Исследование функций

Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и их доказательство. Локальные экстремумы функции, исследование ее на выпуклость и вогнутость, понятие точки перегиба. Асимптоты и общая схема построения графика функции.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 12.06.2010
Размер файла 430,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1 Локальные экстремумы функции

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

Литература

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 - внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х0) окрестность точки х0. В точке х0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f 0).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х0 локальный минимум, если существует такая окрестность U(х0) точки х0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) f 0).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х1, х3 - точки локального минимума, точки х2, х4 - точки локального максимума, х = а - краевого максимума, х = b - краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а - точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3 - точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601-1665) - французский математик. По профессии - юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма - один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р - простое число и а - целое число, не делящееся на р, то а р-1 - 1 делится на р).

Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0 (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0 существует конечная производная f '(x0), то f '(x0) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х0 функция имеет локальный минимум, то есть f (х) f 0), х U(х0). Тогда в силу дифференцируемости

f (х) в точке х0 получим:

при х > х0:

при х < х0:

Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0, f 0)), параллельна оси Ох:

Заметим, что оба условия теоремы Ферма - интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума - обязательны.

Пример 1. у = х, х (-1; 1).

В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0).

Пример 2. у = х3, х [-1; 1].

В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 (-1; 1).

Мишель Ролль (1652-1719) - французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.

Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка , а < < b, такая, что f '() = 0.

Доказательство:

1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х (a, b);

2) если f (x) const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка

[a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '() = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику f (x) в точке (, f ()) Ox (см. рисунок).

Заметим, что все условия теоремы существенны.

Пример 3. f (x) = х, х [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.

В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется - ни в одной точке отрезка [-1; 1] производная в нуль не обращается.

Пример 4.

Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала

(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется - функция не является непрерывной на [0; 1].

Огюстен Коши (1789-1857) - французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.

Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке

[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) 0, х (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что

. (1)

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка , такая, что F'() = 0:

Следовательно:

.

Теорема доказана.

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) - французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).

Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка , такая, что

(2)

Доказательство.

Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).

Теорема доказана.

Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка , такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (, f ()) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).

Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:

1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].

2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const.

3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0,

х (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b).

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1 Достаточные условия экстремума функции

В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.

По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 - экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0. Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной

в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.

Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но

в точке х0 = 0 нет экстремума.

Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0:

f '(0) = 0 f '(0) f '(0) =

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно - минимум или максимум?».

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x0) точки х0 (проколотая окрестность означает, что сама точка х0 выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:

1) если (1)

то в точке х0 - локальный максимум;

2) если (2)

то в точке х0 - локальный минимум.

Доказательство.

Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0 функция не убывает, а при х > х0 функция не возрастает, то есть

(3)

Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум.

Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:

f (x) f (x)

f '(х) 0 f '(х) 0 f '(х) 0 f '(х) 0

Теорема доказана.

Пример 2. Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

Решение. Найдем стационарные точки функции:

х2 -1 = 0 х1 = -1, х2 = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х

(-; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; +)

у'

+

0

-

-

-

0

+

у

-2

-

2

max min

То есть функция возрастает на интервалах (-; -1) и (1; +), убывает на интервалах (-1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке

х1 = -1, равный уmax (-1) = -2; имеет локальный минимум в точке х2 = 1,

уmin (1) = 2.

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0 - стационарная точка

(f ' (х0) = 0), в которой f '' (х0) > 0, то в точке х0 функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х0) < 0, то в точке х0 функция имеет локальный максимум.

Доказательство. Пусть для определенности f '' (х0) > 0. Тогда

Следовательно:

при х < х0, f ' (х) < 0,

при х > х0, f ' (х) > 0.

Поэтому по теореме 1 в точке х0 функция имеет локальный минимум.

Теорема доказана.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х1 = -1, х2 = 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Найдем значения второй производной в стационарных точках.

в точке х1 = -1 функция имеет локальный максимум;

в точке х2 = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 - любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f 1)) и В (х2, f 2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).

Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 (a, b), а х1 < х2 b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) у (х), х [х1, х2] (a, b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 (a, b), а х1 < х2 b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) у (х), х [х1, х2] (a, b):

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) - дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и

1) f ''(х) > 0, х (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;

2) f ''(х) < 0, х (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.

Точка х0 называется точкой перегиба функции f (х), если - окрест-ность точки х0, что для всех х (х0 - , х0) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х (х0, х0 + ) - с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х0, то есть точка х0 - точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х0 функция f (х) меняет характер выпуклости:

х0 - х0 х0 +

Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х0 производную f '' и х0 - точка перегиба, то f '' (х0) = 0.

Доказательство.

Если бы f '' (х0) < 0 или f '' (х0) > 0, то по теореме 3 в точке х0 функция f (х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х0) = 0.

Теорема доказана.

Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через точку х0 производная f ''(х) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f (х).

Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3.

Решение. у' = 3х2, у'' = 6х = 0 х0 = 0 - точка, подозрительная на перегиб.

В точке х0 = 0 функция у = х3 имеет перегиб:

х

(-; 0)

0

(0; +)

у''

-

0

+

у

выпукла вверх

0

выпукла вниз

точка перегиба

Пример 5. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .

Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек подозрительных на перегиб нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

х

(-; 0)

0

(0; +)

у''

-

-

+

у

выпукла вверх

-

выпукла вниз

функция не определена

2.3 Асимптоты графика функции

Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f 0 - 0) или f 0 + 0) равен бесконечности.

Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций:

а) б) в)

Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х0, где х0 - точки, в которых функция не определена.

а) х = 3 - вертикальная асимптота функции . Действительно, ;

б) х = 2, х = - 4 - вертикальные асимптоты функции . Действительно,

,

;

в) х = 0 - вертикальная асимптота функции Действительно, .

Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х + или х - , если f (х) = kx + b + ?(х), , то есть если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = kx + b в точке х стремится к 0 при х + или при х - .

Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х + или х - , необходимо и достаточно существование конечных пределов:

(4)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.

Пример 7. Найти наклонные асимптоты функции

Решение. Найдем пределы (4):

Следовательно, k = 1.

Следовательно, b = 0.

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту

у = kx + b = 1 · х + 0 = х.

Ответ: у = х - наклонная асимптота.

Пример 8. Найти асимптоты функции .

Решение.

а) функция неопределенна в точках х1 = -1, х2 = 1. Следовательно, прямые х1 = -1, х2 = 1 - вертикальные асимптоты данной функции.

Действительно, .

;

б) у = kx + b.

Следовательно, у = 2х + 1 - наклонная асимптота данной функции.

Ответ: х1 = -1, х2 = 1 - вертикальные, у = 2х + 1 - наклонная асимп-

тоты.

2.4 Общая схема построения графика функции

1. Находим область определения функции.

2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.

4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

7. Строим график.

Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.

Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (-х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (-х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (-х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (-х) = -f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 9. Построить график .

Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.

1. D (у) = (-; 0) (0; +).

2. Следовательно, функция нечетная. Ее график будет симметричен относительно начала координат.

3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

х

(-; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; +)

у'

+

0

-

-

-

0

+

у

-2

-

2

max min

4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.

х

(-; 0)

0

(0; +)

у''

-

-

+

у

выпукла вверх

-

выпукла вниз

функция не определена

Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.

5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:

а) х = 0 - вертикальная асимптота;

б) у = х - наклонная асимптота.

6. Точек пересечения с осями координат у данной функции нет, так как , при любых х , а х = 0 D(у).

7. По полученным данным строим график функции:

Пример 10. Построить график функции .

Решение.

1. D(у) = (-; -1) (-1; 1) (1; +).

2. - функция нечетная. Следовательно, график функции будет симметричен относительно начала координат.

3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:

2 - х4 = 0, х2 · (3 - х2) = 0, х1 = 0, х2 = , х3 = .

х

(-;)

(; 0)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; )

(; +)

у'

-

0

+

-

+

0

+

-

+

0

-

у

2,6

-

0

-

-2,6

4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:

х = 0 - точка, подозрительная на перегиб.

х

(-; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(0; +)

у''

+

-

-

0

+

-

-

у

выпукла

вниз

-

выпукла

вверх

0

выпукла вниз

-

выпукла

вниз

перегиб

5. Найдем асимптоты функции:

а) х = -1, х = 1 - вертикальные асимптоты.

Действительно:

б) у = kx + b.

,

у = -1х + 0 = - х - наклонная асимптота.

6. Найдем точки пересечения с осями координат:

х = 0 у = 0 (0; 0) - точка пересечения с осями координат.

7. Строим график:

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.- Мн.: Тетрасистемс, 1998. - 415 с.

2. Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.- Мн.: ЧИУиП, 2007.- 20 с.


Подобные документы

  • Локальные экстремумы функции. Теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. Достаточные условия экстремума функции. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. Асимптоты графика функции. Схема построения графика.

    курс лекций [445,7 K], добавлен 27.05.2010

  • Понятие и исследование функции четной, нечетной и симметричной относительной оси. Понятие интервалов знакопостоянства. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба. Вертикальные и наклонные асимптоты. Наименьшее и наибольшее значения функции и интеграла.

    практическая работа [373,2 K], добавлен 25.03.2011

  • Теорема Ролля и ее доказательство, структура и геометрический смысл. Сущность теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу, использование в ней результатов теоремы Ролля. Отражение и обобщение работы Лагранжа в теореме Коши, методика ее доказательства.

    реферат [208,2 K], добавлен 15.08.2009

  • Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.

    презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011

  • Теорема Ферма: содержание, доказательство, геометрический смысл. Теорема Ролля: производная функции, отсутствие непрерывности Отсутствует и дифференцируемости. Доказательство теоремы Лагранжа, общий вид, геометрический смысл, содержание следствия.

    презентация [199,4 K], добавлен 21.09.2013

  • Основные определения и теоремы производной, дифференциала функции; техника дифференцирования. Применение производных к вычислению пределов. Исследование функции на монотонность и точки локального экстремума. Полное исследование функции, асимптоты графика.

    контрольная работа [539,8 K], добавлен 20.03.2016

  • Область определения функции. Очки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства. Исследование функции на непрерывность. Асимптоты, определение точки экстремума и точки перегиба. Расчет области определения функций, заданных аналитически.

    контрольная работа [178,7 K], добавлен 14.06.2013

  • Производные функций, заданных в явном и неявном виде. Исследование функций методами дифференциального исчисления. Точки перегиба и экстремума, градиент функции. Объем тела, образованного вращением фигуры и ограниченной графиками функций, вокруг оси.

    контрольная работа [77,3 K], добавлен 11.07.2013

  • Содержание теоремы Ферма о ненулевых решениях уравнения вида xn+yn=zn в натуральных числах при значениях n>2. Доказательство теоремы Декартом, Эйлером, Уайлсом. Разработка основ дифференциального исчисления и теории вероятности - научные достижения Ферма.

    реферат [13,2 K], добавлен 01.12.2010

  • Основные теоремы и понятия дифференциального исчисления, связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов); применение математических методов в естествознании и технике. Решение уравнений и неравенств с помощью теорем Ролля и Лагранжа.

    курсовая работа [609,9 K], добавлен 09.12.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.