Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра информатики и проектирование систем

Индивидуальное домашнее задание по дисциплине

«Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»

Вариант № 4

Исполнитель

Студент, группы 8В31 _____________________ Л.М.Бодров

Руководитель доцент _____________________ Ю.Н.Шалаев

Томск - 2005

Задание №4

1. Привести два примера пространства элементарных событий.

Записать совместные и несовместные события.

2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойства:

P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B),

вероятность математическое ожидание дисперсия

если А и С несовместные случайные события.

3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин о и з найти: коэффициент А,

-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;

-функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);

-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);

-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mо и Mз и дисперсию системы Dо и Dз:

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:

X = {4.4, 4.2, 4.0, 3.6, 3.8, 4.2, 4.2, 4.0 , 4.0, 3.4, 3.6, 4.0, 3.8, 3.6, 4.4 }.

По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a” - математическое ожидание при уровне значимости б = 0.01.

По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.

5. Задана случайная функция

Y = X SIN(t),

где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции

V = dY/dt.

6. Задан случайный процесс

Z = X SIN (2t) + Y e-t

с MX = 1.3, DX = 3.5, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.4.

Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).

1. Привести два примера пространства элементарных событий. Записать совместные и несовместные события.

Монету подбрасывают один раз.

Элементарными несовместными событиями в данном случае будут

щ1- выпадение цифры;

щ2- выпадение герба.

Щ={ щ1,щ2} , где Щ- пространство элементарных событий.

Вероятности того, что выпадет цифра или герб равны

P(щ1)= P(щ2)=0.5

2. Показать, что для условной вероятности выполняется свойства:

P(AC/B) = P(A/B) + P(C/B), если А и С несовместные случайные события

Вероятность появления одного из двух несовместных события, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: P(Е1+Е2) = P(Е1) + P(Е2) (*)

Введем замену Е1=A/B, Е2=C/B;

Т.е. уравнение (*) примет вид: P(A/B + C/B) = P(A/B) + P(C/B); (**)

Ну а так, как А,С - несовместные события то: A/B + C/B = АC/B, сделав замену в формуле (**) получим тождественно равную формулу.

Подтвердим доказательство диаграммами Эйлера-Венна:

Возможны и другие случаи, когда хотя бы одно (или сразу оба) события А,С совместны с В:

3. По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин о и з найти:

- коэффициент А;

-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;

-функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);

-условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);

-числовые характеристики системы: математическое ожидание Mо и Mз и дисперсию системы Dо и Dз:

Найдем А: => ,

, отсюда .

Функция распределения:

F(x,y) =

Функция распределения отдельных составляющих системы определяется как:

Плотность вероятностей отдельных составляющих системы находится по соотношениям:

Условная плотность вероятности системы случайных непрерывных величин находится по соотношениям:

Математическое ожидание системы определится:

Дисперсия системы :

;

4. По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:

X = {4.4, 4.2, 4.0, 3.6, 3.8, 4.2, 4.2, 4.0 , 4.0, 3.4, 3.6, 4.0, 3.8, 3.6, 4.4 }.

По выборке Х построить доверительный интервал для параметра “a” - математическое ожидание при уровне значимости б = 0.01.

По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.

Строим вариационный ряд:

Строим эмпирическую функцию распределения:

, Fn(x) = ;

, Fn(x) =

, Fn(x) =

, Fn(x) =

, Fn(x) =

, Fn(x) =

, Fn(x) = 1.

Построим полигон частот:

Построим эмпирическую функцию распределения:

Выборочное среднее определяется по соотношению:

Выборочная дисперсия:

1.318

- смещенная оценка

- несмещенная оценка

Доверительный интервал для параметра «a»:

при и n = 15(по таблице).

5. Задана случайная функция

Y = X SIN(t),

где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции

V =

MV=M(-Xcos(t))=-cos(t)MX=-3cos(t)

DV =D(-Xcos(t))= -cos(2t)DX=-1.5cos(2t)

6. Задан случайный процесс

Z = X SIN (2t) + Y e-t

с MX = 1.3, DX = 3.5, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.4.

Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).

Размещено на Allbest.ru