И.Н.Лященко, Е.А.Карагодова, Н.В.Черникова, Н.З.Шор. - К.: «Высшая школа», 1975, 372 с.

2 Методические указания для выполнения курсового проекта по дисциплине «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков- Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. - 15 с.

3 Методические указания по изучению дисциплины «Прикладная математика», раздел «Методы глобального поиска и одномерной минимизации» / Сост. А.В.Скатков, И.А.Балакирева, Л.А.Литвинова - Севастополь: Изд-во СевГТУ, 2000. - 31с.

4 Методические указания для изучения дисциплины «Прикладная математика» для студентов специальности «Компьютерные системы и сети» Раздел «Решение задач целочисленного линейного программирования» дневной и заочной форм обучения / Сост.: И.А.Балакирева, А.В.Скатков - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2000. - 13 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

program GlobalMinimize;

const

large = 10e99;

var

a1, a2, b1, b2 : real;

a1n, a2n, b1n, b2n : real;

fmin, x1, x2 : real;

alpha, dV, eps : real;

Rho, P : real;

fT, fS : real;

d1, d2, dx1, dx2 : real;

x1min, x2min : real;

i, N : integer;

t : boolean;

function f(x1, x2 : real) : real;

begin

f := 2*sqr(x1) + 2*x1*x2 + sqr(x2) - 2*x1 - 3*x2

end;

function ceil(x : real) : integer;

var a : integer;

begin

a := trunc(x);

if frac(x) > 0 then

a := a + 1;

ceil := a

end;

function max(a, b : real) : real;

begin

if a > b then

max := a

else

max := b

end;

function min(a, b : real) : real;

begin

if a < b then

min := a

else

min := b

end;

begin

randomize;

writeln('Поиск глобального многомерного минимума функции');

writeln('(для курсового проекта по прикладной математике)');

writeln('Автор: Ткаченко К.С. М-21д');

writeln;

writeln('Введите интервал изменения x1');

write(' Введите a1 : '); readln(a1);

write(' Введите b1 : '); readln(b1);

writeln('Введите интервал изменения x2');

write(' Введите a2 : '); readln(a2);

write(' Введите b2 : '); readln(b2);

write('Введите погрешность eps : '); readln(eps);

write('Введите вероятность поиска P : '); readln(P);

write('Введите коэффициент alpha : '); readln(alpha);

write('Введите коэффициент dV : '); readln(dV);

writeln;

writeln('Алгоритм поиска глобального минимума по координатной '+

'сетке с равномерным шагом');

writeln;

t := false; N := 0;

fS := large; fmin := large;

a1n := a1; a2n := a2; b1n := b1; b2n := b2;

repeat

d1 := b1n - a1n; d2 := b2n - a2n;

dx1 := d1 / alpha; dx2 := d2 / alpha;

x1 := a1n; x2 := a2n;

fT := f(x1, x2);

N := N + 1;

if fT < fmin then

begin

fmin := fT;

x1min := x1; x2min := x2;

end;

repeat

repeat

x1 := x1 + dx1; (* Шаг 1 *)

fT := f(x1, x2);

N := N + 1;

if fT < fmin then (* Шаг 2 *)

begin

fmin := fT;

x1min := x1; x2min := x2;

end;

until x1 > b1n; (* Шаг 3 *)

x1 := a1n; x2 := x2 + dx2; (* Шаг 4 *)

fT := f(x1, x2); (* Шаг 5 *)

N := N + 1;

if fT < fmin then (* Шаг 6 *)

begin

fmin := fT;

x1min := x1; x2min := x2;

end;

until x2 > b2n; (* Шаг 7 *)

if abs(fS - fmin) > eps then (* Шаг 8 *)

begin (* Шаг 9 *)

fS := fmin;

a1n := max(x1min-dx1,a1n); b1n := min(x1min+dx1,b1n);

a2n := max(x2min-dx2,a2n); b2n := min(x2min+dx2,b2n);

end

else t := true; (* Шаг 10 *)

until t;

writeln('Число испытаний N = ', N);

writeln('fmin = ', fmin : 6 : 3);

writeln('x1min = ', x1min : 6 : 3);

writeln('x2min = ', x2min : 6 : 3);

writeln;

writeln('Алгоритм поиска глобального минимума функции '+

'методом случайного поиска');

writeln;

fmin := large;

x1min := fmin; x2min := fmin;

d1 := b1 - a1; d2 := b2 - a2;

Rho := dV/(d1 * d2);

N := ceil(ln(1 - P)/ln(1 - Rho));

writeln('Число испытаний N = ', N);

for i := 1 to N do (* Шаги 1, 2 *)

begin

x1 := a1 + random * d1; (* Шаги 3, 4 *)

x2 := a2 + random * d2;

fT := f(x1, x2); (* Шаг 5 *)

if fT < fmin then (* Шаг 6 *)

begin

fmin := fT;

x1min := x1;

x2min := x2

end;

end; (* Шаг 7 *)

writeln('fmin = ', fmin : 6 : 3);

writeln('x1min = ', x1min : 6 : 3);

writeln('x2min = ', x2min : 6 : 3);

end.

Б. Результаты работы программы