Интегральные характеристики векторных полей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Интегральные характеристики векторных полей

Москва 2014

Содержание

векторный поле ротор интеграл

Введение

1. Криволинейные интегралы и их вычисление

2. Поверхностные интегралы и их вычисление

3. Поток векторного поля

4. Циркуляция и ротор векторного поля

5. Теорема Гаусса-Остроградского

6. Теорема Стокса

7. Вопросы и задачи

Список использованной литературы и источников

Введение

В первой главе мы ввели дифференциальные характеристики полей: градиент, дивергенцию, ротор. В этой главе рассмотрим интегральные характеристики полей и выясним физический смысл дивергенции и ротора. Введем эти понятия безотносительно к системе координат, а также сформулируем ряд теорем, которые широко используются в приложениях. В первую очередь, это теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса. Кратко напомним также методы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов.

1. Криволинейные интегралы и их вычисление

Рассмотрим некоторое скалярное поле . Пусть в пространстве задана некоторая кривая АВ, которая определяется уравнениями

,

где t - некоторый параметр. Разобьем линию АВ на маленькие отрезки .

Составим сумму

.

Здесь - длина отрезка (скаляр).

Определение 1. Криволинейным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы

.

Криволинейные интегралы первого рода часто называют интегралами по длине. Если кривая задана параметрически, то элемент длины определяется формулой

.

Для плоской кривой, заданной уравнением , дифференциал длины имеет вид

.

Выясним физический смысл криволинейного интеграла первого рода. Если - линейная плотность вещества (масса единицы длины), то криволинейный интеграл по кривой АВ позволяет определить массу кривой АВ.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль параболы от точки А(0,0) до точки В(2,4).

Решение.

Ответ:

.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

,

где L - окружность радиуса R.

Решение. Введем полярную систему координат (замена переменных)

.

После подстановки этих выражений в интеграл получим

.

Ответ:

.

Криволинейный интеграл первого рода можно вычислять также от векторной или тензорной функции

.

Здесь вычисляются три интеграла от соответствующих координат вектора. Аналогично можно ввести криволинейный интеграл первого рода от тензорной функции, вычисляя соответствующий интеграл от каждой компоненты тензора.

Рассмотрим теперь векторное поле

и заданную кривую АВ, которую разобьем на маленькие отрезки длиной . Выберем направление от А к В и будем считать отрезки направленными (векторами). На каждом отрезке можно задать скалярное произведение .

Определение 2. Криволинейным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы

Криволинейные интегралы второго рода часто называют интегралами по координатам. Их можно записывать в виде

.

Если функция задает силу в точке М, то криволинейный интеграл определяет работу, которую совершает эта сила при перемещении материальной точки по кривой АВ.

Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой называют циркуляцией векторной функции и обозначают символом

.

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль линии .

Решение. Сделаем рисунок.



Произведем вычисления

.

Ответ: 2.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль эллипса . Обход контура интегрирования производится по часовой стрелке.

Решение. Сделаем рисунок

После вычислений получим

.

Ответ: .

Данный интеграл является циркуляцией векторного поля.

2. Поверхностные интегралы и их вычисление

Рассмотрим некоторое скалярное поле . Пусть в пространстве задана поверхность S, которая описывается уравнением . Разобьем поверхность на маленькие элементы площадью , внутри каждого элемента выберем точку .

Составим интегральную сумму

.

Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода называется предел интегральной суммы

.

Поверхностные интегралы первого рода часто называют интегралами по поверхности. Если поверхность задана уравнением , то элемент поверхности определяется формулой

и вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла

.

Если функция задает поверхностную плотность электрического заряда на поверхности S, то поверхностный интеграл первого рода позволяет определить суммарный заряд поверхности S.

Пример 1. Вычислить интеграл по поверхности

,

где поверхность S - часть плоскости , лежащая в первом октанте.

Решение. Сделаем рисунок.

Выполним вычисления

, ,

Ответ: .

Рассмотрим элемент поверхности и его проекции на координатные плоскости

Запишем вектор элемента поверхности в виде

.

Определение 2. Поверхностным интегралом второго рода называется предел интегральной суммы

Поверхностный интеграл второго рода называют также поверхностным интегралом по координатам. Учитывая формулу для вектора площади можно записать его в виде

.

Вычислять этот интеграл можно, рассматривая проекции поверхности на координатные плоскости и вычисляя затем соответствующие двойные интегралы.

Пример 2. Вычислить поток вектора через верхнюю часть поверхности , ограниченной плоскостями .

Решение. Поверхность представляет собой параболоид, накрывающий квадратный цилиндр с образующими, параллельными оси z. Сделаем рисунок проекции этой поверхности на плоскость xy.

Вычисления:

Ответ: .

3. Поток векторного поля

Рассмотрим постоянное векторное поле и некоторую плоскую площадку S.

Вектор нормали к площадке обозначим п. Введем вектор , т.е. будем рассматривать площадь как вектор.

Определение 1. Потоком постоянного вектора F через площадку S называется величина

.

Нетрудно показать, что если в качестве вектора F выбрать скорость движения жидкости, то поток определяет количество жидкости, протекающей через площадку S за единицу времени.

Обобщим понятие потока. Пусть задано произвольное векторное поле и некоторая поверхность S. Разобьем поверхность на малые элементы и составим сумму

.

Эта величина является интегральной суммой для функции по поверхности S. Предел этой интегральной суммы называют поверхностным интегралом второго рода.

.

Определение 2. Потоком вектора F через поверхность S называется величина

.

Если функция F задает поле скоростей, то поток определяет количество жидкости, протекающей через заданную поверхность в единицу времени.

Часто требуется определить поток вектора через замкнутую поверхность. Интегралы по замкнутой поверхности обычно записывают в виде

.

Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве. Около некоторой точки М опишем замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V.

Теорема 1. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то существует предел

.

Упрощенное доказательство этой теоремы приведено ниже.

Отметим, что этот предел не зависит от способа стягивания области V в точку М, а зависит только от положения точки.

Определение 3. Дивергенцией векторного поля называется величина

.

Дивергенция означает расходимость. Это определение дивергенции отличается от того, которое мы давали в первой главе, и является более общим. Здесь, в частности, ничего не говорится о выборе системы координат, т.е. это определение справедливо в любой системе координат.

Теорема 2. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то в декартовой прямоугольной системе координат дивергенция этой функции определяется формулой

.

Доказательство. В качестве элемента объема выберем прямоугольный параллелепипед со сторонами длиной , направленными параллельно координатным осям.



Рассмотрим поток вектора F через грани, перпендикулярные оси z. Вектор для верхней площадки имеет вид , для нижней -. Суммарный поток через верхнюю и нижнюю площадки определяется выражением

.

Аналогично получим

,

.

Подставим эти значения в формулу для дивергенции

.

Теорема доказана. Из этой теоремы следует, что оба определения дивергенции эквивалентны. Приведенное доказательство можно рассматривать как упрощенное доказательство теоремы 1.

4. Циркуляция и ротор векторного поля

Рассмотрим векторное поле , заданное в трехмерном пространстве и выделим в этом пространстве некоторую замкнутую кривую.

Определение 1. Циркуляцией векторного поля называется криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой

.

Пример 1. Пусть стационарное вращательное движение жидкости вокруг оси Ох задано вектором угловой скорости . Рассмотрим в пространстве, заполненном вращающейся жидкостью, векторное поле линейной скорости жидкости. Вычислить циркуляцию векторного поля F вдоль окружности l:

.

Решение. Сделаем рисунок.



Вычислим векторное поле

.

Следовательно,

.

Итак, циркуляция пропорциональна угловой скорости щ, площади круга S и является удобной характеристикой для описания вращательного движения жидкости.

Введем еще одну величину, описывающую вращательные свойства векторного поля. Около некоторой точки М опишем замкнутый контур l, лежащий в некоторой плоскости Р и ограничивающий площадь S.

Вычислим циркуляцию вектора F вдоль контура l и разделим ее на площадь S

.

Теорема 1. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то существует предел

.

(без доказательства).

Отметим, что этот предел не зависит от способа стягивания контура в точку М, а зависит только от положения точки и ориентации плоскости Р в пространстве.

Определение 2. Ротором векторного поля называется вектор, проекция которого на направление орта равна пределу

.

Ротор описывает вращательные свойства векторного поля. При изменении направления орта значение проекции изменяется. Это определение отличается от того, которое было дано в предыдущей главе. На самом деле эквивалентность обоих определений вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2. Если векторная функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки М, то в декартовой прямоугольной системе координат ротор этой функции определяется формулой

.

(без доказательства).

Приведенное в этом параграфе определение ротора является более общим и не зависит от выбора системы координат.

5. Теорема Гаусса-Остроградского

Рассмотрим несколько теорем, связывающих криволинейные, поверхностные и тройные интегралы.

Теорема 1 (Гаусса-Остроградского). Поток векторного поля через поверхность S, ограничивающую область V, равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля

.

Доказательство. Разобьем всю область интегрирования на маленькие параллелепипеды



По определению дивергенции

.

Сложим записанные выражения для всех элементов разбиения

.

Для соседних элементов потоки взаимно сокращаются

После сложения останутся только потоки через внешнюю, ограничивающую тело поверхность. Совершая предельный переход, получим

.

В развернутой форме эта теорема принимает вид

.

Эта теорема является обобщением используемой в электростатике теоремы Гаусса. Покажем, что правая часть записанной формулы определяет электрический заряд, заключенный в объеме, ограниченном заданной поверхностью. В электростатике мы доказали теорему Гаусса для напряженности электрического поля

.

Используя теорему Гаусса-Остроградского, можно записать

.

Отсюда следует уравнение, связывающее напряженность электрического поля с плотностью зарядов, создающих это поле

.

Это одно из основных уравнений электростатики.

Пример 1. Вычислить поток векторного поля через поверхность цилиндра , . Поверхность расположена в первом октанте.

Решение. Сделаем рисунок и приведем два решения этой задачи: непосредственное вычисление потока и использование теоремы Гаусса-Остроградского.

Первое решение. Учитывая форму векторного поля, нетрудно видеть, что ненулевой поток вектора происходит через верхнюю грань и искривленную боковую поверхность.

, , .

Покажем на рисунке разложения вектора на компоненты, нормальные к криволинейной и плоской поверхностям.

Найдем поток через искривленную поверхность . Имеем:

, ,

.

Эта формула определяет поток векторного поля через боковую поверхность цилиндра.

Найдем поток векторного поля через верхнее основание цилиндра. Имеем

, ,

,

.

Второе решение. Решим эту задачу, используя теорему Гаусса-Остроградского

,

.

Оба решения, естественно, совпадают.

6. Теорема Стокса

Важную роль в различных физических приложениях играет теорема Стокса, которая связывает циркуляцию вектора по замкнутому контуру с потоком ротора этого векторного поля по некоторой поверхности.

Рассмотрим векторное поле и замкнутый контур L. Натянем на этот контур некоторую поверхность, которую будем считать достаточно гладкой. Разобьем поверхность на маленькие четырехугольники.

Теорема 1 (Стокса). Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру L равна потоку ротора этого поля по поверхности, натянутой на этот контур

.

Доказательство. По определению ротор в точке (см. рис.) определяется формулой

.

Просуммируем эти выражения по всем площадкам.

.

На рисунке показаны циркуляции по соседним контурам. Из рисунка видно, что интегралы по границе между контурами взаимно сокращаются. После суммирования останутся только криволинейные интегралы по внешней границе L.

Совершая предельный переход в соответствующих интегральных суммах, получим

.

В развернутом виде эту формулу можно записать

Отметим, что обход контура должен совершаться против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали. При этом выбор поверхности S не играет роли, важно лишь, чтобы эта поверхность опиралась на контур L.

Пример 1. Вычислить интеграл

,

где контур интегрирования L - окружность .

Решение. Вычисление интеграла выполним двумя методами: 1) непосредственно; 2) используя теорему Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу .

Первое решение. Сделаем рисунок.

Перейдем к полярным координатам

Подставим функции и их дифференциалы в интеграл и произведем вычисления.



Второе решение. Используем теорему Стокса для решения этой задачи. Найдем ротор

и применим теорему Стокса

.

Оба метода дают один и тот же результат.

7. Вопросы и задачи

1. В чем состоит различие между криволинейными интегралами первого и второго рода?

2. В чем состоит различие между поверхностными интегралами первого и второго рода?

3. Докажите справедливость равенства

.

4. Вычислить криволинейный интеграл



вдоль кривой от точки А(0,0) до точки .

5. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль кривой от точки А(0,1) до точки .

Список использованной литературы и источников

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

2. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для вузов, М.: "Высшая школа", 1976, 390 с.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

4. Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики" В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

5. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

6. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.

Размещено на Allbest.ru