Если - положительное число и - приближённое значение для по избытку, то - приближенное значение для по недостатку.

Доказательство теоремы рассмотрено в работе. Поскольку и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, и является средним геометрическим чисел и , то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число . А чтобы получить ещё более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел и , т.е. число . Так вычисляются одно за другим все более точные приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения и не совпадут в пределах заданной точности. Тогда мы имеем формулу:

. (1)

Эту формулу можно вывести и из несколько иных рассуждений.

Пусть, например, нужно извлечь квадратный корень из числа 32. Выберем сначала какое-то приближенное значение этого корня, например, . Погрешность этого приближенного значения обозначим через , тогда . Чтобы найти значение , возведем обе части этого равенства в квадрат, получим:

,

. (2)

Таким образом, для получилось квадратное уравнение. Если его решить, то . Мы, получается, ходим по кругу: чтобы найти , нужно сосчитать , а чтобы найти , надо вычислить . На помощь приходит следующее соображение. Погрешность приближенного значения невелика, она меньше единицы, значит число еще меньше, поэтому в равенстве (2) его можно отбросить. При этом для получается приближенное уравнение , значит . Итак, приближенное значение поправки найдено.

Так как , то второе приближение для . Чтобы найти более точное приближение для повторим описанный процесс.

.

Возведем обе части в квадрат и отбросим малое слагаемое :

,

.

Тогда третье приближение для выражается формулой:

. Так как , то.

Точно так же, исходя из приближенного значения , можно найти следующее приближение . Тогда, если найдено приближенное значение , то следующее выражается формулой:

.

При этом каждый следующий шаг приводит ко все более точным приближениям для . Полученная формула является частным случаем формулы (1), в которой некоторое действительное число .

По формуле (1) можно найти приближенное значение для , оно приблизительно равно 1,414213562.

Правило нахождения приближенного значения квадратного корня из любого натурального числа было известно ещё математикам древнего Вавилона более 4000 лет назад. Они составляли таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел. При этом они умели находить приблизительное значение квадратного корня из любого целого числа.

Формула, с помощью которой вычислялись последовательные приближения по Вавилонскому способу, может быть записана следующим образом:

.

В данном случае в качестве функции берется , где - это число, корень которого нужно найти. В работе выясняется точность Вавилонского способа.

Этот метод был известен ещё в Древней Греции и приписывается Герону Александрийскому. Потом этот способ был заброшен, но сейчас его применяют для извлечения квадратных корней на калькуляторах и вычислительных машинах.

Работа над данным исследованием показала, что изучение квадратных корней - объективная необходимость: в реальной жизни случаются ситуации, математические модели которых содержат операцию извлечения квадратного корня. Но не всегда под рукой мы имеем калькулятор. Помимо того, бывают ситуации, когда использование калькулятора недопустимо, например, ЕГЭ.

Хотелось бы выбрать оптимально рациональный способ извлечения квадратных корней. Конечно же, арифметический способ и особенно способ грубой оценки, просты в использовании, но не точны, хотя вполне пригодны для первого приближения. К тому же при применении этих способов извлечения квадратных корней любая ошибка, допущенная в каком-то месте, полностью обесценивает дальнейшие вычисления. Иначе состоит дело при применении Вавилонского способа или способа последовательных приближений. Хоть он и трудоемкий, однако можно верно вычислить значение корня с заданной точностью.

Размещено на Allbest.ru